控制测量学边角网坐标平差算例
控制测量学第九章控制网平差
r nt
3
4
L1
p1 0 0
5 6
记：观测值
L n1
L2
相应权阵
p
nn
0
p2
0
7 8
Ln
0
0
pn
9
10
4 /7
v1
平差值改正数
V
n1
v2
vn
平差值
Lˆ
n1
Lˆ1 Lˆ2
Lˆn
L1
L2
Ln
v1 v2
vn
4
控制网平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
13 /7 4
2）平差值函数的权倒数
设有平差值函数为 f Lˆ1, Lˆ2,, Lˆn
它的权函数式为：
d
(
Lˆ1
)dLˆ1
(
Lˆ2
)dLˆ2
(
Lˆn
)dLˆn
f1dLˆ1 f2dLˆ2 fndLˆn
令
f T f1, f2, fn
则 d f T dLˆ
9
2） 改正数条件方程
10
以 Lˆi L（i v=i 1、i 2、… ）代入n (1)得纯量形式为：
5 /7 4
a1v1 a2v2 anvn wa 0
b1v1 b2v2 bnvn wb 0
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
（2）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
控制网平差
第九章 控制网平差
1
2
3 4 5
[本章提要] 9.1 条件平差数学模型和公式
6
9.2 水准网按条件平差算例
7 8
9.3 附合导线按条件平差算例
控制点坐标平差处理
控制点坐标平差处理城市平面控制网的种类较多，有GPS网、三角网、边角组合网和导线网，其中导线网按等级划分为三、四等和一、二、三级。
本文以附合导线的内业数据处理为例，说明控制点坐标平差处理的方法。
导线的内业计算，就是根据起始点的坐标和起始边的坐标方位角，以及所观测的导线边长和转折角，计算各导线点的坐标。
计算的目的除了求得各导线点的坐标外，还有就是检核导线外业测量成果的精度。
在转入内业计算之前，应整理并全面检查外业测量的基础资料，检查数据是否完整，是否有记录错误和计算错误，是否满足精度要求，起算数据是否正确和完整，然后绘制相应导线的平面草图，并将相关数据标示于草图的对应部位。
如图2-21所示的附合导线，观测转折角为左角，计算的步骤如下：(1)填表。
计算之前，首先将示意图中各观测数据（观测角和边长）和已知数据（起始边和附合边的坐标方位角，起始点和终止点的坐标）填入相应表格之中，如表2-19所示。
(2)角度闭合差的计算与调整。
如图2-20所示的附合导线，观测转折角为左角，根据坐标方位角的推算公式可以依次计算各边的坐标方位角：αA1＝αBA＋180°＋βAα12＝αA1＋180°＋β1α2C＝α12＋180°＋β2＋）αCD′＝α2C＋180°＋βCαCD ′＝αBA＋4×180°＋∑β测左计算终边坐标方位角的一般公式为：α终边′＝α始边＋n·180°＋∑β测左（2-5）式中n为导线观测角个数。
角度闭合差的计算公式为：fβ测＝α终边′－α终边（2-6）图2-21 附合导线计算示意图角度闭合差fβ的大小，表明测角精度的高低。
对于不同等级的导线，有不同的限差（即fβ容）要求，例如图根导线角度闭合差的允许值为：fβ容＝±60″n（2-7）式中n为多边形内角的个数。
这一步计算见辅助计算栏，fβ测＝+41″， fβ容＝±120″。
边角网坐标平差算例
§9.8 边角网坐标平差算例例9 今有一边角网如图9-11所示。
网中A 、B 、C 、D 、E 是已知点，起算数据见（表9-12），1P 、2P 是待定点。
同精度观测了九个角度921,,,L L L （见表9-13），测角中误差为5.2''±；测量了五个边长141110,,,L L L ，其观测结果及中误差见表9-13。
试按间接点1P 按 013.493301=x m 702.651301=y m283.468402=x m 948.799202=y m2、由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的坐标方位角改正数方程系数（见表9-14的6～9列）；计算待定边的边长改正数方程的系数（见表9-14的10～13列）。
需要指出，坐标方位角改正数方程的系数的单位是秒/厘米，而边长改正数的系数无单位。
3、计算观测角误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的1～9行。
写出观测边误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的第10～14行。
表中，每一行表示一个误差方程；s 为每个误差方程的和检核数。
设取±2.5″为单位权中误差，则测角的权为22)(i i m P ββμ=令 22i m βμ=，则1)5.2()5.2(2222===ii i m m P βββ（无单位） 观测边的权为 2222)(ii Li mm m P iβμ==（秒2/cm 2）表9-14表9-15表9-163 / 64 / 6各观测值的权写在表9-15的p 列中。
v 为角度及边长的改正数，是在解出坐标改正数后计算的。
