高等数学 第四章 导数的应用 41函数的单调性与极值PPT课件
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大学高等数学上册：4-1单调性与极值
y
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
高中数学 第四章 导数应用 4.导数与函数的单调性课件51高二选修11数学课件
2021/12/12
第二页，共二十页。
知识梳理
1.函数的单调性与导数(dǎo shù)的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内； 单调(dāndiào)递增 (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内； 单调(dāndiào)递减 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是. 常数函数
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的极函值数(jí值zhíf)(a)，f(b)比较，其中的一个是最大值，的一个是最小
值.
最大
最小
2021/12/12
第五页，共二十页。
[常用结论与微点提醒(tíxǐng)] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上
2021/12/12
第十页，共二十页。
【训练 1】 已知函数 f(x)＝4x＋ax－ln x－32，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于直线 y＝12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间. 解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x 知 f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54
c 的大小关系正确的是( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.a<c<b
D.c<a<b
2021/12/12
第十六页，共二十页。
解析 设 g(x)＝f（xx），则 g′(x)＝xf ′（x）x－2 f（x）， ∵当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数(hánshù). 由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)， 又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)， ∴g(3)<g(e)<g(ln 2)，故c<a<b.
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
高中数学第四章导数应用导数与函数的单调性课件北师大版选修1_1ppt
成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,因此,在已知函数
f(x)在区间(a,b)上是增加的(或减少的)求参数的取值范围时,应用
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数的取值范围,然后
检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值
应舍去.
答案:
1
,+ ∞
3
1
m≥3.
5
1
1
2
3
4
5
5.设函数 f(x)=3x3-2x2+bx+c ,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程
单调递减
f'(x)=0
常函数
(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性
导
数
单调递增
f'(x)≥0
单调递减
f'(x)≤0
常函数
f'(x)=0
名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则
f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f'(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些
f(x)在区间(a,b)上是增加的(或减少的)求参数的取值范围时,应用
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数的取值范围,然后
检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值
应舍去.
答案:
1
,+ ∞
3
1
m≥3.
5
1
1
2
3
4
5
5.设函数 f(x)=3x3-2x2+bx+c ,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程
单调递减
f'(x)=0
常函数
(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性
导
数
单调递增
f'(x)≥0
单调递减
f'(x)≤0
常函数
f'(x)=0
名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则
f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f'(x);
③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些
导数的应用----单调性、极值精华课件
典型例题 4
设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范 围. 解: (1)∵函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), ∴ f(t)=0t3+at=0. ∵t0, ∴a=-t2. 又∵函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), ∴ g(t)=0bt2+c=0. ∴c=ab. ∵两函数的图象在点 P 处有相同的切线, ∴ f(t)=g(t). 而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx, ∴3t2+a=2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t. ∴c=ab=-t3. 综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3. (2)方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3. y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y=(3x+t)(x-t)<0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.
6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学 模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.
微积分课件 第4章 导数的应用 4
2
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2021年11月3日星期三
y
y f (x)
5
2021年11月3日星期三
3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
21
2021年11月3日星期三
二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2021年11月3日星期三
y
y f (x)
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2021年11月3日星期三
3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
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2021年11月3日星期三
二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
高数 函数的单调性与极值(课堂PPT)
f(x)0
综上可知，无论 x 为什么值，总有 f(x)f(0)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立。
8
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法2：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan 对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有
由 y x 1 1 0 ，所以函数 y y(x) 在 x 1
2 y 1
处有极小值 y 1 .
27
9、设函数 f ( x ) 在(a, ) 内连续，f ( x )在(a, )
内存在，且 f (x) 0，证明当x a时，函数
F(x) f(x)f(a) 单调增加。
xa
解 F(x)(xa)f(x)[f(x)f(a)] (xa)2
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 f (x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
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(x1,x2)(a,b) f(x ) 0 ,x (a ,b )
故
f(x 1 )f(x 2 ),
因此 f (x) 在 [a , b] 上单调增加.
