2016学年江苏省徐州市高一下学期期末数学试卷及参考答案
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数是纯虚数,则实数a 的值为( )A.0B.1C.-1D.2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )A.C. D.4．已知向量,,若,则( )5．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )6．若( )A.7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O 的正东方向A 处,测得旗杆顶端P 的仰角为,在A 的南偏西方向上的B 处,测得P 的仰角为（O ,A ,B在同一水平面内）( )A.10mB.14mC.17mD.20mA. B. C. D.二、多项选择题9．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．下列命题为真命题的是( )()21i z a a =+-1±π2π()2,4a =-()1,b x =//a b||b = πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭60 30 45 ≈ 1.7≈tan tan B C =+∞⎫+⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭()1,+∞()2,+∞ABC △A.若,则为直角三角形B.若,则为等腰三角形C.若,则为等腰三角形为等腰直角三角形10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则D.若,,,则11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”,“两个球标号的和为奇数”,“两个球标号都不小于2”,则( )A.A与B互斥B.A与C相互独立C. D.三、填空题12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．13．已知向量,,向量在,则______________．四、双空题14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多数为____________．五、解答题15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．（1）求B;（2）若,求．16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．222sin sin sinA B C+=ABC△sin sina Ab B=ABC△cos cosa Ab B=ABC△cos Bb==ABCαβγa c⊥b c⊥//a b//aαaβ⊂bαβ=//a baα⊥aβ⊂αβ⊥αγ⊥βγ⊥aαβ=aγ⊥A=B=C=()()()P AB P AC P A+=()()()()P ABC P A P B P C=a2aba b⋅=ABC△222a c b+=+c=tan CP ABCD-ABCD PA⊥ABCD BC AP（1）证明：;（2）证明：平面．17．某班学生日睡眠时间（单位：h ）频率分布表如下：;（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．18．已知的面积为9,点D 在BC 边上,．（1）若,①证明：;②求AC ;（2）若,求AD 的最小值．19．如图,等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面,E ,F 分别为上下底面圆周上的点,且B ,E ,D ,F 四点共面．的PC BD ⊥//EF PCD [)7,7.5[]8.5,9[77.5)，ABC △2CD DB =cos BAC ∠=AD DC =sin 2sin ABD BAD ∠=∠AB BC =1OO（1）证明：;（2）已知,,四棱锥的体积为3．①求三棱锥的体积;②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．//BF DE 2AD =4BC =C BEDF -B ADE -C BF D --参考答案1．答案：A解析：根据题意,复数是纯虚数,所以且,解得.故选：A.2．答案：D解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.故选：D.3．答案：B解析：根据题意圆锥的母线长即可求得．故选：B.4．答案：B解析：因为,所以,即所以,所以所以故选：B.5．答案：C解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A ,B ,C ,从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,共10种情况．选中的水果品种相同的选法有：,,,有4种．故选：C.6．答案：B()21i z a a =+-0a =210a -≠0a =l ==πrl 侧＝π1S ⨯=侧＝//a b =a b λ()()()()2,4=2,4=1,,x x λλλ⇒--2==24==2x x λλλ--⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩()1,2b =- ||b ==()1,2()1,A ()1,B ()1,C ()2,A ()2,B ()2,C (),A B (),A C (),B C ()1,2(),A B (),A C (),B C =解析：令,,则令所以故选：B.7．答案：C解析：如图,设米,则米.在中,由题意可得,,由余弦定理可得解得米.故选：C.8．答案：A,所以π3x α=-π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos x =2y α=π22y x =-22ππ21sin 2sin sin 2cos 22cos 1216239y x x x α⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-==-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OP h =tan 60h OA == tan 45hh ==OAB △60OAB ∠= 2cos cos 60OAB ∠== 17h =≈tan tan B C =+()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C A B C B C B C B C++=+===cos B ==又因为三角形ABC 为锐角三角形,所以所以,故选：A.9．答案：ABD解析：对于A,若,由正弦定理得,所以为直角三角形,故A 正确;对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,故B 正确;对于C,若,由正弦定理得,所以或,即或是等腰或直角三角形,故C 错误;,所以,,即为等腰直角三角形,故D 正确;故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A 选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a ,b 两条直线可以平行,也可以相交,故A 错误;对于B 选项,这是线面平行的性质定理,故B 正确;对于C 选项,这是面面垂直的判定定理,故C 正确;()πsin sin 13tan cos cos 2A A B A A A ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+ππ00ππ222πππ6200322A A A A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭1tan 2A ⎫=++∞⎪⎪⎭222sin sin sin A B C +=222a b c +=C =ABC △sin sin a A b B =22a b =a b =ABC △cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B =12sin 22A B =22A B =22πA B +=A B =A B +=ABC cos B b ==cos cos sin sin B CB C==cos sin B B =cos sin C C =B ==ABC a α⊂b α⊂c α⊥a c ⊥b c ⊥对于D 项,设,,过平面内一点A ,分别作,,如图所示,因为,,,,所以,又因为,所以,同理：,又因为,、,所以,故D 项正确.故选：BCD.11．答案：BC解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则,,,所以有对于A,,事件A 、B 可以同时发生,则A 、B 不互斥,A 错误;对于B,,A 、C 相互独立,B 正确;对于C,,C 正确;对于D,,D 错误．