利用绝对值求数轴上两点间的距离(含答案)
七年级数学上册专题提分精练数轴上动点返回问题(解析版)
专题11 数轴上动点返回问题1．数轴上有A 、B 、C 三个点对应的数分别是-22、-10、10．动点P 从 A 出发，以每秒3个单位的速度向点C 方向移动，设移动时间为t 秒，点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度向右运动， P 点到达C 点后，再立即按原速返回点A ．(1)点P 到达点B 时t = 秒，点Q 向右运动的过程所表示的数为 ，点P 返回的过程中所表示的数为 ；(2)当t 为何值时， P 、Q 两点之间的距离为4．【答案】（1）4；−10＋t ；42−3t （2）4s 或8s 或12s 或14s【解析】【分析】（1）由时间＝路程÷速度，可求t 的值，由两点距离可求解；（2）分两种情况讨论，列出方程可求解．【详解】（1）点P 到达点B 时，t ＝10223-+＝4s ，点Q 向右运动的过程中所表示的数为−10＋t ，点P 返回的过程中所表示的数为10−（3t−32）＝42−3t ，故答案为：4，−10＋t ，42−3t ；（2）当点P 到点C 之前，则有|（−10＋t ）−（−22＋3t ）|＝4，∴t ＝4或8当点P 返回时，则有|（42−3t ）−（−10＋t ）|＝4∴t ＝12或14答：当t ＝4s 或8s 或12s 或14s 时，P 、Q 两点之间的距离为4．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．已知数轴上有三点A ，B ，C 分别表示有理数26-，10-，10，动点P 从点A 出发，以1个单位长度/s 的速度向终点C 移动，设点P 移动时间为s t ．（1）用含t 的代数式表示点P 分别到点A 和点C 的距离：PA =______，PC ______． （2）当点P 运动到点B 时，点Q 从点A 出发，以3个单位长度/s 的速度向点C 运动，点Q 到达点C 后，再立即以同样的速度返回，当点P 运动到点C 时，两点运动停止．当点P ，Q 运动停止时，求点P ，Q 间的距离．【答案】（1）t ，36t -；（2）24【解析】【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；（2）先求得点P 从B 点到C 点的时间，进而求得点Q 运动20s 的路程，根据题意确定Q 的位置，进而求得,P Q 的距离【详解】（1）PA t =，36PC t =-故答案为：t ，36t -；（2）解：点P 从B 点到C 点的时间为20120s ÷=点Q 运动20s 的路程为32060⨯=点P ，Q 距离为60(2610)24-+=答：点P ，Q 距离为24【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．3．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是a 、b 、c 、d ，且d ﹣2a=14（1）那么a= ，b= ；（2）点A 以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B 以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A 到达D 点处立刻返回，与点B 在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；【答案】（1）6a =-，8b =-；（2）47.【解析】【分析】（1）根据数轴可知8d a =+，然后代入等式求出a 的值， 再根据数轴确定出原点即可； （2）先求出A 点到达D 所需要时间，再根据相遇问题列方程求得相遇时间， 再计算即可求解；【详解】解： （1）由图可知：8d a =+，214d a -=，8214a a ∴+-=，解得6a =-，则28b a =-=-；（2） 由（1）可知：6a =-，8b =-，3c =-，2d =，点A 运动到D 点所花的时间为83，设运动的时间为t 秒，则A 对应的数为823()1033t t --=-，B 对应的数为：84(1)412t t -+-=-，当A 、B 两点相遇时，103412t t -=-，227t =， 44127t ∴-=． 答： 这个点对应的数为47；【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识， 正确表示数轴上的点的距离是解答本题的关键 ．4．如图，点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时点B 从原点出发沿数轴向右运动，4秒钟后，两点相距16个单位长度，已知点B 的速度是点A 的速度的3倍．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出点A 点B 运动的速度．（2）若A 、B 两点从（1）中位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A 点B 的正中间（3）若A 、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 点追上A 点时，点C 一直以10单位长度/秒的速度运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少单位长度．【答案】（1）A 、B 这动的速度分别为1单位长度/秒，3单位长度/秒；（2）2秒时，原点给好处在点A 点B 正中间；（3）C 行驶的路程是80个单位长度．【解析】【分析】（1）设点A 的速度为每秒x 个单位，则点B 的速度为每秒3x 个单位，由甲的路程＋乙的路程＝总路程建立方程求出其解即可；（2）设t 秒时原点恰好在A 、B 的中间，根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可；（3）先根据追击问题求出A 、B 相遇的时间就可以求出C 行驶的路程．【详解】（1）设点A 的速度为每秒x 个单位，则点B 的速度为每秒3x 个单位，由题意，得4x ＋4×3x ＝16，解得：x ＝1，所以点A 的速度为每秒1单位长度/秒，则点B 的速度为3单位长度/秒．（2）设t 秒后原点位于A 、B 点正中间．(4)(123)02t t --+-= 480t -+=2t =2∴秒时，原点给好处在点A 点B 正中间．（3）设B 点追上A 点的时间为1t 秒112(4)831t --==-（秒） ∴点C 行驶路程：10880⨯=（单位长度）C ∴行驶的路程是80个单位长度．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．5．已知数轴上点A 与点B 相距12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．（1）点A 表示的数为__________，点C 表示的数为_________；（2）用含t 的代数式表示P 与点A 的距离：=PA _________；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，回到点A 处停止运动．①点Q 运动过程中，请求出点Q 运动几秒后与点P 相遇？②在点Q 从点A 向点C 运动的过程中，P 、Q 两点之间的距离能否为4个单位？如果能，请直接写出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．【答案】（1）24-，12；（2）t ;（3）①6秒或15秒；②8-或4-或2或-2．【解析】【分析】（1）由点A 在原点的左侧，离原点的距离为24，可知点A 表示的数，继而解得点B 表示的数，，再根据相反数的定义解得点C 的坐标；（2）根据路程=速度⨯时间，可得PA ；（3）①分两种情况讨论Ⅰ：点Q 从点A 向点C 运动时，Ⅰ：点Q 从点C 返回点A 时，根据题意列一元一次方程解题即可；②分两种情况讨论，Ⅰ）点Q 从点A 向点C 运动时，Ⅰ）点Q 从点C 返回点A 时，根据题意，列一元一次方程解题即可．【详解】（1）由题意可知，点A 表示数-24，根据数轴上点A 与点B 相距12个单位长度，点B 在点A 的右侧，可得点B 表示的数是-24+12=-12因为点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，所以点C 表示的数是12，故答案为：-24，12；（2）根据题意得，点P 在点A 的右侧，故点P 表示的数是-24+t,=-24+t-(-24)=t PA ∴故答案为：t ；（3）①设点Q 运动x 秒与点p 相遇，Ⅰ：点Q 从点A 向点C 运动时，根据题意得：3x -x =12 （或-24+3x =-12+x ），解得：x =6；Ⅰ：点Q 从点C 返回点A 时，AC=12-（-24）=36，BC=12-（-12）=24根据题意得：3x +x =36+24或12(336)12x x --=-+，解得：x =15②分两种情况讨论，设点Q 运动x 秒与点p 相距4个单位，Ⅰ）点Q 从点A 向点C 运动时， 则12+(324)4x x ---=，解得4x =或8x =，P 1=-8或P 2=-4Ⅰ）点Q 从点C 返回点A 时，12+(336)4x x ---=，解得14x =或10x =，P3 = 2或P 4 = -2【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．6．如图，点A 表示的数为﹣3，线段AB ＝12（点B 在点A 右侧），动点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB 向终点B 运动，同时，另一个动点N 从点B 出发，以每秒3个单位的速度在线段AB 上来回运动（从点B 向点A 运动，到达点A 后，立即原速返回，再次到达B 点后立即调头向点A 运动）．当点M 到达B 点时，M 、N 两点都停止运动．设点M 的运动时间为x 秒．（1）当x ＝2时，线段MN 的长为 ．（2）当M 、N 两点第一次重合时，求线段BN 的长；（3）是否存在某一时刻，使点BN 的中点恰好落与点M 重合，若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）9BN =；（3）当x = 9.6时，恰好重合【解析】【分析】（1）结合图形，分别表示出AM 、BN 的长，即可得MN 的长；（2）设x 秒后M ，N 重合，根据题意列出方程求解即可；（3）点BN 的中点恰好落与点M 重合分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．【详解】解：（1）由题意可知：AM x =，3BN x =，则124MN x =-或412MN x =-当2x =时，1244x -=，当2x =时，4124x -=-，（不合题意，舍去） ∴4MN =故答案为：4；（2）设x 秒后M ，N 重合，得：312x x +=，解得：3x =，3339BN x ==⨯=；（3）当点M 从点A 运动到B 时，用时：12112÷=秒；当点N 从点B 运动到A 时，用时：1234÷=秒；①当点N 从点B 出发后，运动到A 时，即04x ≤≤时，3122x x =-， 解得：2445x =>，（舍去） ②当点N 到点A 后，从点A 到点B 过程中，即48x <<时，243122x x -=-， 解得：0x =，（舍去）③当点N 返回B 点，从点B 出发运动到A 时，即812x ≤≤时，324122x x -=-， 解得：9.6x =，综上可得：当9.6x =时，点BN 的中点恰好落与点M 重合．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解题意，利用树形结合思想进行分类讨论是解题关键．7．在数轴上原点O 表示数0，A 点表示的数是m ，B 点表示的数是n ，并且满足1050m n ++-=．（1）点A 表示的数为________，点B 表示的数为________；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒同时动点Q 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设P 运动的时间为t 秒，并且P Q 、两点在C 点相遇．试求t 值及C 点所表示的数；（3）在（2）的条件下，若点P 运动到达B 点后按原速立即返回，点Q 继续按原速原方向运动，点P 离开B 点多少秒后，P Q 、两点的距离为4个单位长度？【答案】（1）10-，5；（2）3t =，1-；（3）6秒或14秒【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，解得m 、n 的值，即可解题；（2）分别写出点P 、Q 所表示的数，再根据相遇时，点P 、Q 表示同一个数解题即可； （3）分两种情况讨论，当P 在Q 右边时，或当P 在Q 左边时，结合数轴上两点间的距离解题即可．【详解】（1）1050m n ++-=10+0,50m n ∴=-=10,5m n ∴=-=∴点A 表示的数为10-，点B 表示的数为5，故答案为：-10；5；（2）点P 表示的数是：10+3t -，点Q 表示的数是：52t -，根据题意得，10+3t -=52t -32510t t +=+解得3t =523=1∴-⨯-，此时C 点表示的数是1-；（3）P 从C 运动到B 时，Q 距离C 点4，点P 到达点B 时，P Q 、相距10，当P 在Q 右边时，(210)34t t +-=解得6t =当P 在Q 左边时， 3(210)4t t -+=解得14t =综上所述，当6t =或14t =时，P Q 、两点的距离为4个单位长度．【点睛】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及绝对值、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．点A 在数轴上表示的数是-8，点在点A 的右侧，且线段AB =24（单位长度） （1）点B 在数轴上表示的数是（2）若点A 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A 和点B 相距8个单位长度;（3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A 运动，当遇到点A 后，立即返回向点B 运动，遇到点B 后立即返回向点A 运动，如此往返，直到点A 和点B 相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度【答案】（1）16；（2）2秒或4秒后点A 和点B 相距8个单位长度；（3）电子蚂蚁的路程是12个单位长度【解析】【分析】（1）由题意得，88OA =-=，0OB >，即可得；（2）设经过t 秒后点A 和点B 相距8个单位长度，分情况讨论：①当点A ，B 两点相遇前，AB =8，②当点A 、B 两点相遇之后，AB =8，进行解答即可得；（3）设经过x 秒后点A 和点B 相遇，得经过3秒后点A 和点B 相遇，再用电子蚂蚁的速度乘时间即可得．【详解】解：（1）由题意得，88OA =-=，0OB >， 则24824816OB AB OA =-=--=-=，即点B 在数轴上表示的数是：16，故答案为：16；（2）设经过t 秒后点A 和点B 相距8个单位长度，①当点A ，B 两点相遇前，AB =8，则62824t t ++=，816t =，解得2t =，②当点A 、B 两点相遇之后，AB =8，则62824t t +-=，832t =，4t =，综上，当AB =8时，运动时间为2秒或4秒；（3）设经过x 秒后点A 和点B 相遇，6224x x +=，3x =，即经过3秒后点A 和点B 相遇，则3412⨯=，故电子蚂蚁的路程是12个单位长度．