中考数学垂径定理[1]知识详解 上教版
人教版九上数学之垂径定理—知识讲解（基础）
人教版九上数学之垂径定理—知识讲解（基础）垂径定理—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm【思路点拨】欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在△R t AOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D；【解析】连OA，由垂径定理知AD=1AB=3cm，2所以在△R t AOD中，AO=OD2+AD2=42+32=5（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【高清ID号：356965关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD距离。
中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)
【专题2】垂径定理的性质与运用【回归概念】垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三。
1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。
【规律探索】1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。
方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．【典例解析】：①用垂径定理求点的坐标【例题1】（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A133B．23C．2D．2+2【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝22PC PE -＝124-＝22，于是得到结论．【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2，∴CE ＝22PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3， 故选：B ．②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．【解析】如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝72. 即PA＋PC的最小值为72.③巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？【解析】如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝12AB＝3.6米．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝22223.9 1.5ON NH-=-＝3.6(米)．所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．【达标检测】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．DCB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O的半径是．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝3.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．【达标检测答案】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为 ．DCB【思路导引】先利用三角形内角和求出第三个角为30°，是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角函数等，即可求出BD 的长． 【解析】：过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BD=2BE∵∠ACB=130°，∠BAC=20° ∴∠ABC=30° 在Rt △BCE 中，BC=2， BE=BC ·cos30°=2×323∴BD=32，故答案为32．ED CB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝3，则⊙O 的半径是 2 ．【思路导引】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝23，AC＝3BC＝23，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝23，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝3BC＝23，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【思路导引】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD ，如图， ∵CD ⊥OC ， ∴∠COD ＝90°，∴CD ＝22OD OC -＝22r OC -， 当OC 的值最小时，CD 的值最大， 而OC ⊥AB 时，OC 最小，此时OC ＝221()2r AB -， ∴CD 的最大值为2221()2r r AB --＝12AB=＝12， 故答案为：12．5. 如图，在○o 中，AB 为互相垂直且相等的两条弦，CD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证四边形ADOE 为正方形证明：∵OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， ∵AD=12AB ，AE= 12AC ，∠ADO=∠AEO=90°， ∵AB ⊥AC ， ∴∠DAE=90°， ∴四边形ADOE 是矩形， ∵AB=AC ， ∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 (10，0)，点B 的坐标是(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上， 且四边形OCDB 是平行四边形，求点C 的坐标．如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8，0)， ∴CD ＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN ⊥CD ， ∴CN ＝DN ＝12CD ＝4. 易知OA ＝10，∴MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中， MN ＝2222543CM CN -=-=.∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．7. 如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．【解析】(1)连接AC，∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB.∴AB＝BC＝3.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝12∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF3易得OA＝2，即⊙O的半径为2.。
人教版初三数学上册 垂径定理 讲义
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧例1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论错误的是（）A、CE=DEB、弧BC=弧BDC、∠BAC=∠BADD、OE=BE例2、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC、DB，则下列结论错误的是（）A、OF=CFB、AF=BFC、AD=BDD、∠DBC=90°例3、如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于C，若AO=5，OC=3，那么弦AB的长为（）A、10B、8C、6D、4例4、如图，公园的一座石拱桥是圆弧形的，拱的半径为13m ，拱高CD 为8m ，则拱桥的跨度AB 的长为（ ）A 、20B 、28C 、24D 、324例5、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且22=CD ，3=BD ，则AB 的长为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5垂径定理推论：一条直线，只要具备下列5条中的2条，就可以推出其他3条（简称：知二推三）①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧③平分弦（不是直径）④垂直于弦⑤过圆心例4、下列说法正确的有_____________①平分弦的直径垂直于弦 ②垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 ④相等的圆心角所对的弧相等4、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∠C=25°，则∠ABO的度数是（）A、25°B、30°C、40°D、50°5、如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则AB的弦心距为（）A、6B、8C、10D、126、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB=20，CD=16，则线段BE的长为（）A、4B、6C、8D、107、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图。
若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A、40cmB、60cmC、80cmD、100cm8、如图所示，将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A、6cm3cmB、36cmC、36cmD、59、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A、2B、3C、4D、510、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC。
九年级数学上册专题24.3 垂径定理【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
人教版九年级上册数学课件：24.垂径垂径定理
O B
O ●C
垂径定理的应用：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则
下列结论不正确的是（ C ）
A、A⌒C=A⌒D B、⌒BC=⌒BD
C、AM=OM D、CM=DM
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD
A
C M└
D
●O
⊥AB，垂足为M，OM=3，则
CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
。圆的任意一条直径的两个端
O
点把圆分成两条弧,每一条
A
弧叫做半圆.
大于半圆的弧（用三个点表示，如：ACB 或 BCA ）， 叫做优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧. 如: AB BC
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆A， 半径相等的两个圆也是等圆；反过来， 同圆或等圆的半径相等。
B
M
●O
C
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径约为545m .
小结: 垂径定理
解决有关弦的问题，经常是
过圆心作弦的垂线，
A
或作垂直于弦的直径，
连结半径等辅助线，
B
.
