离散数学第三章第一节

全集 定义2 在研究某一问题时，如果所有涉及的集合都是某一
集合的部分元素组成的（子集），则称该集合为全集， 记作Ｅ。即
Ｅ＝{x|P(x)∨P(x)}。（P(x)是任意谓词） 显然，全集的概念相当集合相等，当且仅当它们有相同的成员。 集合Ａ与Ｂ相等，记作Ａ＝Ｂ。 集合Ａ与Ｂ不相等，记作Ａ≠Ｂ。
证明：A的所有由ｋ个元素组成的子集个数为从ｎ个元
素中取ｋ个元素的组合数：
Cnk
n(n
1)(n
2)...(n k!
k
1)
n
(x y)2 Cnk .xk .ynk
k 0
另外，因ΦA，故ρ(A)中元素的个数Ｎ可表示为：
n
N Cn0 Cn1 ... Cnk ... Cnn Cnk
k 0
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
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3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
反之，若(AB)∧(BA)，如果A≠B，则A与B的元素不完 全相同。设x∈A但xB，这与AB矛盾；或x∈B但xA， 这与BA矛盾，故A与B的元素必相同，即A＝B。
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第三章 目录
第3-1讲 集合的概念和集合的运算 第3-2讲 笛卡儿积与关系 第3-3讲 复合关系、逆关系与闭包运算 第3-4讲 等价关系 第3-5讲 序关系
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第3-1讲 集合的概念和运算
1. 集合的概念 2. 集合的表示 3. 集合间的关系 4. 幂集 5. 集合的运算 6. 集合运算的性质 7. 课堂练习 8. 第3-1讲 作业
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中 的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 ＡＢ或ＢＡ，读 作“Ａ包含于Ｂ”或“Ｂ包含Ａ”。如果ＡＢ且Ａ≠ Ｂ，则称Ａ为Ｂ的真子集，记作ＡＢ。 AB (x)(x∈A→x∈B) AB (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B∧xA) 按子集的定义，对于任何集合A、B、C都有AA (自反 性)， (AB)∧(BC)(AC) (传递性)
根据定义，ρ(A)={X|XA}。例如,设Ａ＝{a,b,c},则 ρ(A)＝{Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 例5 设B＝{Φ,{Φ}} 求 ρ(B)。 解： ρ(B)＝{Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ,{Φ}}}
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4、幂集（续）
定理３ 设A有ｎ个元素，则ρ(A)有2n个元素。
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
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2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素） Ｎ＝{0,1,2,3,... } (N是非负整数集) 在一个集合中，元素是彼此不同的，相同的元素被认为 是一个元素，而且元素之间没有次序关系，例如集合 {1,2,3}，{3,1,2}和{3,3,1,2}被视为同一个集合。
第三章 集 合 与 关 系
集合的概念是现代数学中最基本的概念之一， 集合论是现代数学的重要理论基础，并且深入 到各个科学与技术领域之中。对计算机科学而 言，它在开关理论，数据结构与形式语言等领 域中有着广泛的应用。
本章介绍集合论的基础知识，包括集合的运算、 性质、序偶、关系、函数、基数等。在方法上 尽量采用前两章的符号和推理规则，作出形式 的证明。
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1、集合的概念
集合是数学中最基本的概念之一，如同几何中的点、线 等概念一样，不能再用其它有明确定义的词来定义它。 将一些确定的、彼此不同的事物的全体称之为集合。 对于给定的集合和事物，应能判断这个特定的事物是否 属于给定的集合。集合中的事物称为该集合的元素。
通常，用大写的英文字母表示集合，用小写英文字母表 示集合的元素。例如，习惯上用Ｎ表示非负整数的集合， 用Ｑ表示有理数集合，Ｒ表示实数集合等等。
例4 设集合Ｅ＝{a,b,c}，写出它的所有可能的子集。 解：集合Ｅ＝{a,b,c}的所有可能的子集是：
S0 =Φ， S1 ={a}，S2 ={b}，S3 ={c}， S4 ={a,b}，S5 ={a,c}，S6 ={b,c}， S7 ={a,b,c}。
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4、幂集
定义４ 集合Ａ的所有子集构成的集合叫Ａ的幂集，记 作ρ(A)。
叙述法（或描述法） 用谓词概括出集合中元素的特性，以确定集合的元素。
S＝{x|Ｐ(x)}，如果Ｐ(e)为真，那麽e∈S，否则eS。
例如，设A＝{x|x∈Ｎ∧3＜x≤8}，则A＝{4,5,6,7,8}。
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2、集合的表示（续）
空集 定义1 不含任何元素的集合叫空集，记作Φ。 Φ＝{x|P(x)∧P(x)}，P(x)是任意谓词。 例如，A={x∈R∧x2＋1＝0}是空集，式中Ｒ表示实数集 合。
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永 真，这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对 一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
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3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
例2 确定下列命题的真值 ⑴ ΦΦ；⑵ Φ∈Φ； ⑶ Φ{Φ}； ⑷ Φ∈{Φ}。 解：⑴、⑶、⑷为真；
（因为空集是任何集合的子集，所以⑴、⑶为真。） ⑵ 为假。（因为空集不含任何元素。）
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3、集合间的关系（续3）
例3 证明空集是唯一的 证：假定Φ1和Φ2为二空集。
由定理2，Φ1Φ2，Φ2Φ1。 再根据定理1，Φ1＝Φ2 。