8.4圆(2)圆的一般方程
圆的标准方程.
圆的标准方程是什么？
圆的所有公式
周长：C=2πr （r半径）
面积：S=πr²
半圆周长：C=πr+2r
半圆面积：S=πr²/2
圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是（x -a）²+（y-b）²=r².
圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x²+y²+Dx+ Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a²+b².
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点,则PO是点到圆心的距离）,P在⊙O外,PO＞r；P在⊙O上,PO＝r；P在⊙O内,PO＜r.
直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离,PO＞r；AB与⊙O相切,PO＝r；AB与⊙O相交,PO＜r.
两圆之间有5种位置关系：无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含；有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切；有两个公共点的叫相交.两圆圆心之间的距离叫做圆心距.
两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜。
圆形方程公式
圆形方程公式圆形在我们的生活中无处不在，像盘子、车轮、钟表的表面等等。
那要怎么用数学语言来准确地描述一个圆形呢？这就得提到圆形方程公式啦。
咱先来说说最简单的情况，就是以坐标原点为圆心的圆。
这时候，它的方程是 x² + y² = r²。
这里的 r 就是圆的半径。
比如说，一个半径为5 的圆，它的方程就是 x² + y² = 25 。
这就好比我们在地图上给一个圆定了个位置和大小。
那要是圆心不在原点呢？这也不难，假设圆心的坐标是 (a, b) ，半径还是 r ，那方程就变成了 (x - a)² + (y - b)² = r²。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个圆，然后问大家怎么用方程来表示它。
有个调皮的小家伙举手说：“老师，这圆看起来像我早上吃的甜甜圈！”全班哄堂大笑。
我接着问他：“那你能把这个像甜甜圈的圆用方程写出来吗？”他挠挠头，认真思考了一会儿，还真给出了一个差不多正确的答案。
咱们再深入一点，圆形方程公式在解决实际问题中那可太有用了。
比如说，工程师在设计一个圆形的建筑结构时，就得靠这个公式来计算各种参数；或者在计算机图形学中，绘制一个完美的圆形也离不开它。
还有啊，在数学考试中，圆形方程公式经常会和其他的知识点结合起来，像是直线方程、函数等等。
这就要求我们得把这个公式吃得透透的，才能在解题的时候游刃有余。
回到我们的日常生活中，圆形方程公式虽然看似抽象，但其实处处都有它的影子。
比如我们用手机导航的时候，那个定位的小图标在地图上形成的轨迹，其实就可以用圆形方程来描述。
总之，圆形方程公式虽然只是数学海洋中的一小部分，但它的作用可不容小觑。
我们要好好掌握它，才能在数学的世界里更加自由地探索和发现。
希望大家通过我的讲解，能对圆形方程公式有更清晰的认识和理解，以后遇到相关的问题都能轻松解决！。
课件8：4.1.2 圆的一般方程
跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点， 又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12， 两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的 圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________． 【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1， 所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1， 所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2， 解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC
8.4.2 圆的一般方程
表示以 - ,2
D
为
圆心,以
1 2
D2 + E 2 -4F 为半
径的圆
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做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是 ( ) A.k<2 B.k>2 C.k≥2 D.k≤2 解析:依题意有(-4)2+42-4×(10-k)>0,解得k>2. 答案:B
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1.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这 时这个方程叫作圆的一般方程.
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分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可 设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程.
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易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得 -������ + 5������ + ������ + 26 = 0, -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 5������ + 5������ + ������ + 50 = 0, ������ = -4, 解得 ������ = -2, ������ = -20.
圆的一般方程的圆
圆的一般方程的圆
通常来说，圆是一个平面图形，其中心点会穿过其上的每一个点，即所有这些点距离圆心的距离是相等的。
圆的一般方程是一个有用的方法来表示圆，它使用圆的一般参数来创建一个方程，可以表示所有圆的基本特征。
圆的一般方程通常表示为：（x-a）²＋（y-b）²＝r²，其中a表示圆的中心的横坐标，b表示圆的中心的纵坐标，r表示圆的半径。
可以根据圆心坐标和半径来求解这个方程，得到一个圆。
举例来说，有一个圆心在(5,5)，半径为2，则该圆的一般方程可以表示为：（x-5）²＋（y-5）²＝4，其中4来自于2的平方。
圆的一般方程也可以用于计算圆上点的距离。
以上一个圆为例，如果要计算圆心到圆上其他点的距离，只需要把这个点的横坐标和纵坐标带入到方程中，如(x1,y1)，然后求解：（x1-5）²＋（y1-5）²＝r²，这样可以得到欧氏距离，从而计算出两点间的距离。
总而言之，圆的一般方程是一种简单有效的方法来表示一个圆，可以用来确定圆的中心参数和半径，还可以计算圆上点到圆心的距离。
8.4圆(2)圆的一般方程
是否具有这样特点的就一定是圆的方程呢？
判断下列方程是什么图形：
x2 y2 -2x 4 y 1 0 x2 y2 -2x 4 y 5 0
x2 y2 -2x 4 y 6 0
(x 1)2 ( y+2)2 4 圆 (x 1)2 ( y+2)2 0 点 (x 1)2 ( y+2)2 -1
所以所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25.
第9页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示的
图形是一个圆，求a的取值范围.
解 D=a，F=2a，E=2a2+a-1
∵方程表示的图形是圆
∴ a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0
r D2 E2 4F 4 2
得 D 4, E 6, F 3
第8页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
过点M(-1，1)，并与已知圆x2+y2-4x+6y-3=0同心
的圆的方程.
