湖南省2018年中考数学复习课件第21课时 锐角三角函数及其应用
湖南省中考数学复习三角形课时22锐角三角函数及其应用课件
图 22-1 A.
3 5
B.
3 4
C.
4 5
D.
4 3
课前考点过关
命题点二 特殊角的三角函数值
2. [2018· 娄底] 计算:(π-3. 14)0+
1 -2 -|3
12|+4cos30° .
解:(π-3.14)0+
1 -2 -|3 3 2
cos 60 °
=2PC=400 2≈566(海里).
答:此时巡逻舰与观测点 P 的距离 PB 约为 566 海里.
图 22-5
课前考点过关
考点自查
考点一 锐角三角函数的概念
图形 在 Rt△ABC 中,∠C=90° 余弦 正切 cosA= tanA= 名称 正弦 定义 sinA=
∠������ 的对边 斜边 ∠������ 的邻边 斜边
5 13
( B ) D.
12 5
B.
12 13
C.
5 12
课堂互动探究
拓展2 [2018· 宜昌] 如图22-9,要测量小河两岸相对的两点
P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得 PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 ( )
【答案】C 【解析】∵PA⊥PB,PC=100 米,∠PCA=35° , ∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35° (米).故 选 C.
sin ������ cos ������
.
2. sinA=cos(90° -A),即一个锐角的正弦值等于它余角的① 余弦值 . 3. cosA=sin(90° -A),即一个锐角的余弦值等于它余角的② 正弦值 . 4. tanA· tan(90° -A)=1,即一个锐角的正切值等于它余角的③ 正切值的倒数 .
《锐角三角函数的应用》PPT课件
回顾与思考
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sin A cosB a , cosA sin B b ,
c
c
互余两角之间的三角函数关系:
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
sinA=cosB.
同角之间的三角函数关系:
A
B
c
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1.
tan A sin A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
仰角 俯角
水平线
仰角与俯角的相Байду номын сангаас转化
水平线
A
由A测得B的俯角
由B测得A的仰角
B
水平线
题 附图所示为一座教堂，由距离教堂底 200m 地上 型 的一点测得教堂顶的仰角是58.6°。求该教堂的 一 高度。
40min后，渔船行驶到B处，此时
小岛C在船北偏东30°的方向上。
已知以小岛C为中心，10海里为半
径的范围内是多暗礁的危险区。
这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第21讲 锐角三角函数及其应用课件
1.如图,为保护门源百里油菜花海,由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米 观景长廊(chánɡ lánɡ)BC的两条栈道AB,AC.若∠B=56°,∠C=45°,则游客中心A到观景长 廊BC的距离AD的长约为60米.(sin 56°≈0.8,tan 56°≈1.5)
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第十七页，共三十二页。
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第21讲 锐角三角函数(hánshù)及其应用
第一页，共三十二页。
夯基础·学易
考点(kǎo 一 diǎn) 锐角三角函数(5年1考) 1.定义 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为△ABC中的一个锐角,∠A、∠B、∠C的 对边分别为a、b、c,则有:
a
(1)∠A的正弦:sin A=① c .
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解析(jiě xī) 如图,过点A作AE⊥CC'于点E,交BB'于点F,过点B作BD⊥CC'于点D.
则△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四边形AA'B'F、BB'C'D和BFED都
是矩形.
∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'二十一页，共三十二页。
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解析 如图,设G为射线(shèxiàn)AG与线段CD的交点. 则∠CAG=30°.
在Rt△ACG中,CG=AC·sin 30°=50×
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=1 25(cm).
2
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由题意,得GD=50-30=20(cm), ∴CD=CG+GD=25+20=45(cm). 连接FD并延长与BA的延长线交于点H. 由题意,得∠H=30°.
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第21课时 锐角三角函数课件
C.
3
3
2 3
3
B.
D.
5
5
2 5
5
图21-8
)
[答案] D
[解析] 连接 BD,由勾股定理,得 AB= 12 + 33 = 10,AD= 22 + 22 =2 2,BD= 2,
∴BD2+AD2=AB2,
∴△ABD 是直角三角形,
∴cosA=
=
2 2
10
=
2 5
5
.故选 D.
考向二
特殊锐角的三角函数值
设 EB=AC=2a,则 AE=EC=a,AB= 3a,
∴tan∠ABC=
=
2 3
3
3
2 3
.故答案为: 或
2
3
.
=
3
2
.