故选：BC ．12．答案：11解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据m αγ= l βγ= γAB m ⊥AC l ⊥αγ⊥m αγ= AB γ⊂AB m ⊥AB α⊥a α⊂AB a ⊥AC a ⊥AB AC A ⋂=AB AC γ⊂a γ⊥()()()()()(){}Ω=1,21,31,42,32,43,4、、、、、()()()(){}()()()(){}1,31,42,32,4,1,2142334A B ==、、、、,、,、,()()(){}2,32,43,4C =、、()(){}()(){}()(){}1,42,3,2,32,4,2,33,4AB AC BC ===、、、(){}2,3ABC =()46P A ==()46B ==()3162C ==()26P AB ==()26AC ==()16P ABC =()(){}1,42,3AB =、()()()=P A P C P AC ()()()+=P AB P AC P A ()()()()P ABC P A P B P C ≠,所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,故答案为：11.13．答案：2解析：由已知向量在,.所以故答案为：2.14．答案：①.16②.12解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,取底面中心O ,中点E ,因为平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,则所以,从而该多面体的体积为,考虑到四棱锥的侧面夹角为.故答案为：16;12.15．答案：（1）（2）-2的840% 3.2⨯=a b1,2b a b b b ⋅=,1a b = ()cos ,cos ,2a b a b a b a a b b ⋅==⋅= P ABCD -CD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PE ⊥PO PE P = PO PE ⊂POE CD ⊥POE PEO ∠=1h PO ==12226221163V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π12=π4B =解析：（1）,故因,所以（2）设,,代入中,,故,解得,由余弦定理得则故.16．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）连接,交于点O ,由四边形是菱形得,因为平面,平面,所以,因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以．（2）连接,,因为四边形是菱形,所以点O 为,中点,又E ,F 分别是棱,的中点,所以,,因为平面,平面,所以平面,同理可得平面,因为,平面,且,为222222a c b a c b +=+⇒+-=222cos 2a c b B ac +-===()0,πB ∈B =a t =c =222a cb +=+2228t t b +=+⋅225b t =b =222cos 2a bc C ab +-===sin C ==sin tan 2cos CC C ===-AC BD ABCD AC BD ⊥PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA BD ⊥AC BD ⊥PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥OE OF ABCD AC BD BC AP //FO PC //OE CD PC ⊂PCD FO ⊄PCD //FO PCD //EO PCD EO FO ⊂EFO EO FO O =所以平面平面,又平面,所以平面．17．答案：（1）解析：（1）因为容量,所以,,;（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,记中抽取的2人为a ,b ,中抽取的3人为c,d,e ,设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A ,则,,所以A 发生的概率所以2人中至少有1人的日睡眠时间在18．答案：（1）证明见解析,（2）4解析：（1）①因为,,所以,在//EFO PCD EF ⊂EFO //EF PCD 8.03h200.450n =÷=500.126y =⨯=50(4206)20x =-++=()7.2547.75208.25208.756⨯+⨯+⨯+⨯()()12915516552.58.03h 50=⨯+++=[)7,7.5[]8.5,92:3[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5{}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω={}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)A a b a c a d a e b c b d b e =()P A =AC =2CD DB =AD DC =2AD DB =△=所以;②设,则因为,所以设,因为,所以,在中,,由①知,所以,所以,整理得,又因为,,所以因为,所以,在中,因为,,所以,所以,则,所以（2）记的内角为A ,B ,C ,所对边为a ,b ,c ,因为,所以,所以,在中,因为,所以由余弦定理可得,整理得,sin sin 2sin AD ABD BAD BAD BD∠=⨯∠=∠BAC θ∠=cos θ=0πθ<<sin θ==C α∠=AD DC =C CAD α∠=∠=ABD △π,B BAD θαθα∠∠=--=-sin 2sin ABD BAD ∠=∠sin()2sin()θαθα+=-sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin θαθαθαθα+=-cos 4sin αα=22sin cos 1αα+=0πα<<sin αα==2CD DB =263ACD ABC S S ==△△ACD △AD DC =C α∠=cos 2AC AD α=2cos AC AD AC α==21sin 62ACD S AD AC AC α=⨯⨯⨯== AC =ABC △2CD DB =()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ 222414cos 999AD c b bc BAC =++∠ ABC △AB BC =2222cos c c b bc BAC =+-∠2cos c BAC b ∠=c =因为,所以所以,所以,当且仅当所以AD 的最小值为4.19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以;（2）①将圆台的母线延长交于一点P ,连接,延长交底面于点Q ,连接,,在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以,又由（1）可知,所以,又,,,,,平面,1sin 92ABC S bc BAC =∠=△bc =236cos sin BAC b BAC ∠=∠22294cos cos sin b c BAC BAC BAC ==∠∠∠22412cos 412cos sin cos sin sin cos BAC BAC AD BAC BAC BAC BAC BAC∠+∠=+=∠∠∠∠∠ 224sin 16cos sin cos BAC BAC BAC BAC∠+∠=∠∠sin 4cos 416cos sin BAC BAC BAC BAC ∠∠⎛⎫=+≥ ⎪∠∠⎝⎭sin BAC ∠=BAC ∠=1OO //ADE BFC BEDF ADE DE =BEDF BFC BF =//BF DE 1OO PE PE BQ CQ 1OO //ADE BFC PCQ ADE DE =PCQ BFC CQ =//ED CQ //BF ED //BF CQ CF BF ⊥BQ CQ ⊥BF CF BQ CQ ⊂BFC所以,所以四边形为平行四边形,所以,在圆台中,,,所以,所以,连接,交所以A ,C 到平面所以②在等腰梯形中,过点D 作边的垂线,垂足为G ,在平面内过点G 作的平行线交于点H ,连接,易得,因为平面,所以平面,所以为母线与下底面所成角,因为,,所以,所以,要使最小,只要最小即可,因为,所以,所以,设,因为为圆的直径,所以,所以,,所以,当且仅当所以因为,,所以,因为平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,所以,因此为二面角的平面角,//BQ CF BFCQ BF CQ =1OO 2AD =4BC =AD BC ==AD BC ==2BDF BDE S S = 223D BFC C BDF C BEDF V V V ---===AC AD BC ==BEDF 1124B ADE A BDE C BED C BDF V V V V ----====ABCD BC DG BFC CF GH BF DH 1//DG OO 1OO ⊥BFC DG ⊥BFC DCG ∠2AD =4BC =1CG =tan DCG DG ∠=DCG ∠DG 2D BFC V -=123D BFC BFC V S DG -=⋅=△Δ6BFC DG S =CBF θ∠=BC 1O BF FC ⊥4sin FC θ=4cos FB θ=Δ14sin 242BFC S FC FB θ=⋅=≤θ=BF ==DG CF BF ⊥//CF GH GH BF ⊥DG ⊥BCF BF ⊂BCF DG BF ⊥DG HG G = DG HG ⊂DGH BF ⊥DGH BF DH ⊥DHG ∠C BF D --在因为平面,平面,所以,在中,由勾股定理得所以二面角BCF △BGBC===DG⊥BFC HG⊂BFC DG HG⊥Rt DGH△DH=DHG∠=C BF--。