【点睛】本题考查了数轴及其动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握灵活运用知识点，全面考虑问题可能出现的情况．9．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为1-、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，则点P 对应的数为_____________；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为8？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，动点P也同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后立即返回向点B运动，遇到点B后又立即返回向点A运动，如此往返，直到点A追上点B时，点P立即停止运动．若点P一直以2个单位长度/秒的速度匀速运动，则点P一共运动了__________个单位长度．【答案】（1）1；（2）存在，当x=-3或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；（3）16 3【解析】【分析】（1）根据数轴上中点公式即可求出结论；（2）根据点P与点A、B的位置分类讨论，分别列出方程即可求出结论；（3）先求出AB的长，即可求出点A追上点B所用时间，从而求出点P的运动时间，再乘点P的运动速度即可求出结论．【详解】解：（1）∵A B、对应的数分别为1-、3，点P到点A、点B的距离相等∴点P对应的数为1+31 2-=故答案为：1；（2）存在当点P在点A左侧时，则PA=-1－x，PB=3－x由题意可得（-1－x）＋（3－x）=8解得：x=-3当点P在A、B之间时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=3－x此时PA＋PB=4≠8，故此时不符合题意；当点P在点B右侧时，则PA=x－（-1）=x＋1，PB=x－3由题意可得（x＋1）＋（x－3）=8解得：x=5综上：当x=-3或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；（3）∵A B、对应的数分别为1-、3，∴AB=3－（-1）=4∵点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动∴点A追上点B所用时间为4÷（2－0.5）=83（秒）即点P运动的时间为83秒∴点P运动的路程为83×2=163个单位长度故答案为：163．【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和一元一次方程的应用，掌握两点之间的距离公式、中点公式和实际问题中的等量关系是解题关键．10．如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．）当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．（1）当x=3时，线段PQ的长为．（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）7.5；（3）当x=207或x=4或x=607时，点Q恰好落在线段AP的中点上．【解析】【分析】（1）根据运动速度以及时间分别求出点P和点Q的位置，从而得出PQ的长度；（2）设时间为x秒，然后根据题意列出方程求出x的值；（3）分三种情况分别列出方程，从而求出x的值．【详解】解：（1）由题意可知：AP=x，BQ=3x，则PQ=10-4x或4x-10当x=3时，10-4x=-2（不合题意，舍去）当x=3时，4x-10=2∴PQ=2故答案为：2；（2）设x秒后P，Q重合，得：x+3x=10解得：x=2.5PQ=3x=3×2.5=7.5（3）①x=2（10－3x）解得：x=207② x=2（3x －10） 解得：x=4③ x=2（30－3x ） 解得：x=607【点睛】本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，利用数形结合思想解题是关键． 11．如图1，数轴上有三点A 、B 、C ，表示的数分别是a 、b 、c ，这三个数满足()()228|4|20a b a c ++-++=，请解答：(1)=a _________，b =_________，c =_________；(2)点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，点P 以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q 以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，当点P ，Q 之间的距离为4个单位时，求运动的时间是多少秒？(3)如图2，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发向数轴正方向运动，点P 的速度每秒3个单位长度，点Q 的速度每秒1个单位长度，当点P 到达C 点时立即掉头向数轴的负方向运动，并且速度提高了13，直至点P 与点Q 相遇时两个点同时停止运动．设运动时间为t 秒，请直接写出在运动过程中点P 与点Q 之间的距离（用含t 的化简的代数式表示，并指出t 的对应取值范围）．【答案】(1)8,4,16- (2)2秒或4秒(3)06t <≤时，122PQ t =-； 68t <≤时，212PQ t =-； 4885t <≤时，445PQ t =-． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质可得a 、b 、c 的值；（2）先用含t 的代数式表示出点P 和点Q 表示的数，再根据两点距离为4，列方程可得解； （3）分三种情况讨论：当06t <≤时；当68t <≤时；当4885t <≤时，即可求解 (1)解：∵()()228|4|20a b a c ++-++=， ∴80,40,20a b a c +=-=+=， 解得：8,4,16a b c =-== (2)解：设运动时间为x 秒，依题意得，点P 表示的数是-8+3x ，点Q 表示的数是4-x ， ∴|（-8 + 3x ）-（4-x ）| = 4， 解得x = 4或2，答：当P ，Q 之间的距离为4个单位时，运动的时间是4或2秒； (3)当06t <≤时，点P 表示的数是-8+ 3t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（4 + t ）-（-8 + 3t ）= 12-2t ；当68t <≤时，点P 表示的数是-8+3t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（-8 + 3t ）-（4 +t ）= 2t -12；当4885t <≤时，点P 表示的数是16-4（t -8）= 48-4t ，点Q 表示的数是4+t ， ∴PQ =（48-4t ）-（4 +t ）= 44-5t ；综上，当06t <≤时，122PQ t =-；当68t <≤时，212PQ t =-；当4885t <≤时，445PQ t =-． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，绝对值非负性，数轴上两点间的距离，会用含t 的代数式表示出点P 和点Q 表示的数是解题关键． 12．思考下列问题，并在横线上填上答案：（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距_______个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 _____________．（3）数轴上若点A 表示的数是2，点B 与点A 的距离为3，则点B 表示的数是_______． （4）若|a －3|=2，|b+2|=1，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是_______，最小距离是_______．（5）数轴上点A 表示8，点B 表示-8，点C 在点A 与点B 之间，A 点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B 以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C 以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A 后立即返回向左运动，碰到点B 后又立即返回向右运动，碰到点A 后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过_______秒三个点聚于一点，这一点表示的数是_________，点C 在整个运动过程中，移动了_______个单位． 【答案】（1）7；（2）-1；（3）5或-1；（4）8，2；（5）8，4，24 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，即可求解；（2）根据数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，即可求解； （3）根据数轴上两点间的距离公式，列绝对值方程即可求解；（4）利用绝对值的性质分别求得x 、y 的值，根据数轴上两点间的距离公式计算出结果，比较即可得出；（5）设经过t 秒，三个点聚于一点，根据点A 、B 运动的路程为()88--，列一元一次方程求解，利用“速度⨯时间=路程”即可求得点C 运动的路程． 【详解】（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距|-3-4|=7个单位； 故答案为：7；（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2251+-=-； 故答案为：1-；（3）数轴上若点A 表示的数是2，点B 与点A 的距离为3， 设点B 表示的数为x ， 则23x -＝， 解得：5x =或1x =-， 点B 表示的数是5或1-， 故答案为：5或1-；（4）∵32a -=，21b +=， ∴a 为5或1，b 为-1或-3，则A 、B 两点间的最大距离是()538--=， 最小距离是()112--=, 故答案为：8，2；（5）设经过t 秒，三个点聚于一点， 由题意可得：()0.5 1.588t t +=--， ∴8t =(秒)，880.54-⨯=， 3824⨯=(个单位)，故经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C 在整个运动过程中，移动了24个单位．故答案为：8，4，24． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值方程，一元一次方程的应用等知识．数轴上两点间的距离，即数轴上两点所表示的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加．13．如图，在数轴上有A 、B 、C 三点，A 、B 两点所表示的有理数分别是2k -4和-2k+4，且k 为最大的负整数．点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到A 点距离的2倍，动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以每秒3个单位长度的速度向左运动；动点Q 从点C 出发，以每秒l 个单位长度的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为t 秒，当点P 与点Q 第二次重合时，P 、Q 两点停止运动，（1）直接写出A 、B 、C 三点所代表的数值；A ：________B ：________C ：________ （2）当t 为何值时，P 到点A 与点Q 的距离相等； （3）当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度． 【答案】（1）A ：-6；B ：6；C ：－2；（2）t=45；（3）t =32或52或19 4【解析】 【分析】（1）由k 为最大的负整数可得出k 的值，进而可得出点A 、B 表示的数，由点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到点A 点距离的2倍，可得到结果；（2）由P 到点A 与点Q 的距离相等可得到关于t 的一元一次方程，解方程即可； （3）利用时间=路程÷速度求出点P 到达点B 的时间及两点第二次相遇的时间，分04t ≤≤和4＜5t ≤两种情况，利用1pq =得出方程计算即可；【详解】（1）∵k 为最大的负整数， ∴1k =-，∴点A 表示的数为6-，点B 表示的数为6，又∵点C 在A 、B 之间，且C 到B 的距离是到点A 点距离的2倍， ∴点C 表示的数为()66623---+=-；故答案是-6；6；-2． （2）依题意可得： -6+3t -(-6)=-2+t -(-6+3t)， 解得：t=45．（3）点P 到达点B 的时间为()6634⎡⎤--÷=⎣⎦（秒）， 当点P 到达点B 时，点Q 表示的数为242-+=， 点P 、Q 第二次相遇的时间为624531-+=+（秒）， 当04t ≤≤，点P 表示的数为63t -+，点Q 表示的数为2t -+， ∵P ，Q 两点间距离为1，∴()2631t t -+--+=或()6321t t -+--+=， 解得：32t =或52t =；当4＜5t≤时，点P 表示的数为()634t --，点Q 表示的数为2t -+， ∵P ，Q 两点间距离为1， ∴()()63421t t ----+=， 解得：194t =； 故当t =32或52或194时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度． 【点睛】本题主要考查了数轴的应用、一元一次方程的应用和两点间的距离，准确计算是解题的关键． 14．数轴上点A 表示的数为10，点M ，N 分别以每秒a 个单位长度、每秒b 个单位长度的速度沿数轴运动，a ，b 满足|a －3|+（b －4）2=0． （1）请直接写出a = ，b = ；（2）如图1，若点M 从A 出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t 的值；（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．【答案】（1）a=3，b=4；（2）t=52或154；（3）此时点M对应的数为12．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质解答；（2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t；②点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM=5t-10，AM=20-5t；③点M到达O返回时，即t＞4时，不成立；（3【详解】（1）∵|a－3|+（b－4）2=0．