3
2.[2018·自贡]如图 21-10,在△ABC 中,BC=12,tanA=4,∠B=30°.求 AC 和 AB 的长.
解:如图,过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 于点 D.
∴∠DCF=60°,∴∠CEF=30°,
1
1
2
3
3
1
2
3
3
∴CF= CE= ,∴EF= ,BF=1- = .3在 来自t△EFB 中,tan∠ABC=
=
3
3
2
3
=
3
2
.
| 考向精练 |
1.[2018·贵阳]如图 21-7,A,B,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则
tan∠BAC 的值为 (
D.a=bcosA
中考数学复习 第21课时锐角三角函数和解直角三角形
第21课时锐角三角函数和解直角三角形【课标要求】【知识考点】 一、锐角三角函数1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值二、解直角三角形αabc1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．2．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系： sinA=___cosA=_______．tanA=_____ ，3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．4．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．5．如图（4）坡度：AB的坡度i AB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．【中考试题】一．选择题1. 已知3tan0A-=∠A=则．2.（2020江苏连云港）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.O ABC3.（2020陕西）在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B =（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2020•贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2，则tan ∠CAD 的值是（ ）A 、2B 、C 、D 、5.（2020甘肃兰州）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.（2020甘肃兰州）点M （－sin60°，cos60°）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（，） B ．（，） C ．（，） D ．（，7.（2020•宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan ∠BAC=，则边BC 的长为（ ） 125512135131212131442122-12-2-1212-3ABCC’ B’A、cmB、cmC、cmD、cm8.（2020四川雅安）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A. B. C. D.9．如图28－145所示，在高楼前的D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到达C点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼的高度大约为 ( )A．82米 B．163米 C．52米 D．70米10．(2020山东)王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B 地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 ( )A．150m B．350m C．100 m D．3100m11.（2020江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．3333133445233443354512.（2020福建莆田）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ） A ．B ．C ．D ． 13.（2020年，3分）图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其 中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点BC 上升的高度h 是（ ） A ．B ．4 m二．填空题1.（2020山东日照）计算sin30°﹣|﹣2|=_______． 2．△ABC 中，若（sinA －12）2＋－cosB|＝0，则∠C 的大小是_______． 3．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）4.（2020•莱芜）若a=3﹣tan60°，则=5.（2020•安顺）如图，点E （0，4），O （0，0），C （5，0）在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦．则tan ∠OBE=________．三．解答题1.（2020浙江金华）(本题6分)43353445196)121(2-+-÷--a a a a 图4计算：|－1|5－π）0+4cos45°2.（2020黑龙江）先化简，求代数式的值，其中x=2cos45°﹣3．3.（2020甘肃兰州）已知α是锐角，且sin(α+15°)=. 的值.4. 如图28－140所示，A ，B 两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(≈1.732 1.414)18222193x x ÷--3210184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭325.（2020呼和浩特）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB 交直线AC于点D，．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．6. （2020年，9分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？7. 如图28－139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22 m，坡角23DB DCDP DO==O45B1006kmOB=B CC60OB CA Ox/kmy/km北AOBC6045∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到F点处，则BF至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918)。
第21课时 锐角三角函数及其应用(Word版)
