行测 数量关系-容斥问题
行测技巧：行测备考之容斥问题
行测备考之容斥问题上海市考即将来临，面对行测试卷中的数量关系，很多考生觉得自己数学基础较弱选择全部放弃。
但是数量关系的题量、分值真实存在，大家要克服心理障碍，接受数量关系，由浅及深，不断突破。
在数量关系中有一些较简单易得分的知识点包括容斥、鸡兔同笼、整除、利润等。
今天我们先来学习容斥问题，所谓容斥，从字面意思上理解，就是包容与排斥，容斥问题的本质是研究集合与集合之间的关系。
一、方法1.文氏图法：利用有着重叠区域的圆圈来表示不同的集合，每个区域代表不同的概念。
2.公式法：常见题型有可以直接代入的公式，公式法直观且节省时间，只需明确核心为“保留为一层”。
二、题型（一）两者容斥公式：I=A+B-A∩B+Y例题：40人参加期末考试，某科目只有理论和实验均及格方为通过。
在理论考试中有34人及格，实验有32人及格，两次考试中，都没有及格的有4人。
通过该考试的有多少人？A.30人B.32人C.34人D.36人中公解析：设既没通过理论考试又没通过实验的人数为x，根据两者容斥公式得：34+32-x+4=40，解的x=30，因此选择A。
（二）三者容斥公式1：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x公式2：I=A+B+C-两者交集-2×三者交集+x例题1：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这三个项目都参加。
三个项目都没有参加的有多少名？A.1人B.2人C.3人D.0人中公解析1：利用公式I=A∪B∪C+x=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x，本题要求的是x，把数据代入公式18=8+10+12-4-6-5+2+x，解得x=1，因此选择A。
例题2：对某儿童服装生产厂的52件儿童衣物进行质量抽检，其中有8件衣物纤维含量不合格，10件衣物的PH值不达标，9件衣物不符合绳带安全要求，两项都不合格的有7件，有1件产品这三项都不合格。
2021国家公务员考试行测数量关系：容斥“最值”知多少？
2021国家公务员考试行测数量关系：容斥“最值”知多少?近年来，行测对于知识点的考察绝对不再仅仅局限于表面上的公式的基本运用，在当今的国家公务员考试中更多的测查考生的一个理解与灵活运用能力，而对于国考行测中经常出现的一类问题-容斥问题，我们现如今的考点也已经从基本公式向着更多的变形考点去延伸，呈贡中公教育专家给大家带来的是关于利用方程思想解决容斥“最值”问题的基本方法。
一、容斥问题基本公式二者容斥：I=A+B-A∩B+m三者容斥：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+m二、容斥“最值”问题的题型特征：1. 区域出现重叠;2. 出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。
三、经典例题例1. 有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。
那么至少有()人参加了不止一个项目的比赛。
A.7B.10C.15D.20【答案】B。
中公解析：设参加两项的有x人，参加三项的有y 人，则参加不止一项的为x+y人。
根据容斥原理可得：50+40+30-x-2y=100，则x+2y=20。
题目要求是x+y尽可能小，根据x+2y=(x+y)+y，要想保证x+y尽可能小，那么y要尽可能大，又因为x+2y等于定值，所以要想y尽可能大，则x尽可能小，x最小为0，此时y最大为10，此时x+y取得最小值为0+10=10，所以答案为B。
例2. 同学们参加周末兴趣小组，每个小组各有50人参加，已知音乐和美术都参加的有20人，体育和美术都参加的有12人，音乐和体育都参加的有15人，问只参加一个兴趣小组的最少有多少人?A.3B.56C.92D.103【答案】B。
中公解析：设参加三个兴趣小组的人为x人，只参加一个兴趣小组的有y人，有y=(50-20-12+x)+(50-12-15+x)+(50-20-15+x)，y=56+3x，要想y最小，即让x最小，x最小为0，此时y取得最小值为56。
行测数学运算16种题型之容斥原理问题
行测数学运算16种题型之容斥原理问题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22B.18C.28D.26【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22所以，答案为A。
【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57所以，答案为A。
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案1.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?A.148B.248C.350D.5002.36名女生结伴购物，21人买了长裙，24人买了短裙，24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙，15人买了短裙和超短裙，13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买。
请问，共有几名女生购买了三种裙子?A.1B.5C.8D.93.100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。
那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加?A.22B.21C.24D.234.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?A.15B.16C.14D.185.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。
如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是()。
A.A等和B等共6幅B.B等和C等共7幅C.A等最多有5幅D.A等比C等少5幅6.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定7.从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?A.23B.24C.25D.268.10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场?A.3B.4C.6D.59.某学校1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定每人至少去一处，至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同?A.35B.186C.247D.10.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定参考答案及解析1.【答案】A。
行测数量关系容斥问题
行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。
掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。
本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。
一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。
其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。
二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。
通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。
2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。