解 圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心是 (2, 3）
故所求圆的圆心为 (2, 3） 所求圆过M(-1，1)，则所求圆的半径为 r （2 1）2 （-31）2 5
(x 1)2 ( y 3)2 5
x2 y2 2x 6y 5 0
第11页，共14页。
8．4.1 圆的一般方程
3. 已知圆x2+y2-Dx-Ey-F=0的半径是4且与过点M(-1，1)的 圆x2+y2-4x+6y+F1=0是同心圆，求D、E、F、F1的值.
D 4, E 6, F 3, F1 12
不是任何图形
学圆与方程圆的一般方程
2023《学圆与方程圆的一般方程》CATALOGUE目录•圆的一般方程的定义•圆的一般方程的推导•圆的一般方程与图形关系•圆的一般方程的实际应用•圆的一般方程的扩展应用01圆的一般方程的定义圆的一般方程是描述圆的另一种形式，其公式为 x² + y² +Dx + Ey + F = 0，其中D² + E² - 4F > 0，且D、E、F是常数。
这个方程实际上是圆的一般形式，它可以表示所有形状的圆，包括实心圆和空心圆。
圆的一般方程具有普遍性，它可以描述各种形状和大小的圆。
与标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²相比，一般方程提供了更为灵活的表述方式，可以描述那些不以原点为中心的圆。
相同点两种方程都描述了圆的几何属性。
不同点标准方程仅适用于以原点为中心的圆，而一般方程适用于所有形状和大小的圆，包括那些不以原点为中心的圆。
此外，标准方程中的半径r在一般方程中并未明确给出，需要通过解方程来求得。
圆的一般方程与标准方程的异同02圆的一般方程的推导圆是一种平面图形，其中心到其上任意一点的距离相等。
根据这个定义，我们可以得出圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^2$，其中(a,b)为圆心，r为半径。
从标准方程推导一般方程将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。
整理后得到一般方程为$x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$。
一般方程中不出现半径r，而是用a、b表示圆心，因此更为通用。
同时，一般方程也适用于任意大小的圆，而不仅仅是单位圆。
圆的定义转化过程特点分析根据圆的标准方程和圆的定义，我们可以推导出一般方程。
首先，将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。
圆的一般方程 (简)
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径
10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
知识回顾：
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
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整理得
3 a2 +4a-4<0
2 解得 2 a 3
8．4.1 圆的一般方程
1.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程，则a满足的条件是 2.求下列各圆的一般方程 (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)
a
1 2
.
x y 16x 6 y 48 0.
2 2
(2)圆的直径的两个端点坐标为A(-1，2)，B(3，4).
令D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 , 则
x2 y 2 Dx Ey F .1 圆的一般方程
x2 y 2 Dx Ey F 0
具有以下特点： 1.这是一个二元二次方程； 2.方程含x2项的系数与含y2的系数都是1； 3.方程不含xy项.
8．4.1 圆的标准方程
第72页 习题8.4 第3题，第7题.
8．4.1 圆的标准方程
( x 1)2 ( y 3)2 5
x y 2x 6 y 5 0
2 2
8．4.1 圆的一般方程
3. 已知圆x2+y2-Dx-Ey-F=0的半径是4且与过点M(-1，1)的 圆x2+y2-4x+6y+F1=0是同心圆，求D、E、F、F1的值.
D 4, E 6, F 3, F1 12
叫做 圆的一般方程 其中D、E、F均为常数.
与标准方程的关系： 1.一般方程是标准方程的展开式，标准方程是一般方程的配 方式.
D E D2 E 2 4F 2.a , b , r = 2 2 2
8．4.1 圆的一般方程
判断以下是否为圆的方程，若是指出圆心坐标和半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆 点
不是任何图形
8．4.1 圆的一般方程
将x2 y 2 Dx Ey F 0配方整理有
D 2 E 2 D2 E 2 4F （x+ ) ( y ) 2 2 4
1.当D 2 E 2 4 F 0时，方程是一个圆，圆心C坐标（ D E , ), 2 2
第八章
直线和圆的方程
圆的一般方程
8.4.2
圆的标准方程： ( x a)2 ( y b)2 r 2 展开圆的标准方程：
x2 2ax a2 y 2 2by b2 r 2
x2 y 2 (2a) x (2b) y (a2 b2 r 2 ) 0
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
8．4.1 圆的一般方程
已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3）， 半径为4,求D、E、F. 由题意有：
a D E 2, b 3 2 2
是否具有这样特点的 就一定是圆的方程呢？
8．4.1 圆的一般方程
是否具有这样特点的就一定是圆的方程呢？
判断下列方程是什么图形：
x2 y 2 -2x 4 y 1 0 x2 y 2 -2x 4 y 5 0 x2 y 2 -2x 4 y 6 0
( x 1)2 ( y+2)2 4 ( x 1)2 ( y+2)2 0 ( x 1)2 ( y+2)2 -1
D2 E 2 4F 半径为 ； 2 D E 2.当D 2 E 2 4 F =0时，方程表示点(- ,- )； 2 2
3.当D2 E 2 4F 0时，不是任何图形.
8．4.1 圆的一般方程
方程
x2 y 2 Dx Ey F 0 (其中D2 E 2 4F 0）
D2 E 2 4F r 4 2
得
D 4, E 6, F 3
8．4.1 圆的一般方程
过点M(-1，1)，并与已知圆x2+y2-4x+6y-3=0同心 的圆的方程.
圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心是(2, 3）
故所求圆的圆心为 (2, 3） 所求圆过M(-1，1)，则所求圆的半径为
2 2 r （2 1 ） （-3 1 ） 5
所以所求圆的方程为
( x 2) 2 ( y 3) 2 25.
8．4.1 圆的一般方程
方程 x
2
y ax 2ay 2a a 1 0 表示的
2 2
图形是一个圆，求a的取值范围. D=a，F=2a，E=2a2+a-1 ∵方程表示的图形是圆 ∴ a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0
8．4.1 圆的一般方程
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?