杨辉三角 正式稿
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
“杨辉三角”说课稿
“杨辉三角”说课稿一、教材分析杨辉三角是人教B版选修2-3第一章的内容,是在学生学习过二项式定理后,进一步学习其性质的一个课例。
杨辉三角所蕴含的丰富的数学规律、数学思想、方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题。
根据杨辉三角在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标:知识与技能:了解杨辉三角的简单历史,掌握杨辉三角的基本性质;过程与方法: 通过探究过程培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题、解决问题能力;情感态度与价值观:通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情;通过小组讨论,培养学生发现问题、探究问题、建构知识的研究型学习习惯以及合作化学习的团队精神。
根据上述教学目标,确定本节课的教学重点是:杨辉三角中数字的规律的探究;本节课的学习难点是:杨辉三角中数字规律的发现和总结。
二、教学学法教法:为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:“观察、探究、发现、合作交流”的方法。
采用问题导引的方式,让学生通过对低阶杨辉三角的观察,再到n阶杨辉三角的猜想。
探究时采用先个人思考后小组合作交流,重点在于发现规律,不要求在课堂上证明。
学法:根据本节课的教学目标和教学方法,主张多给学生一点空间、时间,把角色还给学生,先由学生观察、探索,再发现与交流.引导学生逐步提高,发展学生有条理的思考与表达的能力,提高归纳猜想能力,使学生获得较全面的发展。
三、教学过程为了实现本节课的教学目标,突出教学重点,突破教学难点,在教学设计上采用了以下六个教学环节,分三个探究层次来完成本节课的教学任务。
教学环节(一):创设情境,提出问题(复习旧知)1:二项式定理及其特例:(1) ,(2) .2:二项展开式的通项公式: .(提出问题)3:提出问题:(a+b)n展开式的二项式系数有什么规律?课件演示:当n依此取1,2,3,…,时,二项式系数的列表,该列表叫做二项式系数表,因为它形如三角形,并且我国南宋的数学家杨辉对其有过深入的研究,所以又称它为杨辉三角。
杨辉三角 正式稿
合作交流 探索规律
【追问3】根据规律直接写出的多项式与系数对不对呢？
请你借助图形计算器验证一下.
结论：当n=7时，规律仍然成立.
合作交流 探索规律
【追问4】那么当n=8,9,…… 时，我们怎么来验证呢？ 我们用已有的知识能验证“所有”吗？
n可以取到无限大，用我们现在有限的知识 和经验是无法完成验证的. 高中阶段我们就会证明这些规律了.
杨辉三角
你能联想到什么知识呢？
a b2 a2 2ab b2
a bn n 0,1,2,3
合作交流 探索规律
【活动一】
【任务一】计算：a bnn 0,1,2,3,4,5，6 ，即：a b0 、a b1、
……、a b6 ，将结果记录在活动记录表中.
【任务二】将上述展开后的7个多项式中的系数，按顺序填写 在活动记录表中.
【任务要求】 1.每个多项式按照a的降幂顺序排列. 2.小组分工协作：计算、检查、记录、拍照
合作交流 探索规律 【活动二】
规律
探索就此结束了吗？ 我们还能探索些什么呢？我们一般研究多项式的哪些要素？
项数、次数、系数
合作交流 探索规律
【活动二】探索规律 【分组研讨】 【研讨问题1】观察得到的7个多项式，它们的项数有什 么规律？ 【研讨问题2】每个多项式中，各项的次数有什么规律？ 【研讨问题3】观察系数表，你能发现哪些规律？
【活动要求】用其他颜色笔在活动记录表上进行批注，研 讨后拍照上传.
