一次函数模型的方案设计题
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
《12.4一次函数模型的应用》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级上册
《一次函数模型的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一次函数模型的应用学习，使学生能够：1. 理解一次函数的概念及其图像特征；2. 掌握一次函数在实际问题中的建模与应用；3. 提升解决实际问题的能力和数学思维。
二、作业内容本次作业内容主要围绕一次函数模型的应用展开，具体包括以下部分：1. 基础知识点复习：要求学生回顾一次函数的概念、性质及图像，理解自变量和因变量之间的关系。
2. 建模实践：选择生活中常见的实际问题，如路程、速度与时间的关系，水费、用电量与费用等，引导学生建立一次函数模型，并解释模型的合理性。
3. 函数图像绘制：通过具体数值，绘制一次函数的图像，并观察图像特征，加深对一次函数性质的理解。
4. 实际问题解决：设计几个与一次函数相关的实际问题，要求学生运用所学知识进行分析和解答。
5. 拓展延伸：提供一些更具挑战性的问题，鼓励学生进行思考和探索，培养其创新思维。
三、作业要求为保证作业的质量和效果，提出以下要求：1. 按时完成：学生需在规定时间内完成作业，以保证学习进度。
2. 独立完成：作业需学生独立思考完成，不得抄袭他人答案。
3. 准确规范：答案需准确无误，步骤需规范完整，体现解题思路。
4. 清晰整洁：书写需清晰易读，作业整洁，不乱涂乱画。
5. 及时反馈：学生需对自身解题过程进行反思，总结经验教训，为下一步学习做好准备。
四、作业评价教师将对作业进行批改和评价，主要从以下几个方面进行：1. 知识掌握情况：评价学生对一次函数概念及性质的掌握程度。
2. 应用能力：评价学生将一次函数模型应用于实际问题中的能力。
3. 解题思路：评价学生的解题思路是否清晰、规范。
4. 作业态度：评价学生的作业态度是否认真、整洁。
五、作业反馈作业反馈是本次作业设计的重要环节，教师将根据学生的作业情况，进行以下反馈：1. 对全体学生的共性问题进行讲解和指导，帮助学生查漏补缺。
2. 对个别学生的问题进行单独辅导和解答，帮助其解决问题。
一次函数与方案设计问题含答案
《一次函数与方案设计问题》试题精选及解析一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有着密切联系，在实际生活、生产中有广泛的应用，尤其是利用一次函数的增减性及其有关的知识可以为某些经济活动中的方案设计和选择做出最佳的决策．下面以近几年来全国各地的中考题为例说明一次函数在方案设计中的重大作用．一、生产方案的设计例1（镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；（２）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（３）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？分析：（１）0.5x，0.3（5－x）；（２）y＝0.5x＋0.3（5－x）＝0.2x＋1.5，首先，1.8≤x≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用t天生产Ａ型，则（８－t）天生产Ｂ型，依题意，得0.6t＋0.8（８－t）＝５，解得t＝７，故x最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8（万只）≤x≤4.2（万只）；（３）○1要使y取得最大值，由于y＝0.2x＋1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；○2若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．二、营销方案的设计例２（湖北）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y．（１）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？分析：（１）由已知，得x应满足60≤x≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30x份，销售（20x＋60×10）份，可得利润0.3（20x＋60×10）＝6x＋180（元）；退回报社10（x－60）份，亏本0.5×10（x －60）＝5x －300（元），故所获利润为y ＝（6x ＋180）－（5x －300）＝x ＋480，即y ＝x ＋480．自变量x 的取值范围是60≤x ≤100，且x 为整数．（２）因为y 是x 的一次函数，且y 随x 增大而增大，故当x 取最大值100时，y 最大值为100＋480＝580（元）．三、优惠方案的设计例３（南通市） 某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）； （２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为s 千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为x 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6x ＋1500）元，乙公司为（8x ＋1000）元，丙公司为（10x ＋700）元，依题意，得（8x ＋1000）＋（10x ＋700）＝２×（6x ＋1500），解得x ＝21632≈217（千米）； （２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为1y ，2y ，3y （单位：元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（60s ＋４）小时；乙（50s ＋２）小时；丙（100s ＋３）小时．从而1y ＝6s ＋1500＋（60s ＋４）×300＝11s ＋2700， 2y ＝8s ＋1000＋（50s ＋２）×300＝14s ＋1600， 3y ＝10ｓ＋700＋（100s ＋３）×300＝13ｓ＋1600， 现在要选择费用最少的公司，关键是比较1y ，2y ，3y 的大小．∵s ＞０，∴2y ＞3y 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较1y 和3y 的大小，而1y 与3y 的大小与Ａ，Ｂ两市的距离s 的大小有关，要一一进行比较．当1y ＞3y 时，11s ＋2700＞13s ＋1600，解得s ＜550，此时表明：当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；当1y ＝3y 时，s ＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样； 当1y ＜3y 时，s ＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．四．调运方案的设计例４ Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地x 吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费y （元）也只与x （吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立y 与x 之间的函数关系．解：设从Ａ城运往x 吨到Ｃ地，所需总运费为y 元，则Ａ城余下的（200－x ）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－x ）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－x ）吨，Ｂ城余下的300－（220－x ）＝15（220－x ）＋22（80＋x ），即y ＝２x ＋10060，因为y 随x 增大而增大，故当x 取最小值时，y 的值最小．