最新届湖南省雅礼中学高三上学期11月份月考(三)数学理试题
解析2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学试卷及答案
2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}3A x x =>，104x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．∅ B ．(]3,4C ．()3,4D ．()4,+∞答案：C【解析】把分式不等式转化为等价不等式组，求出集合B ，即可求出A B . 不等式104x x -≤-等价于()()14040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得14x ≤<. {}{}14,3B x x A x x ∴=≤<=>.{}34A B x x ∴⋂=<<.故选：C .本题考查解分式不等式和集合的运算，属于基础题. 2．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A先找出x y a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．由a>1,得x y a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0 故“x y a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件 故选A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21xg x =+D ．()f x ()g x 答案：D函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数. 故选：D4．已知x y >，a b <，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．x b y a ->- B ．ax by ay bx +<+ C ．ay bx < D ．ax by >答案：B根据题意，取特殊值判断ACD ，做差法判断B 选项即可得答案. 解：对于A 选项，当1,0,0,2x y a b ====时，x b y a -<-，故错误； 对于B选项，由于x y>，a b <，故0,0x y a b ->-<，故()()()()0ax by ay bx a x y b x y x y a b +--=---=--<，即ax by ay bx +<+，故正确；对于C 选项，当0,1,0,2x y a b ==-==，则ay bx =，故错误； 对于D 选项，当1,0,0,2x y a b ====，则ax by =，故错误. 故选：B5．国内生产总值（GDP ）指按市场价格计算的一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果.下图是我国2014~2018年连续5年的GDP 及增速图，则下列结论错误的是（ ）A ．连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长B ．2014~2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势C ．2018年GDP 为这5年最高，GDP 增速为这5年最低D ．2018年GDP 相对2014年GDP 增长了一倍以上 答案：D根据表中的数据，依次分析各选项即可得答案.解：根据表中数据，对于A 选项，2018年国民生产总值增长率最低，为6.6%左右，故连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长，正确；对于B 选项，根据增长率折线图可知，2014~2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势，故正确； 对于C 选项，2018年GDP 为90万亿，为5年最高，GDP 增速为6.6%左右，为5年最低，故正确； 对于D 选项，由表中数据，2014年GDP 为64万亿左右，2018年GDP 为90万亿左右，故没有增长一倍以上，故错误. 故选：D6．函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），则下列说法正确的是（ ） A ．1x e B ．1x e <C ．2x e > D ．2x e <答案：C根据题意设y kx =与()2ln f x x =相切于()00,P x y ，进而求得()e,2P ，切线方程为2ey x =，再数形结合求解即可得答案.解：设y kx =与()2ln f x x =相切于()00,P x y ，()2'f x x= 所以()00002ln 2x k f x x x ==='，即0ln 1x =，解得0e x = 所以函数()2ln f x x =在点()e,2P 处的切线方程为2ey x =， 因为函数函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），所以y kx =与()2ln f x x =的图像如图所示，由上图可知121x e x <<<. 故选：C7．某校对初三毕业生成绩进行抽样调查得到下表： 样本人数 语文成绩A 等的人数 英语成绩A 等的人数 语文和英语成绩都是A 等的人数1000880836748用样本频率来估计概率，现随机抽取一位初三毕业生调查，若该生的语文成绩不是A 等，那么他的英语成绩是A 等的概率为（ ）A ．1115B ．1720 C ．1719D ．1130答案：A设1A 为“语文A 等”，2A 为“英语A 等”，则()1288n A A =，()1120n A =，进而根据条件概率求解即可. 解：设1A 为“语文A 等”，2A 为“英语A 等”，则()1288n A A =，()1120n A =， 所以()()()12211881112015n A A P A A n A ===∣. 故选：A8．已知圆锥的表面积为2π，则其体积的最大值为（ ） A ．3πB ．2π C ．πD ．2π答案：A根据给定条件设出圆锥底面圆半径，将圆锥体积表示为此半径的函数，求出函数最值作答. 设圆锥底面圆半径为r ，母线长为l ，高为h ，依题意，22r rl πππ+=，则2l r r =-，由l r >得01r <<，h圆锥体积212333V r h πππ====，当且仅当212r =，即22r时取“=”， 所以圆锥体积的最大值为3π. 故选：A 二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数11i z =+，22i z =-，则下列结论正确的是（ ）A ．1zB ．2z 的虚部为1-C ．12z z ⋅对应的点位于复平面第一象限D ．1z 的共轭复数为1i --答案：ABC根据复数的相关概念依次讨论各选项即可得答案.解：对于A 选项，1z 的模为1z 对于B 选项，2z 的虚部为1-，故正确；对于C 选项，()()121i 2i 3i z z ⋅=+-=+，对应的点的坐标为()3,1，在第一象限，故正确； 对于D 选项，1z 的共轭复数为1i -，故错误. 故选：ABC10．关于函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，下列说法正确的是（ ）A ．由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到B ．对称轴为212k x ππ=+，k ∈Z C ．在区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点 答案：BD根据正弦函数的图象性质一次分析判断各选项即可得答案.对于A 选项，sin 2y x =的图象向左平移6π得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故错误；对于B 选项，令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得212k x ππ=+，k ∈Z ，故正确；对于C 选项，,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，220,33x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数sin y x =不单调，故错误；对于D 选项，2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，42,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，恰有,0,ππ-对应的三个零点，故正确. 故选：BD11．平行六面体ABCD A B C D ''''- 中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（ ）A ．当2πθ=时，23AC '=B ．AC '和BD 总垂直 C ．θ的取值范围为2(0,)3πD ．θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是6π 答案：ABC对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.