2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题

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首先，在理想情况下建立最优搭配方案，然而，此方案中变量太多，可操作性较低，所以不易实现。

在此基础上，我们先简化模型减少变量，用maple编程的方法来确定具体要求下最优的搭配方案。

先将三种不同规格的成品进行最优化求解，将规格2（7至13.5）的剩余原料与规格1（3至6.5）的剩余原料进行合理搭配，两种原料搭配后的剩余原料再与规格3（14至∞）的剩余原料进行合理搭配。

如果合理搭配之后规格3（14至∞）的原料还有剩余则降级成规格2（7至13.5）进行捆扎，如果最终规格1（3至6.5）的原料还有剩余，则不能进行捆扎，因此该剩余规格1（3至6.5）的原料不能进行生产，从而使搭配出的成品捆数较多。

按此解决方案代入表2中的数据，得出该批原料搭配出的成品最优捆数为187捆，并在对实际数据进行求解的过程中得出相应的搭配方案（Maple编程得出的三种规格的搭配方案见附录二），并模拟出了产生方案所需总时间大约为22分钟。

按题中具体要求得到的模型搭配方式太多，不适宜工人的实际操作。

因此，我们根据表一和表二的描述设计了一个原料搭配方案。

关键词：肠衣搭配、maple编程。

一、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

二、模型假设1．不计丈量肠衣时的误差。

2．按照表一中三种成品规格进行生产，不考虑其它规格。

3．不考虑外界因素对产生方案时间的影响。

4．肠衣原料实际长度小于26米。

5．优化后的剩余量降级使用，不再考虑长度，可以加到下一种规格的任何一档。

6．原料按长度分档，以0.5米为一档，3-3.4米按3米计算，3.5-3.9按3.5米计算，其余的以此类推。

三、符号说明Z：成品总捆数；N：第j种规格产品的捆数；jX：第j种规格成品按第k种搭配方式所需第i档原料数目；kijY：第j种规格分配好以后原料剩余总根数；jT：产生方案所需时间；a：第i档原料数目；ib：第i档原料长度；iN：第j种规格按第k种方式搭配的捆数；jkc：第j规格成品所需根数；jM：第j种规格的组合方式；j（注释：i =1,2,3，…，46；1,...,j k M =；j =1,2,3；第1种规格为成品（3至6.5），第2种规格为成品（7至13.5），第3种规格为成品（14至∞））。

四、模型的建立天然肠衣要按照指定的根数和总长度组装出成品，对于给定的一批原料来说，组装出成品的捆数越多越好，我们将成品的捆数作为目标，得出以下整数优[]1化目标函数。

天然肠衣原料长度不一，以0.5米为一档共被分为46档。

为提高原料利用率，总长度允许有0.5米的误差，得到第一个约束条件；第j 种规格成品按第k 种搭配方式所需第i 档原料数目为定值，则由此得到第二至第五个约束条件；第j 种规格成品按第k 种方式搭配的捆数不能超过第i 档原料数目，据此得到第七个约束条件。

目标函数：31(1,2,3)jj MaxZ N j ===∑约束条件：46146112388.58989.5(1,2,3,...,46;1,...,;1,2,3)(1,2,3,...,46;1,...,;1,2,3)192078..45,,,,,,0(1,2,3,...,46;1,...,;1,2,3)0i kij j i kij j j i kij j jk i j j j jk b X i k M j X c i k M j c c s t c X M N a Z Y N N i k M j N ==⨯===========≥∈===≤∑∑或或或或或且11(1,2,3,...,46;1,...,;1,2,3)(1,2,3,...,46;1,...,;1,2,3)j jM kij j j i M j jk j i X a i k M j N N i k M j ==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≤===⎪⎪⎪====⎪⎩∑∑五、模型的求解由总模型可知，变量数目相当庞大，如果用穷举法求解模型，时间将会大大超过30分钟，而且将所有规格的原材料放在一起捆扎势必对工人的工作增大难度。