第四单元 三角形第二十一课时 锐角三角函数及其应用1. (2018天津)cos 60°的值等于( ) A. 3 B. 1 C. 22 D. 122. (2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( )A. 35B. 34C. 45D. 43第2题图 第3题图 3. (2018长沙中考模拟卷六)如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( )A. mcos40°B. msin40°C. mtan40°D. m tan40°4. (2018天水)在正方形网格中△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 33第4题图 第5题图 5. (2018温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 12米6. (2018宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( )A. sinα＝cosαB. tanC ＝2C. sin β＝cos βD. tanα＝1第6题图 第7题图 7. (2018河北)如图，码头A 在码头B 的正西方向，甲、乙两船分别从A 、B 同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )A. 北偏东55°B. 北偏西55°C. 北偏东35°D. 北偏西35°8. (2018重庆A 卷)如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i ＝1∶0.75，坡长BC ＝10米，则此时AB 的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A. 5.1米B. 6.3米C. 7.1米D. 9.2米第8题图 第10题图 9. (2018烟台)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，B C ＝3，则sin A 2＝________．10. (2018德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB ＝62米，背水坡CD 的坡度i ＝1∶3(i 为DF 与FC 的比值)，则背水坡CD 的坡长为________米．11. (8分)(2018恩施州)如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校的距离．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)第11题图12. (8分)(2018安徽)如图，游客在点A 处坐缆车出发，沿A —B —D 的路线可至山顶D 处．假设AB 和BD 都是直线段，且AB ＝BD ＝600 m ，α＝75°，β＝45°，求DE 的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)第12题图13. (8分)(2018芙蓉区二十九中模拟)如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离．第13题图14. (8分)(2018麓山国际实验学校二模)如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图②所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气；将图②的主体部分抽象成图③，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD可以看作矩形，测得AB＝10 cm，BC＝8 cm，过点A作AF⊥CE，交CE于点F.(1)求∠BAF的度数；(2)求点A到水平直线CE的距离AF的长(精确到0.1 cm)．(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)第14题图15. (9分)(2018长沙中考模拟卷四)如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小明先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20 m 到达D 处，此时遇到一斜坡，坡度i ＝1∶3，沿着斜坡前进40 m 到达F 处测得建筑物顶部的仰角是45°，(坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度FE 与水平宽度DE 的比)．(1)求斜坡DF 的端点F 到水平地面AB 的距离和斜坡的水平宽度DE 分别为多少米？(2)求建筑物BC 的高度为多少米？(3)现小亮在建筑物一楼(水面地面上点B 处)乘电梯至楼顶(点C )，电梯速度为2(3＋3)m/s ，同时小明从测角仪处(点A )出发，骑摩托车至斜坡的端点F 处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？第15题图答案1. D2. C3. A4. B5. A6. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD ＝2，BD ＝2，CD＝1，AB ＝AD 2＋BD 2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，∴sin α＝BD AB ＝22，cosα＝ADAB＝22，∴sinα＝cosα，故A正确；tanC＝ADCD＝2，故B正确；sinβ＝CD AC＝55，cosβ＝ADAC＝255，∴sinβ≠cosβ，故C错误；tanα＝BDAD＝1，故D正确．第7题解图7. D【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.第8题解图8. A【解析】如解图，延长DE交江面AB延长线于点F，可得DF⊥AB，过点C作CG⊥AB于点G，∵迎水坡BC的坡度＝1∶0.75＝4∶3，设BG＝3x，CG＝4x，在Rt△BCG中，∴BC＝5x，∵BC＝10米，即5x＝10，x＝2，∴BG ＝3x＝6米，CG＝4x＝8米，∵DF⊥AB，CG⊥AB，∴四边形CEFG是矩形，∴G F＝CE＝2米，EF＝CG＝8米，∴DF＝3＋8＝11米，在Rt△ADF中，∠A＝40°，DF＝11米，∴AF＝DFtan40°≈110.84≈13.10米，∴AB＝AF－BG－GF＝13.10－6－2＝5.10≈5.1米．9. 12【解析】由题意可知∠A＝60，∴sinA2＝sin30°＝12.10. 12【解析】在Rt△ABE中，∠α＝45°，AB＝62，则AE＝6，DF＝AE＝6，在Rt△DFC中，DF＝6，DF∶FC＝1∶3，∴∠C＝30°，∴DC＝2DF＝12.第11题解图11. 解：如解图，AB⊥OC于点C，在Rt△AOC中，OA＝80，且∠AOC＝90°－60°＝30°，∴AC＝12OA＝40，OC＝32OA＝403，在Rt△OCB中，OC＝CB＝403，∴OB＝2OC＝406≈98.答：小华家到学校的距离约为98米．12. 解：在Rt△BDF中，由sinβ＝DFBD可得，DF＝BD·sinβ＝600×sin45°＝600×22＝3002≈423(m)，在Rt△ABC中，由cosα＝BCAB可得，BC＝AB·cosα＝600×cos75°≈600×0.26＝156(m)，∴DE ＝DF ＋EF ＝DF ＋BC ≈423＋156＝579(m )，答：DE 的长为579 m.13. 