合作交流 探索规律
注意：a bnn 0,1,2,3,4,5,6
【追问1】我们一起研究了6次及6次以内的a bn的展开
式的规律，那同学们又能提出什么问题呢？
n=7,8,9…… 还满足这些规律吗？
(展示)杨辉三角ppt_高三数学
C = C +C …… …… 2 r n−2 r −1 1 … Cn−1 Cn−1 … Cn−1 第n-1行 1 Cn−1 Cn−1 行 r n−1 2 1 … … Cn Cn 第n行 1 Cn Cn 行 …… … …
r n−1
一.简介:杨辉三角的基本性质 简介: 表中每个数都是组合数， 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n ! r r+1个数是 r+1个数是 C =
3.杨辉三角与“纵横路线图” 3.杨辉三角与“纵横路线图” 杨辉三角与 “纵横路线图”是数学中的一类有趣 纵横路线图” 纵横路线图 的问题：如图是某城市的部分街道图， 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到 处走到B处 纵横各有五条路，如果从 处走到 处 (只能由北到南，由西向东 ，那么有多 只能由北到南， 只能由北到南 由西向东)， 少种不同的走法？ 少种不同的走法？
（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？
列斜线上的前Q个数之和等于第 列斜线上的第Q个数 第P列斜线上的前 个数之和等于第 列斜线上的前 个数之和等于第(P+1)列斜线上的第 个数。 列斜线上的第 个数。
（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
= (C a + C a b +⋯+ C a b +⋯+ C )(a + b) 0 k+1 1 k r +1 k−r b+1 k k = Ck a + Cka b +⋯+ Ck a b +⋯+ Ck ab +
0 k k 1 k −1 1 k r k k −r r k k
初中数学杨辉三角
初中数学杨辉三角哎呀，今天咱们聊聊一个很有意思的东西——杨辉三角！听起来高大上，其实它就是一个简单的数字排列。
别看名字复杂，其实就像一个小山丘，层层叠叠，挺好看的。
你想想，一开始就是个小小的“1”，然后它就开始长大，慢慢变得越来越庞大，真是像个小宝宝一天一天长大的感觉。
第一层就是个“1”，第二层有两个“1”，就像小朋友在玩，两个小伙伴手牵手，满满的都是童趣。
接着往下走，第三层是“1 2 1”，四层变成“1 3 3 1”。
嘿，瞧瞧，这里面藏着什么秘密！你有没有发现，每个数字其实都是它上面两个数字的和。
就像我们在生活中，朋友的力量，合起来就能成就更大的事情。
这个小小的三角形，可真是蕴藏了不少人生哲理呢！不得不提一提它的用途。
你知道吗？这玩意儿在组合数学里可是个大明星。
无论是选择、排列还是组合，杨辉三角都能帮上忙。
就好比说，你有三种水果，想选出两种来吃，杨辉三角告诉你，有多少种搭配方式。
嘿，真是个万能小助手！记得我小时候，常常为了选水果发愁，现在想想，简直是小儿科了。
而且呀，杨辉三角还有个特别的地方，就是它跟二项式定理有密切关系。
你可以把它想象成一个魔法师，召唤出各种不同的组合。
比如说，(a + b)的平方展开，结果就是1、2、1，这不是刚好对应着杨辉三角的第二层吗？魔法般的连接，真是让人惊叹不已。
数学有时候就像是一场奇妙的旅行，每一步都充满了惊喜。
除了这些，杨辉三角在概率和统计中也扮演着重要角色。
比如说，掷骰子，抽奖，甚至做一些小小的游戏时，你都能用到它。
它就像是生活中的调味品，给你带来意想不到的精彩。
在学校里学到这些，简直就像发现了新大陆，眼前一亮，感觉生活更丰富多彩了。
咱们再说说视觉效果。
杨辉三角的形状实在是太美了，特别是当你用彩笔画出来的时候。
每一层都是一个不同的颜色，形成一个炫彩的阶梯，简直像是一幅艺术品！你有没有试过在纸上画它？越画越有成就感，越看越开心。
就像小时候做手工，做出一个漂亮的东西，总是特别自豪。
“杨辉三角”简介
“杨辉三角”简介
上述三角形数表称为“杨辉三角”，它呈现了二项式展开式各项系数的规律．如表中第三行为二项式(a+b)2的展开式(a+b)2＝a2＋2ab＋b2的各项的系数：1，2，1．
又如表中第四行为二项式(a+b)2的展开式(a+b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3的各项的系数：1，3，3，1．
“杨辉三角”中数的排列规律是：每一行两端都是1，其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和，如
这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的．据他的著作里记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现．因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”．
在西方，称这个数表为“帕斯卡三角形”．帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,发表则在1665年．这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年．。
部编版八年级数学上册《阅读与思考杨辉三角》说课稿