平行六面体ABCD A B C D ''''- 中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=， 对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长3AC '=A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++'，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB'⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ， 令O 为正A BD '的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos 2cos22AE AB θθ==，2sin4sin22BD AB θθ==，则3232OE BD θ==， 显然，AE OE >，即232cos 22θθ>，则tan 32θ<(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ=时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等， 由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE --A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得6r = 于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346(63V ππ=⨯=，D 不正确. 故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.12．已知数列{}n a ､{}n b 都是等比数列，且111b a -=，222b a -=，333b a -=，若等比数列{}n a 唯一，则在下列各值中，1a 不可能为（ ） A ．1 B ．12-C ．13D ．1-答案：ABD设数列{}n a 的公比为q ，由题意得21114310a q a q a -+-=有唯一非零解，进而当Δ0=时得{}{}n n a b ､不满足等比数列，故Δ0>时，0q =为方程的一根，进而得113a =，再判断选项即可.解：设数列{}n a 的公比为q ，由题意得2132b b b =，将条件代入得：()()()2221111111324310a a q a q a q a q a ++=+⇒-+-=，因为等比数列{}n a 唯一，所以上述关于q 的方程有唯一非零解.则当2111Δ4400a a a =+=⇒=或11a =-，均不满足{}{}n n a b ､是等比数列的条件；当Δ0>时，必有0q =为方程的一根，解得113a =，经检验符合题意.故113a =，故选：ABD 三、填空题13．已知向量,a b 满足1,||||2a b a b ⋅===，则||a b +=___________.根据向量模的数量积表示计算即可得答案. 解：因为1,||||2a b a b ⋅===， 所以()222210a b a ba b a b +=+=++⋅=.14．动圆P 的圆心在抛物线24y x =上运动，且保持与直线116y =-相切，则动圆P 经过定点的坐标为___________. 答案：10,16⎛⎫⎪⎝⎭结合抛物线的定义求得定点坐标. 214x y =，焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线116y =-，由抛物线的定义知其上一点到准线的距离等于其到焦点的距离，结合题意可知动圆必过焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭15．清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任志愿者，去A ，B 两个场馆进行工作.现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组各指定一名组长，再将两组分别指派到A ，B 两个场馆，则不同的工作方案数为___________. 答案：180先根据平均分组问题将6人分成两组，再选出各组队长，最后分配到两个场馆即可.解：根据平均分组问题将6人分成两组，每组3人，有3336102C C =种不同的分法；再选各组的组长，有11339C C ⋅=种情况，最后将两组分配到A ，B 两个场馆，则有222A =种可能，所以，根据乘法原理得共有31126332331802C C C A C ⋅⋅⋅=种不同的方案. 故答案为：18016．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，点()1,1,B P -为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是____________. 答案：2 设P （x ，y ），PBPA=t ，则（1﹣t 2）x 2+（1﹣t 2）y 2﹣2x+（2﹣4t 2）y+2﹣4t 2=0， 圆x 2+y 2=2两边乘以（1﹣t 2），两圆方程相减可得x ﹣（1﹣2t 2）y+2﹣3t 2=0，（0，0）到直线的距离d=()222232112t t-≤+-，∵t ＞0，∴0＜t≤2， ∴PBPA的最大值是2， 故答案为:2． 四、解答题17．如图，在凸四边形ABCD 中，AC 为对角线.已知3AD =， 2AC =，45D ∠=，cos cos AC B BC CAB ∠∠⋅=⋅.(1)判断ABC 的形状特点； (2)若2AB =，求CD .答案：(1)等腰三角形或者直角三角形 (2)62CD +=（1）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式得sin2sin2B CAB ∠∠=，进而得∠=∠B CAB 或90B CAB ∠+∠=，即可得答案；（2）解法一：根据题意，结合（1）得ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，进而结合正弦定理求解得CD =解法二：在ACD △中，由余弦定理得CD =1）得ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，故cos 0DCA ∠>，可得1CD >排除CD =. (1)解：ABC 中，cos cos AC B BC CAB ∠∠⋅=⋅，由正弦定理得：sin cos sin cos B B CAB CAB ∠∠∠∠=， 所以sin2sin2B CAB ∠∠=，所以∠=∠B CAB 或90B CAB ∠+∠=， 故ABC 为等腰三角形或者直角三角形. (2)解：ACD △中，由正弦定理得：sin sin AC AD D DCA ∠∠=，解得sin DCA ∠=2,AB AC ==，由（1）知ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=.由凸四边形条件得90,60,75DCA DCA DAC ∠∠∠<∴==，再由正弦定理得sin sin AC CD D DAC ∠∠=，解得CD =另解：（2）ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AD AC CD AD D ∠+-=⋅⋅，解得CD =2,AB AC ==，由（1）知ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=.由凸四边形条件得90,cos 0DCA DCA ∠∠<∴>，即22201CD AC AD CD +->⇒>，故CD =18．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34S a =，523a a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在n *∈N ，使1371222n n n S n a a +⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭？若存在，求出所有符合条件的n ；若不存在，说明理由.答案：(1)12,(),23,().n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数 (2)存在，2n =（1）设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，进而根据题意得2,3.d q =⎧⎨=⎩，进而得答案；（2）分n 为偶数和奇数两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式分别讨论求解即可. (1)解：设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，由条件得：则34523,42,123,S a d q a a a d d =⎧+=⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩解得2,3.d q =⎧⎨=⎩ 所以12,(),23,().n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数 (2)解：当n 为偶数时，()222213112312134nn n n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤+-⋅⎣⎦⎝⎭=+=+--； n 为奇数时，11122122211(1)(1)31233144n n n n n n n n S S a ++--++++=-=+--⋅=+-.则当n 为奇数时，由条件得11222(1)1733422n n n n n --+⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，化简得2*51230n n n -+=⇒=N . 当n 为偶数时，由条件得()2113723142222n n n n n +++=--+，化简得()1228302n n n n -⎛⎫-+⋅=⇒= ⎪⎝⎭.综上，存在2n =符合条件.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，D 为棱AC 上一点，1AB //平面1BDC .(1)求证：D 为AC 中点； (2)若二面角11B BC D --的大小为23π，求1CC . 答案：(1)证明见解析 (2)22（1）连1B C ，使11B CBC E =，连DE ，进而根据线面平行的性质定理得1//AB DE ，进而根据E为1B C 中点证明结论；（2）设1CC a =，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，进而根据二面角11B BC D --的大小求解即可. (1)证明：如图，连1B C ，使11B C BC E =，连DE ，由条件得E 为1B C 中点.1//AB 平面1BDC ，平面1AB C 平面11,//BDC DE AB DE =∴，又E 为1B C 中点，D ∴为AC 中点.