11动量矩定理

v1
v2
3．质点系动量矩守恒定律 若 ∑ M O ( F ( e ) ) ≡ 0 ，则 LO = 常矢量； 若 ∑ M z ( F ( e) ) ≡ 0 ，则 Lz = 常量。 例：面积速度定理 有心力：力作用线始终通过某固定点， 该点称力心。 由于 M O ( F ) = 0，有
LO (mv ) = r × mv = 常矢量
¬ 若 Mz(e) = ∑mz (F (e) ) = 0 , 则 α = 0, ω = 恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
- 若M z ( e ) = 常量，则 α =常量，刚体作匀变速转动。
将 J zα = M z 与 ma = F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚体 转动惯性的度量。
(e)
例11-4：已知：R, J , F1 , F2 ，求 α 。 解：
约束力：FN , FN
1
2
dω 即： J z = ∑ M z ( Fi ) dt
或 J zα = ∑ M z ( F )
d 2ϕ 或 J z 2 = ∑ M z (F ) dt
解决两类问题：
J zα = ∑ M z ( F )
1. 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 2. 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。 特殊情况：
2
d 2ϕ mga ϕ =0 即： 2 + JO dt mga t +θ ) 通解为 ϕ = ϕ O sin( JO
ϕ O 称角振幅，θ 称初相位，由初始条件确定。
周期 T = 2π
JO mga
例11-6：已知 J O , ω 0 , FN , R ，动滑动摩擦系数 f ， 求制动所需时间 t 。
第11章
§11–1 §11–2 §11–3 §11–4 §11–5 §11–6
动量矩定理
质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
11.1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩 对点O的动量矩 对 z 轴的动量矩
称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定 轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力 对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 内力不能改变质点系的动量矩。
R, J , M ,θ , 小车 m，不计摩擦。 例11-1 已知：
求小车的加速度 a。 解：受力分析、运动分析。 LO = −( Jω + m v R )
求水流对转轮的转动力矩。
解： 改变为
经dt 时间，水由ABCD流到abcd。动量矩
dLO = Labcd − LABCD = LCDcd − LABab
设叶片数为 n ，水密度为 ρ ，有
LCDcd
1 = qV ρ dt v2 cos θ 2 r2 n
1 LABab = qV ρ dt v1 cos θ1r1 n 1 dLO = qV ρ dt (v2 r2 cos θ 2 − v1 r1 cos θ1 ) n
dr 其中： = v （O为定点） dt
v × mv = 0
d (mv ) = F dt
d 因此 M O ( mv ) = M O ( F ) dt
d M O ( mv ) = M O ( F ) dt
称为质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对 时间的一阶导数，等于作用力对该点的矩。
d 投影式： dt M x (mv ) = M x ( F ) d M y ( mv ) = M y ( F ) dt d M z ( mv ) = M z ( F ) dt
d 对于质点 M O (mi vi ) = M O ( Fi ( i ) ) + M O ( Fi ( e ) ) dt d 对于质点系 ∑ MO (mi vi ) = ∑ MO (Fi (i) ) + ∑ MO (Fi (e) ) dt d d d LO (i ) 由于 ∑ M O ( Fi ) = 0 且 ∑ MO (mivi ) = ∑ MO (mivi ) = dt dt dt
M
&l = ml 2ϕ & v = lϕ & , ⊥OM 。 M O ( m v ) = ml ϕ 运动分析： d 由动量矩定理 M O ( mv ) = M O ( F ) dt d g 2 & ) = − mgl sin ϕ , ϕ && + sin ϕ = 0 ( ml ϕ 有 dt l g 2 2 ω = ϕ && + ω n ϕ =0 微幅摆动时，sin ϕ ≈ ϕ , 并令 n ，则 l
Lz = ∑ M z (mi vi ) = ∑ mi vi ri
= ∑ miω ri ri = ω ∑ mi ri Lz = J zω
转动惯量 J z = ∑ mi ri (3) 平面运动刚体
2
2
Lz = M z ( mvC ) + J ZC ω
[例] 滑轮A：m1，R1， J1 ; 滑轮B：m2，R2，J2 , R1=2R2； 物体C：m3， v3 求：系统对O轴的动量矩。
dLO M O (F ) = n = qV ρ (v2 r2 cosθ 2 − v1 r1 cosθ1 ) dt
例 3：已知
m2， r1 ， r2 ，不计摩擦。 m 1， m，J O，
求（1）转动角加速度α （2）O处约束力 F N （3）绳索张力 FT ， FT
1 2
（1）受力分析、运动分析 解：
解： LO = LOA + LOB + LOC
= J 1ω1 + ( J 2ω 2 + m 2 v 2 R 2 ) + m 3 v3 R 2
v 3 = v 2 = R 2ω 2 = 1 R1ω 1 2 J1 J2 LO = ( 2 + 2 + m 2 + m3 ) R2 v3 R2 R2
第11章
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解：
θ = 0 时， θ ≠ 0 时，
Lz1 = 2maω 0 a = 2ma 2ω 0 Lz2 = 2m(a + l sin θ ) 2 ω
a 2ω 0 ω = 2 ( a + l sin θ )
由 L z = L z ，得 1 2
第11章
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（1）r 与 v 必在一固定平面内，即点M的运动 轨迹是平面曲线。
dr （2）r × mv = r × m = dt
常量
即
dr r× = dt
常量
r ×dr = 2dA 由图，
dA 因此， = 常量 dt
称为面积速度。
求：剪断绳后，θ 角时的 ω 。
例11-3：两小球质量皆为 m，初始角速度 ω 0。
v1
v2
（2）由质心运动微分方程
FN − (m + m1 + m2 ) g = ( m + m1 + m2 )aCy
aCy
&i − m1a1 + m2 a2 α ( − m1r1 + m2 r2 ) y ∑ mi & &C = y =& = = m + m1 + m2 m + m1 + m2 ∑ mi
LO = ∑ M O (mi vi ) = ∑ ri × mi vi
i =1 i =1 n n
Lz = ∑ M z ( mi vi ) = [LO ]Z
n i =1
LO = Lxi + Ly j + Lz k
刚体动量矩计算： (1) 平移刚体 LO = MO (m vC ) ， Lz = Mz (m vC ) (2) 绕定轴转动刚体
d [ Jω + mvR ] = M − mg sin θ ⋅ R dt
(e) MO = − M + mg sin θ ⋅ R
dv v 由ω= ， =a ，得 dt R M − mgRinθ a= J + mR 2
例11-2 水轮机转轮，进口水速度 v1，出口水速度
v2 ，它们与切线夹角分别为 θ 1， θ 2，总体积流量 qV 。
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解： J o dω = FR = fFN R
dt
∫
0
−ω o
J o dω =
∫
t
0
fF N Rd t
J oω o t= fFN R
& 0 = 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t = 0, ϕ = ϕ 0 , ϕ
ϕ = ϕ 0 cos g t ，摆动周期 l
T = 2π
l g
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致
质点动量矩定理的应用： ¬在质点受有心力的作用时。 -质点绕某心（轴）转动的问题。
2. 质点系对固定点的动量矩定理
第11章 动量矩定理
质点 动量定理： 质点系
动量的改变—→外力（外力系主矢） dp = ∑ Fi ( e) dt
质心运动定理：质心的运动—→外力（外力系主矢）
(e) ∑ F ≡ 0 则vCx = 常矢量 若 x
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的 动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
Jα = ( F1 − F2 ) R ( F1 − F2 ) R α= J
例11-5 物理摆（复摆），已知 m, J O , a，求微小 摆动的周期 。