(2) 类似可证.
注 1° [a,b]可换成任何区.间 例1 讨论y函 ex 数 x1的单.调性
解 yex1, x( , ).
在( ,0)内, y 0,
例 设 a, b 适合 3a2 5b ，则方程 x5 2ax3 3bx 4c 0 （C ）
(A) 有 5 个不同的实根 (B) 有 3 个不同的实根
(C) 有唯一实根
(D)无实根
解:设 fx x 5 2 a x 3 3 b x 4 c
则 fx5x46ax23 b
5x2
35a2
15b9a2
且只在x一 π点 处f(x)0,故函数 [0， 2在 π内 ]
2 单调递增.
2. 单调区间的确定法
讨论 f (x) 单调性的步骤： 1 确定 f(x)的定义区 ; 间 2求使 f(x)0及f(x)不存在 ; 的点
若这些点只有有限个: ax 1x 2 x nb 3 划分区间 (a ,x 1)(,x 1 ,x 2) ,,(x n ,b ) 4 列表 查 f(x)的符 ,并号 指 f(x)出 的单, 调性
25
0
limfx limfx
x
x
例5 方程 lnxax(a0)有几个实根 解 令 f(x)ln xa,xD(0, ).
f(x) 1a, x
令 f(x)0,得x 1 , a
且当0 xa1时，f(x)0, f (x)单调增加;
当x 1时， a
f(x)0, f ( x)单调减少，
又lim f(x) ,
及单.调区间
2
例3 确定函数 f(x)(1x)x3的单调区间 .
解 1° 确定定义区间 f(x)在 ( , )内连续
2° 求驻点及导数不存在的点
2
f (x) x3
(1
x)
2 3
x
132335xx,
x0,
令 f(x)0,得驻点： x 2 ; 5
导数不存在的点： x0.
3° 列表判别
x (,0) 0
证 令 f(x)taxn(x2 x33)则 , f(x)在[0， 3 2)上连续
f(x ) se 2x c(1 x 2 )
ta 2xn x20 (0 x π) 2
故f(x)在[0， π）单调增 从而， 2
当0 x π时，f(x )f(0 ) 0 , 2
即tanxxx3. 3
推论 设函f数 (x)g ,(x)在闭区间 [a , b] 上连续， 在开区间 (a , b) 内可导，
第四章
第一节 函数的单调性 与极植
一、函数单调性的判定法
二、函数的极值及其求法
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
一、函数单调性的判定法
函数的单调性与导数的符号有关
1. 单调区间的判定法
定理4.1 设函数 f(x)在闭区间 [a , b] 上连续， 在开区间 (a , b) 内可导，
x 0f(1)(lna1) a
yy
f
(
1 a
)
OO
limf(x) limx(lnxa) ,
1 a 1 a
xx
x
x x
(1)当 f(a 1)(la n 1)0, 即0a1e时, f (x) 0有两个不同的实根； f(x)ln xax
(2) 当a1时, f(x)0有且仅有一x个e实 ； e
(3) 当a1时, f(x)0无实.根 e
函数 y在( ,0]上单调减少；
在(0,)内 , y 0, 函数 y在[0， ）上单调 . 增加
注 2°
f( x ) 0 ( x ( a ,b ))
(<)
f(x)在(a,b)上单调增 . 加 (减少)
例如，① f(x)x3在 ( , )上单调 , 增
但 f(0)0.
② f(x)3x在 ( , )上单调 , 增加
(1) 若对于任意的 x(a,b), f(x)0,
则 f (x) 在[a , b]上单调增加;
(2) 若对于任意的 x(a,b), f(x)0,
则 f (x) 在[a , b]上单调减少.
