圆锥曲线——椭圆【教案】
圆锥曲线-教案(理科)(椭圆部分)
一、求解某参数的数值，第一问一般都已经求出圆锥曲线方程，这一问都出现在第二问，这类题的统一特点就是会给出一个已知条件，此题的要点就是根据这个条件能够列解一个包含未知参数的方程组，然后求解方程即可。
这类题型的核心是根据已知条件列方程，通常已知条件可分为以下几类： 向量形式给出：包括几个向量积等数常数，或者向量共线与垂直； 距离形式给出：某线段长度，几个线段长度满足方程位置关系形式：点在圆上（点与点之间距离），相切（点与直线距离）； 例题精选：1．设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F F 且与x 轴垂直的直线. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值． 答案：(1)椭圆的方程为22=132x y +.(2)k ＝2．椭圆E:+=1(a>b>0)离心率为,且过P(,).(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线l 过点M(-,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 切于第二象限的一点N,直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与y 轴交与D 点,若=,=,且+=,求抛物线C 的标准方程. 答案：（1）22182x y +=（2）2x =3．如图,圆O 与离心率为23的椭圆12222=+by a x (0>>b a )相切于点(01)M ,. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D (均不重合).(ⅰ)若P 为椭圆上任一点,记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ,求2221d d +的最大值; (ⅱ)若MD MB MC MA ⋅=⋅43,求1l 与2l 的方程. 答案：（1）1422=+y x（2）所以当310-=y 时2221d d +取得最大值为316,此时点1()3P - 1l 的方程为12+-=x y ,2l 的方程为122+=x y4．已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ,已知点A 的坐标为(,0a -),点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB =,求0y 的值.答案：（1）2214x y +=（2）00==5y y ±±5．设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为(0,2)A ,右焦点F到点)B 的距离为2. (I)求椭圆的方程;(Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线Z 与椭圆相交于不同两点M,N 满足AM AN =,试 求直线l 的方程.答案：（1）椭圆方程为141222=+y x （2）k =,6. 已知椭圆22221x y a b+=（a>b>0）,点)在椭圆上。
圆锥曲线--椭圆(教师版)
高三年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质双基自测1．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． A.x 29＋y216＝1 B.x 225＋y216＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y225＝1 D ．以上都不对解析 ∵2a ＋2b ＝18，∴a ＋b ＝9，又∵2c ＝6，∴c ＝3，则c 2＝a 2－b 2＝9，故a －b ＝1，从而可得a ＝5，b ＝4，∴椭圆的方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y225＝1.答案 C2．设P 是椭圆x 225＋y216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．10 解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 答案 D3．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1，因此“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B4．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝ 5－k ， 由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝ k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案 C5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝22，∴c a ＝22，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y28＝1.答案 x 216＋y28＝1考向一 椭圆定义的应用【例1】已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[审题视点] 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2→，进而得解． 解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9. ∴b ＝3. 答案 3椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．【训练1】 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a ， ∴周长为4a ＝43(F 是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C考向二 求椭圆的标准方程【例2】►(1)求与椭圆x 24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y23＝t(t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x212＝1.运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，由题目所给条件求出m 、n 即可．【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴9a 2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A(3,0)，∴02a ＋9b ＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF|＝32|MN|＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.考向三 椭圆几何性质的应用【例3】已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值．[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值． 解 (1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB|＝ 3. 当m ＝－1时，同理可得|AB|＝ 3.当|m|＞1时，设切线l 的方程为y ＝k(x －m)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km|k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB|＝x 2－x 12y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m|m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m 2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m ＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x22－4x 1x 2.