3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。
这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。
4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。
5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。
通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。
6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。
三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。
例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。
如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。
2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。
事业单位考试数量关系：容斥问题
容斥问题是考试中比较偏向技巧性和公式性的问题, 大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。
但是其中容斥中的极值问题, 确实考试中一个难点和出题的方向。
何为容斥极值问题, 简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。
主要包含以下两种:一、公式法求解容斥极值问题, 如果我们求解的是几个集合公共部分的最小值问题, 下面给出了相应的公式, 我们只需要讲数据代入即可。
其中, 公式中的A.B.C.D分别集合,I代表的是全集。
例1、某班30人, 数学22人优秀, 语文25人优秀, 英语20人优秀, 这三科全部优秀的学生至少有多少人?A.7B.6C.5D.4【答案】A。
解析: 根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A.B.C三个集合, 每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人, 即求三个集合相交的最小值, 直接用三集合相交的最小值。
三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7二、极限思想在容斥极值问题中, 若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题, 那就不能直接使用上面的公式解决, 要结合具体题目运用极限思想分析, 下面通过一道例题进行说明:例2参加某部门招聘考试的共有120人, 考试内容共有6道题。
1至6道题分别有86人, 88人, 92人, 76人, 72人和70人答对, 如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试, 那么至少有多少人能通过考试?A .72B .61 C.58 D .44【答案】D。
解析: 要使通过的人最少, 那么就是对1道, 2道的人最多, 并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多), 假设都只对了2道, 那120人总共对了240道, 而现在对了86+88+92+76+72+70=484, 比240多了244道, 每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。
3.一次考试共有五道试题, 做对第1.2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是多少?(参考第二题的思想, 一个类型)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70。
公务员行测数量关系速算公式归纳
公务员行测数量关系速算公式归纳在公务员行测考试中，数量关系部分往往是让众多考生感到头疼的模块。
然而，掌握一些实用的速算公式，能够帮助我们在考场上快速解题，提高答题效率和准确率。
接下来，就为大家归纳一下常见的公务员行测数量关系速算公式。
一、行程问题1、相遇问题路程和＝速度和 ×相遇时间相遇时间＝路程和 ÷速度和速度和＝路程和 ÷相遇时间例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 5 米/秒，乙的速度为 3 米/秒，经过 10 秒相遇，那么 A、B 两地的距离就是（5 ＋ 3）× 10 ＝ 80 米。
2、追及问题路程差＝速度差 ×追及时间追及时间＝路程差 ÷速度差速度差＝路程差 ÷追及时间比如：甲在乙后面 20 米，甲的速度为 7 米/秒，乙的速度为 5 米/秒，那么甲追上乙所需的时间就是 20 ÷（7 5）＝ 10 秒。
3、流水行船问题顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速水速船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷ 2水速＝（顺水速度逆水速度）÷ 2假设一艘船在静水中的速度为 15 千米/小时，水流速度为 3 千米/小时，那么顺水速度就是 15 ＋ 3 ＝ 18 千米/小时，逆水速度就是 15 3 ＝12 千米/小时。
二、工程问题工作总量＝工作效率 ×工作时间工作效率＝工作总量 ÷工作时间工作时间＝工作总量 ÷工作效率例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，那么两人合作完成这项工程需要的时间就是 1 ÷（1/10 ＋ 1/15）＝6 天。
三、利润问题利润＝售价成本利润率＝利润 ÷成本 × 100%售价＝成本 ×（1 ＋利润率）成本＝售价 ÷（1 ＋利润率）比如：一件商品的成本是 80 元，售价是 100 元，那么利润就是 10080 ＝ 20 元，利润率就是 20 ÷ 80 × 100% ＝ 25%。
行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”
⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” ⾏测数量的运算⼀直是⾏测考试的重点题型，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” 容斥问题其实是⼀种在考试中⽐较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，⼀般来说解决容斥问题最常⽤的两种⽅法就是⽂⽒图法和公式法。
下⾯⼩编为⼤家讲解。
让我们先从⼀个⽣活上的⼩例⼦来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有⼀天A下班回家时在路上买了⾹蕉、苹果、菠萝三种⽔果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西⽠三种⽔果，那么家⾥现在⼀共有多少种⽔果？答案很简单，因为尽管两个⼈各买了三种⽔果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了⼀遍的菠萝减下去，⽽这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空⽩的。
在⾏测的容斥问题⾥，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式： U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的 在做题的时候只需要找到题⼲中给定的各个条件，选择直接套⽤，然后就可以求出公式中缺少的项，从⽽快速得到答案。
以⼀道题⽬为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加⾃由泳，有4名既参加仰泳⼜参加蛙泳，有6名既参加蛙泳⼜参加⾃由泳，有5名既参加仰泳⼜参加⾃由泳，有两名这三个项⽬都参加。