徐州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试数学试题2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，则12i2i+-＝A ．45i 33+B ．5i3C ．iD ．﹣i2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，则向量AB在向量AC 上的投影向量为A ．ACB ．ABC ．CAD ．CB3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是A ．0.62B ．0.68C ．0.7D ．0.384．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是3345566677778888991010A ．7.7B ．8C ．8.5D ．95．在△ABC 中，AC ＝1，AB BC ＝3，则△ABC 的面积为A ．8B ．4C ．2D ．6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为A ．3B ．3C ．23πD ．3π7．已知cos()4πθ+=sin2θ＝A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24258．在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB ＝BD ＝DA ＝3，CD ＝A —BCD 的外接球的表面积为A ．154πB ．15πC ．32πD ．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中A ．女生人数多于男生人数B ．D 层次男生人数多于女生人数C ．B 层次男生人数为24人D ．A 层次人数最少10．设向量a，b 满足1a b == ，且3b a +=A ．a ⊥bB ．1a b -=C ．3a b +=D ．a 与b的夹角为60°11．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝34i -（其中i 为虚数单位），则A ．z 的虚部为45-iB ．复数z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．1z z ⋅=D ．当θ∈[0，2π)时，5cos isin z θθ--的最大值为612．在棱长为1的正方体ABCD–A 1B 1C 1D 1，中，E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，则A ．DD 1⊥AFB ．直线AF 与平面ABCD 所成的角的正弦值为13C ．平面AEF 截该正方体所得的截面面积为98D ．点C 到平面AEF 的距离为13三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．某工厂有A ，B ，C 三个车间，A 车间有1000人，B 车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B 车间8人，则样本中C 车间的人数为．14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为．（本题第一空2分，第二空3分）15．如图，等边三角形SAB 为该圆锥的轴截面，点C 为母线SB 的中点，D 为 AB的中点，则异面直线SA 与CD 所成角为．16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD＝λAB AC μ+ ，若AD 4AF =，则λμ-的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知a ，b 为平面向量，且a＝(﹣2，1)．（1）若a ∥b ，且b =，求向量b 的坐标；（2）若b ＝(3，2)，且ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值．已知1tan 3α=，cos 5β=且02πα<<，322πβπ<<．（1）求tan 2α的值；（2）求αβ+的值．19．（本小题满分12分）如图①，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面BB 1D 1D ；（2）将该正方体截去八个与四面体B —EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长．2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．sinC cosA c =；②B C 2sinB sin2a b +=-；③2A 2cos 128)4(π+=+．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求角A ；（2）已知a =22b c +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，M ，N 分别为棱AB ，PD 的中点，二面角P —AD —B 的大小为60°，AB ＝3，BC ＝4．（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求二面角A —PB —C 的余弦值．江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试数学试题2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，则12i2i+-＝A ．45i 33+B ．5i3C ．iD ．﹣i【答案】C【解析】12i (12i)(2i)i 2i (2i)(2i)+++==--+．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，则向量AB在向量AC 上的投影向量为A ．ACB ．ABC ．CAD ．CB【答案】A【解析】根据投影向量的概念，易判断A 选项正确．3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是A ．0.62B ．0.68C ．0.7D ．0.38【答案】D【解析】根据互斥事件概率计算公式，可知所求概率＝1﹣0.3﹣0.32＝0.38，选D ．4．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是3345566677778888991010A ．7.7B ．8C ．8.5D ．9【答案】C【解析】首先可以看到表格中20个数据已经按从小到到顺序排列了，20×80%＝16，故是从小到大开始，第16个数与第17个数的平均数，为所求的80百分位数，即为8.5，故选C ．5．在△ABC 中，AC ＝1，AB BC ＝3，则△ABC 的面积为A ．8B ．4C ．2D ．【答案】B【解析】S ＝2222222114()491(913347)44a b a b c -+-=⨯⨯-+-=，故选B ．6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为22π，则该几何体的体积为A ．423πB ．223πC ．23πD ．3π【答案】C【解析】该几何体由两个全等的圆锥组合而成，故一个圆锥的侧面积为2π，设该圆锥底面半径为r ，则母线为2r ，故222r r ππ⋅⋅=，解得r ＝1，易得该圆锥的高h ＝1，所以一个圆锥体积＝211331ππ⨯⨯⨯=，从而旋转体的体积为23π，选C ．7．已知72cos()410πθ+=，则sin2θ＝A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 【解析】224cos(2)cos 2()2cos ()124425πππθθθ+=+=+-=，sin2θ＝﹣cos(2)2πθ+＝2425-．8．在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB ＝BD ＝DA ＝3，CD ＝3，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为A ．