浙教版九年级全册初三数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

浙教版九年级全册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）. 【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a ≠0）；②（a ≠0）；③（a ≠0）；④（a ≠0），其中；⑤（a ≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。

因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。

因为抛物线y=x 2有最低点，所以函数y=x 2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点诠释：二次函数y=ax 2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax 2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数图象开口方向 顶点坐标 对称轴函数变化最大（小）值y=ax 2a>0向上 （0，0） y 轴 x>0时，y 随x 增大而增大； x<0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a<0向下 （0，0） y 轴 x>0时，y 随x 增大而减小； x<0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图象两边越靠近x 轴. 要点三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()0y ax c c =+<性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y 轴y 轴函数变化 当0x >时，y 随x 的增大而增大； 当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小； 当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值 当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y ax a =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象.要点诠释：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c )，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c )．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数的概念1. (1)当m ＝________时，函数21(1)45m ym x x +=++-是二次函数?(2)当m ＝________时，函数21(1)45m y m x x +=++-是一次函数?【答案】 (1)12 ； (2)0或-1或12-. 【解析】 (1)依题意有212,10,m m +=⎧⎨+≠⎩ 解之得1,21,m m ⎧=⎪⎨⎪≠-⎩，∴ 12m =．故当12m =时，函数21(1)45m y m xx +=++-是二次函数． (2)若原函数是一次函数，则21(1)m m x++是一次项或常数项，从而可分三种情况考虑．①211,140,m m +=⎧⎨++≠⎩解得0,5,m m =⎧⎨≠-⎩即0m =．②m+1＝0，即m ＝-1． ③2m+1＝0，即12m =-． 【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m 的值．(1)题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零．(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏． 举一反三：【变式】若2(31)(1)a y a x -=-是关于x 的二次函数，则a= ．【答案】-1；提示：根据题意得：3a 2﹣1=2；解得a=±1； 又因a ﹣1≠0； 即a ≠1； ∴a=﹣1．类型二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质2. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．【答案与解析】如图所示，作B 1C 1⊥y 轴，垂足为C 1．∵ △A 0A 1B 1为等边三角形，∴ ∠A 0B 1C 1＝30°．设A 0C 1＝a ，则A 0B 1＝2a ，B 1C 1＝3a ．∴ B 1(3a ，a )， ∴ 22(3)3a a =，∴ 12a =，∴ 011A B =．作B 2C 2⊥y 轴，设A 1C 2＝m ，则A 1B 2＝2m ，C 2B 2＝3m ， ∴ 2(3,1)B m m +．又221(3)3m m +=． ∴ 2m 2-m -1＝0，(2m+1)(m -1)＝0，∴ m ＝1或12-(舍)． A 1B 2＝2．同理可求A 2B 3＝3，A 3B 4＝4，…∴ △A 2012B 2013A 2013的边长为2013．【总结升华】分别在△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…中，运用勾股定理分别表示出B 1、B 2、B 3的坐标，利用抛物线解析式223y x =建立等式，分别求出△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3的边长，然后探究规律，求出△A 2012A 2013B 2013的边长．类型三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax 2+6（a ＜0），∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上，∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，38a =-．故抛物线的函数关系式为2368y x =-+.（2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ． 将y=4.5代入2368y x =-+，得x=±2．∴P （-2，4.5），Q （-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|=224.567.5m +=所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax 2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值.举一反三：【课程名称：二次函数y=ax^2(a ≠0)与y=ax^2+c(a ≠0)的图象与性质 ： 391918 练习题2】【变式】(1)抛物线225y x =--的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2)抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． (3)抛物线2172y x =-+向 平移 个单位后，得到抛物线2132y x =--. 【答案】(1)下；y 轴；（0，-5）.(2)y=3x 2+1, y=-3x 2+1. (3)下；10.4. 根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a -2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2aay ax +=的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a -2＜0，解得a ＜2． (2)由题意得，3a -2＜0，解得23a <． (3)由题意得，1|2|2a +=-，解得152a =-，232a =-． (4)由题意得，22a a a ⎧+=⎨>⎩，解得a 1＝-2，a 2＝1，但a ＞0，∴ a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．