中考数学分类汇编：圆的垂径定理
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：
如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。
下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。
一、圆垂径定理的具体内容：
对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这
条直线就称为这条弦的垂径。
垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构
成一个矩形。
二、圆垂径定理的证明方法：
1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和
一个圆交点的问题。
2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。
3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。
三、圆垂径定理的应用：
圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：
1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。
2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需
大小的问题。
3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。
综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。
通
过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何
问题。
垂径定理的结论
垂径定理的结论在圆的世界里，垂径定理是一个极其重要的性质，它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开许多与圆相关的几何谜题。
垂径定理的表述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这看似简单的一句话，却蕴含着丰富而深刻的数学内涵。
我们先来理解“垂直于弦的直径”这一前提条件。
直径是通过圆心的线段，它是圆中最长的弦。
而垂直于弦，则意味着直径与弦形成了一个直角。
想象一下，在一个圆中，一条直径稳稳地立在一条弦上，并且与弦相互垂直，这样的画面是不是很清晰？接下来，我们看“平分弦”这一结论。
直径将弦分成了两段相等的部分。
比如说，有一条弦的长度是 10 厘米，那么被直径平分后，两段的长度都是 5 厘米。
这就好像是一把公平的尺子，把弦平均地分成了两份。
再说说“平分这条弦所对的两条弧”。
弦在圆中把圆分成了两条弧，一条优弧和一条劣弧。
而垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径会把这两条弧也分成相等的两部分。
这就好比是把一块蛋糕沿着中间切一刀，两边的大小完全相同。
垂径定理的证明其实并不复杂。
假设圆的圆心为 O，弦为 AB，直径为 CD 且垂直于 AB 于点 E。
因为圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
而直径 CD 正是经过圆心的直线，所以沿着 CD对折，点 A 会与点 B 重合，弧 ACB 会与弧 ADB 重合。
这就直观地证明了直径 CD 平分弦 AB 以及弦 AB 所对的两条弧。
垂径定理在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如，在建筑工程中，设计师们常常需要根据圆的特性来设计圆形的结构。
当需要确定某个圆弧形构件的弦长或者弧长时，垂径定理就能发挥重要作用。
通过测量圆的直径以及弦与直径的垂直距离，就能够计算出弦长和弧长，从而保证构件的尺寸准确无误。
在数学考试中，垂径定理也是经常出现的考点。
例如，给出一个圆的直径和弦的长度，让求弦所对的弧的长度；或者已知弦的长度和弧的度数，让求圆的直径等等。
我们再深入思考一下垂径定理的逆定理。
圆的垂径定理
圆的垂径定理定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中心活动。
圆作为数学中常用的图像，有十八个基本定理。
圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有一组量成正比那么它们所对应的其余各组量都成正比2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推断1：同弧或等弧所对的圆周角成正比;同圆或等圆中，成正比的圆周角面元的弧也成正比推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推断3：如果三角形一边上的中线等同于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推断1：①平分弦(不是直径)的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推断2 ：圆的两条平行弦所缠的弧成正比4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线短定理：从铅直一点引圆的两条切线，他们的切线短成正比，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线短定理：从铅直一点向圆引两条割线，这一点至每条割线与圆的交点的两条线段长的积成正比。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推断1 ：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：平行两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次联结各分点税金的多边形就是这个圆的内arccosn边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把也已n边形分为2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)
圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一 圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二 垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。
初中数学圆的定理
垂径定理垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如右图，直径DC 垂直于弦AB ，则AE=EB ，劣弧AD 等于劣弧BD ，等弧CAD= 优弧CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线，在下列5 条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦（不是直径）4.垂直于弦5.经过圆心数学证明编辑如图，在⊙ O 中，DC 为直径，AB 是弦，AB ⊥DC 于点E，AB、CD 交于E，求证：AE=BE ，弧AC= 弧BC ，弧AD= 弧BD证明图示连接 OA 、 OB 分别交⊙ O 于 点 A 、点 B∵OA 、OB 是⊙O 的半径∴ OA=OB∴△ OAB 是等腰三角形∵AB ⊥DC∴ AE=BE ，∠ AOE= ∠BOE （等腰三角形的三线合一 性 质）∴弧 AD=弧 BD ，∠AOC= ∠BOC ∴弧 AC= 弧 BC推导定理 编辑 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 , 并且平原本命题，其中 CD 垂直于直线 AB分这条弦所对的两段弧。
几何语言：因为 DC 是直径， AE=EB ，所以直径 DC 垂直于弦 AB ，劣弧 AD 等于劣弧 BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论二：弦的 垂直平分线 经过圆心 ,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言： 因为 DC 垂直 AB ，AE=EB ，所以 DC 是圆的直径， 劣弧 AD 等于劣弧BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦 弧。
推论四：在同圆或者 等圆 中 ,两条平行弦所夹的弧相等。
韦达定理韦达定理( Viete theorem )为 解析几何 中的一个定理，说明了一元 n 次方程中根和 系数 之 间的关系。
(完整版)圆的垂径定理及推论知识点与练习
圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC =⌒AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB = 31×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC =⌒BD（题5） （题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题有 条相等的弧。
中考数学之圆的公式定理整理
中考数学之圆的公式定理整理初中数学学习中，大家首先必须搞懂的就是公式定理，只有先记住了公式，才有可能在运算中活学活用。
下面是小编给大家带来的中考数学复习资料之圆的公式定理，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!中考数学复习资料之圆的基本性质与定理1。
点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2。
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4。
在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
7。
不在同一直线上的3个点确定一个圆。
8。
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。
9。
直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离)：AB与⊙O相离，PO>r;AB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO10。
圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
11。
圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r中考数学复习资料之圆的定义1。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
中考数学专题复习圆
第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
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2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的垂径定理
1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.
A.24
B.28
C.52
D.54
2、(2013年黄石)如右图，在R t A B C 中，90
A C
B ∠= ，3A
C =，4B C =，以点C 为圆心，C A 为半径的圆与AB 交于点
D ，则AD 的长为
A. 95
B. 245
C. 185
D. 52
3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦A B C D ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与
点D ，则下列结论中不一定正确的是【】
（A ）A G B G = （B ）AB ∥EF
（C ）AD ∥BC （D ）A B C A D C
∠=∠ 4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm
C cm 或cm
D cm 或cm 垂足为点CD=3cm 则圆O 的半径为（ ）
6
cm B cm
径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）
89
B C D
22
9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（
B C D
10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）
12
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，
则截面圆心O到水面的距离OC是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错
B
半径（）
14
14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，
∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）
4
15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）
A.3
B.4
C.5
D.7
16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．
18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确
．．．的是（）
A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.
D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。
19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．
2021
20、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．
21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 28度．
22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC 的度数是48度．
2324
23、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半
径为．
24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为2．
25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，
若⊙O 的半径为5
2
，CD=4，则弦AC的长为．
26
26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=80°．
27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=52°度．
28
28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，
且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，
直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，
则GE+FH的最大值为．
29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P
Θ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P
Θ的半径为13，则点P的坐标为____________.
30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到
弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。
解
（2013•白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
31
31、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=3
5
，求⊙O的直径．
32、（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
33 33、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．。