154πB ．15πC ．32πD ．6π【答案】B【解析】已知CD ⊥平面ABD ，根据“汉堡”模型，可得球心．可以取等边三角形ABD 的重心G ，过G 作GH ⊥平面ABD ，且GH ＝12CD ＝32，则H 即为球心，GA 即为外接球半径，在Rt △AGH 中，AG ＝3，GH ＝32，故HA ＝152，故外接球的表面积为15π．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中A ．女生人数多于男生人数B ．D 层次男生人数多于女生人数C ．B 层次男生人数为24人D ．A 层次人数最少【解析】女生人数＝18＋48＋30＋18＋6＝120人，则男生200﹣120＝80人，故A 正确；D 层次男生人数80×0.2＝16，D 层次女生人数18，故B 错误；80×(1﹣25%﹣20%﹣10%﹣15%)＝24人，故C 正确；A 层次26人，E 层次18人，显然D 错误．综上选AC ．10．设向量a ，b 满足1a b == ，且3b a +=A ．a ⊥bB ．1a b -=C ．3a b +=D ．a 与b的夹角为60°【答案】BD【解析】因为3b a +=229613b a a b ++⋅= ，12a b ⋅= ，故A 错误，D 正确；1a b -= ，B 正确；a b +== ，故C 错误．综上，选BD ．11．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝34i -（其中i 为虚数单位），则A ．z 的虚部为45-iB ．复数z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．1z z ⋅=D ．当θ∈[0，2π)时，5cos isin z θθ--的最大值为6【答案】BCD【解析】(3＋4i)z ＝34i -，即(3＋4i)z ＝5，所以55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z -===-++-，故z 的虚部为45-，A 错误；34i 55z =+，在复平面内对应的点坐标是(35，45)，B 正确；()3434i ()1i 5555z z ⋅=⋅+=-，C 正确；5cos isin z θθ--表示复平面内点(3，﹣4)与点(cos θ，sin θ)之间的距离，也就是以O 为圆心1为半径的圆上一点与点(3，﹣4)之间的距离，最大值确实为6，故D 正确．综上选BCD ．12．在棱长为1的正方体ABCD–A 1B 1C 1D 1，中，E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，则A ．DD 1⊥AFB ．直线AF 与平面ABCD 所成的角的正弦值为13C ．平面AEF 截该正方体所得的截面面积为98D ．点C 到平面AEF 的距离为13【答案】BCD 【解析】取DD 1中点G ，则AG 是AF 在平面AA 1D 1D 的投影，显然投影AG 与DD 1不垂直，易知∠FAC是直线AF与平面ABCD所成的角，sin∠FAC＝CF1AF3=，故B正确；平面AEF截该正方体所得的截面是等腰梯形EFD1A，其中EF＝2，AD1，AE＝D1FE到AD1，所以S＝1(22⨯+⨯＝98，故C正确；S△AEF＝122⨯＝38，点C到平面AEF的距离＝11142338ACEAEFS CFS⨯⋅==，故D正确．综上选BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为．【答案】16【解析】8 441000816400-⨯-=．14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】1 24，14【解析】三人都成功破译的概率＝12×13×14＝124，密码被两人成功破译的概率＝12×13×34＋12×23×14＋12×13×14＝14．15．如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为 AB的中点，则异面直线SA与CD所成角为．【答案】4π【解析】取AB中点O，OC∥SA，则∠OCD就是异面直线SA与CD所成角，令圆锥底面半径为r ，则OC ＝OD ＝r ，求得CD ＝r ，故∠OCD ＝45°，所以异面直线SA 与CD 所成角为4π．16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD ＝λAB AC μ+ ，若AD 4AF = ，则λμ-的值为．【答案】47【解析】131********AD AE AB (AC AF)AB (AC AD)AB 44444444444=+=++=+⨯+ ，即313AD AC AD AB 16644=++ ，所以164AD AB AC 2121=+ ，故164421217λμ-=-=．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知a ，b 为平面向量，且a ＝(﹣2，1)．（1）若a ∥b ，且b = ，求向量b 的坐标；（2）若b ＝(3，2)，且ka b - 与2a b + 垂直，求实数k 的值．【解析】（1）由//b a 可设()2,,b λλ=-所以b ==解得2λ=±，所以向量b 的坐标为()4,2-或()4,2-.（2）因为()()2,1,3,2a b =-=，所以()()23,2,24,5ka b k k a b -=---+=，因为ka b -与2a b +垂直，所以()()20ka b a b -⋅+=即()()423520k k --+-=，解得223k =-.18．（本小题满分12分）已知1tan 3α=，cos 5β=且02πα<<，322πβπ<<．（1）求tan 2α的值；（2）求αβ+的值．【解析】（1）因为1tan 3α=，所以22122tan 33tan21tan 4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）因为3cos ,252πββπ=<<，所以25sin 5β===-，所以25sin 5tan 2cos βββ-===-，所以()()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===---⨯-，因为30,222ππαβπ<<<<，所以3522ππαβ<+<，所以74παβ+=.19．（本小题满分12分）如图①，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面BB 1D 1D ；（2）将该正方体截去八个与四面体B —EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长．【解析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面ABCD ，所以1,BB EF ⊥连接AC ，在ABC 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以,EF BD ⊥又因为1,BB BD B BD ⋂=⊂平面111,BB D D BB ⊂平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11,BB D D 又因为EF⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面11.BB D D （2）设正方体的棱长为a ，由（1）知，四面体B EFG -的体积为311133248BEF a S BG BE BF BG ⋅=⨯⋅⋅= 所以所得多而体的体积为331608483a a -⨯=，解得4a =，即该正方体的棱长为4.20．（本小题满分12分）2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【解析】（1）由()0.00050.00150.003250.004250.004520.001401,a ++++++⨯=解得0.005.a =（2）因为()0.00050.00150.003250.00425400.380.5+++⨯=<，()0.00050.00150.003250.004250.005400.580.5,++++⨯=>所以中位数在[240，280)，设中位数为x ，所以()2400.0050.12x -⨯=，解得264,x =所以思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分的中位数为264.（3）思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分在[240，280)和[360，400]的两组中的人数分别为：0.0054010020⨯⨯=人，0.001401004⨯⨯=人，由分层抽样可知，从成绩在[240，280的组中应抽取2065204⨯=+人，记为,,,,a b c d e ，从成贯在[360，400]的组中应抽取1人，记为f ，以(),a b 表示“抽取的两人为a 和b "(余类推)，则样本空间为()()()()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f =()()(),,,,,},d e d f e f 记“抽取的这2名学生来自不同组"为事件A ，则()()()()(){},,,,,,,,,A a f b f c f d f e f =，所以()51153P A ==，答；抽取的这2名学生来自不同组的概率为13.21．