部编版八年级数学上册《阅读与思考杨辉三角》说课稿一、引入大家好，今天我给大家说一说部编版八年级数学上册的《阅读与思考杨辉三角》这一部分内容。
杨辉三角是数学中的一个经典问题，通过阅读和思考，我们可以深入了解杨辉三角的性质和相关应用。
在这里，我将在引入部分对该节内容进行概述，并介绍教学目标和教学重点。
首先，我们先来了解一下什么是杨辉三角。
杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一个由数字排列成的三角形。
它的特点是，每个数等于它上方两数之和。
杨辉三角是一个非常有趣的数学现象，在数学的发展史上有着重要的地位。
二、教学目标通过学习《阅读与思考杨辉三角》这一部分内容，我们的教学目标主要包括：1.了解杨辉三角的定义和构造过程；2.掌握杨辉三角的性质和特点；3.熟练运用杨辉三角解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
三、教学重点在教学过程中，我们重点讲解以下几个方面的内容：1.杨辉三角的构造方法和性质；2.杨辉三角的应用，如组合数和二项式展开；3.运用杨辉三角解决实际问题。
四、教学内容4.1 杨辉三角的构造方法杨辉三角的构造方法非常简单，每一行的数字是根据上一行的数字相加得到的。
具体来说，第一行只有一个数字1，第二行有两个数字1，第三行有三个数字，分别是1、2、1，以此类推。
可以用递推的方法求出任意一行的数字。
4.2 杨辉三角的性质杨辉三角有很多有趣的性质，我们来看几个典型的例子。
4.2.1 每行数字的和是2的幂每一行数字的和恰好是 2 的幂次方。
这可以用数学归纳法进行证明。
4.2.2 对称性杨辉三角是关于中垂线对称的，即三角形的左右两侧的数字是对称的。
4.2.3 组合数杨辉三角中的数字可以表示为组合数，即在排列组合问题中，杨辉三角中的数字可以表示为选取元素的不同方式的个数。
4.3 杨辉三角的应用杨辉三角在实际问题中有着广泛的应用，其中一个典型的应用是二项式展开。
二项式展开是把一个二次方或高次方完全展开的方法，其中杨辉三角提供了展开系数。
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1 7 21 35 35 21 7 1 a b a b 7
7 7a6b 21a5b2 35a4b3 35a3b4 21a2b5 7a b6 7
(a b)0 (a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6 (a b)7 (a b)n
a2年十大杰出艺术家——世界第一位“雪艺家”的创作.
创设情境 设置悬念
2001年APEC上海峰会中 的一张照片.照片中的 一面背景墙是由“一些 特殊数字”组成的“三 角形”设计而成.
数学史上伟大的发现——
“杨辉三角”
2 33 46 4
创设情境 设置悬念 对杨辉三角你想了解些什么呢？
56
7
0
1
23 4 5
6
杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数
合作交流 探索规律
注意：a bnn 0,1,2,3,4,5,6
【追问1】我们一起研究了6次及6次以内的a bn的展开
式的规律，那同学们又能提出什么问题呢？
n=7,8,9…… 还满足这些规律吗？
合作交流 探索规律
【追问2】你能利用规律直接写出 a b7 的展开式及系数吗？
合作交流 探索规律 【活动二】
规律 我们一般研究多项式的哪些要素？
项数、次数、系数
合作交流 探索规律
【追问2】你能利用规律直接写出 a b7 的展开式及系数吗？
项数 次数 系数
(a b)0 (a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
1
2
34
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 n 1
次数 0 1 2 3 4 5 6 7 n
系数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数
合作交流 探索规律
【追问3】根据规律直接写出的多项式与系数对不对呢？
请你借助图形计算器验证一下.
结论：当n=7时，规律仍然成立.
合作交流 探索规律
杨辉三角
你能联想到什么知识呢？
a b2 a2 2ab b2
a bn n 0,1,2,3
合作交流 探索规律 【活动一】
【任务一】计算：a bnn 0,1,2,3,4,5，6 ，即：a b0 、a b1、
……、a b6 ，将结果记录在活动记录表中.
【任务要求】 1.每个多项式按照a的降幂顺序排列.
11
121
1 3 31
1 46 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 25 20 25 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
总结提升 1. 谈谈你在本节课中有哪些收获？ 2. 我们是怎样探索规律的？
【一般思路】 动手试验 观察 归纳猜想 验证
3. 数学思想方法： 由特殊到一般，归纳.
【追问4】那么当n=8,9,…… 时，我们怎么来验证呢？ 我们用已有的知识能验证“所有”吗？
n可以取到无限大，用我们现在有限的知识 和经验是无法完成验证的. 高中阶段我们就会证明这些规律了.
资源拓展 杨辉三角中还有哪些我们不知道的秘密呢？
请同学们观看视频资料.
杨辉三角—— 一个美丽的分形
1 ——谢尔宾斯基三角