而０≤x ≤200，故当x ＝０时，y 最小值＝10060（元）．因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．练习题：１．(河北)某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A ，B 两种产品获总利润是y (元)，其中一种的生产件数是x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?２． 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?３． 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元．由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x (万元)、y (万元)、z (万元)( x,y,z都是整数)．(1) 请用含x的代数式分别表示y和z；(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C满足C1919.7，问这个商场应怎样分配日≤≤营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?４．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．５．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元．设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y (元)．(1)写出y (元)关于x (套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?６．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙(1)若用8辆?(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?4．有批货物，若年初出售可获利2000元，然后将本利一起存入银行．银行利息为10%，若年末出售，可获利2620元，但要支付120元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?。
数学人教版八年级下册一次函数——方案问题
课题学习选择方案类型一: 利用函数值的大小选择方案题型1 选择销售方案例1 、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
题型2 选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
题型4 选择生产方案问题例5、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
一次函数方案设计专题练习
25．本题12分某汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A 、B 两地的旅游公司，其中20辆派往A 地，10辆派往B 地，两地旅游公司（1）设派往A 地的乙型汽车x 辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y （元），求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案． 25．解：（1）y ＝1000(20－x )＋900x ＋800x ＋600(10－x )＝26000＋100x （0≤x ≤10）………………………………………4分（2）依题意得：2680010026000≥+x ，又因为100≤≤x ………………6分 ∴108≤≤x ，因为x 是整数 ∴x =8，9，10，方案有3种…………7分方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆； 方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆； 方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆。
......8分 （3）∵x y 10026000+=是一次函数，且100=k ﹥0，..................9分 ∴y 随x 的增大而增大，∴当x =10时，这30辆车每天获得的租金最多...11分 ∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆 (12)1、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%． （1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？ （2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？ （3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用解：（1）设购买甲种树苗x 株，乙种树苗y 株，则列方程组⎩⎨⎧x +y =80024x +30y =21000解得：⎩⎨⎧x =500y =300，答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．（2）设购买甲种树苗z 株，乙种树苗（800－z ）株，则列不等式85%＋90%（800－z ）≥88%×800 解得：z ≤320（3）设甲种树苗m 株，购买树苗的费用为W 元，则W ＝24m ＋30（800－m ）＝－6m ＋2400 ∵－6＜0∴W 随m 的增大而减小， ∵0＜m ≤320∴当m ＝320时，W 有最小值 W 最小值＝24000－6×320＝22080元答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元．2、（2011山东日照，22，9分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：y （元）． （1）求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【答案】 (1)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台,调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台， 则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10)，即y =20x +16800．∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥,010,040,070,0x x x x∴10≤x ≤40． ∴y =20x +168009 (10≤x ≤40);(2)按题意知：y =（200-a ）x +170(70-x )+160(40-x )+150（x -10）， 即y =（20-a ）x +16800． ∵200-a ＞170，∴a ＜30．当0＜a ＜20时，x =40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a =20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同；当20＜a ＜30时，x =10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台；3、9. （2011福建泉州，24，9分）某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴。
初二八年级数学下册《解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题》(附答案演示)【人教版适用】
解：(2)∵B种树苗的数量不超过
35棵，但不少于A种树苗的数量， ∴ ∴22.5≤x≤35.