（本小题满分12分）sinC cosA c =；②B C 2sinB sin2a b +=-；③2A 2cos 128)(π+=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求角A ；（2）已知a =22b c +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1sin cos C c A=sin sin cos ,A C C A =因为C 为锐角，所以sin 0C ≠，所以cos A A=因为A 为锐角，所以cos 0A ≠，所以3tan ,3A =所以6A π=.若选择②：2sin sin 2B Ca Bb +=由正弦定理知2sin sin sin sin 2B C A B B +=，因为sin 0B ≠，所以2sin sin cos 22B C A A +==，即4sin cos cos 222A A A =，因为A 为锐角，所以cos 02A ≠，则sin ,cos ,2424A A ===所以1sin 2sincos 2,22442A A A +==⨯⨯=因为A 为锐角，所以6A π=.若选择③：2622cos 1284A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即cos 44A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又()cos cos cos sin sin cos sin 4442A A A A A πππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭所以31cos sin 2A A --=，因为22sin cos 1,A A A +=为锐角，所以1sin ,2A =因为A 为锐角，所以6A π=.（2）由（1）知6A π=，又a =1sin sin sin 2b c a B C A ===，即,b B c C==所以()()222212sin sin 62cos2cos2b c B C B C +=+=--()62cos2cos2B C ⎡⎤=-+⎣⎦562cos 2cos23C C π⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6223C π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为ABC 为锐角三角形，50,62B C ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以,32C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333C πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2,132C π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以22b c +的取值范围为(12.⎤+⎦22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，M ，N 分别为棱AB ，PD 的中点，二面角P —AD —B 的大小为60°，AB ＝3，BC ＝4．（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求二面角A —PB —C 的余弦值．【解析】（1）取PC 的中点E ，连接,NE EB ，又因为N 为PD 的中点，所以在PCD 中，//NE CD ，且1,2NE CD =又M 为棱AB 的中点，12MB AB =，因为底面ABCD 为矩形，所以//,AB CD AB CD =，所以//MB NE ，且MB NE =，则四边形MBEN 为平行四边形所以//,MN EB 又MN ∝平而,PBC EB ⊂平面PBC ，所以直线//MN 平面.PBC （2）取AD 中点,F BC 中点G ，连接,,PF FG PG .在PAD 中，PA PD =，则PF AD ⊥，在矩形ABCD 中，可得FG AD ⊥，所以PFG ∠为二面角P AD B --的平面角，即60.PFG ∠= 又因为,,PF FG F PF FG ⋂=⊂平面PFG ，所以AD ⊥平面PFG ，又因为PG ⊂平面PFG ，所以AD PG ⊥，又因为//BC AD ，所以BC PG ⊥，所以PBC 是等腰三角形，即.PB PC =在PFG 中，12,3,602PF AD FG PFG ∠==== ，由余弦定理可知，PG ==，所以PB PC ==在PAB 中，过点A 作AH PB ⊥于点H ，由余弦定理可知，cosABP ∠==，所以BH =，则AH =，由余弦定理可知，cosCBP ∠==，在PBC 中，过点H 作HK PB ⊥，可知,3,HK BC K BK HK == 于点，则AHK ∠为二面角A PB C --的平面角.在矩形ABCD 中，可求得AK =在AHK 中，由余弦定理可知，63631841111cos 637AHK ∠+-==--，所以二面角A PB C --的余弦值为47-.。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
2016-2017学年江苏省徐州市高一上学期末数学试卷与解析
2016-2017学年江苏省徐州市高一上学期末数学试卷与解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}2．函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．（T=）3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）4．若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为．解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，5．cos240°的值等于﹣．解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．6．函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．7．已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．解：由题意可得||====，8．若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．∴f（）=即f（）的值为．9．设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=610．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．11．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，12．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．13．设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥414．已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：0≤a≤1．16．（14分）（2016秋•徐州期末）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）•sin（）=sinα•cosα=﹣．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：﹣（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（1）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．18．（16分）（2016秋•徐州期末）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t] +t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙、该月的用水量和水费．解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
2022-2023学年江苏省徐州市高一上学期期末抽测数学试题
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断选项 ，利用作差法判断选项 .
