容斥问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理是概率论中的一种计算方法，用于求解多个事件的交集和并
集的概率。
容斥原理通过对各种情况进行分类，然后逐步减去重复计
算的部分，从而得到最终的结果。
容斥问题是指给定一组事件，求满足其中至少一个事件发生的概率。
通常情况下，如果直接计算这个概率比较困难，就可以通过容斥原理
来简化计算过程。
容斥问题的一般形式可以描述为：给定一组事件 A1, A2, ..., An，
求至少一个事件发生的概率P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)。
容斥原理告诉我们，这个概率可以通过分别计算每个事件发生的概率，再减去交集事件发生的概率，再加上相交事件发生的概率，以此类推，最终得到结果。
具体而言，容斥原理的公式可以表示为：
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - ... - P(An-1 ∩ An) + ...
通过容斥原理，可以将一个复杂的问题分解为一系列简单的事件，从
而使计算过程更加简单明了。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
容斥问题
巧用容斥问题诀窍：运用容斥原理（重叠）解题，就是先把各种情况都“包含”进来，加在一起，再“排除”重复的部分。
在解决这类问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部份，从而找出解答方法。
容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
1、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?2、电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人?3、六一班有学生46人，其中骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，都不会的有多少人？4、1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？5、、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？6、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？7、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？8、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？9、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？10、一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道，问两道都做对的有几人？11、教工运动会上，参加跳绳比赛的有38人，参加踢毽子比赛的有39人，因病请假的有3人。
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
容斥问题
一、两集合容斥问题两集合容斥问题根据能否直接套用公式，又可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。
(一)标准型两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。
对于两集合的容斥问题，如果能用公式我们直接套公式。
解题技巧：两集合容斥问题关键是匹配题型，这也是很多同学头疼的地方。
如果出现了两者都或者两者都不，就考虑两集合的容斥问题;如果两者都，两者都不同时出现，则往往能直接套公式(满足标准型)。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人( )A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】题干中出现了同时参加两科竞赛，即出现了两者都，又出现了两科都没有参加，即出现了两者都不，综合考虑满足两集合标准型公式。
参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，设两个竞赛都参加的有x人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-x=60-20，x=22。
选择D。
两集合标准型题型特征非常明显，难度不大。
为了增加难度，有时题目特征不明显，这就需要我们发现特征，解决问题。
【例2】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。
期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )A.16天B.20天C.22天D.24天【答案】A【解析】此题咋一看，没有出现两者都，两者都不这样的字眼，不符合两集合容斥问题的特征。
但细想此题出现了上午待在旅馆，下午待在旅馆，即出现了满足条件A,B，想到容斥问题。
同时题干中出现了不下雨，有不下雨自然就有下雨，下雨其实就是上下午都在旅馆，即出现了两者都，从而判断出是两集合的容斥问题。
带你了解公务员容斥问题
带你了解容斥问题二集合容斥两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的1. 某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人：A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的。
根据题意有：30+32-x=60-20，尾数法，x的尾数为2。
因此，本题答案为D。
2.车间共有50名工人，年底进行考核，有12人业务能力为优，10人政治表现为优，没有一项考核成绩为优的有34人，车间要向上级单位推荐2名两项考核均为优的工人作为先进个人的候选人。
问有多少种推荐方案？A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】总人数为50人，没有一项为优的为34人，则至少一项考核为优的：50-34=16人，12人业务能力为优，10人政治表现为优，则两项全部为优的人数：10+12-16=6人。
从中任选两人，则有C62=15种。
因此，本题答案为B。
三集合容斥①三集合容斥标准公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的3.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人：A.20B.18C.15D.12【答案】A【解析】设不喜欢这三个景点中任何一个的有x，根据三集合容斥原理标准型公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，代入数据求得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，尾数法，x尾数为0。
因此，本题答案为A。
4.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A.7人B.8人C.5人D.6人【答案】A【解析】设同时报乙、丙职位人数为x，根据三集合标准型容斥公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，由题意可知，满足三个条件和一个都不满足的人数均为0，代入数据求得：22+16+25-8-6-x+0=42-0，尾数法，x尾数为7。
小学数学典型应用题22：容斥问题(含解析)
小学数学典型应用题22：容斥问题（含解析）容斥问题【含义】容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
【数量关系】★A∪B = A+B - A∩B★A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长_____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考.没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀.下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
容斥问题
容斥问题（一）这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1．将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
一共有多少人参加了这次数学测验？7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。
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十三、复习容斥问题
容斥问题其实比较好理解，我们可以试着看一个例题：“学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种都会拉的还有8人。
这个文艺组共有多少人？”（课本60页例一）。
我们来分析：试着画一个如上面的两个圆圈图，其中左边圆圈内代表会拉手提琴的一共有24人，右边圆圈代表会弹电子琴的一共有17人，然后图中C的部分是两个圆圈的重叠部分，代表两种乐器都会演奏的人，注意，这部分人它既属于A会拉手提琴，也属于B会弹电子琴，那么要求文艺组多少人，就是求会演奏的人加起来，这些人正好是都包括在圈里的，那么就是24+17-8，因为24+17的话会把两种乐器都会的人全算上，所以要把重复多计算的公共重叠部分减去，减去8就可以得到圈内总数，也就是24+17-8=33人。
那么我们可以根据这个题推导出一个适合我们使用的容斥问题公式：
A+B-C=圈内总数
其中，A代表符合A条件的数量A，B代表符合B条件的数量B，C代表既符合A也符合B条件的C，同学们要注意我们要求的圈内总数指的就是符合A，符合B，还有两种都符合的加起来，不能有重复，如果你仔细看图会发现这个图其实分成三块。
第一块是左边，它的数量是A-C，中间是C，右边是B-C，加在一起求圈内总数，就是A-C+C+B-C，就等于A+B-C，同学们清楚了么。
那么根据这个式子，其实我们可以推出3个式子，也就是分别求A、B、C的式子：
A+B-圈内总数=C
圈内总数+C-A=B
圈内总数+C-B=A
也就是根据：被减数-减数=差这样推导出来的么。
以上就是简单一些的容斥问题。
再多一点条件的，比如：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种语言都不会的有4人，两种语言都会的有多少人？（课本61页例二）
其实这个咱们就能看出来圈内总数+两种语言都不会的=旅行社全部人数，我们可以先求圈内总数
36-4=32人，也就是说会说外语的，不管是会1种还是2种，都算起来，共有32人，然后根据上面
我们总结的式子，这是求C的，那么就用A+B-圈内总数=C求就可以：
36-4=32（人）
24+18-32=10（人）
两种语言都会的有10人。
练习题：
1、四（1）班有38名学生，其中有18人参加音乐小组，有16人参加手工制作小组，这些学生每人至多只参加了一个小组。
两个小组都没有参加的有多少人？
2、某班有40人订了报纸，其中有28人订了《小学生报》，有16人订了《数学报》，两种报纸都订的人有多少人？
3、某班有54人，每人至少订阅一种读物，订阅《作文》的有45人，同时订阅《作文》和《数学》的有13人，问订阅《数学》的有多少人？
4、五四班有学生46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有10人，那两种运动都不会的有多少人？
5、某班同学共有70人，其中48人参加了数奥社团，24人参加了垒球社团，其中有8个人两种社团都参加了，问两种社团都没有参加的同学有几个人？。