O
构成直角三角形,为应用垂径定理创 造条件。
挑 战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
赵州石拱桥
解：如图，用 A表B 示桥拱，A所B在圆的圆心为O，半径为Rm，
过圆心O作弦AB的垂线OD，与 A相B 交于点C. CD就是拱高. 根据垂径定理得：AD=BD。
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
九年级数学上册：24.1垂径定理1
课题教学目标学生情况分析14班的学生对数学的学习兴趣较浓,已养成好的习惯,数学基础较为扎实,扬长导学,小组合作学习的教学模式,已见分晓,课堂的自主性强,可充分发挥学生的主动性和积极性.教学重难点圆的对称性、垂径定理及推论教学过程（包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）一、情景导入，激发兴趣让学生折叠圆形纸片,重复几次,什么你有发现?由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗? (教师用电脑演示重叠的过程)二、引入新课，发现定理1．利用圆的对称性,若⊙O的直径CD⊥弦AB，垂足为E,说出图中重叠的线段和弧。
2．提出猜想：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎭⎬⎫⊥BDADBCACBDAECDEAB,CDO垂足为弦的直径是圆3．验证猜想：教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂OA BCDOA BCDEOA BCDEOA BCDE直于弦的直径。
三、引导探究证明并应用垂径定理 1．引导证明：①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：㊀在下列图形中， AB 、CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
㊁在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
四、探究证明垂径定理的推论O BAEOBC AE DOA BC DE利用垂径定理中的条件可知二推三：①直径(或过圆心)、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧。
中考数学垂径定理
中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。
用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。
即 AC = CB。
二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。
如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。
即 AC = CB。
同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。
三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。
如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。
即OP与AP垂直。
同时，切线与过切点的半径也垂直。
四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。
具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。
即 AB = AC。
这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。
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中考数学垂径定理[1]知识详解 上教版知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm∴253315315-=+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN＝ND 。
∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND∴222OE ON OM =+从而22222OE CN OC AM OA =-+-即222221)2(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB 故选A 。
【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求： （1）BC 的长；（2）AB 边上高的长。
•例1图HE FGO DCB A •例2图MN E O DCBA•例2图MN E O DCBA分析：（1）已知AB ＝AC ，可得⋂⋂=AC AB ，则A 为⋂BC 的中点。
已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO 交BC 于D ，连结BO由AB ＝AC 得⋂⋂=AC AB ，又O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分BC ∵tanB ＝31，设AD ＝x cm ，则BD ＝x 3cm ∴OD ＝)5(x -cm在Rt △BOD 中，222)5()3(5x x -=+，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm 。
（2）设AB 边上的高为h ，由（1）得：AD ＝1 cm ，AB ＝10cm∵h AB AD BC S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴5103=⋅=AB AD BC h 探索与创新：【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
•①•② •③分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l 与AB 的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l 与AB 平行；②直线l 与AB 相交；③直线l 与AB 或BA 的延长线相交。
其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。
解（1）如下图所示。
l•问题一图1 OHFE D CBA l•问题一图2O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA（2）EC ＝FD 或ED ＝FC（3）以①图为例来证明。
过O 作OH ⊥l 于H ∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴AE ∥OH ∥BF又∵OA ＝OB ，∴EH ＝HF ，再由垂径定理可得CH ＝DH•例3图OD CB A∴EH －CH ＝FH －DH ，即EC ＝FD【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？解析：任作两条过A 的线段EF 、MN ，比较MN 与EF 的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O 1、O 2作弦心距，易知CD ＝21EF ，PQ ＝21MN ，比较PQ 与CD 的大小即可（PQ ＝O 1O 2）。
发现O 1O 2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN 的一半正好是O 1O 2，则MN 最长。
答案：当MN ∥O 1O 2时，MN 最长。
跟踪训练： 一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O 中，直径CD ＝15cm ，弦AB ⊥CD 于点M ，OM ∶MD ＝3∶2，则AB 的长是（ ）3、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ，则AB 和CD 的距离是（ ） A 、2cm B 、14cm C 、2cm 或14cm D 、2cm 或12cm4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ） A 、1 B 、23 C 、2 D 、25二、填空题：1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。
3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝1200，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm 和5 cm 两段，则此弦长为 。
5、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，BD 交OC 于E ，若AC ＝4，AB ＝5，则BE ＝ 。
•第2题图EOD CBA•第5题图 EOD CBA•2O 1O •第6题图PDCBA6、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 、A 、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交O 1 O 2的延长线于P ，∠P ＝300，3221=O O ，则CD ＝ 。
三、计算或证明题：1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。
•第1题图EDCBA•第2题图G FOEDCB A•第3题图OEDCBA问题二图•选择第2题图 MODC B A2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。
3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。
4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC 于E ，CF ⊥AB 于F ，交AD 于G ，BE ＝3，CE ＝2，且tan ∠OBC ＝1，求四边ABDC 的面积。
•第4题图GFO EDC BA跟踪训练参考答案一、选择题：BCCD 二、填空题： 1、4条；2、265；3、3310cm ；4、24cm ；5、3132；6、6 三、计算或证明题： 1、AB ＝5，AD ＝518； 2、解：连结OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，则CM ＝MD ∵CD ＝16，AB ＝8，在Rt △OMC 中，因OC ＝10 ∴OM ＝68102222=-=-CM OC ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，OM ⊥CD ，∴AE ∥OM ∥BF∴OG AG OM AE =，OG BGOM BF =∴22==-=-OGOGOG BG AG OM BF AE∴AE －BF ＝2OM ＝123、提示：连结OE ，由⋂⋂=EC BE 得OE 垂直平分BC 于F ，AB 为直径，则∠ACB ＝900，BC ＝7222=-AC AB 。
∴CF ＝7，EC ＝221)7(22=+4、解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AD 于N ，连结AO ∵BE ＝3，CE ＝2，∴BC ＝5，BM ＝25 又∵tan ∠OBC ＝1，∴∠OBM ＝450在Rt △OBM 中，OB ＝225，∴ON ＝ME ＝21 在Rt △AON 中，AN ＝2722=-AN OA∵ON ⊥AD ，∴AN ＝ND ，∴AD ＝7 ∴235212121=⋅=⋅+⋅=AD BC DE BC AE BC S ABDC。