2014-2015学年重庆市重点高中联考高三(上)11月月考数学试卷(文科)_101

2014-2015学年重庆市重点高中联考高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若角α的终边经过点（2，﹣1），则sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为（）A．对∀x∈R，都有sinx＞1 B．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1C．∃x0∈R，使得sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得sinx≤13．已知a，b为非零常数，且a＜b，则下列不等关系中一定成立的是（）A．a2＜b2B．|a|＜|b| C．＜D．＜14．设集合A={a，b}，集合B={5，log2（a+3）}，若A∩B={2}，则A∪B等于（）A．{2，5，7} B．{﹣1，2，5} C．{1，2，5} D．{﹣7，2，5}5．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，=（1，3）B．=（3，5），=（﹣6，﹣10）C．=（﹣1，2），=（﹣2，1）D．=（﹣1，2），=（﹣，1）6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．函数y=ln的图象大致是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），若f（0）+f′（0）=0且a，b＞0，则a+2b 的最小值为（）A．4 B．4C．3+2D．610．数列{a n}满足a n+2=（n∈N*），若a m=0，则m的最小值为（）A．931 B．932 C．933 D．934二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置上）11．曲线y=e x（其中e=2.71828…）在x=1处的切线方程为．12．数列{a n}的前n项的和S n=2n﹣1，则a n=．13．定义运算：a*b=，则函数f（x）=x*的值域为．14．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则实数a的取值范围是．15．关于函数f（x）=cos（sinx），下列说法正确的是．①定义域为R；②值域为[﹣1，1]；③最小正周期是2π；④图象关于直线x=（k∈Z）对称．三、解答题：（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域为A，关于x的不等式（x﹣a）（x+1）＜0的解集为B．（1）求A；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+3命题p：方程f（x）=0的两根x1，x2满足x1＜﹣1＜x2；命题q：f（x）在[2，+∞）上单调递增．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．18．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=12，且{a n+1﹣2a n}是等比数列（1）证明：{}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ccosB+bcosC=4acosA．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积S的最小值．20．已知向量=（cos．﹣sin），=（cos，sin）（1）设函数f（x）=•，求f（x）的单调递增区间；（2）设函数g（x）=•﹣2λ|+|，若g（x）的最小值是﹣，求实数λ的值．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．其中常数a＞0（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线l的方程为y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f （x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市重点高中联考高三（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若角α的终边经过点（2，﹣1），则sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角α的终边经过点P（2，﹣1），利用任意角的三角函数定义求出sinα即可．解答：解：∵点P（2，﹣1），∴x=2，y=﹣1，|OP|=，因此，sinα==﹣．故选：C．点评：此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．2．命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为（）A．对∀x∈R，都有sinx＞1 B．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1C．∃x0∈R，使得sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得sinx≤1考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型；简易逻辑．分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1；故选：C．点评：本题考查命题的否定，熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．3．已知a，b为非零常数，且a＜b，则下列不等关系中一定成立的是（）A．a2＜b2B．|a|＜|b| C．＜D．＜1考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知中a，b为非零常数，且a＜b，举出反例或利用不等式的基本性质可判断四个答案中的不等式是否成立．解答：解：当a=﹣1．b=1时，满足a＜b，此时a2＜b2，故A不一定成立，|a|＜|b|，故B不一定成立，∵a2b2＞0，故＜，即＜，故C一定成立，当a=﹣2．b=﹣1时，满足a＜b，此时，故D不一定成立，故选：C点评：本题考查的知识点是不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．4．设集合A={a，b}，集合B={5，log2（a+3）}，若A∩B={2}，则A∪B等于（）A．{2，5，7} B．{﹣1，2，5} C．{1，2，5} D．{﹣7，2，5}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由已知得log2（a+3）=2，解得a=1，由此求出b=2，从而得到A∪B={1，2，5}．解答：解：∵集合A={a，b}，集合B={5，log2（a+3）}，A∩B={2}，∴log2（a+3）=2，解得a=1，∴b=2，∴A∪B={1，2，5}．故选：C．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．5．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，=（1，3）B．=（3，5），=（﹣6，﹣10）C．=（﹣1，2），=（﹣2，1）D．=（﹣1，2），=（﹣，1）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：探究型；平面向量及应用．分析：判断各个选项中的2个向量是否共线，共线的2个向量不能作为基底，不共线的2个向量可以作为基底．解答：解：A、中的2个向量的坐标对应成比例，，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．B、中的2个向量的坐标对应成比例，，所以，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．C 中的2个向量的坐标对应不成比例，≠，所以，这2个向量不是共线向量，故可以作为基底．