【详解】对于 ， ，因为 ，
所以 ，则 ，所以 ，故选项 正确；
对于 ， ，因为 ，所以 ，
则无法判断 的符号，故选项 错误；
对于 ，因为 都是正数，且 ，所以 ，故选项 正确；
对于 ， ，
因为 都是正数，且 ，所以 ，则
【详解】由题意可知： ，
则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15.已知正数 满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】首先将条件变形为 ，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求 的最小值.
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当 ，即 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值是 .
所以 ，则 ，故选项 正确，
故选： .
10.若函数 在一个周期内的图象如图所示，则（）
A. 的最小正周期为
B. 的增区间是
C.
D.将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到 的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.
【详解】由图象可知： ， ，所以 ，则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 的最小值为 ,即 ，
故实数 的取值范围为 .
20.“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本 万元，且 每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
2015-2016学年江苏省徐州市高一上学期期末数学试卷 解析版
2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁U A={2}，则m=3．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由全集U及A的补集，确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．【解答】解：∵全集U={1，2，3}，且∁U A={2}，∴A={1，3}∵A={1，m}，∴m=3．故答案为：3．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；方程思想．【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求α【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．4．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．5．已知向量，，且，则x的值为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；构造法；平面向量及应用．【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量，，且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．6．若sinα=，，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=，，∴cosα==﹣=﹣，∴tan==﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．7．已知，，且，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，和三角函数值，属于基础题．8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=2．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3）＜0，可得x0∈（2，3），从而求得k的值．【解答】解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），∴k=2，故答案为2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值．【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，2），∴，∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的加法运算，利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．12．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．【解答】解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，则，解得，﹣2≤b＜﹣；故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪{﹣}．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，故1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．（1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】（1）找出A与B中不等式的整数解，分别确定出A与B即可；（2）由A与B，求出A与B的交集，并集即可；（3）由B，C，以及B与C的交集仅有3个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，∴实数a的取值范围为1＜a≤2．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x=处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间．（3）由，可求，利用正弦函数的性质可得，从而得解．【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以ω=2，…将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，因为，所以，…所以．…（2）令，k∈Z，…解得，k∈Z，所以f（x）的单调减区间是．…（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）（3）当，，，…所以函数f（x）的值域是．…【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题．17．设向量，，且．求：（1）tanα；（2）；（3）sin2α+sinαcosα．【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，即可解得tanα．（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0即可解得tanα．（2）由，解得sinα，cosα的值，代入即可得解．（3）由（2），代入数值得．【解答】（本题满分为14分）解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）…=．…（3）…==．…解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）由，解得或．…将数值代入得=3．…（3）由（2），代入数值得．…【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题．18．如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠BAD=60°，且E 为对角线AC 上一点． （1）求•； （2）若=2，求•；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结AF ，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】（1）代入数量积公式计算；（2）用表示，代入数量积公式计算；（3）建立平面直角坐标系，用λ表示出的坐标，代入数量积公式计算，求出关于λ的函数最值．【解答】解：（1）•=AB •AD •cos ∠BAD=1×1×cos60°=．（2）∵=2，∴==（），∴•=（）•=+=+×=1．（3）以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （，）．C （，）．∴，=（，）．∵=λ，∴=（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．∴==（，），==（，），∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．∴当λ=1时，•最小，的最小值是．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），能求出P（x），设，代入（4，1.2），能求出Q（x）．（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元．【解答】解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，…设，代入（4，1.2），解得，所以．…（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，利润总和为，0≤x≤3，…记，则，…此时，…当，即时，g（t）取得最大值．…答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元．…【点评】本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用．20．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）的定义域为R．计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===，即可得出函数g（x）的值域．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R．f（﹣x）=a﹣x+a x=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．综上可得：m=．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省徐州市高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
