广东省海珠区等四区2015届高三联考数学(理) Word版试卷及答案

-海珠区2014学年高三综合测试（二）数学（理科）2014.11本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为A ．(){}1,3-B ．()3,1-C ．{}3,1- D ．(){}3,1-2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为 A. 4x p=B. 8x p =C. 8x p =-D. 4x p =-4．已知向量,a b 的夹角为120，2a =，且8a b ⋅=-，则b =A ．6B ．7C ．8D ．95．函数ln y x =与y =-6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为A ．0BCD ．7．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b-=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ， 且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y x =C ．y x =D ．y x = 8．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为A ．8B ．C ．2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，91028a a +=，则该数列前10项和10S = ． 10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 11．不等式13x x +-≤的解集是 ．12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）． 13．给出下列四个命题：①已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξP ； ②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-；④命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题．其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,已知4A π=，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17．（本小题满分12分）甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记X 为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且3BD PD ==,22AC AD ==，（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足12()n n nS a n S N *++= ． （1）求123,,S S S ； （2）求n S ；（3）设()221n n b n a =+，求证：对任意正整数n ，有121n b b b +++<L ．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点,M N ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数1(0)()e (0)x x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，()()F x f x kx =+（k ∈R ）． （1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．海珠区2014学高三综合测试（二）理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．………………1分 ∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=- ………………2分 33coscos sin sin 44B B ππ=+ ………………4分432525=-+ ………………5分10=-． ………………6分 （2）由（1）可得sin C === ………………7分 由正弦定理得sin sin a cA C=2c=， ………………8分………………12分17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分 所以元件甲、乙为正品的频率分别为5410080=，4310075=. ………………3分 根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为45，34. ………………4分 （2）随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30， ………………5分 则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=． ………………9分 所以X 的分布列为：10分X 的数学期望为EX 3311150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.……………12分(3,设平面PBA CPB 的法向量分别为0=22330y z ⎨-=⎪⎩，解得 ⎨⎪⎩(3,1,112123cos ,n n n n =∴二面角C PB A --的余弦值为19．解：（1）当1n =时，11112S S S ++=，∴112S =-， ……………1分 当2n ³时，112n n n n S S S S -++=-，∴112n n S S -=-+， ……………2分∴2323,34S S =-=-． ……………4分 (2)由（1）猜想：1n nS n =-+. ……………5分 下面用数学归纳法证明：当1n =，112S =-显然成立； 假设当n k =时命题成立，即1k kS k =-+，那么当1n k =+时， 11112221k k k S k S k k ++=-=-=-++-+， 即1n k =+时命题也成立， 综上可知，1n nS n =-+． ……………9分 （3）由（2）知()1121n n n a S S n n =++=-+， ……………10分∴()()()()()2222222221211121111n n n n n b n a n n n n n n +-+=+===-+++， ………11分∴()()12222222211111111122311n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L ， …13分∴121n b b b +++<L ． ……………14分 20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率11y k x -=，直线BP 的斜率21y k x+=（0x ≠）， ………2分 又1214k k ⨯=-，∴1114y y x x -+⨯=-， ………………3分 即()22104x y x +=≠． ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得132x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ………………7分 由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………8分 由1214k k ⨯=-，∴11213134MN k k k k =-=+≥=，………9分当且仅当1134k k =，即1k =时，等号成立， ∴线段MN长的最小值 ………………10分 （3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN =，即()()1231220x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………11分 又1214k k ⨯=-， 故以MN 为直径的圆的方程为：()2211342120x k x y k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ………………12分令0x =，得()2212y +=，解得2y =-± ………………13分 ∴以MN为直径的圆经过定点(0,2-+或(0,2--． ………………14分21.解:（1）当1=k 时，1(0)()e (0)x x x F x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤， ………………1分当0>x 时，1()2=+F x x x≥，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． ………………3分所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． ………………4分（2）由1(0)()e (0)x kx x F x x kx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤，得21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， ………………5分①当0=k 时，21(0)()e (0)x x F x x x ⎧->⎪'=⎨⎪⎩≤，当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分②当0>k 时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分当0>x 时，令21()0F x k x '=-=，解得x k =±，舍去负值，得x k=，当0x <<时，()0F x '<，()F x在区间上单调递减， ………………9分当x >时，'()0>F x ，()F x在区间)+∞上单调递增． ………………10分 ③当0k <时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0>x 时，21()0F x k x'=-<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和()k +∞上单调递增，在(0,)k上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。