(2)解：设1CC a =，以D 为坐标原点如图建系，则())()113,0,,3,0,0,0,1,B a BC a .设平面11BB C 的法向量()111,,m x y z =，则1111110,0,030,az m BB m BC x y az ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩故可取()1,3,0m =；设平面1BC D 的法向量()222,,n x y z =，则2122230,0,030x n DB n BC x y az ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩，故可取()0,,1n a =-； 因为二面角11B BC D --的大小为23π， 所以2cos3m n m nπ⋅=⋅，即：213221a a =⨯+2a =. 12CC ∴=.20．庞大集团拥有数十万员工，年龄在25周岁以下的占40%.调研部为研究员工的日平均生产量是否与年龄有关，按“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”，用分层抽样的方法抽取了100人的样本进行调研.将两组员工的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，设其中为“25周岁以下组”的人数为X，求X的分布列；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”.调研部想通过独立性检验的方法来研究“工人的年龄”与“是否是生产能手”是否有关.请完成下列2×2列联表.生产能手非生产能手合计25周岁以上组6025周岁以下组40合计30 70 100(3)调研部利用上表求得K 2≈1.79.从而得出结论：某员工所属年龄组与是否为生产能手无关，可视为独立事件进行研究.已知庞大集团所有员工中，生产能手占30%，现从庞大集团所有员工中随机抽取2人，设其中为25周岁以下组的生产能手的人数为Y ，求Y 的期望和方差. 答案：(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)期望625，方差132625（1）由分层抽样，结合频率分布直方图得日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，再根据超几何分布求解即可； （2）根据频率分布直方图计算数据，完善列联表；（3）由题知，从集团随机抽取1人为25周岁以下组的生产能手的概率是325，进而结合二项分布的求解即可. (1)解：由分层抽样得样本中“25周岁以下组”和“25周岁以上组（含25周岁）”人数分别为40和60. 则其中日平均生产件数不足60件的人中，25周岁以上组有600.053(⨯=人),25周岁以下组有400.052⨯=（人），所以X 的可能取值为0,1,2，所以()()()2l 123322222555C C C C 3310,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========， 故X 的分布列为：(2)解：由频率分布直方图得25周岁以上组生产能手有()0.020.005160150+⨯⨯=人，25周岁以下组生产能手有()400.03250.0051015⨯+⨯=人，故填表如下：(3)从集团随机抽取1人，设事件A 为“此人在25周岁以下组”，事件B 为“此人是生产能手”，由条件知()()23,510P A P B ==，且,A B 独立，得()()()325P AB P A P B ==，因庞大集团拥有员工数十万，从中抽取2人的实验可视为重复独立实验，故32,25Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，数学期望()625E Y np ==，方差()()1321625D Y np p =-=.21．已知椭圆22221x y a b +=的离心率为e =Q ⎭为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点. (1)求椭圆的方程；(2)求OAB 面积的最大值，并求当OAB 面积最大时AB 的取值范围. 答案：(1)2214x y +=(2)最大值为1，AB ∈（1）根据离心率，待定系数求解即可；（2）根据题意设():0l x ty m m =+≠，与椭圆联立方程，结合韦达定理得OABS=再结合基本不等式即可得最大值，再讨论当t 不存在时，求得1OABS h =≤，再综合即可得面积最大值；最后结合t 存在与t 不存在两种情况求解即可. (1)解：22222224,,33c c e a b c a c b a ===+∴==，22223314x y c c ∴+=.将2Q ⎭代入得22223314,122c a b c c +=⇒==， ∴椭圆方程为2214x y +=. (2)解：设():0l x ty m m =+≠，与椭圆联立得：()2224240t y tmy m +++-=，所以()22212122224,,Δ164044tm m y y y y t m t t --+===+->++.则12122OABSm y y =⋅-==因为2204t m +->，故22014m t <<+，所以22221144m m t t ⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭当且仅当22142m t =+时取等号，此时2Δ160m =>，符合题意. 所以1OABS≤，即OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设():0l y h h =≠，则1OABS h =≤，当h =. 综上，OAB 面积的最大值为1 当OAB 面积最大时：若t 存在，则此时2222402t m m =-≥⇒≥，则AB ==， 若t不存在，则此时AB ==.综上，AB ∈.22．已知函数()()1ln 15af x x a x a x=++-+，其中0a <. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设函数()()()32223646e ,1e ,1xx ax ax a a x g x f x x ⎧-++--≤⎪=⎨⋅>⎪⎩，（e 是自然对数的底数），是否存在a ，使()g x 在区间[],a a -上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：(1)答案见解析 (2)存在，[]3,2a ∈--（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）依题意得()'0g x ≤在[],a a -恒成立，由()'g x 构造函数()p x ，通过()'p x ，结合对a 分类讨论来求得a 的取值范围. (1)()()()210,x a x x f x x +-='>.当(),1a ∞∈--时，()f x 在区间()()()'0,1,,,0a f x -+∞>，()f x 递增；在区间()()()'1,,0,a f x f x -<递减.当1a =-时，()f x 在区间()()()'0,,0,f x f x +∞≥递增.；当()1,0a ∈-时，()f x 在区间()()()()'0,,1,,0,a f x f x -+∞>递增，在区间()()()',1,0,a f x f x -<递减. (2)()g x 在区间[],a a -上为减函数，()0g x '∴≤在[],a a -恒成立.当1x ≤时，()()322e 232124x g x x a x ax a ⎡⎤=-'+--+⎣⎦，设()()322232124p x x a x ax a =+--+，则()02p a a ≥⇒≤-.()()()62p x x x a =+'-，则当2a <-时，()p x 在区间[)()()',2,0,a p x p x -<递减；在区间(]()()'2,1,0,p x p x ->递增.当2a =-时，()p x 在[]()()',1,0,a p x p x >递增..[],1x a ∴∈时，()()()min ()24120p x p a a =-=++≥，符合题意.当(]1,,2x a a ∈-≤-时，由（1）可知()()e g x f x =⋅单调递减，符合题意.根据分段函数跨分段区间单调递减得()()()()21e 1432e e 161g f a a a ≥⋅⇒-+-≥+241330a a ⇒++≤，解得134a -≤≤-.综上，[]3,2a ∈--.。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】对复数进行化简变形11iz i i-==-+，11z i +=-即可得解. 由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，112z i +=-=.故选：A此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤B ．0a b +=的充要条件是0a b ==C ．若,0x R x ∀∈>D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1 【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 【考点】命题的真假．3．已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较. 由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. ()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e ----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．