2013高三数学模拟练习(1)(文)

2013高三数学模拟练习（1）（文）
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．已知C ∈x ，且42
-=x ，则=x ____________．
2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．
3．已知集合},082{2
Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则
=B A _________________．
4．函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．
5．若函数a
x x y -+=1
2的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．
6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．
8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(-=b ，则|2|b a
-的最大值是___________．
9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则b
a 1
1+的最小值为_________．
10．=++++∞→2
321lim
n n
n ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值
为__________．
12．已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．
13．如图，过双曲线14
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 与 圆42
2=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P ， 则
=|
||
|PF PM ________________． 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=,
0,23,
0,2)(2x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在
[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．
二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4
π
πα+
=k （Z ∈k ）”的………………………………………（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，
则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（ ）
A ．
41 B ．21 C ．43 D ．16
13
18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（ ）
第13题图
A ．)2,(-∞
B ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛-23,
1 C ．)3,1( D ．)3,2( 17．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到
的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为……………… （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）
如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2
的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA
的中点． （1）求三棱锥MCD P -的体积；
（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且
图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安
全，限定3
2π
=∠MNP ． （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；
（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？
E
B
B
E B E B
图1
B C A D
E
F A
D
B
C I
H G E F
图2
P A B C D M
21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =． （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）求使
81
40
11121>
+++n a a a 成立的最小正整数n 的值．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(2
2=-+y x 相交于P 、
Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．
（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：⋅是定值．
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ． （1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值； （2）若2=a ，求)(x f 的最小值；
（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满
足a
b a m b m x m --=
)
()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是
它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现
有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．。