第一章 函数 1

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例1. 解不等式 |x|+|2x+6|≤9. ≤
解：为将绝对值符号去掉，把实数分成三部分来讨论： 为将绝对值符号去掉，把实数分成三部分来讨论： (1) x<−3，不等式化为： −x−(2x+6)≤9， 解得：x ≥− ， − ，不等式化为： − ≤ ， 解得： ≥−5， 与所论范围x<− 的交集为 的交集为： 与所论范围 −3的交集为：−5 ≤ x < −3. (2) −3 ≤ x<0，不等式化为： −x+(2x+6)≤9，解得：x ≤ 3， ，不等式化为： ≤ ，解得： ， 与所论范围− 的交集为： 与所论范围−3 ≤ x<0的交集为：−3 ≤ x <0. 的交集为 (3) x ≥0，不等式化为： x+(2x+6)≤9，解得：x ≤ 1， ，不等式化为： ≤ ，解得： ， 与所论范围x 的交集为： 与所论范围 ≥ 0的交集为：0 ≤ x ≤ 1. 的交集为 的解集为三部分解集的并集： 故不等式 |x|+|2x+6|≤9的解集为三部分解集的并集： ≤ 的解集为三部分解集的并集 X={x | −5 ≤ x ≤ 1 }。 。
O
记作 [a , b ) 记作 (a , b]
有限区间
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
a
O
x
b
x
R= (−∞,+∞).
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区间长度的定义: 区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
B.邻域 B.邻域
1 当x > 0 y = sgn x = 0 当x = 0 − 1 当x < 0
1 o -1 x y
x = sgn x ⋅ x
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(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数 表示不超过
y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 阶梯曲线
当 1−x ≠ −1, 即, x ≠2时, − 时 当 x ≠ −1, 且 x ≠ 0时, 时
1 1− 1 x = x − 1. f( )= 1 x+1 x 1+ x
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f (1 − x ) =
1 − (1 − x ) x = ； 1 + (1 − x ) 2 − x
B.分段函数 分段函数 在自变量不同的范围内, 在自变量不同的范围内 对应的法则用不同的 解析式表示的函数称为分段函数 分段函数. 解析式表示的函数称为分段函数 几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
x0 )
f (x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定: 约定 定义域是自变量所能取的使表达式有意义 的一切实数值. 的一切实数值
例如， y = 1 −: ( −1,1)
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1 例如， 例如， y = 1 − x2
1 + tan x 例如 y = tan( x + ) 与 y = 4 1 − tan x
这两个不等式还可以推广到有限多个实数的情形。 这两个不等式还可以推广到有限多个实数的情形。 不等式还可以推广到有限多个实数的情形
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证明: 对于任一正实数M, 总有解. 例2. 证明 对于任一正实数 不等式 |x5−x3+x2−2| >M 总有解
证明： 证明：当 |x| ≥2时, 恒有 | x5| ≥4| x3| , | x3|>| x2|>2, 时 恒有: − 故，| x5−x3+x2−2| ≥| | x5|−|x3－x2+2| | ≥| x5|−(|x3|+x2+2) − >4| x3|−(|x3|+| x3|+| x3| )=| x3| , − 的前提下, 所以在 |x| ≥2 的前提下 由 | x3| >M， ， 必得： 必得：| x5−x3+x2−2|>M, 的解集是: 的解集的子集, 故, | x3| >M 的解集是 | x5−x3+x2−2|>M 的解集的子集 的解集包含集合： 即, | x5−x3+x2−2| >M 的解集包含集合：
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1.2.2 函数的定义 是两个变量, 是一个给定的数集, 定义 设 x和 y是两个变量 D是一个给定的数集 和 是两个变量 是一个给定的数集 如果变量x在 取定的每一个数 取定的每一个数, 如果变量 在D取定的每一个数 变量 y 按照一定的 法则总有确定的数值与之对应, 则称y是 的函数. 法则总有确定的数值与之对应 则称 是x的函数 数集D叫做这个函数的定义域 数集 叫做这个函数的定义域 叫做这个函数的
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第1章 函数 章
1.1 实数集 1 1.1.1 集合 A. 集合 集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 具有某种特定性质的事物的总体 元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素 或 a ∈ A, 或 a ∉ A,
必有： 如果 x ∈ A, 必有：x ∈ B , 则称 A是B的子集 .
