离散系统的响应
求解离散系统全响应的基本方法和过程
求解离散系统全响应的基本方法和过程离散系统是指系统的输入和输出都是以离散时间点为基准的系统。
在离散系统中，我们常常需要求解其全响应，即系统在时域上的完整响应。
在本文中，我们将介绍求解离散系统全响应的基本方法和过程。
我们需要了解离散系统的模型。
离散系统可以用差分方程表示。
一个简单的离散系统模型可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) + ... + b(M)x(n-M) - a(1)y(n-1) - ... - a(N)y(n-N)其中，x(n)为输入信号，y(n)为输出信号，b(0)、b(1)、...、b(M)为输入信号的系数，a(1)、...、a(N)为输出信号的系数。
根据差分方程的形式，我们可以使用递推的方式求解离散系统的全响应。
求解离散系统全响应的基本方法之一是使用差分方程的递推关系。
对于一个一阶差分方程，我们可以通过递推关系来求解其全响应。
递推关系可以写作：y(n) = b(0)x(n) - a(1)y(n-1)其中，y(n)为当前时刻的输出信号，y(n-1)为上一时刻的输出信号，x(n)为当前时刻的输入信号，b(0)为输入信号的系数，a(1)为输出信号的系数。
通过递推关系，我们可以根据已知的初始条件和输入信号，逐步求解出系统的全响应。
对于高阶差分方程，我们可以通过多次使用递推关系来求解其全响应。
假设我们要求解一个二阶差分方程的全响应，可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) - a(1)y(n-1) - a(2)y(n-2)我们可以使用递推关系求解出第一个时刻的输出信号y(0)，然后再通过递推关系求解出第二个时刻的输出信号y(1)，以此类推，直到求解出所有时刻的输出信号。
这样，我们就可以得到离散系统的全响应。
除了使用递推关系，我们还可以使用离散系统的传递函数来求解全响应。
离散系统的传递函数可以通过离散系统的差分方程得到。
传递函数是输入信号和输出信号的关系，它可以用来描述系统的频率响应特性。
离散系统的频率响应分析
离散系统的频率响应分析实验课程：数字信号处理实验内容：实验4离散系统的频率响应分析和零、极点分布院（系则）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2021年6月7日一、实验目的：增进对离散系统的频率响应分析和零、极点原产的概念认知。
二、实验原理：离散系统的时域方程为y(n-k)=∑pkx(n-k)其变换域分析方法如下：时频域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的频率响应为jωjωjωx[m]h[n-m]⇔y(e)=x(e)h(e)∑p(ejω)p0+p1e-jω+...+pme-jmωh(e)==jωd(e)d0+d1e-jω+...+dne-jnω时域z域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的转移函数为∑x[m]h[n-m]⇔y(z)=x(z)h(z)p(z)p0+p1z-1+...+pmz-mh(z)==d(z)d0+d1z-1+...+dnz-nh(z)=∑pkz∑dkz(1-ξz)∏i-1(1-λz)∏ii=1i=1nξλi上式中的和i称为零、极点。
在matlab中，可以用函数[z，p，k]=tf2zp（num，den）求出有理分式形式的系统迁移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘制零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）轻易绘制有理分式形式的系统迁移函数的零、极点分布图。
另外，在matlab中，可以用函数[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，k）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：实验内容：求系统0.0528+0.0797z-1+0.1295z-2+0.1295z-3+0.797z-4+0.0528z-5h(z)=1-1.8107z-1+2.4947z-2-1.8801z-3+0.9537z-4-0.2336z-5的零、极点和幅度频率响应。
程序代码:num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];freqz(num,den);%0~π中抽样，抽样点缺省（512点）ζnum=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];w=[0pi/8pi/4pi*3/8pi/2pi*5/8pi*3/4];%自己定8个点θh=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');[h,w]=freqz(num,den,8);%系统在0~π之间均分8份，与“θ”处效果一样wsubplot(2,2,2);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');h=freqz(num,den);%系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样subplot(2,2,3);z=10*log(abs(h))plot(z);%与“ζ”处幅度五音效果一样title('分贝幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);%谋零极点z%零点p%极点subplot(2,2,4);zplane(z,p);%zplane(num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k);%二阶系统分解sosg [r,p,k]=residuez(num,den);%部分分式进行rp四、实验总结与分析：本次实验晓得了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来就是绘制零极点图形和排序数字滤波器h(z)的频率响应以及谋复数的相角。
