大学微积分复习题
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
高等数学微积分上复习题及解答
（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=
x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f
大学微积分考试题及答案
大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。
答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。
答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。
微积分复习题(1)(1)
《微积分》期末考试复习题第一章 函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。
大学高数微积分试题
期末练习题一、选择题 1．()3baf x dx '=⎰( ).A.()()f b f a -B.()()33f b f a -C.()()1333f b f a -⎡⎤⎣⎦ D.()()333f b f a -⎡⎤⎣⎦ 2．已知()F x 是()f x 的原函数，则()xaf t a dt +=⎰( ).A.()()F x F a -B.()()F t F a -C.()()F x a F x a +--D.()()2F x a F a +-3.下列广义积分发散的是( ).A.1dxx +∞⎰B.1+∞⎰C.21dx x +∞⎰D.1+∞⎰4．下列级数中发散的是( ). A.()()1111nn ln n ∞=-+∑ B.131n n n ∞=-∑C.()11113n n n -∞=-∑ D.123n n n ∞=∑5．下列级数中绝对收敛的是( ). A.()11121n n nn -∞=--∑ B.()()121!13n n nn n ∞+=-∑ C.()13112n n n n -∞=-∑ D.()111nn n ∞=-∑6．设函数()22z f x y =+，f 可微，则( ).A.z z yx x y ∂∂=∂∂ B.z z x y∂∂=∂∂ C.z z x y x y ∂∂=∂∂ D.z z x y ∂∂=-∂∂7．若点()00,x y 是二元函数(),f x y 的驻点，则( ).A. 点()00,x y 是(),f x y 的极值点B. 点()00,x y 是(),f x y 的最小值点C. 点()00,x y 是(),f x y 的最大值点D. 点()00,x y 可能是(),f x y 的极值点 8．设()11,f x y xy x y=++，则( ). A. 点()1,1是(),f x y 的驻点，但非极值点 B. 点()1,1是(),f x y 的极大值点C. 点()1,1是(),f x y 的极小值点D. (),f x y 无驻点 9．()110,xdx f x y dy -=⎰⎰( ).A.()1100,xdy f x y dx -⎰⎰ B.()110,xdy f x y dx -⎰⎰C.()11,dy f x y dx ⎰⎰ D.()110,ydy f x y dx-⎰⎰10．设D 由x 轴，ln y x =，x e =围成，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( ).A.()ln 1,exdx f x y dy ⎰⎰B.()ln 0,exdx f x y dy⎰⎰C.()1,ye dyf x y dx ⎰⎰D.()10ln ,ex dy f x y dx⎰⎰11．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A.()()22220x ydx xy dy -++= B.0xy y y '''++=C.()22y xy x yy '''-= D.0y y x '''++= 二、填空题1.()0sin x d tdt dx=⎰.2. ()11cos 1x x dx -+=⎰ .3.201dxx +∞+⎰收敛于 . 4.1⎰收敛于 .5. 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim n n u →∞= .6. 若级数11p n n ∞=∑发散，则p 满足 . 7. 级数()111n n n ∞=+∑的和为 . 8. 函数()()ln 1f x x =+在(]1,1-上的麦克劳林级数为 . 9. 函数()arctan f x x =在[]1,1-上的麦克劳林级数为 . 10. 设()sin z xy =，则dz = . 11. 设lnxz y=，则dz = . 12.二元函数z =的极大值为 . 13. 222z x y =++的极小值为 .14. 二元函数二阶微分方程212y x ''=的通解为 . 三、计算题 1．求 2x xe dx +∞-⎰.2.求()132132xx dx --+⎰.3.求40⎰.4.求20sin x xdx π⎰.5.1x xe dx -⎰.6.求曲线1y x=与直线y x =，2x =所围平面图形的面积.(书中答案错) 7.求曲线xy e =与直线y e =，0x =所围平面图形的面积.8. 求幂级数()212nn x n ∞=-∑的收敛半径和收敛域.9. 求幂级数15n nn x n∞=∑的收敛半径和收敛域.10.求Dxydxdy ⎰⎰，D 是由x 轴，2y x =，1x =所围成的区域.11.求2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由2y x=，24y x =，1y =在第一象限所围成的区域.12.求22xy De dxdy --⎰⎰，其中D 是圆域223x y +≤.13.求方程330z xyz -=所确定的函数(),z f x y =的偏导数z x∂∂，zy ∂∂.14.求方程ln x z z y =所确定的函数(),z f x y =的偏导数z x ∂∂，z y ∂∂.15.求微分方程2222411dy x x y dx x x +=++的通解. 16.求微分方程22x dyxy xe dx--=的通解. 17.求微分方程0xydx =的通解. 四、应用题1.设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、 B 的数量x 、y 间有函数关系()2,0.005P x y x y =.欲用150元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多？2.习题八：213.某工厂生产两种产品I与II，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与生产y单位的产品II的总费用是：()22+++++x y x xy y400230.0133求两种产品各生产多少，工厂可取得最大利润，最大利润为多少？4.要制造一个容积为4立方米的无盖水箱，问它的长宽高应各取什么样的尺寸时，才能使所用材料最省？五、证明题注.和上次的复习有重合题。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