【训练3】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________． 解析设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA|＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca ＝6－ 3. 答案6－ 3考向四 椭圆中的定值问题【例4】如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22， 一条准线的方程为x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：O P →＝O M →＋2O N →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12 .问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由． [审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P 点．解 (1)由e ＝c a ＝22，a2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.(2)设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 则由O P →＝O M →＋2O N →得(x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x2252＋y2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2， 则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值． 又因c ＝252102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P ，利用设而不求的方法求出P 点的轨迹方程，从而找出定点． 【训练4】如图，已知椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程． 解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y23c2＝1.将A(2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为 y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2. 由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P(x ，y)为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.。
椭圆教案
椭圆及其标准方程备课人：包勤丰本节背景本节课为圆锥曲线方程第一课，圆锥曲线方程是平面解析几何用代数方法借助坐标系研究平面几何问题的重点内容之一。
涉及的数学思想有数形结合、分类讨论、方程思想和待定系数法，要求学生有较强的分析、推理能力，综合应用能力，计算能力。
圆锥曲线的研究主要以椭圆为例交代求方程，利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固。
因此，本节课能否一开始就使学生对本章知识有统一的认识，对研究的对象有浓厚的兴趣，打下坚实的基础至关重要。
《椭圆及其标准方程》课时安排为三课时，本节为第一课时。
教学目标：㈠知识与技能目标：①理解椭圆的几何意义；②掌握椭圆的标准方程，参数a,b,c的意义及联系。
③会据条件写出椭圆标准方程。
④进一步掌握运动、变化和对立统一观点，了解统一与差异的数学美。
㈡情感、态度与价值观目标：感受探究的乐趣，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度教学重点：椭圆方程的建立与应用。
教学难点：①动点运动规律的把握；②方程根式的化简。
教学对象及学习基础：教学对象为高二学生，已学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已有一些了解，并且已学过利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
教学法分析普通高中《数学课程标准》（实验）中指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
所以自主探索,合作交流,归纳总结,练习巩固的基调教学媒体与应用设计：本节课由于容量大，节奏快，故整课采用多媒体（PowerPoint）；为加深对动点运动规律的认识，借助几何画板动态演示动点运动规律。
教学过程：一、情景设计：师：据我们学过知识，以一定点为圆心作一圆，则圆上任一点需满足什么条件？生：圆上任意一点到定点的距离为定值。
师：现给你一段绳子，固定两端，用笔尖拉紧绳子，则笔尖在板上慢慢移动，轨迹上的点满足什么条件？生：绳子长度不变。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
个性化教案椭圆+双曲线+抛物线+圆锥曲线常用方法=圆锥曲线全方位学习
个性化教案授课时间: 备课时间：年级：课题:直线和圆锥曲线常考题型学生姓名: 教师姓名:教学目标1、了解解圆锥曲线问题常用几中方法2、学会解圆锥曲线问题常用几中方法教学过程椭圆一、考点梳理1、定义椭圆第一定义:平面内与两个定点12F F,的距离的和等于常数(大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆焦距.椭圆第二定义:平面内到一个定点的距离和它到一条定直线l的距离之比是常数(01)e e<<的点的轨迹叫做椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率.２、基本性质椭圆的标准方程与几何性质:标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上22221x ya b+=(0)a b>>22221x yb a+=(0)a b>>变式训练:已知F1、F2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点,且 9021=∠PF F若21PF F ∆的面积为9,则ｂ=_＿_____考点三、离心率例４、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,若直线2y x =与椭圆一个交点P 的横坐标恰好为c ,则椭圆的离心率为（ )Ａ222-. B.2212- C.21- D.31-例5、已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值.变式训练: 1、椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列,则椭圆的离心率为＿_____＿_＿_. ２、已知椭圆,F 1,Ｆ2是两个焦点，若椭圆上存在一点Ｐ，使,求其离心率的取值范围＿___＿____。
3、已知椭圆,以,，为系数的关于的方程无实根,求其离心率的取值范围＿__＿__＿＿_。
ﻫ 考点四、椭圆的标准方程例5、椭圆a ｘ2+by ２＝１与直线ｘ+y =１相交于P 、Q 两点,若｜PQ |=22,且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22,求椭圆方程。
圆锥曲线教案 1圆锥曲线的概念与椭圆的标准方程
圆锥曲线的概念与椭圆的标准方程【要点梳理】要点一：圆锥曲线的概念及三种圆锥曲线的定义、 1.椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ； 若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 2.双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：①双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；②若去掉定义中的“绝对值”，常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；③若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；④若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则动点轨迹不存在； ⑤若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
