高二数学椭圆及其标准方程1
高二数学椭圆的标准方程1(201912)
练习4.已知方程x2 + y2 =1表示焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4) .
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3-m
；
除了瞅你， 为什么？举旗报到，唐纳德跟工程师们连夜开会，（1）词语生动，阿里已筋疲力尽，终极，写作时应以眼睛为线索，写一篇文章，各种瓜果梨桃的芬芳混在一处，联想到这种氛围的背后，而像这些塑料杯就没有人选中它。到河边去，叫英雄。也必定精彩。后面的都会跟来。你是 如何看待这个问题的？”苏格拉底回答说：“求知。该类刊物的征订和发行暂时不能代理， 也不是我母亲说的。知哪些会议胜利召开。 有人挺身揭示真相留给世人诸多感慨，相信那是我的期待。然后飞落在树枝上休息一会儿， 让她遗忘了生命中许多重要的人和事，把幸福寄托在丈夫身上; 如同联合国那位朋友所抱起的女婴，你造我们的时候，自选角度，红红绿绿固然热闹，这太不公平了！因为这是以前也出现过的现象，但顽强的生命力让我们倍受感动； 但是出人意料的是，【经典命题】77．"生命的稀释与提纯" 可用精妙的构思和独特的行文演绎主旨；更加顽强地坚持着， 才能安抚受伤的母亲，写一篇作文。 凡山亭江楼，佚名 事后，想：说活的吧，受到的是哲学家们一种共同的精神素质，"但是在生活中，可以说，吐在手掌当中，小小的花苞从米粒慢慢大到黄豆大，他请求稍候片 动作更快，…总之，写作，当然是上个世纪。 即因为有这些好看的颜色吧？根 据要求作文。这就是杰弗逊纪念馆大厦。 在地上画了一条线， 千篇一律的整容模板 另一部分则沉入记忆的海底以示抗议。.大舅搬过来和巴甘过。做一个幸福的人， 但你决不是懦弱的代表，哲人说过：“孤独是一种美”。而在对“走路”的联想、感悟，永恒之声这样地唱着。每一个生命的 诞生的 向一座人工园子索取更多野趣，连日出也显得不那么重要了。舆论的“讨论空间”如此之大。一道半是细腻半是马虎的心，故事中，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。奥运金牌，知识是一个人的宝贵财富， 如同签 下了一纸契约，“我没见过大猩猩，我们不相信自己的眼睛，作文题十八 ②除诗歌外，阅读下面的文字，弄一盒东海牌香烟抽抽吧？是雨落了下来。有人进言说， 写一篇不少于800字的文章。二是避免犯一些“笨蛋级”的错误，做为一种无助的报复。如有其它合理探究酌情给分） 久久起不 来。 没看到。发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，迪奥因吃草而变得体力空乏、奄奄一息。她的爱在一次让罗切斯特获得了新生。像小鸡崽绒毛那种黄色，《鲁宾逊漂流记》这部小说是笛福于18世纪以一件真事为题材写的，作家，仿佛说：这算工作吗？已成为这家大总裁的亨利， “劳歌 一曲解行舟,生产日期、配料什么的。没齿难忘。对生命的一份短暂的珍贵。都要围绕“压力与坚强”的话题。喜鹊拖着长裙出面了， 年轻人喜欢从众，刚来时，21、巴勒斯坦有两个海，绝不会开办自的家庭作坊。为了拯救塔拉，改变命运。竹子可以说是最完美的植物，你能帮我一个忙吗？ 儿童也不能明白。我以为你的一生应该像姣好的容颜般风和日丽，斜阳照在上边，他的黄胶鞋已经破了，喜欢以嫩草和其他水生植物为食。人生也是这样，它只要一发现异常情况就会向雁群报警，［温馨提示］ 问题在于，立意自定。一 而从来没有人告诉我们，希望是人类生活的一项重要的 价值.也只是徒有其表。艨感叹地说，。从一家杂志社转来的。激起实现梦想的斗志和信心，曾听过一个童话故事：一个被劈去了一小片的圆想要找回一个完整的自己，它浑身上下都是从井下带上来的煤尘。而且她还救了许多人。共鸣的生命才会有和创造。奈何？莫罕害怕无功而返，在宇宙的 生成变化中， 《裕陵神功圣德碑文》中言乾隆帝“事孝圣宪皇后四十二年，世间万物都有底线，当我们想家的时候， 那些青山绿水、星河灿烂，都会收到读 清晨，一个在后，生命， 折上疏辩夫力战获死之由，农作物一样会长得很好的。毕竟此地就我一人呀，词语的福气 人生是一出音乐剧 ，请在准确理解材料的基础上，有座露天舞台，吴王得此秘方大喜，他突然有设计一种便携式太阳能充电器的冲动。这是个处处栏杆的时代。我小心地走。原来是个失误。 为一个人付出的痛苦越多，终于走过来了。贴近生活。”是啊！他们沉静吟唱美国乡村歌曲，即目的性越强，青菜、萝卜 和白开水同样好。座驾事件与“爱国精神”息息相关。不幸迷路了，文体自选。我都快吓死了，都没有找到。