解：过点D 作l 1的垂线，垂足为F ，∵∠DEB ＝60°，∠DAB ＝30°，第13题解图∴∠ADE ＝∠DEB －∠DAB ＝30°，∴△ADE 为等腰三角形，∴DE ＝AE ＝20，在Rt △DEF 中，EF ＝DE ·cos60°＝20×12＝10， ∵DF ⊥AF ，即∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF ，由已知l 1∥l 2，∴CD ∥AF ，∴四边形ACDF 为矩形，CD ＝AF ＝AE ＋EF ＝30，答：C 、D 两点间的距离为30米．14. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠BCD ＝90°，∴∠DAF ＝∠DCE ＝90°－35°＝55°，∴∠BAF ＝90°－55°＝35°；(2)如解图，作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥EF 于N ，第14题解图则MF＝BN＝BC·sin35°＝0.57×8≈4.56(cm)，∴AM＝AB·cos35°＝10×0.8192≈8.20(cm)，∴AF＝AM＋MF＝8.20＋4.56≈12.8(cm)．答：点A到水平直线CE的距离AF的长为12.8 cm.15.解：(1)在Rt△DEF中，i＝EF∶DE＝1∶3，DF＝40 m，设EF＝x m，则DE＝(3x)m，由勾股定理可得：DF＝EF2＋DE2，即40＝x2＋（3x）2，解得x＝20，3x＝203，即EF＝20 m，DE＝20 3 m，答：斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为20米、203米；(2)由题意可得，△CGF为等腰直角三角形，设CG＝y m，则FG＝y m，BC＝(20＋y) m，AB＝(20＋203＋y)m，在Rt△ABC中，B C＝AB·tanA，∴20＋y＝33(20＋203＋y)，解得y＝103＋10，∴BC＝103＋10＋20＝(103＋30)m，答：建筑物BC的高度为(103＋30)米；(3)设小明上坡时的车速为a m/s，则小明在平路的车速为2a m/s，根据题意得，12×(202a＋40a)＝103＋302（3＋3），解得a＝5，经检验，a＝5是方程的根且符合题意，答：小明上坡时的车速为5 m/s.。
2018中考数学复习第21课时锐角三角函数及其应用课件
2．特殊角的三角函数值
三角 函数值 角度α
30°
45°
60°
sinα
cosα
1 2
⑦____
2 2 2 2
1 ⑧_____
⑥_____
1 2
tanα
3 3
3
基础点 2
类型 解法
直角三角形的边角关系 已知条件 两直角边 （a，b） 斜边c，直 角边a 解法步骤
类型
解法
已知条件
解法步骤
锐角∠A, 锐角∠A 计算边的口诀： 有斜求对乘正弦； 的邻边b 有斜求邻乘余弦； 锐角∠A, 无斜求对乘正切； 锐角∠A 无斜求邻除正切 的对边a
AC＝AE－CE
方法指导
图形
关系式 AB＝BE＋AE ＝CD＋AE
方法指导
图形
关系式
BC＝BE＋EF＋FC
练习2题图
练习2 如图，轮船在A处观测灯塔C位于
北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时
20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，
1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C
位于北偏西25°方向上，求灯塔C与码头
B的距离．
练习3题图
解：如解图，作BD⊥AC于点D，∠CBA＝
25°＋50°＝75°，
∠CAB＝(90°－70°)＋(90°－50°)＝
类型
解法
已知条件
解法步骤
计算边的口诀： 有斜求对乘正弦； 斜边c， 有斜求邻乘余弦； 锐角∠A 无斜求对乘正切； 无斜求邻除正切
有斜用弦(条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos)
无斜用切(条件或求解中没有斜边时，用正切tan)
取原避中(尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增
湖南数学课件 锐角三角函数及其应用
E
C
〖达标练习三〗
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座
小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，
如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座
小山？
B
565米
A
1000米
C
2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的 区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为 160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点， 在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时 是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
〖 目
标
抽象出图形，再 三
添设辅助线求解 〗
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，
c a c 它们所对的边分别为 、 、b ，其中除直角 外，
其余的5个元素之间有以下关系：
B
⑴ 三边之间的关系：a2 b2 c2
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
⑶ 边角之间的关系：
A
c
⑴∠A=600，斜边上的高CD= 3 ； B
⑵∠A=600，a+b=3+ 3 .
C┓
D 600
A
〖达标练习二〗
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，
A
⌒
∠B=45°，求△ABC的面积。
D 60°
450
75°
B
C
⑵求证: ABCD的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B为锐角)。
A
D
┓
B
c
求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2 ___b_2_。
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OC OC 解：在 Rt△ACO 中，sin75°＝ ＝ ≈0.97， OA 40 解得 OC≈38.8. OC 38.8 1.73 在 Rt△BCO 中，tan30°＝ ＝ ≈ ， BC BC 3 解得 BC≈67.3. 答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3 cm.
对接中考 考点过关 突破重难
图 21－4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
5．解：(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)如图，过点 P 作 PH⊥AB 于点 H.
