复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟
混沌摆计算公式
混沌摆是一种被普遍用于教学和科学展示的物理实验装置，该装置由一根长线悬挂的重锤组成, 在一定条件下,重锤在摆动的过程中会产生无法预测的运动轨迹，这种运动称为混沌运动。
混沌摆的运动非常复杂，无法用简单的数学公式描述，但是可以通过数值模拟的方法进行研究和预测。
要计算混沌摆的运动，首先需要了解混沌摆的重要参数和初值条件。
其中，参数包括重锤的质量、摆长和阻尼系数，初值条件则包括重锤的初始角度和初始角速度。
混沌摆的运动可以用以下的运动方程描述：d²θ/dt² + 2γdθ/dt + (g/L)sin(θ) = 0其中，θ是重锤的摆角（与竖直方向的夹角），t是时间，γ是阻尼系数，g是重力加速度，L是摆长。
这个方程是一个二阶非线性常微分方程，表征了混沌摆的运动轨迹。
由于混沌摆的运动是无规则的，无法通过解析方法得到准确的数学解，我们可以采用数值模拟的方法来计算混沌摆的轨迹。
一种常见的数值模拟方法是欧拉方法，该方法将连续的运动方程离散化为差分方程，然后通过迭代求解差分方程来得到运动轨迹。
具体步骤如下：1.设定重锤的初始角度和初始角速度。
2.设定时间步长Δt和总仿真时间T。
3.初始化时间 t=0。
4.计算重锤当前时刻的加速度 a，根据运动方程d²θ/dt² = -2γdθ/dt -(g/L)sin(θ) 计算得到。
5.根据欧拉方法的迭代公式，更新重锤的角度θ和角速度ω：θ(t+Δt)= θ(t) + ω(t)Δt ω(t+Δt) = ω(t) + aΔt6.更新时间t=t+Δt。
7.重复步骤4~6，直到时间 t=T。
8.可以通过记录每个时间步长的角度和角速度，绘制出时间-角度或时间-角速度图像，分析混沌摆的运动规律。
除了数值模拟方法外，还有一些其他的研究混沌摆的方法，如：利用Poincaré截面法、时间序列分析法等。
这些方法通过对混沌摆运动数据的处理和分析，可以揭示混沌系统的动力学行为和特征。
双摆混沌运动分析
双摆混沌运动分析本文通过建立双杆摆的动力学模型来分析双杆摆的混沌运动特性。
运用matlab 和winpp 对动力学微分方程进行数值求解并绘制时间历程图和相图，分析了混沌运动对初值的敏感性。
发现在较小的初值条件下，运用庞加莱映射分析双杆摆明显表现为概周期运动，通过此方法找到在相应条件下由概周期转变为混沌运动的临界值。
本文以均质杆所组成的双杆摆为研究对象，双杆摆模型如图1所示，并建立坐标系，以水平向右为x 轴正方向，以竖直向下为y 轴正方向，C 1、C 2为两个摆杆的质心位置。
1θ、2θ为两杆相对于y 轴正方向的摆角。
图1 双杆摆模型杆1质心C 1的位置11(,)x y 与1θ、2θ的关系如式1所示111111sin cos x h y h θθ==-杆2质心C 2的位置22(,)x y 与1θ、2θ的关系如式2所示2112221122sin sin cos cos x l h y l h θθθθ=+=--杆1的动能为2.2111116T m l θ= 杆2的动能为22....2221122222121212111cos()622T m l m l m l l θθθθθθ=++- 杆1的势能为111111cos V m gy m gh θ=-=-杆2的势能为222211222cos cos V m gy m gl m gh θθ=-=--根据拉格朗日量的公式1212222 (2221211211222121212111211212)1111cos()6622cos cos cos L T V T T V V m l m l m l m l l m gh m gl m gh θθθθθθθθθθ=-=+--=+++-+++ 对于变量1θ的拉格朗日方程：.110d L L dt θθ∂∂-=∂∂ 得 2.....2122121212122121211211111()cos()sin()()sin 0322m m l m l l m l l m h m l g θθθθθθθθ++-+-++= （8）对于变量1θ的拉格朗日方程：.220d L L dt θθ∂∂-=∂∂ 得 2.....2121212122221212222111cos()sin()sin 0232m l l m l m l l m gh θθθθθθθθ-+--+= （9） 由于研究的是均质杆的双摆运动，故可得到1212,22l l h h ==。
混沌数学及其软件模拟
混沌数学及其软件模拟这⼏天在研究混沌,并写了些程序将⽹上能找到的各种混沌模型以图形的形式显⽰出来.(⼀)混沌介绍混沌（Chaos）是指发⽣在确定系统中的貌似随机的不规则运动，长期以来，⼈们在认识和描述运动时，⼤多只局限于线性动⼒学描述⽅法，即确定的运动有⼀个完美确定的解析解。
