人教版编号 9 新选修2-2 1.1.2 导数的概念导学案
高中数学 1.1.2导数的概念学案 新人教A版选修2-2
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.1.2导数的概念学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1.了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度；2. 理解导数(瞬时变化率)的概念。
【重点难点】导数的概念【学习过程】一、课前预习：（阅读课本第4页到第5页，填写并思考）问题1试述什么是瞬时速度和平均速度，它们有何区别？问题2 从物理角度看，我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为s =f (t )，则物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即ts v x ∆∆=→∆0lim =___________________ 在上一节高台跳水中，运动员相对水面的高度与时间满足()105.69.42++-=t t t h 则运动员在t =2时的瞬时速度可以表示为：_______________________=__________思考：1、运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？2、函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率怎样表示？问题3一般地，对于函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0limx y x ∆→∆=∆______________________________我们称它为函数()y f x =在0x x =处的__________，记作_________或_______，即_______________________________思考：由导数的定义，可知1、高台跳水中，高度h 关于时间t 的导数就是_____________________________________；2、气球膨胀中，气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的_______________________________.。
3、实际上导数是描述任何事物的__________________。
点拔: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 二、例题解析：例1（课本例题，先自我阅读，并完成解答）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第x h 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:例2、(1)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. (2)求函数23x y =在1=x 处的导数 解：（1）（2）由例1、例2总结：求导数的步骤：（1）求增量，即：（2）算变化率，即：（3）求极限得导数，即：练习：求22+=x y 在点x =1处的导数.课后作业1、已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ）A 、)()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量B 、xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C 、)(x f 在点0x 处的导数记为y 'D 、)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '2、若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A 、6B 、18C 、54D 、813、设函数)(x f 是可以求导的，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim0=（ ） A 、)1(f ' B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 4.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.f (x 1)5.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.6、函数x x y 1+=在1=x 处的导数是______________7、求函数x y =在1=x 处的导数8、已知自由下落物体的运动方程是221gt s =，(s 的单位是m,t 的单位是s)，求： （1）物体在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度；（2）物体在0t 时的瞬时速度；（3）物体在0t =2s 到s t 1.21=这段时间内的平均速度；（4）物体在s t 2=时的瞬时速度。
人教版高中数学选修2-2学案：1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念【学习目标】1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等．【新知自学】知识回顾：1.=∆x___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=∆∆xy_______________________）． 2.平均变化率的几何意义是______________ __________________________________________ ___________________________________________.新知梳理：1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xyx 0lim_____________．2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xyx 0l i m _____________________．感悟：函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0，当x ∆趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快. 对点练习：1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ） A.)()(00x f x x f y -∆+=∆叫做函数的增量 B.()()x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆00叫做函数在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率 C.()()xx f x x f ∆-∆+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数D.()()00x x 0limx x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数2.若函数f(x)在x=x 0处存在导数，则()()hh lim000h x f x f -+→（ ）A.与0x h 都有关B.仅与0x 有关，与h 无关C.仅与h 有关，与0x 无关D.与0x 、h 都无关 3.()()=∆-∆+→∆xf x f x 33lim`______________.4.函数12)(2-=x x f 当1=x 时的导数)1(f '= ____________ .【合作探究】典例精析：例1. 已知()2x x f =，求)1(f '.变式练习：已知()2+=x x f ，则)2(f '.例2.求函数24x y =在某点的导数.变式练习：求函数3x y =在某点的的导数.规律总结利用导数定义求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y )()(00x f x x f -∆+； （2）求平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0； （3）取极限，得导数f '(x)=xy x ∆∆→∆0lim.【课堂小结】【当堂达标】1.如果质点按规律23t s =运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.812.如果某物体作运动方程为()212ts -=的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为 （ ）A.s m /8.4-B.s m /88.0-C.s m /88.0D.s m /8.43.设函数()x f 可导，则()()xf x f x ∆-∆+→∆311lim= （ ）A.()1/f B.3()1/f C.31()1/f D.()3/f4.求曲线()3x x f = 在（2，8）处的瞬时变化率.【课时作业】1.已知(),102+-=x x f 则()x f 在23=x 处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.设函数(),23+=ax x f 若(),31/=-f则a=（ ）A.-1B.21C.1D.31（保留可以删除）** 3.若2)(0='x f ，则 ()()x x x f x f x ∆∆+-→∆2lim 000= .曾子班学生可以处理4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解*（1）21)(+=x x f ；（2）x x x f -=3)(.5.设(),23+=ax x f 若3)1(=-'f ，求a 的值.6.已知f(x) =x 2，g(x)=x 3，求满足)(2)(x g x f '=+'的x 的值.不难可以前置处理赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