表9-15中，角度误差方程常数项的单位为秒，边误差方程常数项的单位为cm ，按误差方程求得观测角和观测边的改正数的单位也分别为秒和cm 。
4、法方程的组成和解算。
由表9-15取得误差方程的系数、常数项、和检核数和权组成法方程的系数、常数项、检核数，其结果和法方程的解算均见表9-16。
三角网坐标平差
三角网坐标平差时间:2009-12-27 来源:本站作者:节选§12.1三角网坐标平差第十二章概述间接平差又称参数平差。
水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。
参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。
由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。
此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。
因此，坐标平差法都按方向平差。
间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。
一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。
本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。
水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未知数可采用一定的法则予以消掉。
由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。
平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。
为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。
坐标平差的第一步是列组误差方程式。
对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。
误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。
12.1.1方向误差方程式的建立和组成在测站k上观测了等方向其方向观测值为它们的改正数为为测站的零方向（起始方向），则任意方向的坐标方位角平差值方程为（12-1）式中：为方向的平差值，为方向的坐标方位角，通常称测站定向角，为定向角的近似值，为定向角的改正数，是个未知参数，，如果令两点的近似坐标分别为和，其相应的改正数分别为和，则有关系：（12-4）（12-3）将上式按台劳级数展开，坐标方位角改正数方程：（12-5）将（12-5）代入（12-4）然后再代入（12-1）得：（12-6）式中，（12-7）计算中，以㎏为单位，和以dm为单位，且换以（12-6）变为，（12-8）式中，（10-9）（12-6）和（12-8）式为方向误差方程式，考虑到边长误差方程式（12-35）式以便于编程常用（12-8）式。
项目三平面控制网平差计算 - 甘肃工业职业技术学院
8
导线及导线网条件平差
在下图所示附合导线中，A, B 为已知点，其坐标
xA 6556.947 m yA 4101.735 m
xB 8748.155 m
yB 6667 .647 m
方位角
AB
493013.4 ，应用红外测距仪观测导线的转折角和边长列
入下表3-1中。试按条件平差法，求各观测值及平差后边的边长相
yC
yA
n
yˆi 1
yA
n
yi 1
n
1
vyi
命
x y
n
xi 1
n
yi 1
(xC (yC
x
A
)
yA )
则
n
vxi
1
n
vyi
1
x y
0
0
7
导线及导线网条件平差
以微分量代替改正数，可得单一符合导线的纵、横坐标条件方程
n
cosivsi
i 1
1
n
( yC
i 1
yi )vi
x j
X
0 jk
(
S
0 jk
)
2
y j
Y
0 jk
(
S
0 jk
)2
xk
X
0 jk
(
S
0 jk
)2
yk
jh
Y
0 jh
(
S
0 jh
)
2
x j
X
0 jh
(S
0 jh
)
2
y j
Y
0 jh
(
S
0 jh
)2
xh
X
0 jh
测边测角三角网的平差
测边测角三角网的平差王庆峰(新疆阿希金矿伊宁835100)随着激光测距仪和电算技术的发展,全站仪已在工程测量中广泛使用,工程控制网中逐渐采用了测边测角网的布设方案。
边、角网的平差,其方法与三角网的平差方法类似。
只是在平差时尚需对边长观测值亦作相应的平差改正。
下面分别讨论测边测角网平差时的条件方程式形式、个数等有关问题。
1测边测角网中条件方程式的形式我们以三角形为基本图形来讨论条件方程式的形式。
图1设在图形中只测量了一条边长及三个内角,则此边长仅作为三角形的起算边长度,平差时只产生一个三内角之和等于180b的条件。
在此基础上,每增测一边就会增加一个边长条件。
边长条件方程式的形式,为简便起见,大多是采用正弦公式的形式。