设总费用为W元，则W＝6.4x＋
32＋7(45－x)＝－0.6x＋347. ∵k＝－0.6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种 树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝ －0.6×35＋347＝326(元)．
5．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向 而行，甲先出发，图中l1，l2
表示两人离A地的距离s(km)
与时间t(h)的关系，请结合图 象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是
(填l1
或l2)；甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h；
解析：由题意可知，乙的函数
kg将亏损6元，以x(单位：kg，2000≤x≤3000)表示A
酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售
这批水果所获得的利润． (1)求y关于x的函数表达式；
解：(1)当2000≤x≤2600时，y＝10x－6(2600－x)＝16x
－15600；当2600＜x≤3000时，y＝2600×10＝26000，
பைடு நூலகம்
四、分类讨论思想
4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两 “龙虾节”期间，甲、乙两家商店 都让利酬宾，付款金额y甲，y乙
家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，
(单位：元)与原价x(单位：元)之
间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式； 解：(1)y甲＝0.8x，y乙＝
∴y＝
(2)当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店
建立函数模型,解决实际问题
建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。
一次函数模型的实际应用
一次函数模型的实际应用1.购买方案问题(中考·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/m2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/m2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．跟踪训练1．(中考·孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．(1)求A种，B种树木每棵各多少元．(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.2．(中考·包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式．(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？(3)当所买商品为5件时，选择哪个商场更优惠？请说明理由．2.利润方案问题(中考·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？跟踪训练“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2017年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份2与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.(1)求今年A型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答)；(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？3.租车方案问题(中考·广安)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？(2)现安排其中的10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y 元，试求出y与x的函数表达式．(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用．跟踪训练(中考·甘孜州)某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A ，B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：经测算，租用A ，B 型客车共13辆较为合理，设租用A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题：(1)用含x 的代数式填写下表：(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？4.合理决策问题现从A ，B 两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A ，B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 蔬菜市场到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨．(1)设A 蔬菜市场向甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：(2)设总运费为W 元，请写出W 与x 的函数关系式；(3)怎样调运蔬菜才能使总运费最少？跟踪训练(中考·阜新)随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：(1)请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？(2)如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．(注：其他费用不计，利润＝售价－进价)5.选择方案问题(中考·黄冈)我市某风景区门票价格 如图所示．黄冈赤壁旅游公司有甲、 乙两个旅行团队，计划在五一小黄金 周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元．(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；(3)五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a 元；人数超过100人时，每张门票降价2a 元．在(2)的条件下，若甲、乙两个旅行团队五一小黄金周之后去游玩，最多可节约3 400元，求a 的值．跟踪训练某区人畜饮用水紧张．每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨．从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下表：(1)若某天调运水的总运费为26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？(2)设从甲厂调运饮用水x 吨，总运费为W 元．试写出W 关于x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？。