2019年人教版 高中数学 选修2-2 1.1.2导数的概念学案
2019年编·人教版高中数学1．1.2 导数的概念1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景． 2．了解导数概念．3．会利用导数的定义求函数的导数．基础梳理1．瞬时变化率：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0到x 1时，函数值从f (x 0)到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数：函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝想一想：(1)能否认为函数在x ＝x 0处的导数越大，其函数值的变化就越大？ (2)函数f (x )＝x 在x ＝0处的导数为_____________．(1)解析：这种说法不正确，应该说导数的绝对值越大，函数值变化越快．自测自评1．函数f (x )在x 0处可导，则 (B )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的定义可知选B.2．一物体运动满足曲线方程s ＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(D ) A ．物体5秒内共走过42米 B ．物体每5秒钟运动42米C ．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D ．物体以t ＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米 解析：由导数的物理意义知，s ′(5)＝42(m/s)表示物体在t ＝5秒时的瞬时速度．故选D.3．如果质点A 的运动方程为y ＝3t 2，则它在t ＝1时的瞬时速度为(D ) A ．6t B ．3 C ．6＋Δt D ．6解析：t ＝1的瞬时速度就是t ＝1附近的平均速度当时间变化量Δt 趋近于0的极限．基础巩固1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是(D )A ．－3B ．3C ．6D ．－62．函数f (x )＝2x在x ＝3处的导数是(C )A ．－23B ．－13C ．－29D ．－19解析：Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝23＋Δx －23＝－2·（Δx ）3（3＋Δx ），所以Δy Δx ＝－23（3＋Δx ），于是f (x )在x ＝3处的导数为f ′(3)＝＝－29.故选C.3．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是(C )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得：即s ′(1)＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8(m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s这一时刻的速率．4．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，那么在t ＝3时的瞬时速度为________． 解析：∵Δy ＝3(3＋Δt )2－3×32＝18Δt ＋3(Δt )2，∴s ′(3)＝Δs Δt＝ (18＋3Δt )＝18.答案：18 能力提升5．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是(C ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．3解析：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20，由f ′(x 0)＝3得3x 20＝3，∴x 0＝±1.6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则(C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：∵f ′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a Δx ＋b （Δx ）2Δx＝(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .7．设函数f (x )满足f （1）－f （1－x ）x＝－1，则f ′(1)＝________．解析：∵f （1）－f （1－x ）x＝f （1－x ）－f （1）－x＝f ′(1)＝－1.答案：－18．函数f (x )＝x 2＋1在x ＝1处可导，在求f ′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx ，则函数的增量Δy ＝____________．解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. 答案：2Δx ＋(Δx )29．求函数f (x )＝x 3＋2x ＋1在x 0＝1处的导数f ′(1)． 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋5Δx ，∴f ′(1)＝Δy Δx＝[]（Δx ）2＋3Δx ＋5＝5.10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与ΔsΔt ；(2)求t ＝20时的速度．解析：(1)当t ＝20，Δt ＝0.1时， Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202) ＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)．∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝Δs Δt ＝10（t ＋Δt ）＋5（t ＋Δt ）2－10t －5t2Δt＝5（Δt ）2＋10Δt ＋10t ΔtΔt＝ (5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．。
高中数学 1.1.2导数的概念教案 新人教版选修2-2
§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：ht o思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
高中数学选修2-2导数导学案
§1.1.3导数的几何意义导学案【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】12【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【知识要点】导数的运算法则【问题探究】探究点一 导数的运算法则例1 求下列函数的导数： （1）y ＝3x－lg x ；（2）y ＝(x 2＋1)(x －1)；（3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【知识要点】【问题探究】探究点一 复合函数的定义例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x .跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x；跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x ； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【知识要点】一般地，在区间(a，b)【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系例1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；(2) f(x)＝3x2－2ln x.（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1) f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．【当堂检测】1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，1a B ．⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0，a )4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________ （2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为_____________【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f (x )的定义域； （2）求导数f ′(x )；（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.【拓展提高】1．已知函数53123-++=ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______ 4．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .（1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值；§1.3.2利用导数研究函数的极值导学案【知识要点】1．