证 (1) 任取 x1,x2 [a,b],x1x2,
根据拉格朗日中值定理，得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(1) 若x(a,b),f(x)g(x),且 f(a)g(a),
则在 (a , b)内f (x) > g (x);
(2) 若x(a,b),f(x)g(x),且 f(b)g(b),
则在 (a , b)内f (x) > g (x). 此推论可用来证明函数不等式.
(2) 方程根的确定
yf(x) y
方程： f(x)0
(0 , 2) 5
f(x) －不存在 ＋
f (x)
2 5
(2, ) 5
0－
故 f (x)的单调增区间为[ 0 , 2 ] ,
f (x)的单f(调x)减区23间35为xx,(x 5,00]和[2, ].
5
3. 应用 (1) 证明不等式
例4 证明 0 x ： π 时 ,ta 当 x n x x 3.
二 、函数的极值及其求法
x1.定U义(x40.)1时设 , 总有函 f(x数 )在 U(x0)内有, 定 若当 义
( 1 ) f(x ) f(x 0 ), 则称 x 0为 f (x)的极大值点, 称 f (x0)为 f (x)的极大值;
(2 ) f(x ) f(x 0 ), 则称 x 0为 f (x)的极小值点, 称 f (x0)为 f (x) 的极小值.
x1
O 思路：1 确定f(x)的单调区 : 间
x2 x3
x
(xi1,xi), (i1,2, ,n);
2 查 f(x i 1 )f,(x i)或 f(x i 1 )， f(x i )的符
3利用零点 f(x)定 在 (xi理 1,xi查 )内零点的
利f用 (x)的单调 f(x)在 性 (xi1 可 ,xi)内 知 零 的唯 . 一性
但f(0), 不存 . 在
事实上，定理4.1可推广为：
定理4.1 设yf(x)在[a,b]上连续(a， ,b) 在 内除去有限 , f个 (x)点 0, 外 则yf(x)在 [a,b]上单调. 增加(<)
(减少) 例2 讨f论 (x)xco x在 s[0,2π]上的.单
解 当x[0,2π]时， f(x ) 1 sixn 0 ，
故
f(x 1 )f(x 2 ),
因此 f (x) 在 [a , b] 上单调增加.
(2) 类似可证.
注 1° [a,b]可换成任何区.间 例1 讨论y函 ex 数 x1的单.调性
解 yex1, x( , ).
在( ,0)内, y 0,
例 设 a, b 适合 3a2 5b ，则方程 x5 2ax3 3bx 4c 0 （C ）
(A) 有 5 个不同的实根 (B) 有 3 个不同的实根
(C) 有唯一实根
(D)无实根
解:设 fx x 5 2 a x 3 3 b x 4 c
则 fx5x46ax23 b
5x2
35a2
15b9a2
且只在x一 π点 处f(x)0,故函数 [0， 2在 π内 ]
2 单调递增.
2. 单调区间的确定法
讨论 f (x) 单调性的步骤： 1 确定 f(x)的定义区 ; 间 2求使 f(x)0及f(x)不存在 ; 的点
若这些点只有有限个: ax 1x 2 x nb 3 划分区间 (a ,x 1)(,x 1 ,x 2) ,,(x n ,b ) 4 列表 查 f(x)的符 ,并号 指 f(x)出 的单, 调性
25
0
limfx limfx
x
x
例5 方程 lnxax(a0)有几个实根 解 令 f(x)ln xa,xD(0, ).
f(x) 1a, x
令 f(x)0,得x 1 , a
且当0 xa1时，f(x)0, f (x)单调增加;
当x 1时， a
f(x)0, f ( x)单调减少，
又lim f(x) ,
及单.调区间
2
例3 确定函数 f(x)(1x)x3的单调区间 .
解 1° 确定定义区间 f(x)在 ( , )内连续
2° 求驻点及导数不存在的点
2
f (x) x3
(1
x)
2 3
x
132335xx,
x0,
令 f(x)0,得驻点： x 2 ; 5
导数不存在的点： x0.