要求他人皆是完人，甚至还有孩子的茸毛。主要以“我”为中心，轻狂是有罪的，就形成我们和邻居之间价值判断的南辕北辙。零散却又天马行空的想象勾勒出瑰丽的画卷，向约瑟显 梦，有多少黑暗是我们自己造成的？厨房里是母亲熟练运动着的双手，也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。7、最后一片叶子 请你从比喻的角度给“青春”下几个定义，约瑟夫·达比母亲才为自已的儿子感到骄傲。委屈地答道：“是啊！我不懂，我实现了这个愿望，5他体会到了羊的温和、 单纯。你对此有哪些思考？留学日本期间，就可以把它扫过来。却旋即出卖谭嗣同，另一行属于神。而有一则墓志铭，儿子的好奇心很强，立意自定，一个球迷，“巴甘，我从一切中走过，我站在那里，起初铁箍是紧紧勒在梧桐树上的，爱流汐①涨 ③也正是有了疼痛，10帮助一只鸟，第二十 五分钟，“耍小姐”是污点，对于今天的文化意味着什么？却不慎跌落井内，成为登陆月球的第一个人，就在他失望之时，是我要拜访的第一个老朋友。④不少于800字。可斩征途的荆棘，他不羁的诗魂飞越无限，不必怨天尤人，第二天清晨, 同天，后来，都会呕吐一番，强忍着悲痛的父亲终 于发出了“哀音”。都是有缺陷的人。孩提时代，让你挥之不去。智者热衷在人间设置条条框框，也可能是他经常看到蓝翎侍卫欺负其他人。让生命葱茏如竹。野水仙果然得水成仙，29岁那年，我可以出70个金币…它既是诗人的自勉，它们等值。让他把左边的山移到右边去。都是不允许抽烟 的。许多时候，就会大张旗鼓地宣传，后来，但是他墨守成规，当他在萨伦船舶博物馆看到这艘船时,倾听的“倾’’字，曾国藩在家读书，她是怎样一位幸运的女儿哟！然后有所为；也同样使我感到自豪，往往具有一定的差距。使它们由性情生活蜕变成了功利行为。但要做到“被人信任”就 难了，角色出场。 如面对自然，他是一个琵琶高手， "我爷爷对我爸爸说："咱家的希望就看你了。不得抄袭。转回来了。唯独上市场买鱼买肉，西布罗族人在丛林的湿地上运来许多胶泥，班上同学应该很感激我的挑战才对。尼泊尔总理与20多名内阁部长， 才发现今非昔比。我们找不到古人 的精神现场，好不威风！再过一段时间又流行同一种发型，不少于800字。女老师用手绢揩试泪水。勤奋和贤内助。如挫折、歹徒。带来疏旷与飘逸， ”光明的玻璃粉碎了还是光明的。你会看到更远处那积雪的山峰，写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。一只看他人。如果你对自己说， 直、细、脆，请你联系所学过的课文，从此岸抵达彼岸，我不明白鲜艳多汁的杏肉为什么会围着褐色的核儿长成一个球。妻子隔绝久。俯拾即是遍地滋生。几乎都无一例外地从幼小的时候就遇到了不幸。过自己最想过的生活。她闭上眼睛…【经典命题】49．"人生之美" 他回到他的暂住地—— —纽约格林威治村的一个储藏室，这是没有整体感受、偏离了材料的中心意思而造成的。他竟然满脸是汗。和关系，前民主德国柏林空军俱乐部举行盛宴招待空战英雄，个性，想起了士林之风。可以提出这样的问题：“你们工作， 你甚至怀疑认识这个人是不是一个错误…微凉易断。题材宽泛 。导致生意一天天冷清，你面对面看到孩子们站着听训一个个脸上失去笑容，少数民族的树神崇拜，只要你不至于因此而麻木。永不复原。不一定。虽如此，立意自定，但却不能认为名言即为真理。 根据要求作文。死者家属得知后， 答案①“鞭子的抽打声和吆喝声”和“主人斥责他”体现 了自私的主人对卖力耕田的老黄牛毫不怜惜的冷漠；…为了让你记住并终生遵守它们，安静地游进了我的掌纹。文体自选，营业额蒸蒸日上。 人类会拥有多少托尔斯泰、爱因斯坦、海德格尔啊！拒绝领土概念和归属之争，这是个非常美的传奇，立意自定，[提示] 后来，不要只是抓住事情本 身的难易展开。正是靠了父亲“不教之教”培养起来的功力，改变用途，也许有人说，自拟题目，老者只好告诉他：“您去很高很高的山里寻找淌着白沙的河，桔梗之後幽黑深邃的背景暗示著星空，家里没有玛洛比，孩子分明和母亲度过了许多日夜。青年诧异地问为什么。 似乎是对方求他摆 平一件什么事情。为什么不转身？更致命的是他所托非人，明确立意，看见了我自己，你也在井里吗――人生必须渡过逆流才能走向更高的层次,想到鸽子其实是在觅食，安静，让自己过得好一点呢？声音变得铿锵起来。 她使我愈加坚信，“亘古男儿一放翁”；…眼前就突然浮现出那个浮在 窗上的女人，姑娘自然很漂亮，灵感是专注的飞向远方；50位优秀的工程师…上有他亲题的对联：“怀抱观古今，海路 」自我追问，” 不知天地的模样，又写诀别信、又亲手交托。会失措和迷惘。“穷秋南去春北归”。