∴a－3=0，b－4=0∴a=3，b=4（2）①点M未到达O时（0＜t≤103时），NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，即2t+10－3t=3t，解得t=5 2②点M到达O返回时（103＜t≤203时），OM=3t－10，AM=20－3t，即2t+3t－10=20－3t，解得t=15 4③点M到达O返回时，即t＞203时，不成立（3）①依题意，当M在OA之间时，NO+OM+AM+MN+OA+AN=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，解得t=6415＞103，不符合题意，舍去；②当M在A右侧时，NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，解得t=4，点M对应的数为12答：此时点M对应的数为12．【点睛】此题考查一元一次的应用，非负性偶次方，数轴，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路程相等的几种情况．15．已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a-b|+（a-4）2=0（1）a= ，b= ，并在数轴上面出A、B两点；（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；（3）数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．【答案】（1）4，16．画图见解析；（2）83或8秒；（3）点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；（3）分四种情形构建方程即可解决问题.【详解】（1）∵a，b满足|4a-b|+（a-4）2≤0，∴a=4，b=16，故答案为4，16．点A、B的位置如图所示．（2）设运动时间为ts．由题意：3t=2（16-4-3t）或3t=2（4+3t-16），解得t=83或8，∴运动时间为83或8秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）设运动时间为ts．由题意：12+t-3t=4或3t-（12+t）=4或12+t+4+3t=52或12+t+3t-4=52，解得t=4或8或9或11，∴点P和点Q运动4或8或9或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．此时点Q表示的数为20，24，25，27．【点睛】本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，具体的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．16．已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三个点，A 点对应的数为60，B 点在A 点的左侧，并且与A 点的距离为30，C 点在B 点左侧，C 点到A 距离是B 点到A 点距离的4倍．（1）求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离．（2）点P 从A 点出发，以3单位/秒的速度项终点C 运动，运动时间为t 秒． ①点P 点在AB 之间运动时，则BP =_______．（用含t 的代数式表示）②P 点在A 点向C 点运动过程中，何时P 、A 、B 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t ．③当P 点运动到B 点时，另一点Q 以5单位/秒速度从A 点出发，也向C 点运动，点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点，那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次？直接写出．．．．相遇是P 点在数轴上对应的数．【答案】（1）B 点对应的数为30；AC=120；（2）①303t -；②t 的值为5或20；③相遇2次；P 点在数轴上对应的数为－15或3484-． 【解析】 【分析】(1)根据A 点对应的数为60，B 点在A 点的左侧，AB=30求出B 点对应的数，根据AC=4AB 求出AC 的距离；(2)①当P 点在AB 之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t ，根据BP=AB -AP 求解； ②分P 点是AB 的中点和B 点是AP 的中点两种情况进行讨论即可；③根据P 、Q 两点的运动速度与方向可知Q 点在往返过程中与P 点相遇2次，设Q 点在往返过程中经过x 秒与P 点相遇，第一次相遇是点Q 从A 点出发，向C 点运动的途中，根据AQ -BP=AB 列出方程；第二次相遇是点Q 到达C 点后返回到A 点的途中，根据CQ+BP=BC 列出方程，进而求出P 点在数轴上的对应的数． 【详解】 解（1）A点对应的数为60，B ,点在A 点的左侧，并且与A 点的距离为30，∴B 点对应的数为603030-=；C 点到A 点距离是B ,点到A 点距离的4倍，∴4430120AC AB ==⨯=; （2）①当P 点在AB 之间运动时，3AP t =，303BP AB AP t ∴=-=-．故答案为303t -；。
人教版七年级数学上册绝对值(含答案)3
绝对值要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；知识点（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.类型一、绝对值的概念例1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1) 111444555⎡⎤⎛⎫--=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．例2．若|a ﹣1|=a ﹣1，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a ≤1C. a ＜1D. a ＞1【思路点拨】根据|a|=a 时，a ≥0，因此|a ﹣1|=a ﹣1，则a ﹣1≥0，即可求得a 的取值范围． 【答案】A 【解析】典型例题解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小例3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--．(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--．【答案】＞；＞【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来． 【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数． 又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴ m＞-n＞n＞-m．解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m＞-n＞n＞-m．类型三、含有字母的绝对值的化简例4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.【答案】解：由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=->综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用例5. 已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】解：由题意得∴所以，2ba类型五、绝对值的实际应用例6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.一、选择题1．以下选项中比|﹣|小的数是（）A．1 B．2 C． D.2．如图(一)，数O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较何者正确？A．|b|＜|c| B．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|a|＞|c|3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）A. x﹣5＞0B. x﹣5＜0C. x﹣5≥0D. x﹣5≤0课后练习5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )． A ．b ＜-a ＜a ＜-b B ．-a ＜b ＜a ＜-b C ．-b ＜a ＜-a ＜b D ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 的大小关系是( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＝b ＝cD ．a ＞b ＞c 二、填空题8．如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．9.已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 10.绝对值不大于11的整数有 个.11. 已知a 、b 都是有理数，且|a|=a ，|b|=－b 、，则ab 是 . 12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 .13．数a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2|＝__________．14.若1aa=-，则a 0；若a a ≥，则a . 三、解答题 15．将2526-，259260-，25992600-按从小到大的顺序排列起来．16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25，+10，-20，+30，+15．(1)写出每个足球的质量；(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．17.定义：数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a﹣b|．完成下列问题：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是；如果|AB|=2，那么x为；（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（3）拓展：当x= 时，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|的值最小，最小值是．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D【解析】解：∵|﹣|=，A 、1＞，故本选项错误；B 、2＞，故本选项错误；C 、=，故本选项错误；D 、﹣＜，故本选项正确；故选D ．2. 【答案】A【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点C ，其次是点A ，最近的是点B ，所以他们对应的数的绝对值的大小为：c a b >>或b a c <<，所以A 正确.3．【答案】D【解析】x 为负数或零时都能满足|x|＝-x ，故有无数个．4．【答案】D5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7.【答案】B【解析】a ＝1，b ＝-(-1)＝1，c ＝0，故a ＝b ＞c ．二、填空题8.【答案】1【解析】解：由题意得，a ﹣2=0，b+1=0，解得，a=2，b=﹣1，则a+b=1，故答案为：1．9. 【答案】±310.【答案】23【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个.11.【答案】负数或零（或非正数均对）【解析】非负性是绝对值的重要性质.由题意可知≥0,≤0.12.【答案】1 2【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.13.【答案】-a+2【解析】由图可知：a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.14.【答案】＜；任意数.三、解答题15.【解析】解：因为2525250026262600-==，25925925902602602600-==，2599259926002600-=，因为250025902599260026002600<<，即259925925260026026->->-，所以259925925 260026026 -<-<-．16. 【解析】解：（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．17. 【解析】解：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005=1011030．故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．。
人教版七年级数学上册第三章实际问题与一元一次方程解答题复习试题一(含答案) (82)