信号分析第五章第四节：离散系统的零状态响应
5 页
h1 (k) + a1h1 (k − 1) + LL+ an − 1h1 (k − n + 1) + anh1 (k − n) = δ (k)
在k〉0满足h1 (k) + a1h1 (k − 1) + LL + an − 1h1 (k − n + 1) + anh1 (k − n) = 0
第
h(k ) − 4h(k − 1) + 3h(k − 2) = δ (k)
1）先求δ(k)作用下的初值
10 页
h(k) = δ (k) + 4h(k − 1) − 3h(k − 2)
δ 由h(−1) = h(−2) = 0, 代入上式得 (k)引起的系统初值 h(0) = 1 h(1) = 4
2）求通解得出单位响应
k-6
k
3.k > 4 k −6≤ 0
k
X
第 15 页
常见序列的卷积和
ε (k ) ∗ ε (k ) = (k + 1)ε (k ) ε (t) ∗ ε (t) = tε (t) ε (k − k1 ) ∗ ε (k − k2 ) = (k − k1 − k2 + 1)ε (k − k1 − k2 )
i =−∞ k
bk +1 − ak +1 ε (k) k k a ε (k) ∗ b ε (k) = b − a (k + 1)bk ε (k)
设系统仅在δ 此时系统差分方程变为: 设系统仅在δ(k) →h1(k),此时系统差分方程变为 此时系统差分方程变为
第三章 LTI离散系统的响应
f (k ) (k i) f (i)
3.2 单位序列响应和阶跃响应
( 2)单 位 阶跃 序 列 1 k 0 (k ) 0 k 0 (k )
移位单位阶跃序列 (k i ) 1 k i 0 k i
(k 2)
11Fra bibliotek0
1 2 3
k
k
0
1 2 3 4 5
3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
Czi1=1 , Czi2= – 2
所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
3.2 离散系统的过渡响应分析
(5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应 y(kT)是以2T为周期正负交替的等幅振荡。
(6) 极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应 y(kT)是以2T为周期正负交替的发散振荡。
例3.3 某离散系统如图3.6所示，分析该系 统的过渡过程。 1 R ( z ) 设系统输入是单位阶跃函数 1 。
3.2 离散系统的过渡响应分析
一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变 化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过 渡过程。 一般认为被控变量进入新稳态值附近±5%或±3% 的范围内就可以表明过渡过程已经结束。 通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃 信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特 性)。如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换 Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，就可获得动态响应 y*(t)。将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能 指标（即超调量σ%与过渡过程时间ts），如图3.4所示。
y (t ) 1.6 1.4 1.2
ts
%
5%
1
0.8 0.6 0.4 0.2
t
图3.4 线性离散系统的单位阶跃响应
首先研究离散系统在单位脉冲信号作用下的瞬态响 应，以了解离散系统的动态性能。
Y ( z) W ( z) R( z ) K ( z zi )
m i 1 n
jIm j -1 0 1 Re
-j
图3.5 不同位置的实极点与脉冲响应的关系
结论：
(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量 y(kT)单调发散。
(2) 极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应 y(kT)是等幅的。 (3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应y(kT) 单调衰减。 (4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应y(kT) 是以2T为周期正负交替的衰减振荡。
离散系统单位样值响应
1 y(n) y (n 1) x(n) 2 x(n 1) 3x(n 2) 5
§7.5 卷积和—已知单位样值 响应，求系统零状态响应
x ( n)
h( n)
m
y(n) x(n) * h(n)
x ( n)
x(m) (n m)
y ( n) x ( n ) * h( n)
m
x ( m) h ( n m)
14
一、卷积和
h(n) a nu(n) 0 a 1, 例如：已知 x(n) G(n) u(n) u(n N )
求零状态响应
解
y ( n) ?