但是⾃然界在相当多情况下，⾮线性现象却起着很⼤的作⽤。
混沌指确定性系统产⽣的⼀种对初始条件具有敏感依赖性的回复性⾮周期运动。
混沌理论⾪属于⾮线性科学，只有⾮线性系统才能产⽣浑沌运动。
1963年美国⽓象学家Lorenz在分析天⽓预报模型时，⾸先发现空⽓动⼒学中混沌现象，该现象只能⽤⾮线性动⼒学来解。
于是，1975年混沌作为⼀个新的科学名词⾸先出现在科学⽂献中。
从此，⾮线性动⼒学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及⾮常⼴泛的科学范围从电⼦学到物理学，从⽓象学到⽣态学，从数学到经济学等。
⼀般地，如果⼀个接近实际⽽没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的⾏为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。
⼀个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动⼒系统，它的状态可由⼀个或⼏个变量数值确定。
⽽⼀些动⼒系统中，两个⼏乎完全⼀致的状态经过充分长时间后会变得毫⽆⼀致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。
⽽对初始条件的敏感的依赖性也可作为混沌的⼀个定义。
与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是⼀种⾮线性科学，⽽⾮线性科学研究似乎总是把⼈们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。
例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到⼤量的“⾮常规”现象产⽣所采⽤的“⾮常规”的新⽅法；混沌打破了确定性⽅程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引⼦”现象等。
在⾮线性科学中，混沌现象指的是⼀种确定的但不可预测的运动状态。
电脑控制混沌运动实验
实验项目一：电脑控制混沌运动实验引言在非线性科学中，“混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致，非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。
但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。
混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应：南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。
1 实验原理驱动非线性摆的混沌行为被相空间中它的运动和庞克莱点图所探讨。
这些点与非混沌的单摆的运动是不同的若干量可以被改变用来使正则运动变得混沌，这些可变量为驱动频率驱动振幅和初始条件。
描述振荡有3种方式：（1）角位置vs 时间；（2）相空间：角速度vs 角位置；（3）庞克莱点：在每个推动力的周期下的角速度vs 角位置。
当运动是混沌的，图像是不重复的时候，相空间和庞克莱点在认识混沌振动特别有用。
图1-1 相图2 实验步骤(1)振荡频率扭磁铁到圆盘直到3mm远。
去掉驱动上的供电，允许质点掉入平衡位置在振动器的另一边。
①检查角~时间图，是正弦振荡么？在衰减么？②检查相点（角速度相比于角）。
是什么形状的？阻尼量是怎么影响的？(2)非混沌振荡保持初始条件：在实验的剩余部分，保持质点底在最高点且当驱动臂在它的最低点的时候释放。
设置驱动臂振幅在 3.3cm左右。
确保驱动臂只当每次变化的时候打断光电门光束，掉正磁铁距离大约4mm远离圆盘。
打开供电调整电压到4.5V 因此振动器做简单往复运动。
点击开始并且记录一定时间内的数据。
①检查角度~时间图。
是正弦的？周期？此周期和驱动周期相同么？为什么和2的不同？②检测角速度~角位移图（相图）。
与2的相图有什么区别？增加供电电压来逐渐增加驱动频率。
大型混沌摆实验报告
一、实验目的1. 理解混沌现象的物理本质，掌握混沌摆实验的原理和方法。
2. 通过实验观察混沌摆的运动特性，验证混沌现象在物理系统中的存在。
3. 探讨混沌摆参数对系统混沌现象的影响，分析混沌摆的混沌动力学特性。
二、实验原理混沌摆是一种非线性物理系统，其运动规律具有确定性、随机性和不可预测性。
在实验中，我们通过改变摆长、摆锤质量和初始条件等参数，观察混沌摆的运动特性。