2015~2016学年度第二学期期末抽测 高一数学参考答案与评分标准一、填空题1．12 2．16 3．π 4．60 5．112 6．56 7．85 8．126 9．1310．49π 11．等腰 12．1- 13．(,3][3,)U -?+? 14．8[1,]3二、解答题15．（1）由43120x y -+=得，直线的斜率43k =，则4tan 3A =，…………… 2分 所以22tan tan 21tan AA A =-………………………………………… 4分242243471()3´==--． ……………………………………… 6分 （2）由22sin 4tan cos 3sin cos 1A A A A A ìïï==ïíïï+=ïïî，及0πA <<，得43sin ,cos 55A A ==，…… 9分 πππcos()cos cos sin sin 333A A A-=+ ………………………………… 12分1334343252510+=??． …………………………… 14分 16．（1）由2sin 3a B b =，结合正弦定理sin sin a bA B=， 得2sin sin 3sin A B B =， …………………………… 2分 又π(0,)2B Î，得3sin 2A =， …………………………… 4分 因为π(0,)2A Î，所以π3A =． …………………………… 7分（本小题，学生解答过程中漏角的范围的扣1分）（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-， ………………………… 9分 得236()22cos 643b c bc bc A bc =+--=-，所以283bc =， …………………………………………… 11分所以1128373sin 22323ABC S bc A D ==创=． ……………………… 14分 17．（1）设首项为1a ，公差为d ，则114,54530,2a d a d ì+=ïïïí´ï+=ïïî…………………… 4分 解之得12,2,a d ì=ïïíï=ïî故()112n a a n d n =+-=． ……………………… 7分 （2）111111()2(22)41n n a a n n n n +==-鬃++， …………………………… 9分所以1223111111111111(1)()()4242341n n n T a a a a a a n n L L +=+++=-+-++-+ 11111111(1)(1)4223141n n n L =-+-++-=-++， ………… 11分因为*n N Î，所以101n >+，所以14n T <，又110n n a a +>×， 所以118n T T ≥=，即1184n T ≤<． …………………………… 14分18．（1）若32k =，由()0f x >得2302x x ->，即3()02x x ->， …………… 2分所以不等式()0f x >的解集为3{0}2x x x 或<>． ………………… 4分（2）因为()0f x >对任意x R Î恒成立，则2()4(23)0k k ＜D =---， …… 6分即28120k k -+<，解得k 的取值范围是26k <<． ………… 9分（3）若()f x 的两个零点均大于52，则应有28120,5,225()0,2k k k f ìïïïD =-+ïïïïï>íïïïïï>ïïïî> ……… 13分 解得265132k k k k 或ìïïï<>ïïï>íïïïï<ïïî，所以实数k 的取值范围是13(6,)2． ……………… 16分 19．（1）（i ）因为Rt Rt CDN MBC △∽△，所以DN DCBC BM =，所以232x BM-=． 所以62BM x =-，63322xAM x x =+=--， 所以233(2)22x x S AN AM x x x x =??>--． …………………………… 5分( ii) 在Rt MBC △中，2tan BC MB MBq ==，所以2tan MB q =， 所以23tan AM q=+，在Rt CDN △中，tan 3DN DNDC q ==，所以3tan DN q =，所以23tan AN q =+， 所以2π(3)(23tan )(0)tan 2S AM ANq q q=?+?<<． ……………… 10分 （2）选择()2322x S x x =>-时，令20x t -=>，则2x t =+，所以()223244433(4)t t t S t t t t +++==?++43(24)24t t ≥?=，… 14分 当且仅当4t t=，即2t =时，取“=”，此时4x =．答：当AN 的长度为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米． … 16分选择2π(3)(23tan )(0)tan 2S q q q =+?<<时， 4469tan 6129tan tan tan S q q q q=+++=++41229tan 24tan ≥q q +?， 当且仅当49tan tan q q =，即2tan 3q =时，取“=”，此时4AN =，答：当AN 的长度为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米 ．… 16分 20．（1）因为143n n a a n ++=-，所以214131a a +=?=，324235a a +=?=，两式相减，得314a a -=，因为数列{}n a 是等差数列，记公差为d ，所以24d =，解得2d =，112a =-． ………………………… 2分 （2）由143n n a a n ++=-，得214(1)341n n a a n n +++=+-=+(*n N Î)，两式相减，得24n n a a +-=(*n N Î)， ………………………… 3分 所以数列{}21n a -是首项为1a ，公差为4的等差数列， 数列{}2n a 是首项为2a ，公差为4的等差数列， 由211a a +=，当13a =-时，得24a =，所以25,2, .n n n a n n 为奇数，为偶数ì-ïï=íïïî ……………………………… 4分 当n 为奇数时，12n n S a a a L =+++123421()()()n n n a a a a a a a L --=++++++ (34)(18)[2(2)52(1)](25)n n n L =-+++++--+-+-19(411)(25)n n L =+++-+-1(1411)2252n n n -?-=+-22352n n --=； ……………………………… 6分 当n 为偶数时，12n n S a a a L =+++12341()()()n n a a a a a a L -=++++++ (34)(18)[2(1)52]n n L =-+++++--+(147)219(47)2nn n L ?-=+++-=2232n n-=．所以22235,223, .2n n n n S n n n 为奇数，为偶数ìï--ïïïï=íï-ïïïïî……………………………… 8分 （3）由（2）可知，1122,,23,,n n a n a n a n 为奇数为偶数ì-+ïï=íï--ïî……………………………… 9分 当n 为奇数时，11122,21n n a n a a n a +=-+=--，由22115n n n n a a a a ≥++++及143n n a a n ++=-，得221141610a a n n ≥--+-， 令22()416104(2)6f n n n n =-+-=--+，当1n =或3n =时，max [()]2f n =，所以2112a a ≥-，解得12a ≥或11a ≤-； ………………………………………………… 12分 当n 为偶数时，11123,2n n a n a a n a +=--=+，由22115n n n n a a a a ≥++++及143n n a a n ++=-，得2211341612a a n n ≥+-+-， 令22()416124(2)4g n n n n =-+-=--+，当2n =时，max [()]4g n =，所以21134a a ≥+，解得11a ≥或14a ≤-； …………………………………………………… 15分 综上所述，1a 的取值范围是(4][2,)U -?+?． ……………………… 16分。
江苏省徐州市高一下学期期末数学试卷
江苏省徐州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·定远期中) 设全集为R，函数f（x）= 的定义域为M，则∁RM为（）A . {x|x＜1}B . {x|x＞1}C . {x|x≤1}D . {x|x≥1}2. （2分） (2017高一下·长春期末) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S2n＝(a2＋a4＋…＋a2n)，a1a3a5＝8，则a8＝（）A . －B . －C . －64D . －1283. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A . （﹣3，﹣2，1）B . （﹣3，2，﹣1）C . （﹣3，2，1）D . （﹣3，﹣2，﹣1）4. （2分）过点P（3，0）有一条直线l，它加在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为（）A . 6x﹣y﹣18=0B . 8x﹣y﹣24=0C . 5x﹣2y﹣15=0D . 8x﹣3y﹣24=05. （2分） (2015高三上·巴彦期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A . 3B . 4C . 18D . 406. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 若圆心为的圆与轴相切，则该圆的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l的方程为x+my﹣2=0，则直线l（）A . 恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B . 恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C . 恒过点（2，0）且不垂直x轴D . 恒过点（2，0）且不垂直y轴8. （2分）侧棱长都为的三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分）在等差数列{an}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A . 30B . 45C . 60D . 12010. （2分）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,F分别是点A在P B,P C上的射影，给出下列结论：①；②；③；④.正确命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2015高二上·西宁期末) 对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A . 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bB . 若a∥b，b⊂α，则a∥αC . 若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD . 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α12. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·宝山模拟) 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________14. （1分）若关于x，y的二元一次方程组无解，则a=________．15. （1分）定义：min{a1 ， a2 ， a3 ，…，an}表示a1 ， a2 ， a3 ，…，an中的最小值．若定义f （x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N* ，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是________16. （1分） (2019高二下·上海月考) 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直且相等，是中点，则与平面所成角的大小是________.