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50. 3 在 Rt△PBH 中， PH＝PB· sin60°＝50× ＝25 2 ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 3， ∵25 3>25，
正弦值 ________ ．
4 ． tanA · tan(90 °－ A) ＝ 1 ， 即一个锐角的正切值等于它余角的
正切值的倒数 ______________ ．
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
考|点|4 解直角三角形
1．解直角三角形的常用关系：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠ C 所对的边分别是 a，b，c，则： (1)三边的关系：a2＋b2＝c2； (2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； a b a (3)边与角之间的关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ ； c c b (4)sin2A＋cos2A＝1. 2．解直角三角形的几种类型及解法： (1)已知一条直角边和一个锐角(如 a，∠A)，其解法：∠B＝90°－∠A，c＝ a a ，b＝ (或 b＝ c2－a2)； sinA tanA (2)已知斜边和一个锐角(如 c，∠A)，其解法：∠B＝90°－∠A，a＝
考|点|3
锐角三角函数之间的关系 sinA . cosA
1．平方关系：sin2A＋cos2A＝1； 商式关系：tanA＝
2 ． sinA ＝ cos(90 ° － A) ， 即 一 个 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 余 角 的 ________ ． 余弦值 3 ． cosA ＝ sin(90 ° － A) ， 即 一 个 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 余 角 的
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
[解析] 过点 A 作 AB⊥x 轴于 B，先利用勾股定理计算出 OA＝5，然后在 Rt △AOB 中利用正弦的定义得出 sinα ＝ AB 4 ＝ . OA 5
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
命|题|点|2
特殊角的三角函数值
所以∠A＝30°， 1 1 所以 BC＝ AB＝ × 200＝100(米)． 2 2 故答案为 100.
对接中考 考点过关 突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
5．[2017· 长沙]为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现 了常态化巡航管理． 如图 21－4， 正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里 的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上． (1)求∠APB 的度数； (2)已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，则海监船继续向正东方向航行 是否安全？
图 21－5
第21课时┃锐角三角函数及其应用
考 点 过 关
考|点|1 锐角三角函数的概念
图形
名 称
定义 sinA＝ ∠A的对边 斜边 cosA＝ ∠A的邻边 斜边 tanA＝ ∠A的对边 ∠A的邻边
表达式 sinA＝ a c cosA＝ b c tanA＝ a b
考点过关
取值范围 0＜sinA＜1 (∠A 为锐角) 0＜cosA＜1 (∠A 为锐角) tanA＞0 (∠A 为锐角)
2．[2017· 永州]计算： 2cos45°＋(π －[2017)0－] 9.
2 解：原式＝ 2× ＋1－3＝－1. 2
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
命|题|点|3 解直角三角形的应用 3．[2016·长沙]如图 21－2，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看 一栋楼顶部 B 处的仰角为 30°， 看这栋楼底部 C 处的俯角为 60°.若热气球 A 处与楼的水平距离为 120 m，则这栋楼的高度为( A ) A．160 3 m B．120 2 m 3 m
突破重难
正 在 Rt△ 弦 ABC 中， ∠C 余 ＝90° 弦 正 切
对接中考
第21课时┃锐角三角函数及其应用
考|点|2 特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sinα 1 2 2 2
cosα
tanα
3 2
2 2 1 2
3 3
1
3
3 2
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
对接中考
考点过关
突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
6．[2016· 邵阳]图 21－5 为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM 为 75°.由光源 O 射出的边缘 光线 OC，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA 分别为 90°和 30°，求 该台灯照亮水平面的宽度 BC(不考虑其他因素，结果精确到 0.1 cm，温馨提示： sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， 3≈1.73)．
第21课时
锐角三角函数及其应用
第21课时┃锐角三角函数及其应用
对 接 中 考
命|题|点|1 锐角三角函数的定义 1．[2017· 怀化]如图 21－1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标 为(3，4)，那么 sinα 的值是( C )
图 21－1 3 A. 5 3 B. 4 4 4 C. D. 5 3
C．300 m D．160
图 21－2
对接中考 考点过关 突破重难
第21课时┃锐角三角函数及其应用
图 21－3 4． [2016· 岳阳]如图 21－3， 一山坡的坡度为 i＝1∶ 3.小辰从山脚 A 出发，
100 米． 沿山坡向上走了 200 米到达点 B，则小辰上升了________
[解析] 根据题意得 tanA＝ BC 1 3 ＝ ＝ ， AC 3 3