168B ．98C ．108D ．88【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-2 B ．-1C ．23-D ．83-【答案】B【解析】根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r，结合数量积的运算量即可求解.边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】C【解析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.由题：在ABC ∆中，120C =︒，A为锐角，sin C A =，A =，sin A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11．关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．①②D ．①③【答案】C【解析】根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0ff π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【解析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+.故选：C此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.二、填空题13．根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33【解析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值. 由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14．已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______. 【答案】4【解析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15．已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解. 记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16．在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【解析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，244x AE DE ==-根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ， 所以锥体体积()222311444164464241132A BCD x x x x x x x V -⎛⎫--=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()21131643432424f x x x x '=-+=+，43x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，434x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max4314343163163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭163. 故答案为：327此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题17．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2n n a n N =∈；（2）令12231232222n n n nT b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 【考点】1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，6PD =（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；（2）求二面角B AP D--的余弦值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）P作PH AB⊥于点H，连HD，由勾股定理及三角形全等得PH HD⊥，根据线面垂直的判定定理得PH⊥平面ABD，进而可得结果；（2）以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD与平面的APB一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB∆中，过P作PH AB⊥于点H，连HD．由Rt APB Rt ADB∆≅∆可知DH AB⊥，且3,1PH DH AH===，又222336PH HD PD+=+==，∴PH HD⊥．又AB HD H⋂=，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知,,HB HD HP两两垂直，故以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()()1,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3A B D P-．设平面APD的法向量为(),,m x y z=r，则·0·0m ADm AP⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rru u u rr，即()()()(,,3,00,,30x y zx y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3030xx z⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3x=1y z==，∴()3,1,1m=-，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=， ∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r， 而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. （1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为y8160 10200 10800 Z0．30．50．2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．21．已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥； （ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7【解析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l1+. 此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题. 23．（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式. （1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。
2020届雅礼中学高三第3次月考试卷答案(理科数学)
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湖南省雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考卷(三)地理试题含答案
地理
一、选择题（本题共 16 小题，每小题 3 分，共 48 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是最符合题目要求的。）
我国空间站飞行高度约为 400 千米，每天绕地球 19 圈。2022 年 8 月 14 日凌晨 4 时 26 分 23 秒，在重庆市渝北区，有天文爱好者拍摄到了中国空间站凌月的罕见画面，凌月的时 间仅仅 0.72 秒，下图为空间站飞越静海图。据此完成下面小题。
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
无花果主要生长于热带、亚热带、温带地区，秋末修剪，初春萌芽，初夏成熟。我国北
方地区种植无花果多采用拱棚多层膜覆盖技术（下图）。拱棚多层膜覆盖技术稳定了无花果
的产量，但在某些方面影响了无花果的品质。据此完成下面小题。
5. 我国北方地区种植无花果多采用拱棚多层膜覆盖技术，主要是为了（ ）
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10. 湿地公园生态气象站 10m（G3101）风速年均值变化的主要原因是（ ）
A. 楼群狭管效应增强
B. 湿地公园植被增多
C. 城市建筑密度增加
D. 副高控制时间增长
11. 城市近地面风速减小可能产生的影响有（ ）
A. 城市逆温现象加重
B. 城市大气污染加剧
C. 汽车排放尾气增加
我国空间站飞行高度约为 400 千米，每天绕地球 19 圈。2022 年 8 月 14 日凌晨 4 时 26 分 23 秒，在重 庆市渝北区，有天文爱好者拍摄到了中国空间站凌月的罕见画面，凌月的时间仅仅 0.72 秒，下图为空间站 飞越静海图。据此完成下面小题。
1. 下列有关天文爱好者拍摄空间站凌月情形的描述，正确的是（ ）
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023届炎德英才大联考雅礼中学高三月考试卷(三)参考答案
炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ， 由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =， 由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=， 由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++， 得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>， 则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=， 即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>， 即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+， 解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--， 由()52f x x b =-+， 得()23ln 102x x x b +-+-=， 令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-， 则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++， 当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-， 由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。
2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(解析版)
2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题 1．已知集合{2,3,4}A ，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}AB =，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B ⋂=，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题. 2．i 是虚数单位,复数12aii+-为纯虚数,则实数a 为( ) A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于a 的方程组解出即可.【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+2(251)a a i -++=2(21)55a a i -+=+ 复数12aii+-为纯虚数 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选：A .【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．古希腊时期，人们把宽与长之比为110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形，把这个比值12称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.7m ，C 与F 间的距离小于12m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（ ）.（参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈）A ．28mB ．29.2mC ．30.8mD ．32.5m【答案】C【分析】根据黄金矩形的定义，先设出AB x =，逐步计算得到KM ，再由已知条件得到关于x 的不等式组，求解即可.【详解】解：设AB x =，0.618a ≈，因为矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，所以有BC ax =，2CF a x =，3FG a x =，4GJ a x =，5JK a x =，6KM a x =.由题设得62 1.712a x a x ⎧>⎨<⎩，解得：30.35731.414x <<.故选：C .【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题.4．已知平面向量a →，b →满足(1,1)a →=-，1b →=，22a b →→+=a →与b →的夹角为（ ） A ．6πB ．56πC ．4π D ．34π 【答案】D【分析】把22a b →→+=a b →→⋅，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角．【详解】因为(1,1)a →=-，所以2a →=所以224+421222=a b a b a b a b →→→→→→→→⇒+⋅+⇒⋅==-=，故2cos ,12a ba b a b→→→→→→⋅<>===-⨯， 故a →与b →的夹角为34π. 故选：D5．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种【答案】C【解析】试题分析：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2326C ⨯=种情形；第三类：五局为止，共有24212C ⨯=种情形；故所有可能出现的情形共有种情形故选C.【考点】1、分类计数原理；2、排列组合.【易错点睛】本题主要考查分类计数原理、排列组合，属容易题.根据题意，可得分为三种情况：三局结束比赛、四局结束比赛和五局结束比赛，故用到分类计数原理，当三局结束比赛时，三场都同一个人胜，共2种情况；当四局结束比赛时，若甲胜时，则前三局甲胜2场，最后一场甲胜，共有23C 种方法，同理乙胜利时，有23C 种方法；当五局结束比赛时，若甲胜，则前四局甲胜2场，最后一场甲胜，共有24C 种方法，同理乙胜利时，有24C 种方法；此类问题中一定要注意，若甲胜，则最后一场必须是甲胜，前面只能胜2场，否则容易出错.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．22D ．23【答案】C【解析】分析：由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a d 、的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解．详解：等差数列{}n a 的前n 项和为149n S S S =，，所以()114517911a a a a d +=⇒=- 所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，()12312232302n S a a a =+==，所以0n S >的最大自然数n 的值为22．故选C点睛：本题应用公式()1 2n n n a a S +=，等差数列的性质：若m n p q +=+，则a a a a m n p q +=+．对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a d 、的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值．7．已知A 是双曲线:C 22221x y a b-=(,0)a b >的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于,P Q 两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率范围是（ ）A ．(B ．(C ．1,2D ．2,【答案】C 【解析】由题意得：45,PAF PF AF ，∠<<,即222222220,112b a c b a ac c a a ac e e e e a<+⇒<+⇒-<+⇒--⇒<<，选C. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．已知实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为( )A ．2B ．2+C ．3-D ．3+【答案】C【分析】根据题意，将2a a a b a b-++通分化简整理，再运用基本不等式求解最值.【详解】由题意，()()()()222222232a ab a ab a a aba b a b a b a b a ab b +-+-==++++++ ()220a b-≥2220a b ∴-+≥222a b ∴+≥22323a ab b ab ∴++≥+2232a ab b ∴++的最小值是3ab +0ab >∴当22323a ab b ab ++=+，即a 时，2232aba ab b ++的值最大2232aba ab b∴++3==-2a aa b a b∴-++的最大值为3-. 故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用求最值，综合性较强，属于中等题型.二、多选题 9．已知函数()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D ．当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 【答案】ABC【分析】根据正弦型三角函数的最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，判断出正确选项.【详解】因为()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为22ππ=，A 选项正确. 由32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤，所以()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确.51511sin 623322f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确.