因此,在三角形中,若总共测量了三条边长及三个内角时,将产生下列3个条件方程式:NA+NB+N C-180b=0a/sinA=b/sinB,或asinB-bsinA=0a/sinA=c/sinC,或asinC-csinA=0(1)式中:a,b,c为平差后的边长,A,B,C为平差后的角度,写成改正数条件方程式形式为:u a+u b+u c+W1=0sinB c u a-sinAcu b+A/pcosB cu b-b/pcosA cu A+w2=0 S++3=(2)式中:w1=Ac+B c+C c-180bw2=acsinBc-b csinAcw3=acsinC c-c csinAc(3)以上各式中A c,B c,C c,a c,b c,c c为角度和边长的观测值;u A,u B,u C,u a,u b,u C为角和边的平差改正数。
若在三角形中仅观测了两个内角(如A和B)和三条边长时,则条件方程式中的三内角和等于180b的条件就没了,只剩下两边长条件方程式。
其形式为:SinB cu a-sinA cu b+a/pcosB cu b-b/pcosA c u a+w1c=0SinC cu a-sinAcu c-a/pcosC cu b-(c/pcosAc+a/pcosC c)u A+w2=0(4)式中C=180b-A-B,计算条件方程式系数时,可用观测值A c、B c代人,即:C c=180b-Ac-Bc.图2若在图2所示的三角形中只观测了一个内角(如角A)和三条边长时,则只产生一个条件,条件方程式的形式可选择为:由平差后的三条边长算得的角A的值应等于角A的观测值相应的最或然改正数,即:(A计算+u A计算)-(A观测+u A观测)=0(5)或u A计算-u A观测+w=0(6)式中:w=A计算-A观测由三条边的长度、、计算角可采用余弦公式=+()38新疆有色金属增刊1inC cu a-sinA c u c A/pcosC cu c -c/pcosAcu A w0a b c A:a2b2c2-2bccosA7即:A 计算=cos-1b 2+c 2-a 2/2bc(8)为了求得u A 计算,微分(7)式得:2ada=2bdb+2cdc-2ccosAdb-2bcosAdc+2bcsinA dA d/p d 式中的d 为微分符号所以dAd/p d=ac/b cc csinA c da-(b cc ccosAc)/(b cc csinAc)db-c c-bcosA c/b cc c sinAcdc(9)因为a/bcsinA c=1/h a (h a 为a 边上的高)b-ccosAc/bcsinAc=acosC c/bcsinA c=cosCc/h a c-bcosAc/bcsinAc=acosB c/bcsinAc=cosB c/h a(10)用改正数代替式(9)中的微分元素,并将式(10)代入,得u A 计算=p d/h A u A -p dcosC c/h A u b-p dcosB c/h A u c(11)因此,条件方程式(11)的最后公式为:P d/h 2u a -p dcosC c/h A u b -p dcosB c/h a u C-u A 观测+w=0(12)式中角B c 和角C c 可按正弦公式求得,即SinB c=sinA c/a cb c SinCc=sinA c/a cc c2测边测角三角网中条件的个数测边测角自由三角网中,条件方程式的总数可按下式确定:r=N+S-2n+3式中:n 为网中三角点的个数;N 为观测角度的个数;S为观测边长的条数。
(整理)测边网.测角网.导线网典型计算
目录摘要0第1章测边网坐标平差 (1)1.1近似坐标计算 (2)1.2计算误差方程的系数及常数项 (3)1.3误差方程 (3)1.4计算观测值的权 (4)1.5组成法方程 (4)1.6平差值计算 (4)1.6.1 坐标平差值 (4)1.6.2 边长平差值计算 (5)1.7精度计算 (5)1.7.1 单位权中误差 (5)1.7.2 待定点坐标中误差 (5)第2章三角网坐标平差 (6)2.1测角网函数模型 (7)2.2坐标方位角计算 (8)2.2.1 近似坐标方位角计算 (8)2.2.2 坐标方位角计算 (8)2.3近似坐标增量、近似边长与误差方程系数 (8)2.4误差方程的组成 (9)2.5确定权和组成法方程 (10)2.6法方程系数阵的逆阵与参数改正数 (10)2.7平差值计算及精度评定 (10)2.7.1 待定点的最或然值 (10)2.7.2 观测值的改正数 (11)2.7.3 点位中误差 (11)2.7.4 观测值平差值 (11)第3 章导线网间接平差 (12)3.1计算各边坐标方位角改正数方程的系数 (14)3.2确定角和边的权 (15)3.3计算角度和边长误差方程系数和常数项 (17)3.4误差方程的组成和解 (17)3.5平差值计算 (23)3.6精度计算 (23)3.6.1 单位权中误差 (23)3.6.2 待定点点位中误差计算 (23)参考文献 (24)指导老师评语 (25)摘要本课程设计介绍了综合运用测量平差基础知识来解决测边网、三角网、导线网坐标平差及精度评定问题，先设定未知参数，根据空间几何关系找出相应的平差模型，按照间接平差的原理，列出观测值误差方程，求出法方程的各系数矩阵，解算未知参数、观测值的改正数，最后进行精度评定，完成课题要求。
通过这一课题，拓宽我们测量数据处理的知识面，启发我们处理实际生产问题的新思路，针对某一实际问题，用经典的误差理论和比较前沿的数据处理方法进行合理的求解，以巩固和加强我们对误差理论和现代测量数据处理方法的理解，增强我们用所学的理论方法解决实际问题的能力。
