质点动力学

b − mω 2 ydy = − 1 mω 2b2
0
2
3.6 功能原理 机械能守恒定律
22/25
4）作用力是保守力吗？为什么？
考察质点从任意C(x1，y1)点运动到任意D(x2，y2)点，做功
∫ ∫ W = Wx +Wy =
x2 x1
Fx dx
+
y2 y1
Fy dy
∫ ∫ = x2 − mω 2 xdx + y2 − mω 2 ydy
对质点系，有
∑ ∑ ∑ ∑ Wiex + Wiin = Eki − Eki0 = Ek − Ek0
i
i
i
i
质点系动能定理 W ex + W in = Ek − Ek0
注意
内力可以改变质点系的动能
3.6 功能原理 机械能守恒定律
13/25
二 质点系的功能原理
质点系动能定理 W ex + W in = Ek − Ek0
∑ W in =
Wi in
= Wcin
+
W in nc
i
∑ ∑ Wcin = −( Epi − Epi0 ) = Ep0 − Ep
i
i
非保守 力的功
W ex
+
W in nc
=
(Ek
+
Ep ) − (Ek0
+
Ep0 )
机械能 E = Ek + Ep
W ex
+
W in nc
=
E
−
E0
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W = −(Ep − Ep0 ) = −ΔEp
∫ 令 Ep0 = 0
Ep (x, y, z) =
E p0 = 0 Fv ⋅ d rv
( x, y ,z )
3.5 保守力与非保守力 势能
四 势能曲线
Ep = mgz
Ep
=
1 2
kx 2
Ep
Ep
11/25
Ep
=
−G
m' m r
x1
y1
=
1 2
mω 2 (x12
+
y12 )
−
1 2
mω 2 (x22
+
y22 )
做功只与始末位置有关，是保守力
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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例3 一弹簧原长为l0，劲度系数为k，上端固定，下端 挂一质量为m的物体，先用手托住，使弹簧不伸长，
1）如将物体托住慢慢放下，达静止（平衡位置）时， 弹簧的最大伸长和弹性力是多少？
m' 对 m 的万有引力为
Fv
=
−G
m'm r3
rv
m由 A点移动到 B点时 Fv 作功为
m
A rv(t)
drv
m' rv(t +dt)
O
W
=
∫
Fv
⋅ drv
=
∫AB− G
m' m r3
rv
⋅
drv
B
3.5 保守力与非保守力 势能
4/25
W
=
∫
Fv
⋅ drv
=
∫AB− G
m' m r3
rv
⋅
drv
W
=
−(1 2
kx
2 B
−
1 2
kx
2 A
)
A
C
∫ ∫ v F
⋅
drv
=
v F
⋅
drv
ACB
ADB
D B
3.5 保守力与非保守力 势能
∫ ∫ Fv ⋅ drv = Fv ⋅ drv
ACB
ADB
A
∫ ∫ ∫ v F
⋅
drv
=
v F
⋅
drv
+
v F
⋅
drv
l
ACB
BDA
D
∫l
v F
⋅
drv
=
0
A D
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
l0
l
m’
m
m’
m
分析：弹性力为内力，系统动量守恒 弹性力为保守力，系统机械能守恒
以弹簧、m、 m’为系统
3.6 功能原理 机械能守恒定律
17/25
解：以地面为参考系，设m’、m速度分别为υ’、υ
动量守恒
m'υ'−mυ = 0
机械能守恒
1 2
m'υ'2 +
1 2
mυ 2
=
1 2
k (l0
−
l)2
⇒ υ = (l0 − l)
km' m(m + m')
υ'= m υ
m'
⇒ υm'−m = υ'+υ = (l0 − l)
k(m + m') mm'
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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例 2 一质量为m 的质点作平面运动，其位矢
为 r = a cosωti + b sin ωt j ，式中a, b为正值常量，且
a>b，问：
3.4 动能定理
1/25
例3 一链条，总长为l，放在光滑的桌面上，其 中一端下垂，长度为a，如图，假定开始链条静 止，求链条刚刚离开桌边时的速度。
l-a
分析受力
密度均匀，取微元 a
积分求总体
求解
3.4 动能定理
2/25
解： 链条下落过程中只有重力，由动能定理得
WG
=
1 2
mυ 2
设链条线密度为λ，链条下垂为x，增量dx， l-x
=
dy dt
=
bω cosωt
⇒υ = − aωy i + bωx j
b
a
⇒υ2
=
υ
2 x
+
υ
2 y
=
( aωy )2
b
+ (bωx )2
a
⇒ EkA
=
1 2
mυ
2 A
=
1 2
mω 2b2
速度大小
EkB
=
1 2
mυ
2 B
=
1 2
mω 2a2
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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3）质点所受作用力，分力所作的功。
守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
设此时弹簧的静伸长量为x0，取坐标ox向下为正，以 平衡位置为坐标原点。
受力平衡 -kx0+mg=0
l0
静伸长量 x0=mg/k
弹力大小 F=kx0=mg
x0
o
x
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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2）突然放手后，设物体最低可到达x处，以放手位置 和x处为系统的始态和末态，在此过程中，系统机械能 守恒
kx
2 B
−
1 2
kx
2 A
)
Ep = mgz
引力势能
Ep
=
−G
m' m r
弹性势能
Ep
=
1 2
kx 2
保守力的功 W = −(Ep2 − Ep1 ) = −ΔEP
3.5 保守力与非保守力 势能
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讨论
势能是状态函数
Ep = Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
r = a cosωti + b sin ωt j
x(t) = a cosωt
y(t) = b sin ωt
x2 a2
+
y2 b2
=1
质点作轨迹为椭圆的曲线运动
3.6 功能原理 机械能守恒定律
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2）质点在A点(a,0)和B点(0,b)时的动能有多大？
υx
=
dx dt
=
−aω
sin ωt
υy
F
=
m
d2 dt
r
2
=
m
d2 dt
x
2
i
+
m
d2 dt
y
2
j
= −mω 2rer
可见，质点所受作用力方向指向坐标原点，是有心力
Fx = −mω 2 x，Fy = −mω 2 y
做功：
∫ ∫ Wx =
0
a Fxdx =
0 − mω 2 xdx = 1 mω 2a2
a
2
∫ ∫ Wy =
b
0 Fydy =
选平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹簧势能零点。
mgx0=-mgx+k(x0+x)2/2
伸长量 x+x0=2mg/k
l0
弹力大小 F=k(x+x0)=2mg
选衡位置时速率为v
mgx0=mv2/2+kx02/2
x0
x
o
v = g m / k = gx0