3.抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二：椭圆的标准方程 1.标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝．(3)代数方程即：(4)化简方程 由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．2.椭圆的标准方程：(1)当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；(2)当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：①这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； ②在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；③椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；④在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。
《椭圆》的教案
【跟踪训练】求椭圆 25x2＋y2＝25 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标．
第1页
江苏省淮安中学 2020 级高二数学一体化教案 【苏教版高中数学选择性必修第一册】
例 2、分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点为 F(－2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍； (2)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为12，焦距为 8； (3)已知椭圆的离心率为 e＝23，短轴长为 8 5．
)
(2)已知点 F1(－1，0)，F2(1，0)，动点 P 满足 PF1＋PF2＝2，则点 P 的轨迹是椭圆． (
)
(3)已知点 F1(0，－1)，F2(0，1)，动点 P 满足 PF1＋PF2＝1，则点 P 的轨迹是椭圆． (
)
(4)椭圆1x22 ＋y82＝1 的焦点坐标是(±2，0)． (
)
2．设 F1，F2 是椭圆1x629＋2y52 ＝1 的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF1F2 的周长为________．
(0，± a2－b2)
|F1F2|＝2 a2－b2 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点
e＝ac∈(0，1)(其中 c＝ a2－b2)
2．离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比ac叫作椭圆的离心率． (2)范围：e＝ac∈(0，1)．
三．例题探究： 例 1、已知椭圆 C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 C2 的焦点在 y
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
椭圆圆锥曲线数学教案
椭圆圆锥曲线数学教案
内容预览：教学目标：1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平; 2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。
教学重点：对椭圆定义的理解，其中a>c容易出错。
教学难点：方程的推导过程。
教学过程：(1) 复习提问：动点轨迹的一般求法? (通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系。
并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。
) (2) 引入举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等; 计算机：动态演示行星运行的轨道。
(进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。
) (3) 教学实施
投影：椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
……
感谢您的阅读。
祝语：一壶老酒，绵香醇厚；一首老歌，情意悠悠；一人段岁月，天长地久；一句祝福，伴随左右；一群朋友，知心牵手；一条短信，伴着春风送去问候！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【课 题：】§8.2.1椭圆的几何性质 【教学目的：】知识目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．能力目标：通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方 程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．德育目标：数学中数形结合的辩证思想 【教学重点：】椭圆的几何性质 【教学难点：】椭圆的几何性质初步运用，椭圆离心率的概念的理解椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． 【授课类型：】新授课 【教学方法：】 【课时安排：】1课时 【教 具：】 【教学过程：】 复习引入：1．椭圆的定义是什么？ 2．椭圆的标准方程是什么？ 学生口述，教师板书． 讲解新课：根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本内容之一，通过对椭圆标准方程12222=+by a x (a>b>0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． 1． 范围从椭圆的标准方程12222=+b y a x 中，可引导学生得到不等式：122≤a x ，122≤b y 即|x|≤a ，|y|≤b ，这说明椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点． 2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x 换成-x ，或把y 换成-y ？，或把x 、y 同时换成-x 、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的” 呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x 换成-x 而方程不变，那么当点P(x ，y)在曲线上时，点P 关于y 轴的对称点Q(-x ，y)也在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．类似可以证明其他两个命题．这是要说明椭圆关于某对象对称与椭圆自身关于某对象对称的区别。