构造一次函数模型解方案设计应用题
甲公 司 乙公 司 丙公 司 ６ ０ ５ ０ １ｏ ０ ６ ８ １ ０ ４ ２ ３ １０ ５ｏ １０ Ｏ０ ７ｏ ０
解 答下列 问题 ： （ 若乙 １ ） 丙两家公 司的包装与装卸及运输 的费用总和恰好是 甲公 司的２ ， 、两市的 倍 求Ａ Ｂ
距离（ 精确到个位） ； （ 如果Ａ、两市 的距离为ｓ ２ ） 曰 千米 ， 且这批水 果在包装与装卸以及运输过程中的损耗 为３０ ０ 元／、 那么要使公 司支付的总费用（ ／ 时， Ｊ 包装与装 卸费用 、 运输 费用及损耗三项之 和） 最小 ， 应选 择哪家运输公司？ 解析： 这是一道结合实际设计的应用题． 其 背景是我们熟悉的运输问题 ， 所涉及的数据用 表格给ｍ， 同学们只要仔细看懂表格 ， 运用所收 集的数据建立一次函数模型，再根据一次函数 的增减性及函数 自变量的取值范围， 就能够解
ｙｚ ８＋００ ［ ＋） ３０ １ｓ１０， ＝ｓ１０＋ ｓ ２ ］× ０＝４＋６０
：Ｏ＋ ０ ｌｓ７ ｏ
加工的水产品全部出售 ， 那么如何安排生产可 使一天所获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 解析： 本题要求最大利润， 只要建立起一次 ３ × ０＝３＋ ６０－ ｏ． ， ） ３ｏ ｌ １０・ ］ ｓ ・ ，） ．２ ・ 函数模型， 根据增减性即可求解．
时’ 一， ＿ ｌ Ｊ ２・＝ ＋， ｝ ． ＝ ．
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一次函数与方案设计问题
一次函数与方案设计问题一、一次函数的最值一次函数y=kx+b 在n ≤x ≤m 时可取得最值。
何时取得最大值，何时取得最小值，与比例系数k 的符号有关，可分下面几种情况。
○1当k ＞0时，⎩⎨⎧==时，取得最小值时，取得最大值n x m x如：y=2x-6（2≤x ≤5）当x= 时取得最大值 ，当x= 时取得最小值 .○2当k ＜0时，⎩⎨⎧==时，取得最小值时，取得最大值m x n x 如：y=-2x-6（2≤x ≤5）当x= 时取得最大值 ，当x= 时取得最小值 . 二、最优化问题的解法(一)调运方案设计在商品经济领域，人们要考虑降低生产成本和追求最大利润，有时需要考虑合理调配人力和物力来达到这一目的，下面就如何减少运费和分配劳动力来达到最优化的问题来领会一次函数的作用。
例1、A 市和B 市分别库存机器12台和6台，现在决定支援给C 县10台，D 县8台。
已知从A 市调走一台机器到C 县、D 县的运费分别为400元和800元，从B 市调走一台机器到C 县、D 县的运费分别为300元和500元。
指出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？分析：设 表○1调运机器台数 收地C 县收地D 县总计 运地A 市 运地B 市 总计表○2运费 收地C 县收地D 县运地A 市 运地B 市由上表可以看出：总运费 化简得要想运输方案能够实施，调运机器台数解决这类问题可分三步：1、用表格分析数量关系，列出一次函数解析式。
2、根据实际数据都是非负数列不等式组求出自变量的取值范围。
3、写出最大值或最小值。
练习：1、现从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地的运费为每吨50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B到甲地的运费为每吨60元/吨，到乙地的运费为45元/吨。
⑴、设从A到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表．甲地乙地总计A xB总计⑵、总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式．⑶、怎样调运蔬菜才能使总运费最少、（二）生产方案设计例2、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。
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一次函数模型的方案设计题
在实际问题中常会运用函数知识建立函数模型,即先列出符合题意的函数关系式,然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及其图象求解.其中建立函数关系式是关键.
下面所选的题目是建立一次函数模型,利用一次函数的性质解决实际问题中
的最佳方案问题.
例1. 为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价的关系如下表:
（1）该商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个; （2）设商店所获利润为y （元）,购进篮球的个数为x （个）,请写出y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）;
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求最大利润是多少. 解:（1）设购进篮球m 个,则购进排球()m -60个,由题意可得:
4200)60(5080=-+m m
解之得:40=m ∴204060=-（个） 答:购进篮球40个,排球20个;
（这里设为m ,而不是设为x ,是为了不与第（2）问起冲突） （2）()()()x x y --+-=60507080105 ∴12005+=x y ; （3）由题意可知:
()()⎩
⎨
⎧≥-+≤-+14006020254300
605080x x x x 解之得:40≤x ≤3
1
43
∵x 为正整数 （这是实际问题,必须说明x 的属性） ∴=x 40或41=x 或42=x 或43=x ∴共有四种进货方案,如下表:
由（2）,∵05>=k ∴y 随x 的增大而增大
∴当43=x 时,y 取得最大值为14151200435=+⨯=y （元） 答:最大利润为1415元.