由于112sin 11226324f πππ⎛⎫⎛⎫=++=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项错误. 故选：ABC10．已知由样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，求得的回归直线方程为1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有正相关关系 B ．去除后的回归方程为 1.2 1.4y x =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快 D ．去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05 【答案】AB【分析】A. 根据回归直线方程的x 系数的正负判断.B. 根据去除前后样本点不变判断.C. 根据去除前后x 的系数大小判断.D.根据残差的计算公式i i i e y y =-判断. 【详解】因为回归直线方程为 1.50.5y x =+，1.50>， 所以变量x 与y 具有正相关关系.故A 正确. 当3x =时，315055y ..=⨯+=，样本点为()3,5，去掉两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8后，样本点还是()3,5， 又因为去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2， 所以5312.a =⨯+， 解得 1.4a =，所以去除后的回归方程为 1.2 1.4y x =+，故B 正确.因为1.5 1.2>，所以去除后y 的估计值增加速度变慢，故C 错误. 因为 1.22 1.4 3.8y =⨯+=，所以 3.75 3.80.05y y -=-=-，故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查回归分析的理解，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2 【答案】ACD【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A 正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B 错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C 到平面P AB 的距离的范围，可判断C 正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D 正确. 【详解】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===，PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，2OP OA OB ===222PC PO OC =+=，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，2OP OA OB ===362OC AC ==，故222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，B 错误; 若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得1111223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅即有2242AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d ，2sin 22dθ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ， 由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确； 故选：ACD【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立. 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD【分析】根据导数解决函数的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+= ， ∴()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点，故A 错误； 对于B 选项，()2ln y f x x x x x=-=+-，∴222212'10x x y x x x -+-=-+-=<，∴ 函数在()0,∞+上单调递减，又∵ ()112ln1110f -=+-=>，()221ln 220f -=+-<， ∴ 函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()'ln h x x =-， ∴在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，∴()()130h x h ≤=-<， ∴()'0g x <， ∴()22ln x g x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<， 要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->， 由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数， 所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >- 即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈， 令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-， 则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立，故124x x +>成立，所以D 正确. 综上，故正确的是BD . 故选：BD【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.三、填空题13．若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P 12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则f (－1)＝________.【分析】根据P 点坐标求得a ，由此求得()1f -.【详解】依题意212a =，0a >且1a ≠，所以a =()2xf x ⎛= ⎝⎭， 所以()112f -⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查指数函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题. 14．()sin 501︒︒ 的值__________. 【答案】1【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解：()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15．O 为坐标原点,F 为抛物线2:4C y x =的焦点,P 为C 上一点,若4PF =,则POF 的面积为__.【分析】利用焦半径公式可以计算P 的横坐标，再由抛物线方程得到P 的纵坐标后可求面积.【详解】设()00,P x y ，则014x +=，故03x =，所以0y =±又()1,0F ，所以112PFO S ∆=⨯=【点睛】一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02p x +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02p y +. 16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________．【分析】由已知设出PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，EC y =，分别在PAC △中和在EAC 中运用余弦定理表示cos θ，得到关于x 与y 的关系式，再在Rt CEF ∆中运用勾股定理得到关于x 与y 的又一关系式，联立可解得x ，y ，从而分析出正三棱锥是PA ，PB ，PC 两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以PA 为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.【详解】在PAC △中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，EC y =，0x >,0y >， 因为点E ，点F 分别是PA ，AB 的中点，所以12EF PB x ==，AE x =， 在PAC △中，22444cos 222x x x θ+-=⨯⨯，在EAC 中，224cos 22x y x θ+-=⨯⨯，整理得222x y -=-，因为ABC 是边长为2的正三角形，所以CF =又因为90CEF ︒∠=，所以223x y +=，由222223x y x y ⎧-=-⎨+=⎩，解得22x =， 所以22PA PB PC x ====．又因为ABC 是边长为2的正三角形，所以2224PA PB AB +==，所以PA PB ⊥， 所以PA ，PB ，PC 两两垂直， 则球O 为以PA 为棱的正方体的外接球， 则外接球直径为23||6d PA ==，所以球O 的体积为3334446633232d V r ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝=⎝⎭, 故答案为6π.