3° 列表判别
x (,0) 0
证 令 f(x)taxn(x2 x33)则 , f(x)在[0， 3 2)上连续
f(x ) se 2x c(1 x 2 )
ta 2xn x20 (0 x π) 2
故f(x)在[0， π）单调增 从而， 2
当0 x π时，f(x )f(0 ) 0 , 2
即tanxxx3. 3
推论 设函f数 (x)g ,(x)在闭区间 [a , b] 上连续， 在开区间 (a , b) 内可导，
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一、函数单调性的判定法
二、函数的极值及其求法
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一、函数单调性的判定法
函数的单调性与导数的符号有关
1. 单调区间的判定法
定理4.1 设函数 f(x)在闭区间 [a , b] 上连续， 在开区间 (a , b) 内可导，
x 0f(1)(lna1) a
yy
f
(
1 a
)
OO
limf(x) limx(lnxa) ,
1 a 1 a
xx
x
x x
(1)当 f(a 1)(la n 1)0, 即0a1e时, f (x) 0有两个不同的实根； f(x)ln xax
(2) 当a1时, f(x)0有且仅有一x个e实 ； e
(3) 当a1时, f(x)0无实.根 e
函数 y在( ,0]上单调减少；
在(0,)内 , y 0, 函数 y在[0， ）上单调 . 增加
注 2°
f( x ) 0 ( x ( a ,b ))
(<)
f(x)在(a,b)上单调增 . 加 (减少)
例如，① f(x)x3在 ( , )上单调 , 增
但 f(0)0.
② f(x)3x在 ( , )上单调 , 增加
(1) 若对于任意的 x(a,b), f(x)0,
则 f (x) 在[a , b]上单调增加;
(2) 若对于任意的 x(a,b), f(x)0,
则 f (x) 在[a , b]上单调减少.
证 (1) 任取 x1,x2 [a,b],x1x2,
根据拉格朗日中值定理，得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(1) 若x(a,b),f(x)g(x),且 f(a)g(a),
则在 (a , b)内f (x) > g (x);
(2) 若x(a,b),f(x)g(x),且 f(b)g(b),
则在 (a , b)内f (x) > g (x). 此推论可用来证明函数不等式.
(2) 方程根的确定
yf(x) y
方程： f(x)0
(0 , 2) 5
f(x) －不存在 ＋
f (x)
2 5
(2, ) 5
0－
故 f (x)的单调增区间为[ 0 , 2 ] ,
f (x)的单f(调x)减区23间35为xx,(x 5,00]和[2, ].
5
3. 应用 (1) 证明不等式
例4 证明 0 x ： π 时 ,ta 当 x n x x 3.
二 、函数的极值及其求法
x1.定U义(x40.)1时设 , 总有函 f(x数 )在 U(x0)内有, 定 若当 义
( 1 ) f(x ) f(x 0 ), 则称 x 0为 f (x)的极大值点, 称 f (x0)为 f (x)的极大值;
(2 ) f(x ) f(x 0 ), 则称 x 0为 f (x)的极小值点, 称 f (x0)为 f (x) 的极小值.
x1
O 思路：1 确定f(x)的单调区 : 间
x2 x3
x
(xi1,xi), (i1,2, ,n);
2 查 f(x i 1 )f,(x i)或 f(x i 1 )， f(x i )的符
3利用零点 f(x)定 在 (xi理 1,xi查 )内零点的
利f用 (x)的单调 f(x)在 性 (xi1 可 ,xi)内 知 零 的唯 . 一性
但f(0), 不存 . 在
事实上，定理4.1可推广为：
定理4.1 设yf(x)在[a,b]上连续(a， ,b) 在 内除去有限 , f个 (x)点 0, 外 则yf(x)在 [a,b]上单调. 增加(<)
(减少) 例2 讨f论 (x)xco x在 s[0,2π]上的.单
解 当x[0,2π]时， f(x ) 1 sixn 0 ，