微积分基础考试题及答案
微积分基础考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：D3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. x+C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 曲线y=e^x与直线y=ln(x)相切的切点坐标为：A. (1,1)B. (e,e)C. (ln(e),e)D. (e,ln(e))答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x的拐点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为_________。
答案：02. 函数f(x)=ln(x)的反函数为_________。
答案：e^x3. 曲线y=x^3+3x^2+2x+1在x=-1处的切线方程为_________。
答案：y=-x4. 函数f(x)=x^2-4x+3的极大值为_________。
答案：45. 曲线y=x^2与直线y=2x相切的切点坐标为_________。
答案：(1,1)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) (x^2-2x+1) dx。
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0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题（10道题，每题2分或者3分）。
填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。
计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。
证明题（2道题，平均每题10分）。
考试时间：90分钟。
二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性(一)函数1．考试内容集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。
2．考试要求(1)理解集合的概念。
掌握集合运算的规则。
(2)理解函数的概念。
掌握函数的表示法，会求函数的定义域。
(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。
(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
(5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。
(二)极限1．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。
2．考试要求(1)理解数列及函数极限的概念(2)会求数列极限。
会求函数的极限(含左极限、右极限)。
了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。
掌握极限的四则运算法则。
(4)理解无穷小和无穷大的概念。
掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。
了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。
(5)掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续1．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。
2．考试要求(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。
会求函数的间断点。
(2)掌握连续函数的四则运算法则。
(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。
(4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。
第二章、一元函数微分学(一)导数与微分1．考试内容导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。
2．考试要求(1)理解导数的概念及其几何意义。
了解左导数与右导数的概念。
(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。
(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。
(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。
(5)会求隐函数的一阶导数。
(6)了解高阶导数的概念。
会求函数的二阶导数。
(7)了解微分的概念。
会求函数的微分。
(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。
2．考试要求(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。
(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。
(4)理解函数极值的概念。
掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。
(5)会判断平面曲线的凹凸性。
会求平面曲线的拐点。
第三章、一元函数积分学(一)不定积分1．考试内容原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。
2．考试要求(1)理解原函数与不定积分的概念。
掌握不定积分的基本性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。
(二)定积分1．考试内容定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。
2．考试要求(1)理解定积分的概念。
了解定积分的几何意义。
掌握定积分的基本性质。
(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。
(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。
(4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。