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题．四、解答题17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 2sin C A = （215【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，15sin B =而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以15sin 4B =， 故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯15=15. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18．如图,在四棱锥P ABCD -中,ABD ∆是边长为2的正三角形,PC ⊥底面23,,3ABCD AB BP BC ⊥=.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若PC BC =,求二面角A BP D --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）155． 【详解】试题分析：（1）连接AC 交BD 于O ，然后利用线面垂直的性质与已知条件证得AB ⊥平面PBC ，由此推出AB BC ⊥，从而通过解三角形推出AC BD ⊥，进而推出BD ⊥平面ACP ，可使问题得证；（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标与向量，然后求得平面PBD 与平面ABP 法向量，从而利用空间夹角公式求解即可．试题解析：（1）证明：连接AC 交BD 于O ，PC ⊥底面ABCD ,,,,PC AB AB BP BP CP P AB ∴⊥⊥⋂=∴⊥平面PBC ，则2,tan AB BC BC BAC ⊥=∴∠=即30,60,90BAC ABD AOB ∠=︒∠=︒∴∠=︒,即,,AC BD PC BD BD ⊥⊥∴⊥平面,ACP PA BD ∴⊥.（2）由（1）知O 是BD 的中点, 过O 作OF PC交AP 于F ,以O 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,则)()(),0,1,0,0,1,0,,AB DC P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭, 则()30,2,0,DB PB ⎛==⎝⎭． 设平面PBD 的一个法向量(),,n x y z =,则0{0n DBn PB ⋅=⋅=,即200y x y z =+-=,令1z =,则()2,2,0,1x n =∴=. 取PB 的中点1,623E ⎛- ⎝⎭,连接,,CE PC BC CE PB =∴⊥,则CE ⊥平面ABP ,∴ 向量31,2CE ⎛⎝⎭是平面ABP 一个法向量,()cos 5n CE n CE n CE⋅∴⋅===, ∴ 二面角A BP D --.【考点】1、空间直线与直线的位置关系；2、二面角；3、空间向量的应用． 【方法点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，转化时要正确运用相关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解．19．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行第二行 4 6 9第三行 12 8 7请从①12a =，②11a =，③ 13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩．【分析】(1)分别代入①12a =，②11a =，③ 13a =，结合已知条件可判断11a =，24a =，37a =，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知()()12132n n b n +=--，当n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312341n n n nT b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()1233n a a a a =-+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n 为奇数时，1n n n T T b -=+即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7a a a ===不是等差数列，1232,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7a a a ===不是等差数列，1232,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8a a a ===不是等差数列，1232,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a =， 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n N ∈， 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7a a a ===不是等差数列，1233,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7a a a ===不是等差数列，1233,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,8a a a ===不是等差数列，1233,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可知：32n a n =-，*n N ∈. （2）由（1）知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343441n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-+-++++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-+++=-⨯=-+，当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ， 2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩ 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.20．为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是25和34(,)55ββ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率； （2）已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和(101)β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担，若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担.以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？【答案】（1）216625；（2）14400元. 【分析】（1）利用和事件的概率公式、独立事件的概率公式，结合独立重复试验概率公式进行求解即可；（2）设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值，根据题意求出随机变量X 的可能取值，以及相应的概率，列出分布列，计算数学期望，最后利用二次函数的单调性进行求解即可.【详解】解析：（1）记事件A 为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，事件B 为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”， 事件C 为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”， 则123233108()()()5555625P B C =⨯⨯⨯=， 21223323108()()()5555625C P C C =⨯⨯⨯=， 108108216()()()625625625P A P B P C =+=+=（2）一次实验耗材总费用为(102)β+千元.设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值， 则1(102)4X β=+，1(102)2β+，3(102)4β+ 13((102))45P X ββ=+=，12231((102))(1)(1)25555P X ββββ=+=+-⨯-=-，32((102))(1)45P X ββ=+=-.3131123()(102)()(102)(1)(102)5455254E X ββββββ=⋅++-⋅++-⋅+25116225ββ=-++令225116511169()()22521040f ββββ=-++=--+，34,55β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()fβ的对称轴为：1110β=，所以()f β在区间34,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 318()()55f x f ==（千元）. 