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1.1.2 实数集 A.实数集的常见子集 实数集的常见子集: 实数集的常见子集 R----实数集 实数集 Z----整数集 整数集 Q----有理数集 有理数集 N----自然数集 …,等 自然数集, 自然数集 等
它们的关系: 它们的关系 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R, 实数与数轴上的点可以建立一一对应的关系. 实数与数轴上的点可以建立一一对应的关系 故可将实数称为数轴上的点, 故可将实数称为数轴上的点 也可将数轴上的点称为 实数。 实数。
y = f (x)
因变量 自变量
当x0 ∈ D时, 称 f ( x0 )为函数在点 x0 处的函数值 .
函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D} 称为函数的值域 .
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函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
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1− x 1 , 求 f ( − x ), f (1 − x ), f ( ) 例1. f ( x ) = 1+ x x
定义域为： 解：f(x)定义域为：x ≠ −1, 即： (−∞, −1)∪(−1, +∞), 定义域为 − ∪− ∞ 故当 −x ≠ −1, 即, x≠ 1时, ≠ 时
1 − (− x ) 1 + x f (− x ) = = ； 1 + (− x ) 1 − x
区间
记作 A ⊆ B , 或 B ⊇ A.
不含有任何元素的集合称为空集，记作 不含有任何元素的集合称为空集，记作: Φ。 空集 规定: 空集是任何集合的子集. 规定 空集是任何集合的子集
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是给定集合 设A、B是给定集合 当同时有 B⊆A, A⊆B, 、 是给定集合, ⊆ ⊆ 则称A与 相等 记作A=B . 相等, 则称 与B相等 记作 B.集合的表示 集合的表示 列举法 : A = {a1 , a2 ,L, an }, 描述法 : A = { x x所具有的特征 },
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x
(3) 狄利克雷 Dirichlet)函数 狄利克雷(
1 当 x 是有理数时 y = D( x ) = 0 当 x 是无理数时
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常见的(绝对 不等式 常见的 绝对)不等式： 绝对 不等式：
( 1 ). a + b ≤ a + b
1 ( 2 ). ( a + b ) ≥ 2 ab
可推得: − 由(1)可推得 | x−y | ≥| | x |−| y | |， 可推得 − ， 可推得: 由(2)可推得 可推得
1 + x ≥ 2. x
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B.实数的绝对值和不等式 实数的绝对值和不等式 为任意实数， 的绝对值|a|定义为 设a为任意实数，则a的绝对值 定义为： 为任意实数 的绝对值 定义为：
− a , 当 a < 0时 a = 当 a ， a ≥ 0时
几何上表示数轴上点x=a到数轴原点 的距离。 到数轴原点O的距离 几何上表示数轴上点 到数轴原点 的距离。 不等式根据它所成立的范围可分为： 不等式根据它所成立的范围可分为： 在实数集内恒成立。 绝对不等式 —在实数集内恒成立。 在实数集内恒成立 条件不等式—在实数集的某个子集内成立 在实数集的某个子集内成立。 条件不等式 在实数集的某个子集内成立。 矛盾不等式—在实数集内恒不成立 在实数集内恒不成立。 矛盾不等式 在实数集内恒不成立。
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1.2.3 函数的表示 分段函数 A. 函数的表示 (1)解析表示法 解析表示法 (2)列表表示法 列表表示法 (3)图形表示法 图形表示法
y
y = f (x)
W
O
y
⋅( x, y) ⋅ x
D
x
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
函数y = f ( x )的图形 .
例如 A = { x x 2 − 3 x + 2 = 0且 x ∈ R} = {1,2}. B = { x x 2 + 1 = 0且 x ∈ R} = Φ .
C.集合的运算 集合的运算 两集合的并集 两集合的并集 两集合的交集 两集合的交集 两集合的差集 两集合的差集 A∪B={x | x∈A 或 x∈B}． ∪ ∈ ∈ ． A∩B={x | x∈A 且 x∈B}． ∩ ∈ ∈ ． A－B={x | x∈A 且 x∉B}． － ∈ ∉ ．
设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 .
点a叫做邻域的中心 , δ 叫做邻域的半径 .