人教版七年级数学上册第三章实际问题与一元一次方程解答题复习试题一（含答案)文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”小华说：“那就多买一个吧，谢谢．”根据两人的对话可知，小华结账时实际买了多少个笔袋？【答案】小华结账时实际买了30个笔袋．【解析】【分析】设小华结账时实际买了x个笔袋，根据“总价＝单价×数量”结合多买一个打九折后比开始购买时便宜36元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设小华结账时实际买了x个笔袋，依题意，得：18（x﹣1）﹣18×0.9x＝36，解得：x＝30．答：小华结账时实际买了30个笔袋．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12．合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称.甲乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲乙两家店都让利酬宾，在人数不超过20人的前提下，付款金额y甲，y乙（单位元)与人数之间的函数关系如图所示.（1）直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式.（2）小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲乙两家店就餐，如何选择甲乙两家美食店吃小龙虾更省钱？【答案】（1）y 甲=25x+200（0<x ≤20），y 乙=60(010)600(1020)x x x <≤⎧⎨<≤⎩；（2）当有16人时，两店的付款金额相同，当0<x ≤5或16<x ≤20时，在乙店吃省钱，当5<x<16时，在甲店吃省钱.【解析】 【分析】（1）根据图象，利用待定系数法求出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式即可；（2）先求出x<10时，两店付款金额相同时的人数，再求出两店付款金额都为600元时的人数，根据图象解答即可.【详解】设y 甲=k 1x+b ，y 乙=k 2x(0<x ≤10)，∵x=0时，y 甲=200，x=10时，y 甲=450，y 乙=600，∴110450200k b b +=⎧⎨=⎩，10k 2=600，解得：125200k b =⎧⎨=⎩，k 2=60，由图象可知，10<x≤20时，y乙=600，∴y甲=25x+200（0<x≤20），y乙=60(010) 600(1020)x xx<≤⎧⎨<≤⎩.（2）当0<x≤10，y甲=y乙时，25x+200=60x，解得：x=407，当10<x≤20，y甲=y乙时，25x+200=600，解得：x=16，∵5<407<6，∴当有16人时，两店的付款金额相同，当0<x≤5时y甲>y乙，在乙店吃省钱，当5<x<16时，y甲<y乙，在甲店吃省钱，当16<x≤20时，y甲>y乙，在乙店吃省钱.【点睛】本题考查一次函数的应用，读懂题意，根据实际情况进行讨论是解题关键．13．举世瞩目的2019年中国北京世界园艺博览会在长城脚下的北京延庆开园，它给人们提供了看山、看水、看风景的机会.一天小龙和朋友几家去延庆世园会游玩，他们购买普通票比购买优惠票的数量少5张，买票共花费了1400元，符合他们购票的条件如下表，请问他们买了多少张优惠票？【答案】10【解析】【分析】根据题意，找出等量关系，设小龙和几个朋友购买了x张优惠票，可得普通票购买了(x-5)张，根据优惠票每张80元，普通票每张120元可列出方程：80x+120(x-5)＝1400，解出方程即可得出答案.【详解】解：设小龙和几个朋友购买了x张优惠票，则普通票购买了(x-5)张，根据题意列方程，得：80x+120(x-5)＝140080 x +120x-600＝1400200 x＝2000x＝10答：小龙和几个朋友购买了10张优惠票.【点睛】本题考查一元一次方程与实际问题，找到等量关系是此类问题解题关键，比较简单，注意解出方程后再进行验算，保证正确率.14．一件商品按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，结果仍能获利18元，问这件商品的进价是多少元？【答案】这件商品的进价是150元．【解析】【分析】设这件商品的进价是x元，根据题意可得等量关系：（1+40%）×进价×打折=进价+利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．【详解】解：设这件商品的进价是x元，由题意得：（1+40%）x×80%＝x+18，解得：x＝150答：这件商品的进价是150元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．15．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种：（1）某单位购买A商品40件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？（2）某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍少2件，若两方案的实际付款一样，求x的值．【答案】（1）选用方案一更划算，能便宜260元；（2）x的值为10【解析】【分析】（1）分别求出方案一和方案二的返利，然后选择省钱的方案，求出所省的钱数；（2）分别表述出方案一和方案二返利，根据返利相等构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）方案一返利：40×90×30%+20×100×15%＝1380（元），方案二返利：（40×90+20×100）×20%＝1120（元），∵1380﹣1120＝260，∴选用方案一更划算，能便宜260元；（2）设某单位购买A商品x件，则90×30%×x+100×15%×（2x﹣2）＝[90x+100（2x﹣2）]×20% 解得x＝10，答：x的值为10．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解.16．在数轴上，点M、N表示的数分别为a、b，我们把a、b之差的绝对值叫做点M、N之间的距离，即MN＝│a－b│.已知数轴上三点A、O、B表示的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x.（1）如果点P到点A、点B的距离相等，那么x＝_______；（2）当x是多少时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动，点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动几秒时，点P到点E、点F的距离相等.秒或2秒时，点P到点E、【答案】（1）-1；（2）x=-4或2；（3）运动43点F的距离相等.【解析】【分析】（1）根据三点A，O，B对应的数，得出AB的中点为：x=（-3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在A点左侧或在B点右侧分别列方程求解即可；（3）设运动时间为t，分别表示出点P、E、F所表示的数，然后根据两点间的距离的表示列出绝对值方程，然后求解即可．【详解】解：（1）∵A，O，B对应的数分别为-3，0，1，点P到点A，点B的距离相等，∴x的值是-1．故答案为：-1；（2）存在符合题意的点P，当P在A在左侧时，(1-x)+(-3-x)=6,解得x=-4;当P在B在右侧时，(x-1)+[x-（-3）6,解得x=2.∴x=-4或2．（3）设运动时间为t，点P表示的数为-3t，点E表示的数为-3-t，点F表示的数为1-4t，∵点P到点E，点F的距离相等，∴|-3t-（-3-t）|=|-3t-（1-4t）|，∴-2t+3=t-1或-2t+3=1-t，或t=2．解得t=43答：运动4秒或2秒时，点P到点E、点F的距离相等.3【点睛】本题考查了绝对值，数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．17．阅读理解：若 、、A B C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是A B （，）的巧点.若 、、A B C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到 B 的距离一半，我们就称点C 是A B （，）的妙点.如图，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2，表示1的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是1，那么点C 是A B （，）的巧点，点D 是A B （，）的妙点.知识运用：(1)如图 1，点P 表示的数是4-，点 Q 表示的数是 2，点O 表示的数是0，那么点O 是（P Q ，）的( )A ．巧点B . 妙点C . 无法确定(2)如图 2，,P Q 为数轴上两点，点P 所表示的数为4-，点Q 所表示的数为 2，则（P Q ，）的巧点表示的数是 ；拓展提升(3)如图 3，AB 、为数轴上两点，点A 所表示的数为40-，点B 所表示的数为20.现有一只电子蚂蚁P 从点 A 出发，以每2秒单位的速度向右运动，到达点B 停止. 当经过几秒时，P A 、和 B 其有一个点为其余两点的巧点? (请直接写出结果)【答案】(1)A ；(2)8或0；(3) 当经过10秒或15或 20秒时，P A 、和B 中恰有一个点为其余两点的好点.【解析】 【分析】（1）分别求出点O 到点P ,Q 的距离，然后对照巧点和妙点的定义即可得出答案；（2）可设巧点表示的数为x ，利用巧点的定义建立一个关于x 的方程即可得到答案.（3）先求出点P 走完全程的时间，再分P 是A B 【，】的巧点，P 是,B A 【】的巧点，B 是A P 【，】的巧点，A 是,B P 【】的巧点四种情况分情况进行讨论即可.【详解】(1)由数轴可知O 到点P 的距离为4，O 到点Q 的距离为2，点O 到P 的距离是点O 到Q 的距离 2倍，我们就称点O 是,P Q 【】的巧点故选A(2) 设巧点表示的数为x ，根据题意有422x x +=-则有42(2)x x +=--或42(2)x x +=- 解得8x =或0x = 故答案为8或0；(3) 如图3，由题意得：2402060602PA t AB PB t ==+==-,,，点P 走完所用的时间为：60230÷=(秒)， 分四种情况：①当2PA PB =时，即() 226020,2t t t =-=(秒)，P 是A B 【，】的巧点，②当2PB PA =时，602221(0t t t -=⨯=，秒)，P 是【B ，A 】的巧点， ③当2AB PA =时，即602215t t =⨯=，(秒)，B 是A P 【，】的巧点，④当2AB BP =时，即()60260215t t =-=，(秒)，A 是B P 【，】的巧点， ∴当经过10秒或15或 20秒时，P A 、和B 中恰有一个点为其余两点的巧点.【点睛】本题主要为阅读理解题，掌握题目中给出的巧点和妙点的定义并利用方程的思想是解题的关键.18．如图，是由一些奇数排成的数阵.(1)设框中的第一个数为x ，则框中这四个数和为 .(2)若这样框出的四个数的和200，求这四个数；(3)是否存在这样的四个数，使它们的和为8096？请说明理由.【答案】(1)若四个数和为420x +；(2)这四个数分别为45475355，，，；(3) 不存在．理由如见解析.【解析】【分析】（1）分别用含x 的代数式表示出框内的四个数，然后求和即可；（2）令第（1）问求出的代数式的值为200，求出x 的值，即可得到答案；（3）令第（1）问中的代数式的值为8096，若能求出符合题意的x 值则存在，反之则不存在.【详解】(1)若第一个数为x ，则第二个数为 2x +，第三个数为8x +，第四个数为10x +，则四个数和为(2)(8)(10)420x x x x x ++++++=+；(2)设第一个数为x ，则第二个数为2x +，第三个数为8x +，第四个数为10x +，根据题意得2810200x x x x ++++++=，解得45x =，则247,8531055x x x +=+=+=,， 答：这四个数分别为45475355，，，； (3) 不存在．理由如下：设第一个数为x ，则第二个数为 2x +，第三个数为8x +，第四个数为10x +，根据题意得28108096x x x x ++++++=，解得2019x =， 因为2019在最后一列，所以2019x =不符合题意， 所以不存在这样的四个数，使它们的和为8096. 【点睛】本题主要考查代数式及一元一次方程的应用，找到规律并利用方程的思想是解题的关键.19．现有学生若干人，分住若干宿舍.如果每间住4人，那么还余20人；如果每间住6人，那么有一间宿舍只住了2人.试求学生人数和宿舍间数.【答案】学生有68人，宿舍有12间.【解析】先设学生有x人，宿舍有y间，再根据“如果每间住4人，那么还余20人；如果每间住6人，那么有一间宿舍只住了2人”列出方程组，即可得出答案.【详解】解：设学生有x人，宿舍有y间.根据题意得：42064 x yx y=+⎧⎨=-⎩解得6812 xy=⎧⎨=⎩答：学生有68人，宿舍有12间.【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，解题关键是要根据题意列出方程组.20．把若干个正奇数1，3，5，7，…，2015，按一定规律（如图方式）排列成一个表．（1）在这个表中，共有多少个数？2011在第几行第几列？（如57在第4行第5列）；（2）如图，用一十字框在表中任意框住5个数，设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；（3）十字框中的五个数的和能等于6075吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．【答案】（1）共有1008个数，2011在第126行第6列；（2）5a；（3）十字框中的五个数的和不能等于6075，见解析【分析】（1）设共有n个数，利用奇数的表示方法得到2n﹣1＝2015，解得n＝1008，即在这个表中，共有1008个数；先判断2011是第1006个数，加上1006＝125×8+6，所以得到2011在第126行第6列；（2）设中间的数为a，则利用左右两数相差2，上下两数相差16可表示出这5个数分别为a﹣16，a﹣2，a，a+2，a+16，然后计算它们的和；（3）由（2）的结论得到5a＝6075，解得a＝1215，接着判断1215在第76行第8列，由于每行有8个数，所以它的右边没有数，所以不成立．【详解】（1）设共有n个数，根据题意得2n﹣1＝2015，解得n＝1008，即在这个表中，共有1008个数；因为2x﹣1＝2011，解得x＝1006，即2011是第1006个数，而1006＝125×8+6，所以2011在第126行第6列；（2）设中间的数为a，则这5个数分别为a﹣16，a﹣2，a，a+2，a+16，所以a﹣16+a﹣2+a+a+2+a+16＝5a；（3）根据题意得5a＝6075，解得a＝1215，因为2n﹣1＝1215，解得n＝608，而608＝76×8，即1215在第76行第8列，它的右边没有数，所以不成立，所以十字框中的五个数的和不能等于6075．本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．解决本题的关键是左右两数相差2，上下两数相差16．。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
2023-2024学年七年级数学上册同步学与练(人教版)第04讲绝对值(含答案与解析)
i.-2的绝对值是（）5-4c-f D.且2【即学即练2】2.数轴上有力、B、C、。
四个点，其中绝对值等于2的点是（),4B C-J_I A二18・•]]L A-4-3-2-1012•345A.点力B.点BC.点。
D.点D【即学即练3】3.已矢口u—-2,b=l,则同+|-句的值为（)A.3B.1C.0D.-1知识点02绝对值的性质1.绝对值的非负性：由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为O所以绝对值是一个,所以绝对值具有。
即若|。
|0o几个非负数的和等于o,这几个非负数一定分别等于0o即：若\a\+\b\+...+I m|=0,则一定有o题型考点：根据绝对值的非负性求值。
【即学即练1】4.已知|x-2|+加T|=0,则x-y的相反数为（）A.-1B.1C.3D.-3【即学即练2】5.若向+例=0,则口与力的大小关系是（)A.a=b=0B.口与力互为倒数C.Q与b异号D.口与力不相等知识点03绝对值与数轴1.绝对值与数轴：在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就,一个数离原点越远，绝对值,题型考点：根据绝对值与数轴进行求解判断。
6.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越・【即学即练2】7.如图，四个有理数m n,p,q在数轴上对应的点分别为N,P,0若乃+0=0,则秫，n,p,q四个有理数中，绝对值最小的一个是（）M OA.p知识点04绝对值与相反数1.绝对值与相反数：①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值_________o即若。
与5互为相反数，贝」|q|\b\o②绝对值等于某个正数的数一定有,它们o即若|x|=q（q>0）,则③绝对值相等的两个数要么,要么o即若|。
|=|们，则有或o题型考点：根据相反数的绝对值进行求解。