则A 公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为1872414.455⨯==（千元）， 即14400元.【点睛】本题考查了独立试验概率公式和独立重复试验概率公式，考查了数学期望的应用，考查了数学运算能力和数学阅读能力.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，理由见解析. 【分析】（1）求出a ，b 代入即可；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，求出M ，N 的横坐标，12122121212(1)(1)3()9M N x x x x x x y y k x x k x x ⋅==+++++，利用直线和椭圆联立，由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+，即可求出. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题，属于中档题．22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【分析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221x a x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围； （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+= ∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<- ∴1604ln 35S <<-. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。
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雅礼中学2019届高三11月月考试卷(三)
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，{}()(){}
3,310M x x N x x x =≥=--≤都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为 A. {}
13x x << B ．{}
13x x ≤< C ．{}13x x <≤
D ．{}
13x x ≤≤
2．设()1+1i x yi =+，其中,x y 是实数，则x yi += A.1
B ．2
C.
3
D ．2
3．已知命题p ：函数1
2x y a
+=-的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数()1y f x =-为偶函数，则函数
()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是
A. p q ∨
B ．p q ∧
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∨⌝
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A.56 B ．60 C ．120 D ．140 5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()sin f x x =；②()cos f x x =；③()1f x x
=；④()2
.f x x =则输出的
函数是
A. ()sin f x x =
B. ()cos f x x =
C. ()1f x x
=
D. ()2
f x x =
6．若变量,x y 满足22
2,239,0,x y x y x y x +≤⎧⎪-≤+⎨⎪≥⎩
则的最大值是
A.4 B ．9 C.10 D ．12 7．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法错误．．的是 A. 此人第二天走了九十六里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C ．此人第三天走的路程占全程的
1
8
D ．此人后三天共走了42里路
8．如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中12F F ，为焦点．设图①②③中双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则
A. 123e e e >>
B. 321e e e >>
C. 213e e e >=
D. 132e e e =>
9．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为△ABC 内一点，则()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值为
A. 3-
B ．6-
C ．2-
D ．83
-
10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图
如图所示，则该截面的面积为 A.
92
B ．4
C ．3
D.
310
2
11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，
圆22
2:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，
M ，N ，则9PN QM +的最小值为 A.36 B ．42 C.49
D ．50
12
．
已
知函数
()2
32
36,0,34,0,
x x x f x A x x x ⎧-+≥⎪==⎨--+<⎪⎩设()({}
0x Z x f x a ∈-≥，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为
A.31
B ．32 C.33 D.34
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2
12593,10a a S a +=-=，则的值是___________．
14．定义在区间[]03π，上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是___________． 15．若直线1ax by +=(,a b 都是正实数)与圆2
2
1x y +=相交于A ，B 两点，当△AOB(O 是坐标原点)的面积最大时，a b +的最大值为________．
16．如右图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，作以A 为顶点，分别以AB ，AD ，AA 1为轴，底面圆半径为()01r r <≤的圆锥．当半径r 变化时，正方体挖去三个
1
4
圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)
已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c ABC ∆的面积S 满足2223
S a b c -=+-． (1)求角C 的值；
(2)求()cos2cos A A B +-的取值范围．
18.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC= 90°． (1)证明：PC BC ⊥；
(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为30°，求二面角B —PC —D 的余弦值．
19．(本小题满分12分)
已知椭圆22
124
x y +=两焦点分别为12,F F P 、是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121PF PF =u u u r u u u u r g ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．
(1)求P 点坐标；
(2)求证：直线AB 的斜率为定值； (3)求△PAB 面积的最大值．
20．(本小题满分12分)
十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． (1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；
(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X ∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知函数()()2
8ln f x x x a x a R =-+∈．
(1)当1x =时，()f x 取得极值，求a 的．
(2)当函数()f x 有两个极值点()12121,1x x x x x <≠，且时，总有
()()21
111
ln 2431a x m x x x >-+--成立，求m 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2
2:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴
建立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为12,22
x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)
(1)求12,C C 的直角坐标方程；
(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为P ，Q ，R ，S ，求PQ RS -的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()243f x x a x =-++．
(1)若2a =时，解不等式：()22f x >；
(2)对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．。