(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。
(三)广义积分 1．考试内容广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。
2．考试要求(1)理解广义积分的概念。
(2)了解广义积分的实际背景和意义。
(3)掌握广义积分的基本性质。
(4)熟练掌握广义积分的计算。
三、练习题一、单选题 1.函数1ln x y x-= ） A 、()0,1B 、()()0,11,4UC 、()0,4D 、()(]0,11,4U2. 当1x →时，下列变量中不是无穷小量的是（ ） A 、21x -B 、()21x x -+C 、2321x x --D 、2421x x -+3. ()2f x x =-在2x =的导数为（ ） A 、 1B 、0C 、1-D 、不存在4. 极限2lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭=（ ） A 、12eB 、2C 、2eD 、15. 设函数()f x 在2x =可导，且()'22f =，则()()22lim 2h f h f h→+-=（ ）A 、12B 、1C 、2D 、46. 设()1,010,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则()f x 在0x =处（ ）A 、左导数不存在B 、右导数不存在C 、()'00f =D 、不可导7. 设()()1'ln 0f x x x=>，则()f x =（ ） A 、ln x C +B 、x eC + C 、x e C --+D 、x e C -+8. 下列关系正确的是（ ） A 、()()d f x dx f x =⎰B 、()()'f x dx f x =⎰C 、()()df x dx f x dx =⎰ D 、()()df x dx f x C dx=+⎰9.20π⎰=（ ）A 、 0B 、32-C 、32D 、 310. 下列广义积分发散的是（ ） A、1+∞⎰B 、120dx x ⎰C、1⎰D 、0x e dx +∞-⎰二、填空题 1. 1102__________.xdx -=⎰2.1_____________.-=⎰3.300lim_____________.x x x dt→=⎰⎰4. 设()()112,0,0kx x x f x e x ⎧⎪->=⎨⎪⎩≤在0x =连续，则__________.k =5. 函数()12f x x x=+-在[]1,2上满足拉格朗日中值定理的_______________.ξ=6. 3272y x x =-+在[]1,2上的最大值为_____________.7.__________.=8. 设()f x 在0x 点有：()()00'0,''0f x f x =<，则()0f x 是()f x 的___________值. 9. 设()y y x =是由方程arctanyx='________________.y = 10. ()203sin lim_________________.xx t dt x →=⎰三、计算题1. 设201sin 2sinlim1x k x x x x→-=，求k .2.求lim .n →∞⎛⎫… 3. 设函数sin x y x =，求'.y 4. 求函数()2011xtf x dt t -=+⎰的极值，并说明是极大值还是极小值. 5. 设()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x+⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩ 在0x =处连续，求.a b ，6、求由曲线1xy =及直线,2y x y ==所围图形面积.7、计算22.ππ-⎰8、设()2sin y f x =，求.dy 四、证明题1. 证明：当1x >时，1.xee x>2、证明：当0x >时，证明()2ln 1.2x x x x -<+<3、证明：()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰四、习题解答提示一、单选题 DDDCB DCCAB 二、填空题 1.1ln 22. 63. 134. 2-5. 6. 24-7. (2ln 1C ⎤+⎦8. 极大 9. 'x yy x y+=- 10. 13三、计算题 1. 1.2k = 2. 1.3. 提示：ln sin ln y x x =，'sin cos ln y x x x y x ∴+，sin sin 'cos ln .x x y x x x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 4. 提示：()()()()()222212111'01,''0,''10,1ln 224211x x x f x x f x f f x x π---==⇒===∴=-<∴=-++ 极大值.5、提示：因为()()ln 10sin 21010bxax x x f x x e x x +⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪<⎪⎩在0x =处连续.根据连续定义解题：()()()000ln 100lim lim limsin 222x x x ax ax af f x xx +→→→++====，利用连续性，1 2.2a a =⇒=()()000100lim lim lim 1bx bxx x x e be f f x b x-→→→--====，利用连续性 1.b =6、提示：2113ln 2.2S y dy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰ 7、提示：()1222242cos cos .3x dx x d x πππ-==-=⎰⎰8、提示：利用微分定义得()22'sin cos 2.dy f x x xdx =⋅四、证明题1.提示： 令()1x e x e x ϕ=-，则()1122221'0xe e ex e x x x ϕ-⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，()1x >Q ，()x ϕ∴当1x >时严格单增，但()10ϕ=，所以当1x >时()0x ϕ>，亦即1.xee x>2、提示：令()()()22ln 1,'21x x f x x x f x x=+-+=+（当0x >时），所以()f x 在0x >时严格单调增，但()00f =，所以()0f x >在0x >时，即()2ln 1.2x x x +>-同理可证()ln 1.x x +<3、提示：选取恰当的变量代换：只要做变量代换x t π=-便可计算出()()00sin sin .2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰说明：本考试指导只适用于201503学期期末考试使用，包括正考和重修内容。