D、中的2个向量的坐标对应成比例，=，这2个向量是共线向量，故不能作为基底．故选：C．点评：平面内任何2个不共线的向量都可以作为基底，当2个向量的坐标对应成比列时，这2个向量就是共线向量．6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=0，即2x=2﹣x3，令g（x）=2x，h（x）=2﹣x3，画出这两个函数的图象，一目了然，问题得解．解答：解：令f（x）=0，∴2x=2﹣x3，令g（x）=2x，h（x）=2﹣x3，如图示：，∴函数g（x）和函数h（x）有一个交点，∴函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是1个，故选：B．点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想，是一道基础题．7．函数y=ln的图象大致是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．解答：解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A．B．C．D．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．解答：解：∵，∴∴∴∴∴A=故选B．点评：本题考查正弦定理的运用，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．9．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），若f（0）+f′（0）=0且a，b＞0，则a+2b 的最小值为（）A．4 B．4C．3+2D．6考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：先求导，再根据f（0）+f′（0）=0，得到+=1，再利用基本不等式求出最小值解答：解：∵f（x）=（x﹣a）（x﹣b）∴f′（x）=（x﹣b）+（x﹣a）=2x﹣a﹣b，∵f（0）+f′（0）=0，∴ab﹣a﹣b=0，即ab=a+b，∵a，b＞0，∴+=1∵a，b＞0，∴a+2b=（a+2b）（+）=3++≥3+2=3+2，当且仅当a=b取等号，∴a+2b的最小值为3+2，故选：C点评：本题主要考查了导数和运算和基本不等式，关键求出+=1，属于中档题10．数列{a n}满足a n+2=（n∈N*），若a m=0，则m的最小值为（）A．931 B．932 C．933 D．934考点：数列递推式．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：当a n+1≠0时，由an+2=an﹣可得a n+2a n+1﹣a n+1a n=﹣2，从而可得数列{a n+1a n}是等差数列，可求a n+1a n=1862﹣2（n﹣1）=﹣2n+1864，结合通项可求满足条件的m．解答：解：当a n+1≠0时，由an+2=an﹣，可得a n+2a n+1=a n+1a n﹣2，即a n+2a n+1﹣a n+1a n=﹣2，∵a2a1=19×98=1862，∴数列{a n+1a n}是以1862为首项，以﹣2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，a n+1a n=1862﹣2（n﹣1）=﹣2n+1864，当n=932时，有a932•a933=0，当a n+1=0时，a n+2=0，∴a m=a n+1=0，所以所求的m的最小值为933．故选：C．点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是构造等差数列求解数列的通项公式，属于中档题．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置上）11．曲线y=e x（其中e=2.71828…）在x=1处的切线方程为ex﹣y=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：f'（x）=e x，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是e1=e，而f（1）=e，曲线y=e x在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e=e（x﹣1），即ex﹣y=0．故答案为：ex﹣y=0．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12．数列{a n}的前n项的和S n=2n﹣1，则a n=2n﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用公式求解．解答：解：∵数列{a n}的前n项的和S n=2n﹣1，∴n=1时，a1=S1=2﹣1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1．n=1时，2n﹣1=1=a1．∴．故答案为：2n﹣1．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，是基础题．13．定义运算：a*b=，则函数f（x）=x*的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由新定义确定分段函数在各段上f（x）的表达式，画函数的图象，从而求出值域．解答：解：由题意，①当x×＞0时，也即x或x＞1时，函数f（x）=x；①当x×≤0时，也即0≤x＜1时，函数f（x）=；函数f（x）的图象：从图象上得知：函数f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．点评：考查了函数的值域的求法，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于基础题．14．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则实数a的取值范围是a＜1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则，求解不等式组得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则，解得a＜1．故答案为：a＜1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．15．关于函数f（x）=cos（sinx），下列说法正确的是①④．①定义域为R；②值域为[﹣1，1]；③最小正周期是2π；④图象关于直线x=（k∈Z）对称．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先对函数的性质进行分析利用验证的方法求的结果．解答：解：函数f（x）=cos（sinx），则：函数的定义域为R，故①正确．函数的值域由sinx的值域确定由于﹣1≤sinx≤1函数f（x）=cos（sinx）的最小值取不到﹣1．故②错误．由于f（x+π）=cos[sin（x+π）]=f（x），所以③错误，当x=时，f（）=1，故④正确．故答案为：①④点评：本题考查的知识要点：函数的性质的应用，对称轴的应用属于基础题型．三、解答题：（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域为A，关于x的不等式（x﹣a）（x+1）＜0的解集为B．（1）求A；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：（1）根据函数的概念地出求解即可．（2）根据集合的运算得出集合B={x|﹣1＜x＜a}，a＞﹣1，再根据端点值判断a≥2，即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域满足即：0＜x＜2，∴A={x|0＜x＜2}，（2）∵x的不等式（x﹣a）（x+1）＜0的解集为B，A⊆B，∴集合B={x|﹣1＜x＜a}，a＞﹣1，∵A⊆B，A={x|0＜x＜2}，∴必需满足：故实数a的取值范围为：a≥2点评：本题考察了集合的运算，不等式的求解，函数的定义域，属于综合题．17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+3命题p：方程f（x）=0的两根x1，x2满足x1＜﹣1＜x2；命题q：f（x）在[2，+∞）上单调递增．