举一反三：【课程名称： 二次函数y=ax^2(a ≠0)与y=ax^2+c(a ≠0)的图象与性质 ： 391918 练习题3】【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+ 的图象大致为（ ）．【答案】B.5. （2016•安徽模拟）在同一坐标系中，一次函数y=ax +b 与二次函数y=ax 2﹣b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结升华】先由一次函数y=ax +b 图象得到字母a 、b 的正负，再与二次函数y=ax 2﹣b 的图象相比较看是否一致． 【答案】D. 【解析】解：A 、由直线y=ax +b 的图象经过第二、三、四象限可知：a ＜0，b ＜0，二次函数y=ax 2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，A 不正确；B 、由直线y=ax +b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax 2﹣b 的图象开口向下， ∴a ＜0，B 不正确；C 、由直线y=ax +b 的图象经过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0， 二次函数y=ax 2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，C 不正确；D 、由直线y=ax +b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax 2﹣b 的图象开口向上，顶点在y 轴负半轴， ∴a ＞0，b ＞0，D 正确．故选D ．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a 、b 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．若抛物线210(2)my m x -=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23- 2．（2016•玉林）抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点； ③都以y 轴为对称轴； ④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图所示正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是( )．4．（2015•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A.B. C. D.5．在抛物线①y ＝2x 2，②235y x =，③276y x =-中．图象开口大小顺序为( )． A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞①＞③ D ．②＞③＞①6．图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x = 二、填空题7．（2015•崇明县一模）抛物线y=2x 2﹣1在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）． 8．（2016•普陀区一模）在函数①y=ax 2+bx +c ，②y=（x ﹣1）2﹣x 2，③y=5x 2﹣，④y=﹣x 2+2中，y 关于x 的二次函数是 ．（填写序号）9．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <， 则a 的取值范围是________．10．将抛物线2y x =-向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．11．如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．第11题 第12题 12．如图所示，二次函数212y x c =-+的图象经过点93,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭与x 轴交于A 、B 两点，则c 的值为 ．三、解答题13．如图所示，桥拱是抛物线形，桥拱上有一点P ，其坐标为(2，-1)，当水位在AB 位置时，水面宽12米，求水面离拱顶的高度h ．14. 已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<<0,试比较1y ，2y 的大小．15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】依题意得m2-10＝2且2+m＜0，即m＝±23，且m＜-2，所以23m=-．2.【答案】B．【解析】抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；故选：B．3．【答案】D；【解析】依题意知所有阴影部分面积的和恰好等于一个小正方形的面积，即y＝x2，又0＜x≤10，画出y＝x2的图象不难得到D答案．4.【答案】D；【解析】A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D、正确．故选：D．5．【答案】D；【解析】∵73|2|65>->，∴22y x=图象开口最小，235y x=图象开口最大．6．【答案】C；【解析】依题意知点(2，-2)在y＝ax2图象上，所以-2＝a×22，12a=-．所以212y x=-．二、填空题7．【答案】上升；【解析】∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．8.【答案】④．【解析】①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，9．【答案】a＜0 ；【解析】∵ x 2＜x 1＜0，y 2＜y 1，所以y 随x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下． 10．【答案】22y x =--； 【解析】根据上加下减. 11．【答案】4 ；【解析】 由抛物线对称性知ODBG ODEF S S =四边形四边形．因此1064ABG BCD S S +=-=△△． 12．【答案】6c =．【解析】∵ 抛物线经过点93,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 219(3)22c -⨯-+=． ∴ 6c =． 三、解答题13.【答案与解析】依题意设抛物线为y ＝ax 2，将x ＝2，y ＝-1代入得14a =-，∴ 214y x =-， 根据题意，AB ＝12，由抛物线的对称性知B(6，-h)．将x ＝6，y ＝-h 代入214y x =-，得h ＝9． 答：水面离拱顶的高度为9米. 14.【答案与解析】 （1）∵ 1y x =+，∴ 令x=0，则y=1，∴A(0,1)，即抛物线C 的顶点坐标为(0,1) ，又抛物线C 是由抛物线y=-2x 2平移得到的，∴ 抛物线C 的解析式为y=-2x 2+1.（2）由（1）知，抛物线C 的对称轴为直线x=0．∵ 20a =-<，∴ 当x<0时，y 随x 的增大而增大，又1212x x -<<<0，∴ y 1<y 2． 15.【答案与解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知2()y a x h k =-+是由抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； (3)观察2()y a x h k =-+的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是21(1)22y x =--+， ∴ 12a =-，1h =，2k =． (2)函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．