3线性方程组2

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
结论： 可由 1 ,2 ,,n 线性表示的充要条件是 上述方程组有解。 1.方程组有唯一解的充要条件是 可由 1 ,2 ,,n 线性表示，且表示唯一。 1 ,2 ,,n 2.方程组有无穷多解的充要条件是 可由 线性表示，但表示不唯一。 3.方程组有无解的充要条件是 不能由 1 ,2 ,,n 线性表示。
由矩阵的消元法或克莱姆法则解此方程组, 得唯一解
k1 1 k2 2 k 1 3
于是, 向量β 可以由向量组 1 , 2 , 3线性表示. 其线性表示式为 1 2 2 3
练习 设
判定向量β是否可由向量组 1 , 2线性表示 . 解 设 k11 k2 2 即 1 1 3
a11 a 1 21 am 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
k1 3k2 1 2 k 2 2 k 1 1
例3 设
－1 1 0 2 1 , 1 2 , 2 1 , 3 3 5 3 4 6
判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 如果可以, 写出他们的线性表示式. 解 设 k11 k2 2 k3 3 即
每个向量方程都表示一个线性方程组。
x11 x22 xnn 是否可由 1 ,2 ,,n 线性表示的问题为
能否找到一组数 x1 k1 , x2 k2 ,, xn kn使得 x11 x22 xnn 成立。 转化为一方程组是 否有解的问题。
ai bi ( i 1,2,, n)
则称向量 与向量 相等. 记为 (2) 若 n 维向量 (a1 , a2 ,, an ),
(b1 , b2 ,, bn ), 则称 n 维向量 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
所以 x11 x22 xnn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 方程组的向量方程形式。 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
(2) n 维向量组 1 , 2 ,L , m 中的任意 i ( i 1,2,L , m ) 是此n 维向量组的线性组合
i 0 1 L 0 i 1 1 i 0 i 1 L 0 m
T (3)任何一个n维向量(a1 , a2 ,L , an ) 都可由n维基本向量组
(linear representation)
称k1 , k2 ,L , km 为组合系数或简称系数.
关于线性组合，我们有下列有用的结果： (1) n维零向量 O 0 0 L 是任意n维向量组
0
1 , 2 ,L , m 的线性组合, 即
0 0 1 0 2 L 0 m
定义3.2.3 对于 n 维向量 1 , 2 ,L , m , 若存在一组
实数k1 , k2 ,L , km , 使得
k11 k2 2 L km m
则称向量β 是向量组 1 , 2 ,L , m 的线性组合,或称
向量β 可由向量组 1 , 2 ,L , m 线性表示.
定理3.2.1 设 1 , 2 ,L , n , 为 m 维向量, 则向量 β
可由向量组 1 , 2 ,L , n 线性表示的充分必要条件是 方程组(3.1)有解. 即
x11 x2 2 L xn n
有解, 其中 1 , 2 ,L , n 为系数列向量, β 为常数项 列向量，且方程组的一个解就是一组系数 k.
b1 b2 bm
a1n a12 a a22 2n 2 n amn am 2
x11 x22 xnn
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 a, b, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 等表示，如：
的负向量，记为 .
n维基本向量组
ε1 = (1, 0, …, 0)T, ε2 = (0, 1,…, 0)T, …, εn = (0, 0 ,…,1)T
向量的运算和性质
定义3.2.2 (1)
若 n 维向量 (a1 , a2 ,, an ),
(b1 , b2 ,, bn ) 的对应分量都相等, 即
数 （６） ( k l ) k l （数乘分配律）； 乘 （７） ( kl ) k ( l ) （数乘结合律）；
（８） 1 . 其中 , , 是 n 维向量， o 是 n 维零向量， k 和 l 为数域 F 中的任意数．
注 (1)对任意的 , 存在唯一的零向量 0, 使得
a (a1 , a2 ,, an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a1 a2 它们的区别只是写法上的不同. a 若 是行向量, 则 T 是列向量; a n T 若 是列向量,则 是行向量.
称为向量 (a1 , a2 ,, an ) 与数k的数量乘积. 记为
k ( ka1 , ka2 ,, kan )
向量的加法与向量的数乘统称为向量的线性运算.
向量的线性运算满足下述八条运算律：
（１） （加法交换律）； 加 （２） ( ) ( ) （加法结合律）； 法 （３） o ; （４） ( ) o; （５） k ( ) k k （数乘分配律）；
a12 a1n b1 a11 a22 a2 n b2 a 21 2 n 1 a a b a m 2 mn m m 1 a12 x2 a1n xn a11 x1 a x a x a x x11 21 1 , x2 2 22 2 , , xn n 2 n n am 2 x2 amn xn am 1 x1
0
(2)对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得
( ) 0
(3) 0 0; ( 1) ; 0 0. (4)如果 0, 则 0或 O .
例1 设向量 (1,1,0), (2,0,1)以及 满足
2＋＋3 ＝0
求向量 . 解
因为 3 ＝－2－
2 1 3 3 2 2 2 1 ( , ,0) ( ,0, ) 3 3 3 3
2 1 (0, , ) 3 3
所以
二、向量间的线性关系
1.线性组合 (linear combination)
为向量 与向量 的和. 记为
利用向量的加法和负向量，还可以定义向量的减法： 向量减法:
( )
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn ) (3) 设k为数域P中的数, 向量 ( ka1 , ka2 ,, kan )
其中表示系数恰是的分量 a1 , a2 ,L , an .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 例2 写出线性方程组 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 的向量方程形式 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm 令
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
分量全为零的向量 O (0,0, ,0) 称为零向量. 若 (a1 , a2 ,, an ) , 则称 ( a , a ,, a ) 为 1 2 n
－1 1 0 2 1 ＝ k 2 k 1 k 2 3 3 1 5 3 4 6
由向量相等的定义, 得
k1 0k2 2k3 1 2k1 k2 3k3 1 3k 4k 6k 5 2 3 1
解：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 b2 a x a x a x 21 1 22 2 2n n 有 x11 xn n am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
ε1 = (1, 0, …, 0)T, ε2 = (0, 1,…, 0)T, …, εn = (0, 0 ,…,1)T 线性表示为
a1 1 0 0 a 0 1 0 2 a a L a 1 2 n M M M M 0 0 1 an
§3.2
n维向量
一.n 维向量及其线性运算 二.向量间的线性关系