【即学即练1】8.若|x|=5,贝0x—.【即学即练2】9.已知□=-5,同=|句，则人的值为（）A.±5B.-5C.+5D.0【即学即练3】10.绝对值等于5的数是,它们互为.知识点05求式子的绝对值1.求式子的绝对值：先判断式子与的大小关系，再对式子进行求绝对值。
部编数学七年级上册专题03绝对值的几何意义(解析版)含答案
专题03 绝对值的几何意义类型一求两个绝对值和的最小值1．数学实验室：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是______.（1+1分，注意写出最后结果）（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.【答案】（1）4，（2）6；（3）-2；（4）5．（5）-2£x£3.【解析】【分析】根据绝对值的定义进行填空即可．【详解】-=4，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是解：（1）数轴上表示1和5的两点的距离是15（）6；15--=故答案为4，6；x--，（2）∵|x+2|=()2∴式子|x+2|可以看做数轴上表示x和-2的两点之间的距离;故答案为-2；（3）当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;故答案为5．(4) 当x 在数轴上表示-2和3之间时，此时|x +2|＋|x －3|的最小值为5;即当|x +2|＋|x －3|取得最小值时，数x 的取值范围是-2£x £3.故答案为-2£x £3.2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几 何意义，进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a 和b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b|利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两 点之间的距离是 ，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和﹣5 的两点A 、B 之间的距离是，如果|AB|＝3，那 么x 的值为 ；(3)当代数式|x ﹣1|+|x ﹣3|取最小值时，相应的x 的取值范围是多少？最小值是多少？(4)已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a+4|+(b ﹣1)2＝0，设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x 的值．【答案】(1)4；4；5；(2)5x +；-8或-2；(3)x 的范围是31x -££；最小值是4；(4)x 的值为12-.【解析】【分析】（1）（2）直接根据数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |=|a ﹣b |．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x ﹣a |表示数轴上x 与a 之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当x 在1和3之间时有最小值．（4）应考虑到A 、B 、P 三点之间的位置关系的多种可能解题．【详解】（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．（2）数轴上表示x 和﹣5的两点A 和B 之间的距离是|x ﹣（﹣5）|=|x +5|，如果|AB |=3，那么x 为﹣8或﹣2．（3）代数式|x ﹣1|+|x +3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x 在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．故当﹣3≤x ≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．（4）①当P 在点A 左侧时，|PA |﹣|PB |=﹣（|PB |﹣|PA |）=﹣|AB |=﹣5≠2．②当P 在点B 右侧时，|PA |﹣|PB |=|AB |=5≠2，∴上述两种情况的点P 不存在．③当P 在A 、B 之间时，|PA |=|x ﹣（﹣4）|=x +4，|PB |=|x ﹣1|=1﹣x ．∵|PA |﹣|PB |=2，∴x +4﹣（1﹣x ）=2，∴x 12=-，即x 的值为12-．故答案为（1）4；4；5．（2）|x +5|；﹣8或﹣2．（3）x 的范围是﹣3≤x ≤1；最小值是4．（4）x 的值为-12.【点睛】本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．3．“数形结合”是重要的数学思想．如：()32--表示3与2-差的绝对值，实际上也可以理解为3与2-在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A ，B ，所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为AB a b =-．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是__________．（2）若13x -=，则x =______．（3）若x 表示一个有理数，142x x ++-的最小值为_________．（4）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为2-，8，现在点A 、点B 分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A 与点B 之间的距离为2个单位长度时，求点A 所对应的数是多少？【答案】（1）7；（2）4或2-；（3）142；（4）22或34.【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式：AB a b =-，代入计算即可得到答案；（2）由3=3,± 可得13x -=或13,x -=- 再解方程即可得到答案；（3）先画好数轴，如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则此时111444,222AC AB BC x x æö=+=++-=--=ç÷èø而且利用两点之间线段最短，可得此时可得最小值；（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t 再利用两点之间的距离公式表示,AB 再利用2,AB = 建立绝对值方程，解方程可得答案.【详解】解：（1）数轴上表示2-和5两点之间的距离是：()52527,--=+=故答案为：7（2）Q 13x -=13x \-=或13,x -=-解得：4x =或 2.x =-故答案为：4或2-（3）如图，A 表示1,2- B 表示4, 当x 对应的点B 在线段AC 上时，则11,4,22AB x x BC x æö=--=+=-ç÷èø 111444,222AC AB BC x x æö\=+=++-=--=ç÷èø此时：142x x ++-的值最小，为14.2故答案为：14.2（4）如图，A 向右移动后对应的数为：23,t -+ B 向右移动后对应的数为：8+2,t而移动后：2,AB =()8+2232,t t \--+=102,t \-=102t \-=或102,t -=-解得：8t =或12.t =当8t =时，A 向右移动后对应的数为：2322422,t -+=-+=当12t =时，A 向右移动后对应的数为：2323634.t -+=-+=【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建立绝对值方程，一元一次方程的解法，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键.4．认真阅读下面的材料，完成问题．在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为|a －b |．（1）利用上面的知识回答：点A 、B 在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A 到B 的距离可表示为 ，这个距离的计算结果是 ；（2）利用上面的知识回答：若|x －1|=2，则x = ；（3）利用上面的知识回答：|x －2|+|x +1|的最小值是 ．【答案】（1）|1-（-5）|，6；（2）-1或3；（3）3．【解析】【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示和计算即可；（2）根据点到1的距离等于2，即可找出x =-1或3即可；（3）根据条件化去绝对值当x ≥2时，|x －2|+|x +1|= 2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=1-2x ＞3即可．【详解】解：（1）|1-（-5）|=|1+5|=6；故答案为：|1-（-5）|，6；（2）∵| 3－1|=2，∴x =3，∵|-1-1|=2，∴x=－1，∴|x －1|=2，x =-1或3，故答案为-1或3；（3）当x ≥2时，|x －2|+|x +1|=x -2+x +1=2x -1≥3，-1≤x ＜2时，|x －2|+|x +1|=2-x +x +1=3，当x ＜-1时，|x －2|+|x +1|=2-x -x -1=1-2x ＞3，|x －2|+|x +1|的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解题关键．5．我们知道，||a 可以理解为|0|a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点,A B ，分别用数,a b 表示，那么,A B 两点之间的距离为||||AB a b =-，反过来，式子||-a b 的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是__________．（2）数轴上点A 用数a 表示，若||5a =，那么a 的值为_________．（3）数轴上点A 用数a 表示：①若|3|5a -=，那么a 的值是________．②当|2||3|5a a ++-=时，数a 的取值范围是________，这样的整数a 有________个．③|3||2017|a a -++有最小值，最小值是___________．【答案】（1）5；2；（2）5或5-；（3）①2-或8；②23a -££，6；③2020．【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；（2）根据绝对值的定义求解即可；（3）①利用绝对值的定义可知35a -=或5-，然后进一步计算即可；②|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，然后进一步求解即可.【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：83=5-；数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是：()13=2---，故答案为：5，2；（2）若||5a =，则5a =或5-，故答案为：5或5-；（3）①若|3|5a -=，则35a -=或5-，∴8a =或2-，故答案为：2-或8；②∵|2||3|5a a ++-=的意义是表示数轴上到表示2-和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，∴23a -££，其中整数有2-、1-、0、1、2、3共6个，故答案为：23a -££，6；③∵|3||2017|a a -++是表示数轴上表示3与表示2017-的点的距离之和，∴当20173a -££时，|3||2017|a a -++有最小值，此时最小值为：3(2017)=2020--，故答案为：2020.【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.类型二 求多个绝对值和的最小值6．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B 分别表示数a 、b ，那么AB a b =-．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是____；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是____，如果AB =2，那么x 的值为_____；（3）写出13x x +++表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；（4）123x x x +++++的最小值_____．【答案】（1）3，3，4；（2）1x +，1或-3；（3）点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）2【解析】【分析】（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；（3）根据数轴、绝对值的性质，对x 的取值分类计算，即可完成求解；（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：2533-=-=；数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是：()()25253---=-+=；数轴上表示1和3-的两点之间的距离是：()13134--=+=；故答案是：3，3，4；（2）数轴上表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是：()11--=+x x ；∵AB =2∴()112x x --=+=∴1x =或3-故答案为：1x +，1或-3（3）13x x +++表示的几何意义：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和；当3x <-时，132x x +++>当31x -££-时，13132x x x x +++=--++=当1x >-时，132x x +++>∴13x x +++的最小值为：2故答案为：点x 到1-的距离与点x 到3-的距离之和，2；（4）结合（3）的结论，当31x -££-时， 13x x +++的最小值为：2∴12322x x x x +++++=++当2x =-时，2x +取最小值，即20x +=∴123202x x x +++++=+=∴123x x x +++++的最小值为：2故答案为：2．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4||40|=-，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|73|-，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作||-a b ．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数3-的点之间的距离的式子是________；式子|5|+a 的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当|2|3-=m 时，m =________；(3)探究：|1||9|++-m m 的最小值为_________，此时m 满足的条件是________；(4)|1||9||16|++-+-m m m 的最小值为________，此时m 满足的条件是__________．