控制测量学水准网按间接平差算例
例在如图9-10所示的水准网中, 为未知点,水准测量时依图中箭头所示方向观测高差,其结果及路线长度见表9-10。试求各点的相对高程，未知数及平差值 的中误差。
解：（1）本题为没有已知点的独立网，故 。
设 ， ， 。令
m
m
m
表9-9
编号
观测高差（m）
路线长（km）
1
2
3
4
5
6
0.023
-0.8206
+58.00
+17.00
-1.8889
-5.00
-1.22
+0.1414
+3.00
+6.45
-0.8206
+58.00
35.45
+1
-0.1111
-1
-0.78
+0.0911
0
0
0
0
-0.18
+6
-0.6667
+4
+5.34
-0.6239
+5
+7.86
-1.0000
0
+6
-0.6667
8.56
0.9074
-2.00
+0.2222
-2.00
-2.44
+0.2850
9.00
7.86
0.1794
+12.00
-1.3333
-10.00
-7.33
+0.8563
-2.00
-1.41
+0.1794
58.00
35.47
+17.00
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边角网坐标平差算例
例9 今有一边角网如图9-11所示。
网中A 、B 、C 、D 、E 是已知点，起算数据见（表9-12），1P 、2P 是待定点。
同精度观测了九个角度921,,,L L L （见表9-13），测角中误差为5.2''±；测量了五个边长141110,,,L L L ，其观测结果及中误差见表9-13。
试
定点13 013.493301=x m 702.651301=y m
283.468402
=x m 948.799202=y m
2、由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的坐标方位角改正数方程系数（见表9-14的6～9列）；计算待定边的边长改正数方程的系数（见表9-14的10～13列）。
需要指出，坐标方位角改正数方程的系数的单位是秒/厘米，而边长改正数的系数无单位。
3、计算观测角误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的1～9行。
写出观测边误差方程的系数和常数项，其结果见表9-15的第10～14行。
表中，每一行表示一个误差方程；s 为每个误差方程的和检核数。
设取±2.5″为单位权中误差，则测角的权为
2
2)(i i m P ββμ=
令 2
2
i m βμ=，则1)5.2()5.2(2
2
22==
=i i
i m m P ββ
β（无单位） 观测边的权为 222
2)
(i
i Li m
m m P i
β
μ=
=
（秒2/cm 2）
表9-14
表9-15
3
表9-16
4
各观测值的权写在表9-15的p 列中。
v 为角度及边长的改正数，是在解出坐标改正数后计算的。
表9-15中，角度误差方程常数项的单位为秒，边误差方程常数项的单位为cm ，按误差方程求得观测角和观测边的改正数的单位也分别为秒和cm 。
4、法方程的组成和解算。
由表9-15取得误差方程的系数、常数项、和检核数和权组成法方程的系数、常数项、检核数，其结果和法方程的解算均见表9-16。
将解出的未知数代入法方程校核，均正确无误。
计算PV V T ，得 34.289=T PV V
将解出的未知数代入误差方程，计算观测值的改正数，结果写在表9-15的v 列。
5、平差值计算 （1） 坐标平差值
038.4333025.0013.493310
1
1=+=+=x x x δm 767.6513065.0702.651310
1
1=+=+=y y y δm 394.4684111.0283.468420
2
2=+=+=x x x δm 960.7992012.0948.799220
2
2=+=+=y y y δm （2） 观测值的平差值
将表9-15中的改正数与表9-8-2中的观测值相加，即得观测值的平差值，记于表9-16中。
经检核，以上平差值间消除了不符值。
检核是这样进行的：由点B 、A 和角2
ˆL 、1ˆL 计算1P 点的坐标；由点C 、B 和角5
ˆL
、4
ˆL 计算1P 点坐标；由点1P 和5
ˆL 、7
ˆL 、13
ˆL 计算2
P 点坐标；由点2P 和5ˆL 、7
ˆL 、8ˆL 、14ˆL 计算D 点坐标。
计算结果都和上面求得的或给定的坐标一致，此处不再列出。
（3） 待定边的坐标方位角和边长（检核）平差值。
由待定点的坐标平差值和已知点的坐标计算待定边的坐标方位角和边长平差值，结果写在表9-18中。
4.5''±= 9.112.04.51±=±=x m cm
4.220.04.51±=±=y m cm 1.3)4.2()9.1(221±=+±=p M cm 9.112.04.51±=±=x m cm 6.223.04.52±=±=y m cm 2.3)6.2()8.1(222±=+±=p M cm
以上未知数的权倒数的单位为（厘米）2/（秒）2。