（结果用反三角函数值表示）三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于 ,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.18. （10分） (2016高一下·宁波期中) 在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2 ．（1）若b+c=5，求b，c的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．19. （5分） (2015高三下·湖北期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20. （5分） (2017高一下·天津期末) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n2+ n（n∈N*），数列{bn}是首项为4的正项等比数列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=an•bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2017高一下·中山期末) 已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．22. （5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4=．3．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．4．（5分）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n=．5．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．7．（5分）某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是．8．（5分）若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于．9．（5分）已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是．10．（5分）北宋欧阳修在所著的寓言故事《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是．11．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．12．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a 的取值是．13．（5分）已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值范围是．14．（5分）已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．16．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．17．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，求实数k的取值范围．19．（16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为．【解答】解：∵过M（﹣1，2），N（3，4）两点，∴直线的斜率为：=，故答案为：．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4=16．【解答】解：由已知可得：S4===16．故答案为：16．3．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．4．（5分）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n=60．【解答】解：根据分层抽样原理，得；样本中A种型号产品有12件，对应的频率为：=，所以样本容量为：n==60．故答案为：60．5．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为．【解答】解：列表如下：∵两次抛掷骰子总共有36种情况，而和大于10的只有：（5，6），（6，5），（6，6）三种情况，∴点数之和大于10的概率为：=．故答案为：．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．7．（5分）某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是．【解答】解：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，84，86，87，93去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数==85方差S2=[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=，故选：．8．（5分）若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于126．﹣2a n=0（n∈N*），得，【解答】解：由a n+1又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：126．9．（5分）已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（5，3），代入目标函数z=2x+y得z=2×5+3=13．即目标函数z=2x+y的最大值为13．故答案为：13．10．（5分）北宋欧阳修在所著的寓言故事《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是．【解答】解：利用面积型几何概型公式可得，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．12．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a 的取值是﹣1．【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1 a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣113．（5分）已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【解答】解：∵等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，∴+15=0，∴+10a1d+15=0，∴d=﹣﹣a1，当a1＞0时，d=﹣﹣a1≤﹣2=﹣，当a1＜0时，d=﹣﹣a1≥2=，∴实数d的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．14．（5分）已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为[1，] ．【解答】解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值范围是[1，]故答案为：[1，]二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，得：k=，则tanA=，∴tan2A==﹣；（2）由，以及0＜A＜π，得：sinA=，cosA=，cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．16．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC17．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）证明：==，∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∴T1≤T n，∴≤T n＜．18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）若k=时，f（x）=x2﹣x．由f（x）＞0，得x2﹣x＞0，即x（x﹣）＞0∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞}（2）∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，则△=（﹣k）2﹣4（2k﹣3）＜0，即k2﹣8k+12＜0，解得k的取值范围是2＜k＜6．（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，则有，解得，∴实数k的取值范围是（6，）．19．（16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．（1）按下列要求建立函数关系；（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．【解答】解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴=，∴，∴BM=，由于，则AM=∴S=AN•AM=，（x＞2）（ii）在Rt△MBC中，tanθ=，∴MB=，∴AM=3+，在Rt△CDN中，tanθ=，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，∴S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），其中0＜θ＜；（2）选择（ii）中关系式∵S=AM•AN=（3+）•（2+3tanθ），（0＜θ＜）；∴S=12+9tanθ+≥12+2=24，当且仅当9tanθ=，即tanθ=时，取等号，此时AN=4答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．+a n=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，【解答】解：（1）∵a n+1∴a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，则2d=4，解得d=2．∴2a1+2=1，解得a1=﹣．（2）∵a n+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，∴a n+2﹣a n=4，a2=4．+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．∴a2k=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．﹣1∴a n=，∴当n为偶数时，S n=（a1+a2）+…+（a n﹣1+a n）=﹣3+9+…+（4n﹣3）==．当n为奇数时，S n=S n+1﹣a n+1=﹣2（n+1）=．∴S n=．（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，+1令f （n ）=﹣4n 2+16n ﹣10=﹣4（n ﹣2）2+6，当n=1或3时，[f （n ）]max =2，∴﹣a 1≥2，解得a 1≥2或a 1≤﹣1．当n 为偶数时，a n =2n ﹣3﹣a 1，a n +1=2n +a 1， 由≥5成立，a n +1+a n =4n ﹣3，可得：+3a 1≥﹣4n 2+16n ﹣12，令g （n ）=﹣4n 2+16n ﹣12=﹣4（n ﹣2）2+4，当n=2时，[f （n ）]max =4，∴+3a 1≥4，解得a 1≥1或a 1≤﹣4．综上所述可得：a 1的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为 M FEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。