1.4.全称量词与存在量词的否定

例4、写出下列命题的否定：
（1）x R,3x x;
x∈R，3x＝x; （2） x∈R，sinx＝1；
x R,sin x 1;
（3） x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
x {2, 1,0,1, 2}, x 2 2.
写(1)出p：下方列程命x题2-x的-6非=0．的解是x=-2．问题讨论
3）p:每一 个素都不含三个正因子。
例3. 写出下列命题 的否定，并判其真假： 1）p:任意 两个 等 边三角形都是相似的；
2）p:x R,x2+2x+2=0； 3）空集是任何集合的真子集.
1）p:存在两个等边三角形，它们不相似；假命题 2）p:x R,x2+2x+2 0，p是真命题 ； 3）空集 不是某些集合的真子集.
练习：
(1)有一个向量a，a的方向不能确定． (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函 数又是偶函数． (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0 都有解．
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；
2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0
1. p q 的否定：p q 2. p q 的否定：p q
3. p 的否定： p
演练：
写出由p、q构成的命题p或q、p且q形 式的命题,并写出命题的否定：
(1) p: 是无理数; q: 是有理数.
(2) p:等腰三角形的两个底角相等; q:等腰三角形底边上的高和底 边上的中线重合.
它的否定 p : x M,p(x)
1）¬p：存在一个能 被3整除的整数不是奇数。
2）¬p：存在一个四边形，它的四个顶点不
共圆。
3）¬p：x0 Z,
x2 0
的个位数字等于3.
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数； x M,p(x)
2)某些平行四边形是菱形；

3)x R, x2 1 0 x M,p(x)
(2)q：四条边相等的四边形是正方形． (3)r：奇数是质数． 解答(1)¬p：方程x2-x-6=0的解不是x=-2． (2)¬q：四条边相等的四边形不是正方形． (3)¬r：奇数不是质数． 以上解答是否错误，请说明理由．
注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不 是“是”与“不是”的简单 演绎。因注意命 题中
巩固训练
小结
含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有： “x M , p(x)”的否定为“x M , p(x)”, “x M , p(x)”的否定为“x M , p(x)”。
结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
课外练习:已知命题 p: a，b，c （0,+∞），三个数

否定:
x M,p(x)
1)存在一个矩形不是平行四边形；
2)存在一个素数不是奇数； 3)x R, x2 2x 1 0
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
要点归纳
从形式看，全称命题的否定是特称命题。 含有一个量词的全称命题的否定,有下 面的结论
全称命题 p :x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
¬p : “存在平行四边形不是矩形” 真命题
命题的否定的真值与原来的命题 相反 . 而否命题的真值与原命题 无关 .
例1写出下列全称命题的否定：
1）p:所有能被3整除的整数都是奇数； 2）p:每一个四边形的四个顶点公圆；
3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。
全称命题 p :x M,p(x)
全称命题的否定是特称命题
问题1
设p:“平行四边形是矩形”，试问：
(1)命题p是真命题还是假命题 (2)请写出命题p的否定形式 (3)判断¬p的真假
你能否用学过的“全称量词和存在量词” 来解决上述问题
p:“平行四边形是矩形”
可以在“平行四边形是矩形”的前面 加上全称量词，变为 p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5、
已知f (x) x2 2x 5 1)是否存在实数m，使不等式m f (x) f 0 对于任意x R恒成立，并说明理由 2）若存在一个实数x0，使不等式m f (x0 ) f 0 成立，求实数m的取值范围
1)m f 4 2)m f 4
特称命题的否定是全称命题
例2 写出下列特称 命题的否定：
1）p:x R,x2 +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
3）p:有一个素数含有三个正因子。
特称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x M,p(x)
1）p:x R,x2 +2x+3 0； 2）p:所有的三角形都不是等边三角形；
2.如何判断全称命题和特称命题真假？
练习：
判断下列语句是不是命题，如果是， 说明其是全称命题 还是特称命题,并用符 号 ""或"" 来表示
(1)有一个向量a，a的方向不能确定． (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇 函数又是偶函数． (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0 都有解． (4)平面外的所有直线中，有一条直线 和这个平面垂直吗?
1.3.2含有一个量词 的命题的否定
复习回顾
全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立”
符号简记为： x∈M, p(x)
含有全称量词的命题，叫做全称命题 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”

符号简记为： x∈R ,p(x)
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意 一个” “一切” “每一个” “任 给”“所有的”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少 一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
问题讨论
问题:命题 p“面积相等的三角形是全等三角 形”的否定形式p 为“面积相等的三角形不 是全等三角形”对吗？若不对，请写出p.
命题p可改写为：“任意两个面积相等的 三角形全等。”
答：它的否定应为 “存在两个面积相等的三 角形不全等。”
例 试写出下列命题的否定形式: ⑴每一个素数都是奇数; 解:否定:存在一个素数不是奇数.
巩固训练
1、下列命题中假命题的个数是（ C ）
(1)2x+1是整数(x R);(2)对所有的x
R,x>3; (3)对任意一个x Z, 2x2 1 为奇数。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2、已知p: x2
1 x2
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,写出非p对应的x取值。
x 【1，2】
3、写出命题“若x f 3,则x f 5 ”的否定
⑵菱形是正方形;
解:原命题可改写为:所有菱形都是正方形; ∴这个命题的否定为:存在一个菱形不是正方形.
⑶ x R , x2 1 0 ;
解:否定: x R , x2 1≥ 0 .
⑷某些平行四边形是菱形.
解:每一个平行四边形都不是菱形.
先改写为全称命题或特称命题再写它的否定.
探究: 有逻辑联结词的命题如何否定?
∴这与（1）矛盾,由此可知p 是假命题,∴p 是真命题
【思考】写出下面命题的否定.
（1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解；
（2）若a，b是偶数，则a+b也是偶 数.
【分析】 （1） x∈R，使|x-1|+|x2|<3.
（2） a，b ∈R，且a，b为偶数， 有a+b为偶数.
4、以下三个命题：
(1) R,在[, ]上函数y sin x都能取到最大值1；
(2)若 R且 0，f (x ) f (x)对x R成立，
则f (x)为周期函数；
(3)x



7
4
,

3
4
,
使 sin
x

cos
x.
其中正确的命题个数为（ B ）
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了 全称命题.
含有一个量词的特称命题的否定,有下面 的结论
特称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x M,p(x)
a 1 ， b 1 ， c 1 中至少有一个不小于 2 .试写出
b
c
a
p,并证明它们的真假.
解:p: a,b,c(0,+∞),三个数 a1,b1, c1全小于 2 . bc a
若p 是真命题,则 a,b,c(0,+∞), a1+b1+c1<6（1） bc a
∵ a1+b1+ c1= a1b1c1≥2 a12 b12 c1 6 b c a abc a bc