(3)观察21(1)22y x =--+的图象知，当1x <时，y 随x 的增大而增大； 当1x >时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线212y x =-平移后的抛物线的解析式，再对比2()y a x h k =-+得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【课程名称：《二次函数》专题 第二讲：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质： 391919 练习3】【变式】把二次函数2()y a x h k =-+的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12y x =-+-的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数2()y a x h k =-+的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）1,1,52a h k =-==-.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.2. （2016•杭州校级二模）二次函数y=（x ﹣1）2+1，当2≤y ＜5时，相应x 的取值范围为 ．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x 的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x 的取值范围．【答案】﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3． 【解析】解：当y=2时，（x ﹣1）2+1=2， 解得x=0或x=2， 当y=5时，（x ﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x 的值，再结合图象确定x 的取值范围．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用 3.已知：二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∴y=（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∴（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴x 1=1，x 2=3，∴与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线213(1)y x =+的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式2y kx b =+； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有12y y >? 【答案与解析】(1)由213(1)y x =+知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得3y =∴ 3)A ．由待定系数法可求出3b =3k =∴ 233y x(2)∵ 抛物线213(1)y x =+的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知(3)B -． ∴ 12332ABC S =⨯=△． (3)根据图象知0x >或1x <-时，有12y y >．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．0k >，0n ＜第3题 第5题4．将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ．3x > B ．3x < C ．1x > D ．1x <6．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l二、填空题 7．（2015•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．（2016•温州模拟）已知二次函数y=（x ﹣1）2+4，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是 ．9．如果把抛物线2)(b x a y +=向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线3)2(212-+=x y ，则求a 的值为 ；b 的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数23(1)2y x =-+中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ． 12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题13．（2016•东西湖区期中）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．14.已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求△ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当1x =时，二次函数2(1)2y x =-+有最小值为2．3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知h m =，且由图象知k n >，0k >，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线1x =，因此当1x >时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∴开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）． 8.【答案】x ≤1．【解析】∵二次函数的解析式的二次项系数是，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），∴该二次函数图象在[﹣∞1m ]上是减函数，即y 随x 的增大而减小； 即：当x ≤1时，y 随x 的增大而减小. 9．【答案】 12a =，5b =； 【解析】抛物线2)(b x a y +=向上平移－３个单位得到2()3y a x b =+-，再向右平移３个单位长度得到2(3)3y a x b =+--，即2(3)3y a x b =+--与3)2(212-+=x y 相同，故12a =，5b =.10．【答案】2(1)2y x =++ 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即0a >，所以2(1)2y x =++或22(1)2y x =++等均可．11．【答案】50；5.【解析】由于函数23(1)2y x =-+的顶点坐标为(1，2)，30a =>，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为23(21)25y =⨯-+=最小．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】 解：如图：，①向左平移两个单位得到②，②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-14x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=22AM DN AM AF AD ++⨯=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x 2）+x=-12x 2+x+2． 即所求关系式为S=-12x 2+x+2．（2）S=-12x 2+x+2=-12（x 2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是52．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向 向上 向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性在对称轴的左侧，即当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值 抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有。