【答案】(1)23+或2(3)--；数轴上表示数a 的点与数2的点之间的距离．(2)1-或5(3)10，19m -££(4)17，9m =【解析】【分析】（1）根据距离公式及定义表示即可；（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)解：①在数轴上的意义是表示数2的点与表示数3-的点之间的距离的式子是()23-- ，故答案为：()2323--=+；②∵5a +=|a -(-5)|，∴5a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．故答案为：表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．(2)解：∵2m -表示数m 到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；故答案为：-1或5；(3)解：∵19m m ++-表示数m 与-1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，此时动点m 在-1表示点与9表示点构成的线段上，∴19m -££ ；故答案为：10、19m -££；(4)解：根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，此时动点m 在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴9m = ；故答案为：17、 9m =．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．8．我们知道，在数轴上，|a |表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和﹣1的两点A ，B 之间的距离是 ．（3）式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是 ．（4）结合数轴求|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x 为 ．（5）结合数轴求4|1|||3|2|2|4|x x x x -++++-的最小值为，此时符合条件的整数x为 ．（6）结合数轴求|1||3|x x ---的最小值为 ，最大值为 ．【答案】（1）15；（2）|x +1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．【解析】【分析】（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；（2）利用两点距离公式|x -(-1)|计算即可；（3）分当x ≤-1当-1＜x ≤2，当2＜x ≤3，当x ≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；（4）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0， 当0≤x ≤1， 当1≤x ≤4， 当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（5）分当x ≤-2，当-2≤x ≤0， 当0≤x ≤1， 当1≤x ≤4， 当x ≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（6）分区间化去绝对值当x ≤1，|1||3|2x x ---=-，当1≤x ≤3，|1||3|242x x x ---=-³- ，当x ≥3，|1||3|2x x ---=即可．【详解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案为15；（2）|x -(-1)|=|x +1|，故答案为：|x +1|；（3）当x ≤-1，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|=- x -1 –x +2- x +3=-3x +4≥7，当-1＜x ≤2，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1–x +2- x +3=- x +6≥4，当2＜x ≤3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2- x +3= x +2＞4，当x ＞3，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|= x +1+x -2+ x -3=3 x -4＞5，式子|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是4，故答案为4；（4）当x ≤-2，|1||||2||4|1243411x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，|1||||2||4|124727x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，|1||||2||4|1247x x x x x x x x -++++-=-++++-=当1≤x ≤4，|1||||2||4|124527x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，||1||||2||4|1244313x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为7，符合条件的整数x 为0，1，故答案为：7；0,1；（5）当x ≤-2，4|1|||3|2|2|4|44368261026x x x x x x x x x -++++-=----+-=-³，当-2≤x ≤0，4|1|||3|2|2|4|44368218418x x x x x x x x x -++++-=--+++-=-³当0≤x ≤1，4|1|||3|2|2|4|44368218218x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³当1≤x ≤4，4|1|||3|2|2|4|44368210616x x x x x x x x x -++++-=-++++-=+³当x ≥4，|4|1|||3|2|2|4|44362810636x x x x x x x x x -++++-=-++++-=-³∴|1||||2||4|x x x x -++++-的最小值为16，符合条件的整数x 为1，故答案为16；1；（6）当x ≤1，()|1||3|132x x x x ---=---=-，当1≤x ≤3，()|1||3|13242x x x x x ---=---=-³- ，当x ≥3，()|1||3|132x x x x ---=---=，|1||3|x x ---的最小值为-2，最大值为2．故答案为-2；2．【点睛】本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．9．阅读理解；我们知道，若A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点间的距离表示为AB ，则AB a b =-．所以2x -的几何意义是数轴上表示X 的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A 表示－2，点B 表示3，则AB ＝ ．（2）若35x -=，则x 的值是 ．（3）如果数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，求42a a ++-的值；（4）点a 取何值时，42a a ++-取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子-129a a a +-+¼+-取最小值时，相应a 的取值范围是多少？最小值是多少？【答案】（1）5；（2）2-或8；（3）6；（4）当42a -££时，最小值为6；（5）当5a =时，最小值为20【解析】【分析】（1）根据题目中的方法确定出AB 的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x 的值；（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简42a a ++-即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．【详解】解：（1）235AB =--=，则5AB =；（2）∵35x -=，∴35x -=±，故2x =-或8，故答案为：2-或8；（3）∵数轴上表示数a 的点位于－4和2之间，∴42426a a a a ++-=++-=；（4）∵42a a ++-，代表点a 到4-和到2之间的距离之和，当42a -££时，42a a ++-取得最小值，最小值为6；（5）当5a =时，-129a a a +-+¼+-有最小值，最小值为=123456789a a a a a a a a a-+-+-+-+-+-+-+-+-=15a +=515+=20．【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．10．我们知道，|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x 和－1的两点A 、B 之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x 的值为_______；（3）当x 取何值时，式子|x －1|+|x －2|+|x －3|+ |x －4|+|x －5|的值最小，并求出这个最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6【解析】【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【详解】解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3，表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；（2）表示x 和-1的两点A 、B 之间的距离是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x 到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，∴当x 与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a 、b ，则这两点间的距离可表示为|a-b|．11．我们知道，a 表示数a 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点,A B 分别表示数,a b ，那么,A B 两点之间的距离为a b -．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x 和－1的两点之间的距离为2，那么x 的值为 ；（3）直接写出24x x ++-的最小值为 ；（4）直接写出+21+4x x x +--的最小值为 ；（5）简要求出12399x x x x -+-+-++-…的最小值．【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得；（2）根据绝对值的定义可得；（3）得出24x x ++-的几何意义，从而得到最小值；（4）得出+21+4x x x +--的几何意义，从而得到最小值；（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是()336--=，故答案为：6；（2）由题意可得：()12x --=，则x 的值为：-3或1；（3）∵24x x ++-表示数轴上表示点x 到-2和4两点的距离和，∴当x 在-2到4之间时，24x x ++-有最小值，最小值为6；（4）+21+4x x x +--表示数轴上表示点x 到-2和1和4三点的距离和，∴当x 与1重合时，+21+4x x x +--的值最小，最小值为6；（5）12399x x x x -+-+-++-…的中间一项是|x-50|，当x=50时，12399x x x x -+-+-++-…有最小值，∴12399x x x x -+-+-++-…=5015025035099-+-+-++-…=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×（1+2+ (49)=2450．【点睛】本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．类型三 利用绝对值的几何意义解方程12．阅读理解；我们知道」x 丨的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即丨x 丨=丨x -0丨，也就是说丨x |表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x -y 丨表示在数轴上数x 、y 对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x | = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x =±2．②在方程丨x -1丨=2中，x 的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x = 3或x = -1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解（1）方程|x |= 5的解（2）方程| x -2|= 3的解【答案】（1）5x =±；（2）5x =或1-【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；【详解】（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为5±∴方程5x =的解是5x =±（2）∵在方程23x -=中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．∴方程23x -=的解是5x =或1-．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．13．阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程53x -=的解为______；（2）解不等式2219x ++<；（3）若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；（4）若12y x x =--+，则y 的取值范围是_______．【答案】（1）128,2x x ==（2）62x -＜＜（3）21x -£＜（4）33y -££【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为24x +＜，首先在数轴上找出+24x =的解，即2x =或6x =-，则24x +＜的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数到1的距离减去数x 到-2的距离，然后分三者情况讨论y 的取值即可．