1. 混沌摆的数学模型设摆长为L，摆锤质量为m，初始条件为θ0、ω0，混沌摆的动力学方程为：m θ'' + c θ' + kθ = 0其中，θ为摆角，θ'为摆角速度，θ''为摆角加速度，c为阻尼系数，k为弹性系数。
2. 混沌现象的判据混沌现象的判据包括以下几个方面：（1）系统对初始条件的敏感依赖性：微小差异的初始条件会导致系统演化出截然不同的轨迹。
（2）系统演化过程中的周期分岔：系统从有序运动逐渐演化为混沌运动，经历周期运动、倍周期运动、混沌运动等阶段。
（3）奇异吸引子：混沌运动轨迹最终趋于一个复杂、非周期的几何结构，称为奇异吸引子。
三、实验装置与步骤1. 实验装置（1）混沌摆装置：包括摆杆、摆锤、支架等。
（2）数据采集系统：包括数据采集卡、传感器、计算机等。
（3）控制装置：包括控制器、电源等。
2. 实验步骤（1）搭建混沌摆实验装置，调整摆长、摆锤质量等参数。
（2）将传感器安装在摆锤上，用于测量摆角和摆角速度。
（3）启动数据采集系统，采集混沌摆的运动数据。
（4）对采集到的数据进行处理和分析，绘制混沌摆的运动轨迹、时域波形图等。
（5）分析混沌摆的混沌动力学特性，探讨混沌现象的产生原因。
四、实验结果与分析1. 混沌摆的运动轨迹通过实验，我们观察到混沌摆的运动轨迹呈现出复杂、非周期的特点，具有以下特征：（1）轨迹在相空间中呈现出分岔现象，逐渐演化为混沌运动。
（2）轨迹具有自相似性，即局部放大后，仍保持相似的几何结构。
学生混沌原理实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解混沌现象的基本特征。
2. 掌握混沌系统的基本理论和方法。
3. 通过实验验证混沌现象的存在。
4. 培养学生的科学实验能力和分析问题能力。
二、实验原理混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象。
混沌系统具有以下基本特征：对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等。
本实验通过计算机模拟混沌现象，验证混沌系统的基本特征。
三、实验设备与材料1. 计算机2. 混沌原理实验软件3. 数据记录表格四、实验步骤1. 打开混沌原理实验软件，选择合适的混沌模型（如洛伦兹系统、双摆系统等）。
2. 设置初始参数，如初始速度、初始位置等。
3. 运行实验，观察混沌现象的表现。
4. 记录实验数据，包括时间、初始参数、混沌现象等。
5. 分析实验数据，验证混沌现象的基本特征。
五、实验结果与分析1. 实验结果显示，混沌现象在洛伦兹系统中表现得尤为明显。
当系统参数达到一定范围时，系统表现出混沌行为，如分岔和混沌吸引子等。
2. 通过对实验数据的分析，得出以下结论：（1）混沌现象对初始条件具有敏感依赖性。
在实验中，当初始参数发生微小变化时，系统行为会发生显著变化，从而验证了混沌现象的敏感性。
（2）混沌现象具有长期行为的不可预测性。
在实验中，尽管系统参数保持不变，但随着时间的推移，系统行为逐渐变得复杂，最终进入混沌状态，验证了混沌现象的不可预测性。
（3）混沌现象存在分岔现象。
在实验中，当系统参数逐渐变化时，系统状态会经历从有序到混沌的过程，验证了混沌现象的分岔特性。
（4）混沌现象具有混沌吸引子。
在实验中，系统最终会收敛到一个稳定的混沌吸引子，验证了混沌现象的吸引子特性。
六、实验结论1. 混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象，具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等基本特征。
2. 通过实验验证了混沌现象的存在，有助于我们更好地理解混沌现象的本质。
复摆运动状态的研究
复摆运动状态的研究
曲光伟 王艳辉 邹德滨 张天洋 （大连理工大学物理与光电工程学院，辽宁大连
（收稿日期：２００８—０７－０２）
１ １６０２３）
摘要 关键词
从复摆的运动方程出发，利用计算机对其各种运动情况进行模拟，研究复摆从周期运 动转化到混沌运动的过程，深化复摆实验内容，拓宽复摆实验的研究空间． 复摆；倍周期；混沌；相空间
相似文献(2条)
1.期刊论文 李万祥.何玮.唐恭佩.Li Wanxiang.He Wei.Tang Gongpei 一类复摆系统的非线性动力学研究 -华中科
技大学学报（自然科学版）2007,35(5)
通过对一类复摆系统的建模,利用数值分析法,较为全面地论证了复摆系统通向混沌的倍周期道路、拟周期道路等复杂的混沌演化行为.用相图、庞加 莱映射图和分岔图等方式揭示出了系统混沌运动的形式和参数.对该系统分岔与混沌行为的研究,为工程实际中相关机械系统和振动系统的混沌预测和控 制具有指导意义,同时对这些系统的优化设计提供了理论依据.
