统计学8.方差分析

The Null Hypothesis is NOT True
≠ 1 = 2 ≠3
1 ≠ 2 ≠ 3
Total Variation 总变异
SST =
s ni ij
∑ ∑ (X
i =1 j =1
X)
2
Xij = the ith observation in group i ni = the number of observations in group i n = the total number of observations in all groups s = the number of groups
Machine1 Machine2 Machine3
27
X = 24.93
25.40 26.31 24.10 23.74 25.10
X = 22.61
23.40 21.80 23.50 22.75 21.60
X = 20.59
20.00 22.20 19.75 20.60 20.40
26 25 24 23 22 21 20 19
Among-Group Variation 组间变异
SSA = ∑ ni ( X i X )
i =1
s
2
MSA
SSA = s 1
ni = the number of observations in group i s = the number of groups _ Xi the sample mean of group i _ _ X the overall or grand mean
Test Statistic:
23.5820 = 25.6 F= = .9211 MSW MSA
Decision: Reject at α = 0.05
α = 0.05
0
3.89
F
Conclusion: There is evidence that at least one i differs from the rest.
If more than 2 groups, use F Test. For 2 groups, use t-Test. F Test more limited.
i
One-Way ANOVA Summary Table 单因子方差分析表
Source of Degrees Sum of of Squares Variation Freedom Among (Factor) Within (Error) Total s-1 n-s n-1 SSA SSW SST = SSA+SSW Mean F Test Square Statistic (Variance) MSA = MSA = MSW SSA/(s - 1) MSW = SSW/(n - S)
单因素方差分析的假设检验
H0: 1 = 2 = 3 = ... = s =
所有总体的均值都相等 各组均值之间没有差异
H1: 1 , 2 , 3 , …, s 不全相等
至少有两个不相等 (其它可能相同 其它可能相同!) 其它可能相同 不意味着有 不意味着有: 1 ≠ 2 ≠ ... ≠ s
i =1 j =1 s ni
ni
=
∑
s i =1
n i ( X i X total ) + ∑ i =1 ∑ j =1 ( x ij X i )
2
s
ni
2
≡ SS Among + SS Within MS A = SS Among /( s 1), MS W = SS Within /( n s ) F = MS A / MS B ~ Fα ( s 1, n s )
MSA MSW
15 - 3 = 12 11.0532 15 - 1 = 14 58.2172
= 25.60
One-Factor ANOVA Example Solution
H0: 1 = 2 = 3 H1: Not All Equal
α = .05 df1= 2 ,df2 = 12 Critical Value(s):
H0: 1 = 2 = 3 = ... = s
One-Factor Analysis of Variance 单因子方差分析
单因素方差分析是对多套实验方案的效果的对比 分析, 分析,可以用来检验多组相关样本之间均值有无显著 性差异. 性差异. 如:s 组人员的工资水平,s 种同功能药品的效果,s 种 组人员的工资水平, 种同功能药品的效果, 训练方法的训练效果, 等问题,有无显著性差异. 训练方法的训练效果, 等问题,有无显著性差异. 假设条件: 假设条件 样本是随机并独立地抽取 (这个条件一定要满足 这个条件一定要满足) 这个条件一定要满足 所有总体都服从正态分布 所有总体的方差都相等
X i = the sample mean of group i
Summing the variation within each group and then adding over all groups.
i
Within-Group Variation
SSW MSW = ns 2 (n1 1)S12 + (n2 1)S2 + + (ns 1)Ss2 = (n1 1) + (n2 1) + + (ns 1)
2,[实例分析] , 三组销售不同包装饮料商品的日均销售量 袋装(老包装) 瓶装组 罐装组 袋装(老包装) 75 74 60 70 78 64 66 72 65 69 68 55 71 63 58 问题:三种包装的日平均销售量是否有显著差异? 问题:三种包装的日平均销售量是否有显著差异?
方差分析结果
多个独立样本均值的比较--单因素方差分析 单因素方差分析
1,资料类型 ,
方案 1 方案 2 方案 3 … 方案 s x11 x21 x31 … xs1 x12 x22 x32 … xs2 …… …… …… …… ……
x1n x2n
…
1
2
x3 n
3
xsn
s
注意,s 个样本中含量不必相等!!! 注意, 个样本中含量不必相等!!!
的绝对值较大, 是 i - 的绝对值较大, 所以拒绝 H0 , 即至少有两个方案 均值) 之间的平均效果 (均值 差异足够大 方案之内的差异相对 均值 差异足够大, 反之, 即不同方案的效果没有显著性差异. 小. 反之 就接受 H0 , 即不同方案的效果没有显著性差异 注: 用 SPSS 做方差分析中 输出的结果是 统计值 f 右侧 做方差分析中, 输出的结果是: 的概率, 进行比较. 的概率 其与给定显著性水平 α 进行比较 如: 查F表得: fα , 当 f ≥ fα , 在SPPS 的结果中是输出 f 值右侧概率 p ≤ α .
s n
j
∑ ∑
X =
j =1
X
i =1
ij
n
2,总变异的分解……方差分析的关键!!! ,
X total = [ ∑ ∑ x ij ] / n , n ≡ n1 + n 2 + ... + n s ;
i =1 j =1
s
ni
X i = [ ∑ j =1 x ij ] / n i , j = 1, 2 ,..., s ; SS total = [ ∑ ∑ ( x ij X total ) 2 ]
fα f
根据观测值, 计算出f 显著性水平为α 根据观测值 计算出 值, 若 f > f α(s-1, n-s) (显著性水平为α), 显著性水平为 较大, 的平方和较大, 则表明 SSb 较大 Xi – Xtotal 的平方和较大 对应的总体参数
α p
One-Factor ANOVA F Test Example
i j Variation Due to Differences Among Groups.
Within-Group Variation 组内变异
SSW = ∑ ∑ ( X ij X i )
i =1 j =1 s ni 2
MSW
SSW = n s
X ij = the jth observation in group i
举例: 举例:
一家销售复印机的跨国公司采用了三种不同的方法来对新招收的 市场营销人员进行培训,以便使他们尽快适应工作. 市场营销人员进行培训,以便使他们尽快适应工作.在培训结束 时,培训主管从这些接受过三种不同培训方法的人当中随机抽取 名受训人员, 了16名受训人员,以研究不同培训方法产生的效果.由于销售额 名受训人员 以研究不同培训方法产生的效果. 可以作为显示培训结果的一个重要指标,因此他收集了这16名受 可以作为显示培训结果的一个重要指标,因此他收集了这 名受 训人员的季度销售额并将结果汇总如下 :
Machine1 Machine2 Machine3
25.40 26.31 24.10 23.74 25.10
23.40 21.80 23.50 22.75 21.60
20.00 22.20 19.75 20.60 20.40
One-Factor ANOVA Example: Scatter Diagram
第八章 方差分析(ANOVA) 方差分析 Analysis of Variance
在参数假设检验中, 在参数假设检验中,我们经常检验两个总 体分布的均值是否相同, 体分布的均值是否相同,其中运用的统计量主 统计量. 要是 t 统计量. 如果有多个总体, 如果有多个总体,则必须进行两两比较检 显然很繁琐.而方差分析, 验,显然很繁琐.而方差分析,可以一次完成 对多个总体的均值是否相同的检验: 对多个总体的均值是否相同的检验:
23.40 21.80 23.50 22.75 21.60