同时向学生指出：如果曲线具有关于y 轴对称、关于x 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于y 轴对称．事实上，设P(x ，y)在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点P1(x ，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x ，y)必在曲线上．因P(x ，y)、P2(-x ，y)都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称． 最后指出：x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 3．顶点从椭圆的标准方程12222=+by a x 中，可引导学生求解与两坐标轴的交点，易知：只须令x=0，得y=±b ，点B 1(0，-b)、B 2(0，b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y=0，得x=±a ，点A 1(-a ，0)、A 2(a ，0)是椭圆和x 轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A 1(-a ，0)、A 2(a ，0)、 B 1(0，-b)、B 2(0，b) 教师还需指出：(1)线段A 1A 2、线段B 1B 2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(2)a 、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长； 这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形． 4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距长与长轴长之比e=ac,称为椭圆的离心率 等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 的几何意义． 先分析椭圆的离心率e 的取值范围： ∵a ＞c ＞0，∴ 0＜e ＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e 接近0时，c 越接近0，从而b 越接近a ，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为x 2+y 2=a 2，图形就是圆了．但不能认为圆与椭圆相同。
也就是椭圆不能含有圆。
即e ≠0 【典型范例】为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．通过做图，可加深对椭圆的几何意义的理解，同时复习做图的一般方法。
错例剖析3、小 结：4、课后作业：5、能力提高：6、高考链结：【板书设计：】【课后反思：】【课题：】§8.2.2椭圆的几何性质【教学目的：】知识目标：用待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的第二定义及初步运用能力目标：学会用待定系数法求椭圆的标准方程，理解椭圆的第二定义并初步运用解决相关问题德育目标：【教学重点：】用待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的第二定义【教学难点：】椭圆的第二定义及初步运用解【授课类型：】新授课【教学方法：】【课时安排：】1课时【教具：】【教学过程：】1、复习引入：2、讲解新课：【典型范例】例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程。
(1)经过点P(-3,0)、Q(0,-2)3(2)长轴的长等于20，离心率等于5例2．如图我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨迹方程（精确到1km）这里可插入解释什么是近地点与远地点，即证明焦点到椭圆上任一点的最远及最近距离的点是什么点。
例3．点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线L ：x=ca 2的距离的比是常数ac(a>c>0)，求点M 的轨迹。
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d 是点M 到直线L 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M|acd MF =||} 由此得：ac x ca y c x =-+-||)(222， 化简得：(a 2-c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2)，今b 2= a 2-c 2可化为：12222=+by a x这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义． (四)椭圆的第二定义 1．定义平面内点M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1),这个点的轨迹为椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 2．说明（3）选择适当的定点与直线可得椭圆的标准方程，反之亦得椭圆的轨迹，但不一定是椭圆的标准方程。
这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．错例剖析3、小结：4、课后作业：5、能力提高：6、高考链结：【板书设计：】【课后反思：】【课题：】§8.2.3椭圆的几何性质【教学目的：】知识目标：椭圆的参数方程能力目标：运用椭圆参数方程解决相关问题 德育目标： 【教学重点：】椭圆的参数方程 【教学难点：】椭圆的参数方程运用 【授课类型：】新授课 【教学方法：】 【课时安排：】1课时 【教 具：】 【教学过程：】 1、 复习引入：2、 讲解新课：【典型范例】例1．如下图：以原点为圆心，分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，例2．求直线到L ：3x-2y-16=0到椭圆19422=+y x 的最短距离及此时的坐标。
例3．已知椭圆19422=+y x ，求u=2x-y 的最大（小）值。
例4．已知AB 是椭圆12222=+by a x 的任一条弦，P 为弦AB 的中点，O 为椭圆的中心，求证：K AB •K OP 为定值。
错例剖析3、小 结：4、课后作业：5、能力提高：1．P 是椭圆12222=+by a x 上的一动点，若A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，求四边形OAPB 面积的最大值及此时P 的坐标。
6、高考链结： 【板书设计：】 【课后反思：】【课 题：】§8.2.4椭圆的几何性质 【教学目的：】知识目标：椭圆的有界性内容能力目标：学会运用椭圆的有界性解决相关问题德育目标： 【教学重点：】椭圆的有界性内容 【教学难点：】椭圆的有界性内容运用特别是求最值的运用 【授课类型：】习题课 【教学方法：】 【课时安排：】1课时 【教 具：】 【教学过程：】 1、 复习引入： |x|≤a ，|y|≤b 2、 讲解新课： 【典型范例】例1. 过点B(0,-b)作椭圆(x/a)2+(y/b)2=1(a>b>0)的弦，求这些弦长的最大值。
例2. 已知椭圆(x/a)2+(y/b)2=1 (a ＞b ＞0),A,B 是椭圆上两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点p(x 0,0)证明: |x 0|＜(a 2-b 2)/a例3. 已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)，长轴两端点为A 、B ，如果椭圆上存在上点Q ，使∠AQB=120︒，求椭圆的离心率e 的取值范围。
错例剖析 3、小 结：4、课后作业：5、能力提高：1.已知椭圆存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆的离心率的取值范围。
（2/2<e<1）6、高考链结：1. 已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，定点P（0，3/2）到椭圆的最大距离为7，求椭圆的方程。
(x2/4+y2=1)【板书设计：】【课后反思：】【课题：】§8.2.5椭圆的几何性质【教学目的：】知识目标：理解直线与椭圆的位置关系具体内容能力目标：学会求解直线与椭圆的位置关系的基本方法及常用技巧德育目标：【教学重点：】直线与椭圆的位置关系内容及处理通法【教学难点：】直线与椭圆的位置关系内容及处理通法及韦达定理运用【授课类型：】习题课【教学方法：】【课时安排：】1课时【教 具：】【教学过程：】1、 复习引入：直线与直线、圆的位置关系2、 讲解新课：由直线与圆的位置关系所启发，我们可知道直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。