【详解】解：（1）53x -=Q ，53x \-=±，解得：128,2x x ==，故答案为：128,2x x ==；（2）2219x ++<228x +＜24x +＜，首先找2=4x +的解，即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，24x +＜表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，\不等式解集为62x -＜＜；（3）123x x -++=，表示到1的点与到-2的点距离和为3，Q -2与1之间的距离为3，21x \-£＜；故答案为：21x -£＜；（4）12y x x =--+，1x -表示数x 到1的距离，2x +表示数x 到-2的距离，12y x x =--+表示数x 到1的距离减去数x 到-2的距离，当x 在点1右边时，3y =-，当x 在点-2左边时，3y =，当x 在-2到1之间时，33y -££，33y \-££；故答案为：33y -££．【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x|=5的解是_______________．（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．【答案】（1）x=5或-5；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.【解析】【详解】试题分析：（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|=5的解为x=±5；（2）∵在方程|x-2|=3中，x 的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x 的对应点在3的右边或-2的左边．若x 的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；若x 的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，所以原方程的解是x=5或x=-4．点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．15．阅读材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|0|x x =-，也就是说||x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离，这个结论可以推广为12||x x -表示数轴上1x 与2x 对应点之间的距离．例1：已知||2x =，求x 的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为2-和2，即x 的值为2-和2．例2：已知|1|2x -=，求x 的值．解：在数轴上与1的距离为2的点的对应数为3和1-，即x 的值为3和1-．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）||3x =（2）|2|4x +=（3）由以上探索猜想：对于任何有理数,36x x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）-3和3；（2）-6和2；（3）有最小值，最小值为3【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x 的值即可；（3）根据题意得出原式最小时x 的范围，并求出最小值即可．【详解】（1）3x =，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即x 的值为-3和3；（2）24x +=，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即x 的值为-6和2；（3）有最小值，最小值为3，理由是：∵36x x -+-理解为：在数轴上表示x 到3和6的距离之和，∴当x 在3与6之间的线段上（即36x ££）时：即36x x -+-的值有最小值，最小值为633-=．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．类型四 利用绝对值的几何意义解不等式16．解方程|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为________．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．【答案】(1) 1和－7；(2) x ≥4或x ≤－5(3) a ≤7【解析】【分析】(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；(2)不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；(3)|x －3|＋|x ＋4|≥a 对任意的x 都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．【详解】(1)方程|x ＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x 的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x 对应点在３的右边或－４的左边，若x 对应点在３的右边，由图可以看出x ≥４；同理，若x 对应点在－４的左边，可得x ≤－５，即可求得x ≥4或x ≤－5．(3)|x －3|＋|x ＋4|即表示x 的点到数轴上与3和－4的距离之和，当表示对应x 的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．故a ≤7．【点睛】此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.17．阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2x =±．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．。
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型)
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．若0ab ≠，那么a ab b+的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）A ．21a b -+B ．1b -+C ．1b --D ．21a b ---4．0a <，则化简a a aa aa++-的结果为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b +B ．22a b c+-C ．c-D ．2b c--6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d+++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．8．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则化简||2||a b a c --+的结果是．9．若12x <<，求代数式2121x x x x xx---+=--．10．若0a >，||a a=；若0a <，||a a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b ca b c ++=．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．14．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，化简：|1|||||a c b a b c +---++．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．A ．3,1a b =-=-B ．3,1a b =-=C ．3,1a b ==D ．3,1a b ==-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．A ．5B ．1C ．2D ．04．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）A ．1-B ．1±C ．1D ．25．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．7．已知2(3)|24|0x y x +++-=，则y =．8．已知a ，b 是有理数，且满足|1||2|0a b -+-=，求a 与b 的值．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．(2)求x y -的值．10．若|21||3|0x y -++=，求x 、y 的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）A ．19B ．20C ．21D ．222．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20223．若a 是有理数，则|1|2a -+的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =7．已知，数轴上A ，B ，C 三点对应的有理数分别为a ，b ，c ．其中点A 在点B 左侧，A ，B 两点间的距离为4，且a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．9．阅读下面的材料：点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥C ．12x -≤≤D ．12x ≤≤-2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？4．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．(4)当a =_______时，代数式12x a x ++-的最小值是3．5．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．6．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且19AB =．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．42．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．15．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A ．2011或2012B ．2012或2013C ．2013或2014D ．2014或20157．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．9．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“4cm ”和“1cm ”分别对应数轴上的0和2，现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．10．如图，边长为3的正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上的点A 表示的数为4-，将正方形ABCD 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 为数轴上的任意一点，则2PA PB PC ++的最小值为．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们之间的距离可表示为MN =（用m ，n 表示）13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2023（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？15．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点、、A B C ，其中2AB =，1BC =，设点、、A B C 所对应的数的和是m ．(1)若B 为原点．则A 点对应的数是__________；点C 对应的数是__________，m =__________．(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =．求m ．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A．0B．100C．50D．－503．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．4．如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若⋅-为常数，则k为．k PM MN5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．-，点N所表示的数为2如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7(1)点E，F，G表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是_；写出【N，M】美好点H所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M，N】的好点；-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O 为坐标原点，若点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为t 秒()0t >．①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？8．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为3，2BC =，6AB =．(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）②猜想MQ 的长度是否与t 的大小有关？如果有关请你写出用t 表示的代数式；如果无关请你求出MQ 的长度．9．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．为t秒，试探索：AC AB-、10，动点P从A出发，以每秒1个单位10．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数24-、10长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．11．定义：数轴上A 、B 两点的距离为a 个单位记作AB a =，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．12．阅读下面材料：若点A B 、在数轴上分别表示实数a b 、，则A B 、两点之间的距离表示为AB ，且AB a b =-；回答下列问题：(1)①数轴上表示x 和2的两点A 和B 之间的距离是；②在①的情况下，如果3AB =，那么x 为；(2)代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是．(3)若点、、A B C 在数轴上分别表示数a b c 、、，a 是最大的负整数，且2(5)0-++=c a b ，①直接写出a b c 、、的值．A B C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分②点、、别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。