说明:这里借助于一次函数的性质快速获得了最大利润的条件和最大利润.
例 2. 目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:
（1）如何进货,进货款恰好为46000元?
（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?
解:（1）设商场购进甲型节能灯x 只,则购进乙型节能灯()x -1200只,由题意可得:
()4600012004525=-+x x
解之得:400=x
8004001200=-
答:商场应购进甲型节能灯400只,乙型节能灯800只,进货款恰好为46000元; （2）设商场购进甲型节能灯m 只,则购进乙型节能灯()m -1200只,商场获利为y 元,则有:
()()()m m y --+-=120045602530
整理得:1800010+-=m y
∵商场销售完节能灯时获利不超过进货价的30% ∴1800010+-m ≤()[]%3012004525⨯-+m m 解之得:m ≥450
∵1800010+-=m y ,010<-=k ∴y 随x 的增大而减小
∴当450=m 时,获利最多,为135001800045010=+⨯-=y
7504501200=-
答:商场购进甲型节能灯450只,乙型节能灯750只时获利最多,且增大利润为13500元.
例3. 深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛场A ,B 两馆,其中运往A 馆18台,运往B 馆14台.运往A ,B 两馆的运费如下表:
（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台,请填写下表,并求出总运费y （元）与x （台）的函数关系式;
（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案;
（3）当x 为多少时,总运费最少?最小值是多少? 解:（1）如下表所示:
由题意可得:
()()()36001750018700800-+-+-+=x x x x y
整理得:19300200+=x y （3≤x ≤17） （2）∵要使总运费不高于20200元 ∴19300200+x ≤20200 解之得:x ≤
2
9
∵3≤x ≤17,且x 为正整数 ∴3≤x ≤
2
9 ∴3=x 或4=x
∴该公司的调配方案共有2种,具体如下: 方案一:
方案二:
（3）∵19300200+=x y ,0200>=k ∴y 随x 的增大而增大
∴当3=x 时,总运费最少,最小值为19900193003200=+⨯=y 答:当3=x 时,总运费最少,最小值为19900元.
例4. 某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ,装运乙种土特产的车辆数为y ,求y 与x 之间的函数关系式;
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;
（3）若要使此次销售获利最大,应采用（2）中哪种安排方案?并求出最大利润. 解:（1）由题意可得:
()12020568=--++y x y x
整理得:x y 320-=;
（2）∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆
∴()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥---≥-≥3320203
3203x x x x 解之得:3≤x ≤3
2
5
∵x 为正整数
∴x 可以取3 , 4 , 5
∴车辆的安排方案有三种,如下表:
（3）设此次销售获利为W 元,则有:
()()[]19209210320205163206128+-=⨯---+⨯-+⨯=x x x x x W
∵092<-=k ∴W 随x 的增大而减小
∴当3=x 时,16441920392=+⨯-=最大值W （百元）=16. 44（万元）
∴要使此次销售获利最大,应采用（2）中点的方案一,获得的最大利润为16. 44万元.
总结
做一件事情,有时有不同的实施方案.比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的.解决这类问题时,要先弄清题意,根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型,求出所求未知数的取值范围,然后结合实际问题确定所有的可行方案.此类题考查应用数学知识解决实际问题的能力,是各地市中考的热点.
习题. 某商场筹集资金12. 8万元,一次性购进空调、彩电共30台,根据市场的需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1. 5万元,其中空调、彩电的进价和售价见下表:
设商场计划购进空调x 台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y 元. （1）试写出y 关于x 的函数关系式; （2）商场有哪几种进货方案可供选择?
（3）选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?。