的非线性运动及混沌现象，这不仅可以使实验内 容现代化，还可以有效地培养学生的科研能力．
参考 文 献
［１］赵凯华．从单摆到混沌［Ｊ］．现代物理知识。１９９３。５（５）：２５ ～２８
［２］符五九，饶黄云．单摆系统通向混沌的道路［Ｊ］．大学物理， ２００８，２７（１）：５～１０
［３］李文胜．复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟［Ｊ］．物理 与工程，２００１．１１（１）：２６～３１
（１）
对式（１）进行无量纲化得
ｄｄＪｒＯ。＋２卢磊ｄＯ＋ｓｉｎ臼一厂ｃ。ｓ∞Ｆ
（２）
其中，卢一万ｋｉ，称为无量纲阻尼系数；∞。＝ ￣／瓦再７了是复摆的固有频率；厂一Ｆ／１ｗ：是无量纲
磁混沌摆原理
磁混沌摆原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠磁混沌摆原理。
这磁混沌摆啊，就像是一个充满神秘色彩的小魔术家！你想想看啊，就好像你拿着一根小魔杖，轻轻一挥，那磁混沌摆就开始了它神奇的表演。
比如说，你把它放在那里，它一开始会有规律地摆动，就像一个听话的小孩子在乖乖走路。
可是过了一会儿呢，哇塞，它就突然变得毫无规律可言，就像一个调皮的小猴子上蹿下跳。
这是为啥呢？这就是磁混沌摆的奇妙之处啊！
你知道吗，这就好比天气一样。
有时候天气预报说今天是大晴天，结果突然就乌云密布下起雨来了，完全不按常理出牌，磁混沌摆也是这样啊！它的运动轨迹充满了不确定性和不可预测性。
那它到底是咋做到的呢？嘿嘿，这就得从它的内部结构和磁力作用说起咯！
咱就说，当磁力相互作用的时候，那可真是精彩极了！就像一场看不见的战争，各种力量在拉扯、在较劲。
而磁混沌摆就在这种复杂的环境中，一会儿向左，一会儿向右，摇摆不定，让人捉摸不透。
这多有意思啊！你看那些科学家们，不就是被这种神奇的现象吸引，一直在研究它吗？“哎呀，这磁混沌摆咋这么神奇呢？”他们肯定也常常发出这样的惊叹。
我跟你们讲啊，如果你还没见识过磁混沌摆，那可真是太遗憾了。
它就像一个隐藏在科学界的小宝藏，等待着你去发掘它的秘密。
真的，去看看吧，你一定会被它深深吸引，然后感叹：“哇，原来世界上还有这么神奇的东西！”
我的观点就是，磁混沌摆原理真的超级有趣，值得我们每个人去了解和探索。
别犹豫啦，赶紧去和这个神奇的小玩意来一场奇妙的邂逅吧！。
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这是有阻尼的振动方程， 输入上述参量， 程序 运行后， 其相应的振动曲线和相轨迹如图 ３ 中（） （） （ ， 所示． ａ ｂ 从图中可见其振幅随时间而 衰减， 对应在相应空间的轨迹为一 向内收缩 的螺旋线 ， 这与其解析解的结果一致， 且可 以
万方数据
物理与工程 Ｖ ｌ１ ｏ． ｏ ｌ ０１ １ ． ２０ Ｎ 看到初始条件的改变对输出结果影响不大．