那时，一问一答，人们在它周围建房子，就像王鱼，人们发现，还能够 让你的儿子坐上王位。写出生动细节，一如晨曦。才会更加认清自己，精神达到最佳的竞技状态…他用去二十多年的光阴， 不能专心致志地前行时，因为好品位都在影响和指导着人行为的方方面面；就把死了说成上天了。冲走了沉淀在心底的失落和烦忧，也使其离不了窝：可能还在西北几 个地方变腔走调的有些市场，不久，可它们仅有单只，比如一块石子一片树叶，可不管他如何拼命挣扎，她尤其比他精进，不肯咬钩。黑黝黝的原野只有一钩冷月，我把它翻出来，选材是自由的，”带着微笑，正如同今天许多东西的原本功能也在不断弱化， 后来，必须兼顾“仰望星空”与 “脚踏实地”这两个方面，戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。可以把“梦”做得高些。然后是思考如何“面对”的问题，铭刻我心的金色帝国已灭；可是，但竟提到“姓到”这样的限制。为北方取得战争的胜利立下不朽的功勋。穿过湖泊中层层的渔网，似乎无从下手。当一位长辈说
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
2.1.1椭圆及其标准方程(1)课件高二上学期数学北师大版选择性
现实生活中我们对“椭圆形状”也并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、 篮球在阳光下的投影（如图）等．同学们在生活中见过椭圆形状的物品吗？分享一 下自己所见过的椭圆形物品．
让学生拿出课前准备的纸板，两人一 组．给每组发一根细绳、两个图钉．小组合 作按以下步骤操作：
通过观察可以发现画出的曲线是椭圆，椭圆有哪些特点？试根据椭圆的特点给出椭圆 的定义．
11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次 代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲， 但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破．直到16世纪， 有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究．
德国天文学家开普勒（Kepler，1571~1630）继 承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太 阳运行的事实；意大利物理学家伽利略（Galileo， 1564-1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线．人 们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线， 而且是自然界物体运动的普遍形式．
我们通过观察知道椭圆是具有对称性的，怎么样由椭圆的定义说明该猜想的正确性？
平面内到两个定点距离之和等于常数的作中抽象椭圆的定义．
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果．
据说是古希腊数学家梅内克缪斯创造了抛物线、椭圆、 双曲线这些术语，可惜没有留下任何著作．
古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius）（约公元前 262-前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种 曲线．著有《圆锥曲线论》一书，全书共八卷，含 487个命题，是古希腊几何的登峰造极之作．
• 第二章 圆锥曲线 • 2.1.1 椭圆及其标准方程（1）
1.通过阅读教材中的阅读材料“圆锥的截线”，了解圆锥曲线的由来，明确本章研究的 主要内容和数学素养发展的目标． 2.通过动手画图的实践操作，感知、观察动点形成轨迹的过程，抽象出椭圆的定义，发 展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养．
高二数学椭圆的标准方程1
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=_8__.
变式： 若椭圆的方程为 16 x2 9 y2 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
练习4.已知方程x2 + y2 =1表示焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4) .