第4讲 绝对值的几何意义(学生版)
知识导航知识导航1求代数式2计算34数轴上是否存在数在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：的距离为．（包括）到（包括）之间时，则的最小值等然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。
它的画法如下：1．画一个等边三角形；2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。
请你亲自动手做个实验。
把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。
如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。
实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。
这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。
我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。
由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。
下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。
开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。
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利用绝对值求数轴上两点间的距离1.探究活动：【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义【探索】（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值为（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和﹣2的距离之和为7．所有符合条件的整数x有．2.在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m ＝；|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值是3.绝对值的几何意义可以借助数轴来认识，一个数的绝对值就是数轴上表示的点到原点的距离，如|a|表示数轴上a点到原点的距离，推广而之：|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数a的点之间的距离，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b两点的距离之和．（1）已知|x﹣1|+|x﹣2|＝4，求x的值；（2）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+3|的和的最小值为．4.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x 的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．5.同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）则|5﹣1|表示的距离．（2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（4）同理|x+1|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x﹣2|＝3，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|的最小值是．6.我们知道，在数轴上，|a|表示数a表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）若|a+1|＝2，则a＝；若|a+2|+|a ﹣1|＝6，则a＝；（3）当|a+2|+|a﹣1|取最小值时，此时a符合条件是；（4）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是．7. (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是___；表示−3和2两点之间的距离是___；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|.如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=___；(2)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，求|a+4|+|a−2|的值；(3)当a取何值时，|a+5|+|a−1|+|a−4|的值最小，最小值是多少?请说明理由8.根据阅读材料，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5是两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝．（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和的两点之间的距离．（4）|x﹣2|+|x﹣3|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．|x+2|+|x﹣1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．（5）|x﹣2|+|x﹣3|最小值是，|x+2|+|x ﹣1|的最小值是．利用绝对值求数轴上两点间的距离答案1.分析：（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）利用数轴可知在点﹣2和5之间的所有整数的名字条件（包括﹣2和5）．解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；数轴上两个点A、B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，故答案为3，4，|a﹣b|．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x的值为﹣3或1，故答案为|x+1|，﹣3或1．（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和﹣2的距离之和为7，所有符合条件的整数x有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5．故答案为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5．2.分析：根据数轴上两点间的距离，可得答案，根据线段上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．解：由题意，得|m+5|＝3，m+5＝3或m+5＝﹣3，解得m＝﹣2，或m＝﹣8；由线段上的点到线段两端点的距离相等，得c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小＝5，当c≠时，|c﹣|＞0，|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；当c＝时，|c﹣|＝0，|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值＝0+|c﹣4|+|c+1|＝53.分析：（1）根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算；（2）根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．解：（1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣2|＝4，则1﹣x+2﹣x＝4，解得：x＝﹣，当1≤x＜2时，原式＝x﹣1+2﹣x＝4，此时无解；当x≥2时，原式＝x﹣1+x﹣2＝4，解得：x＝3.5；（2）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝﹣x﹣3﹣x+2﹣x+3＝﹣3x+2，则﹣3x+2≥11；当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3﹣x+2﹣x+3＝﹣x+8，则6≤﹣x+11＜11；当2＜x≤3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3+x﹣2﹣x+3＝x+4，则6＜x+2≤7；当x＞3时，|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+3+x﹣2+x﹣3＝3x﹣2，则3x﹣2＞7．综上所述|x+3|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为6．4.分析：（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（2）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距离之和；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值分三种情形讨论，转化为方程解决问题；（3）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|，当50≤x≤51时取得最小值．解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3﹣2＝1；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2﹣3＝﹣1或2+3＝5；（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|，∵|x﹣3|+|x+2|＝7，当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝7，x＝﹣3，当﹣2≤x≤3时，x不存在．当x＞3时，x﹣3+x+2＝7，x＝4．故满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为﹣3或4．（3）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|＝（|x﹣1|+|x﹣100|）+（|x﹣2|+|x﹣99|）+…+（|x﹣50|+|x﹣51|）|x﹣1|+|x﹣100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x﹣1|+|x﹣100|有最小值为|100﹣1|＝99；|x﹣2|+|x﹣99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x﹣2|+|x﹣99|有最小值为|99﹣2|＝97；…|x﹣50|+|x ﹣51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，当50≤x≤51时，|x﹣50|+|x﹣51|有最小值为|51﹣50|＝1．所以，当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值为：99+97+95+…+3+1＝（99+1）+（97+3）+…+（51+49）＝100×25＝2500．故答案为：1，﹣1或5；|x+3|+|x﹣1|，﹣3或4．5.分析：（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；（3）利用绝对值求解即可；（4）利用绝对值及数轴求解即可；（5）根据数轴及绝对值，即可解答．解：（1）|5﹣1|表示数轴上表示5的点到表示1的点的距离；（2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为|x﹣7|；（3）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝±5，解得：x＝7或x＝﹣3，∴x＝7或﹣3；（4）∵|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，|x+2|+|x﹣1|＝3，∴这样的整数有﹣2、﹣1、0、1，（5）有最小值，理由是：∵|x+3|+|x﹣6|理解为：在数轴上表示x到﹣3和6的距离之和，∴当x在﹣3与6之间的线段上（即﹣3≤x≤6）时：即|x+3|+|x﹣6|的值有最小值，最小值为6+3＝9；故答案为：数轴上表示5的点到表示1的点，|x﹣7|，7或﹣3，﹣2、﹣1、0、1；9．6.分析：利用AB＝|a﹣b|，即可求出答案．解：（1）5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；（2）∵|a+1|＝2，∴a+1＝±2，∴a＝﹣3或a＝1，∵|a+2|+|a ﹣1|＝6，当a＜﹣2时，∴﹣（a+2）﹣（a﹣1）＝6，∴a＝﹣，当﹣2≤a≤1时，∴a+2﹣（a﹣1）＝6，∴3＝6，此时矛盾，当a＞1时，∴a+2+a﹣1＝6，∴a＝，综上所述，a＝﹣或a＝；（3）当a在数轴上表示﹣2和1之间时，此时|a+2|+|a﹣1|的最小值为3，此时﹣2≤a≤1，（4）由于当﹣5≤a≤3时，此时|a+5|+|a﹣3|最小值为8，∴若要|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，只需要|a﹣1|的值最小即可，此时a＝1，|a﹣1|＝0，∴|a+5|+|a﹣1|+|a﹣3|最小是为8，故答案为：（1）3，3，4；（2）﹣3或1，﹣或；（3）3，﹣2≤a≤1；（4）1，8．7.（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据|a+4|+|a-2|表示数a的点到-4与2两点的距离的和．即可求解；（3）根据|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．解答：(1)3，5，1或−5；(2)因为|a+4|+|a−2|表示数轴上数a和−4，2之间距离的和。