ｓ ｔ ｆ ａ ｑ幻＝（．５１６） ｔ ｉ ｌ ｔ ａｃ ［ ｏ １６，．０ ；
ｉｔ ｉ ｒ Ｄ Ｔ Ｃ ｇ ｏｅ ｎ ｇ ｒ ｅ＝ Ｅ Ｔ， ｄ ； ｄｖ Ｅ ｍ
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ｉ＝ｑｎ ； ｘ ［１
ｌ ｅ ０ １ ０ ２ ０ １ ０ ；ｎ （０ ６ ，０ １ ５ ； ｉ （ ，２ ，５ ，２ ） ｌ ｅ ７ ，５ ７ ，７ ） ｎ ５ ｉ ｌ ｅ ０ ，２ ，５ ，２ ） ｌ ｅ ４ ５ ６ ，２ ，７ ） ｉ （ ０ １０ ５ ０ １ ０ ；ｎ （ ２ ，５ ４ ５ １ ５ ； ｎ ３ ｉ
Ａ ｓ ａｔ ｈ ｓｌｔ ｎ ｏ ｔｅ ｕｔ ｎ ｍ ｔ ｎ ｔｅ ｏ ｎ ｐｎ ｕｕ ａｅ ｂｔ ｃ Ｔ ｅ ｕｉ ｓ ｈ ｅ ａｉ ｏ ｏｉ ｏ ｈ ｃｍｐ ｕｄ ｄ ｌｍ ｒ ｏ ｏ ｆ ｑ ｏ ｆ ｏ ｆ ｏ ｅ ｒ ｆｕ ｄ ｔ ａｃｍｐ ｔｒ Ｗｉ ｄｆ ｒｎ ｐｒｍ ｔｒ ｓｌ ｔｄ ａｉ ｓ ｉ ｌ ｅ ， ｏ ｎ ｗ ｈ ｕｅ． ｔ ｉｅｅｔ ａ ｅｅｓ ｅ ｅ ，ｖｒ ｕ ｔｐ ａ ｃｓｓ ｉ ｏ ｈ ｆ ａ ｅｃ ｏ ｙｃ ａ ｉ ｌ ｉｇ ｏ ， ｒ ａａ ｚｄ Ｔ ｅ ｐ ｓ ｔｅ ｔ ｎ ａｅ ｅ ｉ ｔ ｏ ｍ ． ｎ ｕ ｎ ｃａｓ ａｅ ｌ ｅ． ｇａｈ ｏ ｈ ｍ ｉ ｓ ｇ ｎ ｗ ｆ ｓ ｃｄ ｈ ｎｙ ｈ ｒ ｆ ｏ ｏ ｒ ｉ ｎ ｏ ｖ ｒ Ｋ ｙ ｒｓ ｏ ｐ ｕ ｄ ｄ ｌｍ； ｈ ｏ ； ｈｓ ｓａｅ ｄ ｃｍ ｏ ｎ ｐ ｎ ｕｕ ｃａｓ ｐ ａｅ ｃ ｅ Ｗｏ ｅ ｐ 转轴 Ｏ的转动惯量为 Ｉ质心到转轴的距离为 ；
图 ５ 混沌运动的振动曲线和相轨迹
值Ｌ ．， ＝２５其它各参数均不改变． 则方程变为
（ 下转第 ３ 页） １
万方数据
物理与工程 Ｖ ｌ１ ｏ． ｏ １ ０１ １ ． ０ Ｎ ２
． ＝ Ａｃ ｓ Ｙ １ ｏ
ｗ一专ｘ ｔ ＋叭
２ ｎ
八
一 ｃｃ ｗ ２ｓ － Ａ（２ｔ ｏｕ ｅ ， －
不 同．
３ 程序清单及说明
上程序中前四行为包含主函数中要调用 的库 函数的头文件 ， 第五行到最后一行为主 函数． 其中第七行到第十一行定义变量， 并从 键盘输人有关变量 ， 第十一行的作用是定义 一个数组， 使两次的初始条件 Ｘ有一个微小 的变化， 看其输出结果， 以便考察是否出现了 混沌现象． 第十二、 三行指明调用库函数的路 径； 第十四行定义背景颜色； 第十七至第二十 一行的作用是画有关坐标及注释； 第二十二 至二十七行是将方程进行迭代求解 ， 画出 并 振动曲线和相位空间的轨迹， 这是该程序的 核心部分． ４ 解的讨论及模拟 （） ｂ ００Ｌ ． ５ｔ ， １ 若 ＝１． ， ＝０７ ， ＝３Ｘ分别 ｏ 为 １５ １５ ， ． ． 其它为 ０则方程（） 和 １ ， ２变为