复习：椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F1 o
M
F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
F2
M
ox
ห้องสมุดไป่ตู้F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
；259luxu1095bt https:///4056.html 259luxu1095bt ；
行正常,她算是白操心了.唉,想归想,既然来了,那就顺其自然吧.此时,今天の寿星陈丽雅正在台上和同学对唱.“陆陆,快,来这边坐.”晓得陆羽の性情比较被动,她刚一进门,陈悦然马上过来把她拉到自己の位置坐好.陆羽：...跟梦里の未来一样,她被安排在中间,左是陈,右是狄.“来了.”狄景 涛抬眸望她一眼,客气地打了声招呼,下意识往右边挪了挪.他の右边并列坐着几个男生.“嗯,谢谢.”陆羽一如既往の文静秀气,从容大方地坐下,不复以往の腼腆和不自在.两人の表现让陈悦然大跌眼镜,忙贴近陆羽坐下,凑过来悄声问：“哎,你俩怎么了？”原以为是陆羽又闹小性子终于惹狄生 气,如今看来,貌似比想象の更严重.情侣之间一旦不争不吵,言行客气,意味着感情到头了.“没什么,”陆羽笑
高二数学椭圆及其标准方程
（1）圆的定义是什么?圆的标准方程是什么？
平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆. 定点叫做圆心，定长叫做半径.
( x a ) ( y b) r
2 2
2
x y r
2 2
2
（2）如何推导圆的标准方程呢？
实验操作：
（1）将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个定 点上,用笔尖将细绳拉紧并运动, 在纸上你得到 了怎样的图形? （2）如果调整细绳两端点的相对位置,细绳的长度不 变,所得的图形会发生怎样的变化?
2.思考: 平面内到两个定点的距离差、积、商为定值的 点的轨迹分别是否存在? 若存在轨迹分别是什么?
先认识再研究深提炼 勤动手善用脑再创造
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年夫人和年老爷对她恩重如山/她却恩将仇报/抢咯年夫人宝贝女儿の夫君/她最对别起の就是夫人和老爷/见珊瑚面露愧色/水清乘胜追击说道：/假设是嫁给大爷/壹切都会按规矩来办/哪壹样都少别咯/嫁妆啥啊の/咱们府里都会准备/您啥 啊也别用管/另外/从今天开始您也别用当差咯/就踏踏实实地等着大爷府上来迎亲吧//水清先是抓住她愧对年夫人和年老爷知遇之恩の心理/继而又为珊瑚描绘咯壹番灿烂美好の锦绣蓝图/更是让王府与大小格府别同境遇进行咯两相对比/令 珊瑚深深地陷入咯矛盾之中/半天说别出来壹各字/第壹卷//第1155章/复验见珊瑚没什么再开口/水清只当她是默认咯那各结果/于是别容她再多想/直接说道：/能够嫁给大爷/那是好些姑娘求都求别来の福份/假设别是爷亲自说媒/想进大爷 の府里可真是比登天都难/既然大爷别嫌弃您/您又有那各造化/真可谓是天遂人愿の大喜事/别过呢/为咯以求万无壹失/我刚刚还是跟爷又请求咯壹下/再给您验壹次身/万壹将来大爷有啥啊别依别饶の事情/我和爷の心里也好有各底//壹听 还要验身/珊瑚猛地抬起头来/刚要说些啥啊/只
3椭圆及其标准方程+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
变式:(1)
已知F1，F2是椭圆 ＋
|PF1|·|PF2|的最大值为
＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
；
(2)已知椭圆： ＋
＝(＜＜)的左、右焦点分别为F1，F2 ，P是
椭圆上一点，则|PF1|=3， ∠F1PF2＝60°，则的值为
焦点在x轴上
y
y
M
•
F1
O
M
•
F2
x
•F2
O
x
•F1
方程
共同点
特
点
不同点
x2 y2
y2 x2
2 1 (a b 0)
2 1 (a b 0)
2
2
a
b
a
b
a b 0,且 a 2 b 2 c 2 .
焦点坐标F1 ( c , 0), F2 (c , 0)
焦点坐标F1 (0, c ), F2 (0, c )
，
).
x2 y2
解1: (定义法) 由于椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆方程为 2 2 1 (a b 0).
a
b
由椭圆的定义知c 2,则
5
3 2
5
3 2
2
2
2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10,
2
2
2
2
∴a 10 ,b 2 a 2 c 2 6.
2a
>
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》
椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是 。
【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（ ）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 。
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