三个项⽬都没有参加的有多少名？ 在题⽬中，ABC即对应仰泳、蛙泳、⾃由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，⾸先，我们先把题⽬中已经给的数据填⼊公式： 18=8+10+12-4-6-2+2+x 在这个⽅程中，我们解得x=1，也就是三个项⽬都没有参加的有⼀个⼈。
⽽公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候⽂⽒图法就显得更为直观，我们⼀起来感受⼀下⽂⽒图法在题⽬中的应⽤： 按照从内向外依次填充的⽅式，在⽂⽒图中填写不同区域对应的数据，这样题⽬⽆论是求哪个部分，⼜或是其中⼀些部分的和、差关系（⽐如只会游⼀种泳的、只会游两种泳的、只会⾃由泳的⼈⽐只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。
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容斥问题
1、容斥原理的基本思想
容斥原理类型的题目的难点在于运算的时候，计数的重复、遗漏。
容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。
容斥原理类型题目我们通常通过两种方法去解决，公式法和文氏图。
文氏图是通过画图来求解。
公式法：
（1）两个集合的容斥关系（二元）
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左边的一个整圆表示为一个集合X，
右边的一个整圆表示为一个集合Y
矩形表示一个整体即所有元素
这个原图的核心部分在于中间的2个圆构成的交集，我们知道两个圆相交必然重复算了一次中间部分T:X+Y=(A+T)+(B+T)，要计算实际的2个圆中的元素数量，即必须把重复的去掉，即X+Y-T。
如果要求A 或者B 是多少，我们只需把对应X 或Y 去掉公共部分T 就可以得到。
如果要求T 是多少，我们只需把X+Y-A-B 即可得到重复的部分T。
两个圆X和Y构建的不一定是所有元素，这个时候我们一定要想办法把这些不是圆内的元素去掉，否则应用容斥原理就会出现错误，反过来，我们也可以利用这个求所有不参与圆的元素之和。
（2）三个集合的容斥关系（三元）
首先这里不考虑都不参与的元素
（1）A+B+T=至少参与一项的总人数（无重叠）
（2）A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数（含重叠）
（3）B＋3T＝至少包含2种的总人数（含重叠）
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（4）T=三项都参与的人数，也就是图形中的最中间的部分T。
（5）A=x+y+z：表示只参加了一个圆圈的人数，在图中反映的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
（6）B=a+b+c；表示仅参加了两个圆圈的人数，在图中反映的区域就是两两相交的部分总和（不含中间的T区域）。
【斜月沉沉-题目一】某代表团有756名成员，现要对A、B两议案分别分进行表决，且他们只能投赞成票或反对票。
已知赞成A议案的有476人，
赞成B议案的有294人，对A、B两议案都反对的有169人，则赞成A议案且反对B议案的有( )。
A、293 B 、182 C 、183 D、 462
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目二】旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5：3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7：5;两种活
动都喜欢的有43人。
对这两种活动都不喜欢的人数是（）。
A、18 B.27 C.28 D. 32
【斜月沉沉-正确答案】
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【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目三】某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34
人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？
A、12
B、14
C、15
D、29
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目四】某公司100名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的3/5，对乙满意的人数比甲的人数
多6人，对甲乙都不满意的占满意人数的1/3多2人，则对甲乙都满意的人数是（）
A. 36
B.26
C.48
D.42
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目五】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片， 覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、
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Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是( )。
A． 15 B． 16 C．14 D． 18
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目六】某市对52种建筑防水卷材产品质量抽检，其中有8种产品的低温度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接
缝切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？【11年国考真题】
A．37 B． 36 C．35 D． 34
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
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【斜月沉沉-题目七】甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两
人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题?
A．6 B． 5 C．4 D． 3
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目八】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对
了78题。
问三人都做对的题目至少有几题？
A．4 B． 8 C．12 D．16
3人都做对的最多有几题？
A．68 B．58 C．68 D．以上答案都不正确
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目九】某班级有30人，其中23人参加了数学兴趣小组，19人参加了科技兴趣小组，25人参加了文艺兴趣小组，每个人至少参加
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一个小组，则三个兴趣小组都参加的人数最少是多少人？
A．5 B．7 C．8 D．9
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
【斜月沉沉-题目十】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人
喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（ ）。
A．22人 B．28人 C．30人 D36人
【斜月沉沉-正确答案】
【斜月沉沉-思路点拨】
思路一：文氏图。
思路二：方程法。
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