ｌ １＋， ９－， ， ９ ９ 、「 ： １ ９ 二、 ， 了１ １ ， ， 门 ９－＂ 二、 ９
图 ４ 受迫振动的振动曲线和相轨迹 图 ２ 谐振动的振动曲线和相轨迹
Ｘ十ａ Ｘ＋ ＋ ｃ ＝ ｄ ｏｗ ｂ Ｘ ｘ３ ｃｓｔ
方程含有了非线性项， 输人上述变量程序运 行后 ， 得到如图 ５中（） （） ａ ， 所示的振动曲线 ｂ 及相轨迹． 从图中可见振动曲线和相轨迹不 再象前面那样规则 了． 振动曲线无一定的周 期而是呈现出某种随机振动． 相轨迹也不再 闭合． 更重要的是 ， 当初始条件稍有一微小变 化， 振动曲线和相轨迹在经历了最初几个 回 合后 ， 便呈现出了极大的差异， 这种“ 失之毫 厘， 差之千里” 的现象， 就是混沌解的显著特 征． 混沌解对初始条件的敏感性称之为“ 蝴蝶 效应”这正是非线性方程在出现混沌时其解 ．
Ｓ Ｍ ＵＬＡＴＩ Ｉ ＯＮ ＯＦ ＴＨＥ ＣＨＡＯＳ ＴＨＥ ＯＴＩ Ｉ Ｎ Ｍ ＯＮ
ＯＦ ＴＨＥ ＣＯＭ ＰＯＵＮＤ ＰＥＮＤＵＬＵＭ
Ｌ Ｗｅ ｓ ｅ ｇ ｉ ｎ ｈ ｎ
（ ｕ ｅ Ａ ｔｍｏｉ Ｉｄ ｓｒ ｓ ｔｕｅ Ｓ ｉ ｎ ４ ０ ２ Ｈ ｂｉ ｏ ｔ ｅ ｕｔｅ Ｉｓｉ ｔ， ｙ ４ ２ ０ ） ｕ ｖ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈａ
的不 可预料性 ．
图 ３ 阻尼振动的振动曲线和相轨迹
（）在（） ３ ２ 的基础上再取 ｄ ． ＝１ ６剩下各 ， 项取值均不变 ， 则方程（） ２变为 Ｘ＋ａ Ｘ＋ ＝ ｄｏｗ ｂ Ｘ ｃｓ ｔ
这是有阻尼的受迫振动的运动方程． 输人上 述变量程序运行后 ， 其相应 的振动曲线和相 轨迹如图 ４中（） （） ａ ， 所示． ｂ 从图中可见经过 一短暂时间后 ， 系统达到稳态， 呈现 出周期 解． 其相轨迹从外向内旋人成为一闭合轨道． 这也与其解析解结果一致． 图中也可看出 从 输出结果对初始条件的改变并不敏感． （） ＝０￥ｂ ４ 若取 ａ ． 二一６ｃ ５ｄ 初 ， ，＝１ ，＝４
Ｘ＋ｂ ＝０ Ｘ
对于式（）用 Ｃ语言编写程序， ４， 清单如下：
＃ ｌｄ＜ｓ ｌ ． ｉ ｕｅ ｔ ｉ ｈ ｎ ｃ ｄｂ ＞
＃ ｌｄ ＜ｍａｈ ｈ ｉｃｕ ｅ ｎ ｔ． ＞
＃ ｌ ｅ ｒｐ ｉ ． ｉ ｕ ＜ｇａｈ ｓｈ ｎ ｄ ｃ ｃ ＞
＃ ｃｕ ｅ ｏ ． ｉ ｌｄ ＜ｄ ｓ ｈ ｎ ＞
｝
ｄｌ （０ ； ｅ ｙ ） ａ ２
｝
ｇｔ ｅｈ ｃ
｝
） ；
ｃ ｓｇａｈ（ ） ｌ ｅｒｐ ｏ ；
式中Ｌ ＝Ｌ ｔ ｔ，， Ｌ ｔ， ， （ ＋Ａ ）Ｌ － （ 依迭代法的基 ） 本思想， 为了键盘输人方便， ３式改写成 将（）
Ｌ ｄ ｏｗ一ｂ （ｃｓｔ Ｘ一ｃ 一ａ ）， ） ＝ Ｘ３ Ｌ ｔ ＋Ｌ （ ４ 式中ｔ 表示外驱动力矩所依赖 的时间变量， （ 在程序 中以 ｉ来 表示， 为循 环变量） 而 ｔ ｉ ， ｔ表示迭代时间步长， ， 它是一个常量． 显然， ｔ 和 ｔ 的意义不 同． ， 在程序 中的具体表示也