极值的概念已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f′(x)；（2）求方程的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． （1）试确定常数a 和b 的值；（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R . （1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【当堂检测】1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 33．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ． （1）求函数)(x f y =的表达式；（2）求函数)(x f y =的单调区间和极值2．若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围§1.3.3利用导数研究函数的最值导学案【知识要点】1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f (x )在开区间(a ，b )内所有使 的点；（2）计算函数f (x )在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【问题探究】探究点一 求函数的最值问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]； （2）f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]跟踪训练1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； （2）f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．探究点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．（1）若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．（2）求f (x )在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上 ( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋14．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______【课堂小结】1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（1）若函数)(x f 在2-=x 处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[]1,3-上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[]1,2-上单调递增，求实数b 的取值范围§1.3.4导数的实际应用导学案【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】A ．4B ．6C ．4.5D ．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系； （2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； （4）求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； （6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课导学案【学习要求】1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．【双基自测】1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．有最大值 D ．有最小值 2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为 ( )A ．－1B ．0C ．－239D ．334．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为 ( )5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．【问题探究】题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()跟踪训练1已知R上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．（1）求g (x )的单调区间和最小值． （2）讨论g (x )与g (1x )的大小关系．跟踪训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ∈. （1）求f (x )的单调区间与极值；（2）求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.题型三 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．跟踪训练3 （1）若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？（2） 若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？【当堂检测】1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是 ( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 5．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是__________【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.【拓展提高】1．等差数列{}n a 中的40051a a 、是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____3．已知函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c R ∈），若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值是4．已知函数.ln )(,2)23ln()(x x g x x x f =++=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果关于x 的方程m x x g +=21)(有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 导学案【知识要点】1．曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W ＝____________.【问题探究】探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点in 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i n ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．探究点二 求变力做功问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．4．弹簧在拉伸过程中力F (x )＝5x (x 为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； （3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；（4）取极限：S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).§1.5.2定积分的概念导学案【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.【知识要点】1．定积分：设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎰badx x f )(＝_________.2．在定积分⎰badx x f )(中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式．3．如果函数f (x )在[a ，b ]的图象是 ，则f (x )在[a ，b ]一定是可积的． 4．定积分的性质 （1）⎰badx x kf )(＝ (k 为常数)；（2）[]⎰±badx x fx f )()(21＝ ± ；（3）⎰badx x f )(＝ ＋ (其中a <c <b ).【问题探究】探究点一 定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．问题2 怎样正确认识定积分⎰badx x f )(?利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .探究点二 定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么⎰badx x f )(表示什么？问题2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，⎰badx x f )(表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？例2 利用几何意义计算下列定积分：（1）ʃ3－39－x 2d x ； （2）ʃ3－1(3x ＋1)d x .跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）ʃ1－1x d x ； （2）ʃ2π0cos x d x ； （3）ʃ1－1|x |d x .探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例2 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： （1）ʃ203x 3d x ； （2）ʃ416x 2d x ； （3）ʃ21(3x 2－2x 3)d x .【当堂检测】1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n i 3n 3·1n .A ．0B ．1C ．2D ．3 2．定积分⎰badx x f )(的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：（1）ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； （2）ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .4．已知⎰2πsin x d x ＝⎰π2πsin x d x ＝1，⎰2π0x 2d x ＝π324，求下列定积分：（1）ʃπ0sin x d x ； （2）⎰2π(sin x ＋3x 2)d x .【课堂小结】1．定积分⎰badx x f )(是一个和式∑i ＝1nb －an f (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．§1.6微积分基本定理导学案【学习要求】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【学法指导】微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.【知识要点】1．微积分基本定理：如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，并且_________，那么ʃb a f (x )d x ＝ ． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则（1）当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝ ．（2）当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃba f (x )d x ＝_______．（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x ＝.【问题探究】探究点一微积分基本定理问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?例1计算下列定积分：（1）ʃ211x d x；（2）ʃ31(2x－1x2)d x；（3）ʃ－π(cos x－e x)d x.跟踪训练1计算下列定积分：（1）ʃ1025x4d x；（2）ʃ31(x＋1x)26x d x.探究点二分段函数的定积分。
选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案
第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。
解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。
新人教版数学选修2-2全册导学案精品(全品学案)
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点二 利用图像理解导数的几何意义
1.1. 3 │ 考点类析
y轴 x轴 锐角 钝角
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点二导数的运算法则在求导中的应用 可导
f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x) af′(x)＋bg′(x)
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
切线
导数值 曲线
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 复合函数求导
1. 2.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)感受平均变化率的实际背景，理解函数的平均变化率的概 念，会求函数的平均变化率． (2)通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数． 【过程与方法】 (1)经历由实例抽象出平均变化率的过程，体会平均变化率的 思想及内涵，培养学生观察、归纳、类比、猜想、验证的数学 思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．
高中数学选修2《导数概念》导学案
高二年级数学（选修2-2）导学案
所以)/(0049
65)
0()49
65
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均
速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然
运动，并非静止，可以说明用平均速度不能
精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动
员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察
2t =附近的情况： ．
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值
13.1-．
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -
为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过
h
t o
（单位：C）
时，原油
/
C h的速率下降，/
C h的速率上升．
0)
x反映了原油温度在时刻。
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曹县三中高二数学理导学案
§1.1.2 导数的概念
制作 王俊兰 审核 高二数学组 2017.02
学习目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数在某点的导数
预习导航：1. 瞬时速度定义;
2.瞬时变化率的定义：
3.导数的定义：
探究一1、瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，
叫做________ ，瞬时速度是平均速度t
s
∆∆当t ∆趋近于0时的_______ _。
2.当运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬
时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？
3.根据物理中的知识,运动员在某一个时刻0t 的瞬时变化率怎样表示?
4.函数()x f 在0x x =处的瞬时变化率怎样表示?
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速
度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
探究二：导数的概念：
注意：
(1)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0，可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0；
(2)导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反
映函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度
(3)若极限x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导
探究三：函数()x f y =在0x x =处的导数
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；
第二步：求平均变化率0()f x x y x x
+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x y
f x x
∆→∆'=∆. （令x ∆=0）
若函数)(x f y =在0x 处有导数，则导数值唯一。
例1、已知f(x)＝x 2＋3.(1)求f(x)在x ＝1处的导数； (2)求f(x)在x ＝a 处的导数．
变式训练（1）求函数y=3x 2在x=1处的导数. （2）求函数f(x)=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 例2 、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢
课堂练习：1. 已知物体的运动方程是 (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为( ) A ．3m/s B ．2m C ．1m/s
D ．0m/s
2．如果质点A 的运动方程是s (t )＝2t 3
，则在t ＝3秒时的瞬时速度为( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
3.已知f(x)＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( )
A ．Δx －3
B ．(Δx)2－3Δx
C ．－3
D ．0 课堂小结：这节课学到了什么？各小组表现如何？ 课后作业
t t 164-s 2+=。