所以为了避免计算困难及企业工人操作上的困难，将模型分为三个优化模型，即针对三种规格的肠衣分别求出最优捆扎方案，再将剩余的原料进行优化组合。

由于长度长的原料可以降级处理，长度短的却不能升级，所以先将借用规格2的原料来补充规格1剩下的余料捆扎出最多的成品，如果不够再向规格3借用。

类似地，如果规格2借用后还有剩余就借用规格3的余料进行优化捆扎。

如果最后只剩规格1的余料，那这些余料将无法再组合，组装结束；如果最后只剩规格2的余料，将其全部降级成规格1进行捆扎；如果最后只剩规格3的余料，将其全部降级成规格2进行捆扎。

最后再结合前面得出的1N ，2N ，3N ，得出成品的最多捆数。

各规格优化求解后的剩余量可降级使用，如下示意图：六、实例运算用maple 编程（对规格1编程见附录一）对天然肠衣的三种规格分别进行最优化求解,在编程时，将最短长度最长的的成品首先进行运算，使得方案满足最短长度最长的成品越多越好的条件。

求得： 第1种规格：最优化捆数114N =； 剩余原料根数112Y =； Maple 运行时间为439.5秒； 第2种规格：最优化捆数228N =； 剩余原料根数2145Y =； Maple 运行时间为232.8秒； 第3种规格：最优化捆数3130N=；剩余原料根数349Y=；Maple运行时间为61.2秒；规格1剩余12根要补成一捆成品需在规格2剩余的145根里拿7根，规格3剩余49根，4977÷=，所以要从规格3里拿出49根补到规格2，现在规格2里的总根数为145-7=138根，138197÷=余5，所以规格2里的剩余原料为5根不能进行生产。

综上所述，得到的成品数1428130177187Z=+++++=捆，总的运行时间12.225T=分钟。

表一为按第三种规格生产的搭配方案，表二为第二种生产的搭配方案，表三为第三种生产的搭配方案。

根据此原理搭配方案，工人可根据此方案“照方抓药”进行生产。

（表格奇数行表示原料的根数，偶数行表示原料搭配方案）表一表二表三七、模型评价与改进本论文所建立的数学模型有成熟的理论基础，操作较简单。

针对条件约束中生产方案的时间不能超过30分钟的问题，我们在对表一、表二中实际数据进行求解过程中，模拟了本次产生方案的时间。

Maple运行时间为12.225分钟，手工输入数据花费了5分钟，分配搭配方案用了5分钟，共计22.225分钟，所以在30分钟之内该方案可行，符合保持天然肠衣新鲜的要求。