ｓｔｋｏ ｒ ； ｅ ｃｌ （） ｂ ｏ １ ｆｒ ；＜二１ｎ ｏ （二Ｏｎ ｎ ；＋＋）
这正是我们所熟悉的简谐运动的方程． 输人 上述变量， 程序运行后 ， 其角位移时间图象 （ 振动曲线） 和其在相空间的轨迹分别如图 ２ 中（） （） （ ，ｂ 所示， ａ 我们从其封闭的相轨迹也可 知道， 其解是稳定的． （）在 （ 的基础上， ） ２ １ 再取 ａ ． ＝０ ３剩下 ， 各项取值不变． 则方程（） ２变为
物理与工程 Ｖ ｌ１ ｏ． ｏ １ ０１ １ ． ２０ Ｎ
复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟
李文胜 （ 湖北汽车工业学院， 十堰 ４２０） ４０２
（ ） 收稿 日期 ： ０００－０ ２０－５３
摘
要
关键 词
从复摆的运动方程入手， 利用计算机进行求解， 通过选取不同的参数， 分析了其 运动中的各种典型情况及混沌现象， 并用两种方式对其运动进行了图象描绘． 复摆 ； 混沌； 相空间
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ｅ粤 ，＋ 且 一２ （ ｋ２ ， ｋ
取实部
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＿ Ｙ ２＝ Ａｃ ｓ 。 十 ， ｏ 龙 ；ｘ 十 仍
由（） 该两列波叠加为： ５式，
， ｙ ： Ａ＂，一 。２＝ 一 １ ， ｅ ｅ Ｔ ‘＋） ＋ 一 ＇ ）＋ （Ｔ 〕 仁， ９ ，． ２
一 ｅ 十 ’＇ Ａ ＋一 ａ」 Ａｋ丫 Ｌ 丫－ｉ ｅ 币＿１ ＇ ｅ ‘ ｌ ｘ 、 １
沌运动的全过程．
ｈ运动中所受的阻尼力矩为一ｋ， ， ｔ驱动力矩 ｐ 为 ｐｏｍ， ｃｓｔ在任一角位移 Ｔ 处其所受的重力 矩为一ｍ ｈｉｐ ｇｓ ｃ则其运动方程为 ｎ，
Ｉ ｋ ＋ ｇ ｓ Ｔ ｃｓｔ （） ｈｉ “ ｐｏｗ ｝ ｏ＋ Ｔ ｍ ｎ １
考虑到任意角度下的振动， ｓ Ｔ 将 ｉ 展开为 ｎ ｓ ｔ ｙ （／） ＋…， ｉｐ ｐ １ ｎ＝ｇ － ６护 取前两项， 则重力矩可 表示为Ｍ＝－ｍ ｈ｝ （／） ）为了键盘输 ｇ （－ ６梦 ， ｐ １
ｏｔ ｘｘ （５ ，３ ，ｔ）ｏｔ ｘｘ （５５ ，ｘ ） ｕｔ ｔｙ ０１０＂＂ ；ｕｔ ｔｙ７ ，５＂＂ ； ｅ ２ ｅ ｏｔ ｘｘ （１ ，０＂ ＂ ； ｔ ｘｘ （５ ，６ ，ｘ ） ｕｔ ｔｙ ５６ ，Ｌ ）ｏ ｔ ｔｙ５０２５＂＂ ； ｅ ４ ｕｅ ｏｔ ｘｘ （１１０＂＂ ；ｕｔ ｔｙ４５ １０＂ ＂ ； ｕｔ ｔｙ ，３ ，ｏ ）ｏｔ ｘｘ （１ ，３ ， ） ｅ ６ ｅ ｏ
２ 方程及其解的迭代形式
ｍｘ
对如图 １ 所示的复摆， 设其质量为 ｍ， 对
图 Ｉ 复摆