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据一元二次方程有两根时△的取值情况，及两根之间函数值的符号，以及二次函数的单调性即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∧q为假，p∨q为真知p真q假，或p假q真，求出这两种情况下的a的取值范围再求并集即可．解答：解：由命题p知：，解得：a＜﹣2；由命题q知：a≤2；若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假；∴；∴﹣2≤a≤2；∴实数a的取值范围是[﹣2，2]．点评：考查一元二次方程有两不同实数根时，判别式△的取值情况，以及两根之间的函数值的符号情况，二次函数的单调性，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．18．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=12，且{a n+1﹣2a n}是等比数列（1）证明：{}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得到，两边同时除以2n+1得答案；（2）由{}是以为首项，以为公差的等差数列求其通项公式，得到数列{}的通项公式，然后由等比数列的前n项和得答案．解答：（1）证明：∵a1=1，a2=4，a3=12，且{a n+1﹣2a n}是等比数列，∴，又a2﹣2a1=4﹣2=2，∴，则=．∴{}是以为首项，以为公差的等差数列；（2）解：∵{}是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴，则，∴数列{}的前n项和为20+21+22+…+2n﹣1=．点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：ccosB+bcosC=4acosA．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积S的最小值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，求得cosA的值．（Ⅱ）根据条件，利用两个向量的数量积的定义和基本不等式，求得△ABC的面积S的最小值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosAsin（B+C）=4sinAcosAsinA=4sinAcosA，∵sinA≠0，∴．…（6分）（Ⅱ）因为，所以，bc≥64．又，故，当且仅当b=c时，．…（14分）点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理，两角和差的正弦、余弦公式，基本不等式的应用，属于中档题．20．已知向量=（cos．﹣sin），=（cos，sin）（1）设函数f（x）=•，求f（x）的单调递增区间；（2）设函数g（x）=•﹣2λ|+|，若g（x）的最小值是﹣，求实数λ的值．考点：平面向量的综合题；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的坐标运算可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；（2）利用平面向量模的运算性质可得，|+|=2|cosx|，g（x）=•﹣2λ|+|=cos2x﹣4λ|cosx|=2cos2x﹣4λ|cosx|﹣1，令t=|cosx|，则t∈[0，1]，可知h（t）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2，t∈[0，1]．依题意，通过对λ取值范围的讨论，利用二次函数的性质即可求得λ．解答：解：（1）f（x）=•=cos cos﹣sin sin=cos2x，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ（k∈Z），所以，f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]（k∈Z）；（2）因为|+|2=+2•+=2+2cos2x，所以，|+|=2|cosx|，所以，g（x）=•﹣2λ|+|=cos2x﹣4λ|cosx|=2cos2x﹣4λ|cosx|﹣1，令t=|cosx|，则t∈[0，1]，则h（t）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2，t∈[0，1]．当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，由h（t）min=h（0）=﹣1≠﹣；当0≤λ≤1时，h（t）min=h（λ）=﹣1﹣2λ2=﹣，解得λ=；当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，由h（t）min=h（1）=1﹣4λ=﹣得：λ=＜1，舍去；综上所述，λ=．点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，突出考查三角函数的单调性质，考查分类讨论思想、转化思想，属于难题．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．其中常数a＞0（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线l的方程为y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f （x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），求出函数的导数，对a分情况进行讨论，（Ⅱ）当a=4时，f（x）=x2﹣6x+4lnx，求出f′（x）=2x+﹣6，得到令φ（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）+﹣6x0+4lnx0，求出函数φ（x）的导数，再通过讨论x的范围得出结论．解答：解；（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），∴f′x）=2x﹣（a+2）+==，①当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），②当＞1，即a＞2时，由f′（x）＞0得：0＜x＜1或x＞，由f（x）＜0得：1＜x＜；∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+∞），单调递减区间为（1，）③当＜1，即0＜a＜2时，由f′（x）＞0得：0＜x＜或x＞1，由f′（x）＜0得：＜x＜1∴f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞），单调递减区间为（，1）．（Ⅱ）当a=4时，f（x）=x2﹣6x+4lnx，∴f′（x）=2x+﹣6，y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+﹣6x0+4lnx0，令φ（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）+﹣6x0+4lnx0，则φ（x0）=0，φ′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x0﹣）=（x﹣x0）（），当x0＜时，φ（x）在（x0，）上单调递减．∴当x∈（x0，）时，φ（x）＜φ（x0）=0，从而有x∈（x0，）时，＜0，当x0＞时，φ（x）在（，x0）上单调递减．∴当x∈（，x0）时，φ（x）＞φ（x0）=0，从而有x∈（，x0）时，＜0，∴当x∈（0，）∪（，+∞）时，y=f（x）不存在“类对称点”．当x0=时，φ′（x）=∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞0，所以当x0=时，y=f（x）存在“类对称点”．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，新概念的引出，渗透了分类讨论思想，本题是一道综合题．。