该模型简单易行，运行时间短，可推广到其他需要短时间内得到搭配方案的实例中。

该模型中没有考虑降级使用的肠衣是否能被切割的问题，如果可以进行合理切割，那么总捆数将会变大。

八、参考文献[1]、罗荣桂，《新编运筹学题解》，武汉，华中科技大学出版社，2002年。

附录一> reatrat:k1:=[43,59,39,41,27,28,34,21]:k1:for nn from 7 to 20 do#nn:=8:num:=0:nn1:=nn:nn2:=nn:nn3:=nn:nn4:=nn:nn5:=nn:nn6:=nn:nn7:=nn:nn8:= nn:k1:=[43,59,39,41,27,28,34,21]:for i from 0 to nn1 doif(k1[1]>nn) thennn1:=nn:elif(k1[1]<nn) thennn1:=k1[1]:elif(k1[1]=0) thennn1:=0:end if:for j from 0 to nn2 doif(k1[2]>nn) thennn2:=nn:elif(k1[2]<nn) thennn2:=k1[2]:elif(k1[2]=0) thennn2:=0:end if:for k from 0 to nn3 doif(k1[3]>nn) thennn3:=nn:elif(k1[3]<nn) thennn3:=k1[3]:elif(k1[3]=0) thennn3:=0:end if:for l from 0 to nn4 doif(k1[4]>nn) thennn4:=nn:elif(k1[4]<nn) thennn4:=k1[4]:elif(k1[4]=0) thennn4:=0:end if:for m from 0 to nn5 doif(k1[5]>nn) thennn5:=nn:elif(k1[5]<nn) thennn5:=k1[5]:elif(k1[5]=0) thennn5:=0:end if:for n from 0 to nn6 doif(k1[6]>nn) thennn6:=nn:elif(k1[6]<nn) thennn6:=k1[6]:elif(k1[6]=0) thennn6:=0:end if:for o from 0 to nn7 doif(k1[7]>nn) thennn7:=nn:elif(k1[7]<nn) thennn7:=k1[7]:elif(k1[7]=0) thennn7:=0:end if:for p from 0 to nn8 doif(k1[8]>nn) thennn8:=nn:elif(k1[8]<nn) thennn8:=k1[8]:elif(k1[8]=0) thennn8:=0:end if:if((i+j+k+l+m+n+o+p=20) and (3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=88.5 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89.5) and k1[1]-i>=0 and k1[2]-j>=0 andk1[3]-k>=0 and k1[4]-l>=0 and k1[5]-m>=0 and k1[6]-n>=0 and k1[7]-o>=0 and k1[8]-p>=0) thenprint(i,j,k,l,m,n,o,p,i+j+k+l+m+n+o+p,3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+ 6*o+6.5*p);k1[1]:=k1[1]-i:k1[2]:=k1[2]-j:k1[3]:=k1[3]-k:k1[4]:=k1[4]-l:k1[5]:=k1[5]-m:k1[6]:=k1[6]-n:k1[7]:=k1[7]-o:k1[8]:=k1[8]-p:num:=num+1:end if:od:od:od:od:od:od:od:od:print(num,k1,nn):printf("/n/n");od:附录二规格1：0011900002089.5,,,,,,,,,0021710002089.5,,,,,,,,,008570002089.5,,,,,,,,,0011081002089.5,,,,,,,,,0011090002089.,,,,,,,,,065027002089.5,,,,,,,,,0101007202089.5,,,,,,,,,0110006302089.5,,,,,,,,,0110007112089.5,,,,,,,,,0130000342089.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,480000532089.51100000452089.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,1100000542089.01100000632088.5,,,,,,,,,6000005119,,,,,,,,,14[]规格2：00000000000340789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000000421789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000000430789.0,,,,,,,,,,,,,,,00000000000502789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000000511789.0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,00000000000520788.500000000001150789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000001312789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000001402789.0,,,,,,,,,,,,,,,00000000002203789.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000002302788.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000003103789.0,,,,,,,,,,,,,,,00000000004003788.5,,,,,,,,,,,,,,,00000000010303789.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,00000000010402788.500000000530000889.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,00000001340000889.500000001421000889.5,,,,,,,,,,,,,,,00000001430000889.0,,,,,,,,,,,,,,,00000001502000889.5,,,,,,,,,,,,,,,00000001510100889.5,,,,,,,,,,,,,,,00000001511000889.0,,,,,,,,,,,,,,,00000003041000889.5,,,,,,,,,,,,,,,00000004013000889.5,,,,,,,,,,,,,,,00000005010200889.0,,,,,,,,,,,,,,,00000040010300889.0,,,,,,,,,,,,,,,00000050000201888.5,,,,,,,,,,,,,,,00000130000400889.5,,,,,,,,,,,,,,,242420252122900000005,,,,,,,,,,,,,,,28[]规格3：000000000000000022000000489.0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000000000000000030010000489.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000000000000000120010000489.0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000000000000000210010000488.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000000000000001100020000489.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000000000001200000001489.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000014000000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000022100000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000023000000000000000589.0 000000030200000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000031010000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000031100000000000000589.0 000000032000000000000000588.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000040001000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000040010000000000000589.0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000040100000000000000588.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000103100000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000104000000000000000589. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000111200000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000112010000000000000589.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000112100000000000000589.0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 000000113000000000000000588.5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 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