y(n) x(n) * h(n)
n 0 h(n) 0
0 n N 1 y(n) x(n m)h(m) a nmu(n m)[u(m) u(m N )]
只考虑 3x(n 2) 激励 h2 (n) 3h 1 ( n 2) 利用LTI
3[3n 1 2n 1 ]u (n 2)
h(n) h1 (n) h2 (n) (3n 1 2n 1 )u (n) 3(3n 1 2n 1 )u (n 2)
（1）求系统单位样值响应 （2）若系统为零状态，求此二阶差分方程
8
g (n) (2 3 5 10)u(n)
n n
解 设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) br x(n r )
2
g (n) (2 3 5 10)u(n)
（1）激励为 (n) 时，系统在零状态
y(n) 0.5 y(n 1) (n)
§8.10 离散时间系统的频率响应特性
a1 sinω ϕ(ω) = −arctan 1− a cosω 1
说明：1.为了保证该系统稳定 要求| |<1； 为了保证该系统稳定， 说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 2.若0<a <1,则系统呈“低通”特性； 则系统呈 则系统呈“ 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 3.若 1<a <0,则系统呈 高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性； 4.若 则系统呈“全通”特性； 教材例8 22中的图 19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 中的图8 0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejω)|, ϕ (ω) <1时的系统零 极点图与h ),|H 时的系统零、 的波形图。 的波形图。
例8-10-1 10-
已知离散时间系统的框图如图所示， 已知离散时间系统的框图如图所示，求系 统频率响应特性。 统频率响应特性。 z−1 1 解：系统的差分方程 1 2 x(n) y(n) y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n−1) 2
∑
设系统为零状态的，方程两边取z变换 设系统为零状态的，方程两边取z
H ejω ~ ω ：幅频特性
H ejω = H( z)
( )
( )
= H ej ω ejϕ(ω) z = ejω
(
)
ϕ(ω) ~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
• H(ejω)即h(n)的DTFT
输出与输入序列的幅度之比
为周期函数，所以H 为周期函数， • ejω为周期函数，所以H(ejω)为周期函数， 其周期为2 其周期为2π 。 例8-10-1
离散系统的零状态响应
k
对比 : g (t ) h( )d
t
2. 已知g (k )求h(k ) :
(k ) (k ) (k 1) h(k ) g (k ) g (k 1)
X
例题（书P127例5－9）(自学，不要求)
求离散系统 y k 4 y k 1 3 y k 2 2 k y 1 1, y( 2) 1 的单位响应 (其中k 0)
(k ) (k j ) (k ) (k 1) (k j )
第 7 页
由于 (k ) h(k )根据LTI性质
g ( k ) h( k j )
j 0 i
j 0
i
(i)
k
h(i)
单位序列响应的初值h1 (0),1h1 (1), h(2)可由下式递推得到
h1 (k ) (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n)
h(k ) b0 h1 (k ) b1h1 (k－1) bm 1h (k m 1) bmh1 (k m)
ik 6 4
k i 0
i
k-6
k 0
y (k ) 0
k i a
3.k 4
k-6 k
k 6 0
k
4.k 6 0 k 6 4
4
i0
k-6
5.k 6 4即 : k 10
k-6
k
y(k) 0
X
1.k 0, y (k ) 0
2.0 k 4 y (k ) a
设系统激励仅在是δ(k) →h1(k),此时系统差分方程变为:
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§3.1LTI离散系统的响应•差分与差分方程•差分方程的经典解•零输入响应•零状态响应通信与信息工程学院江帆一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2),…等称为f(k)的移位序列。
仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。
1. 差分运算t t t f t f t t f t t f t t f tt f t t t ΔΔ−−=Δ−Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ→Δ)()(lim )()(lim )(lim d )(d 000离散信号的变化率有两种表示形式：k k k f k f k k f −+−+=ΔΔ)1()()1()()1()1()()(−−−−=∇∇k k k f k f kk f因此，可定义：（1）一阶前向差分定义：Δf(k) = f(k+1) –f(k)（2）一阶后向差分定义：∇f(k) = f(k) –f(k –1)式中，Δ和∇称为差分算子，无原则区别。
本书主要用后向差分，简称为差分。
（3）差分的线性性质：∇[af1(k) + bf2(k)] = a ∇f1(k) + b ∇f2(k)（4）二阶差分定义：∇2f(k) = ∇[∇f(k)] = ∇[f(k) –f(k-1)] = ∇f(k) –∇f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)（5）m阶差分:∇m f(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ b m f(k-m)2. 差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式y(k) + an-1y(k-1) +…+ ay(k-n) = bmf(k)+…+ bf(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例3-1-1：若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。
y(k) = –3y(k –1) –2y(k –2) + f(k)y(2)= –3y(1) –2y(0) + f(2) = –2y(3)= –3y(2) –2y(1) + f(3) = 10 ……注：一般不易得到解析形式的(闭合)解。
二、差分方程的经典解y(k) + a n-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = b m f(k)+…+ b 0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。
齐次解用y h (k )表示，特解用y p (k )表示，即y (k ) = y h (k ) + y p (k )1. 齐次解y h (k )齐次解是齐次差分方程y(k) + a n-1y(k-1) + …+ a 0y(k-n) = 0的解。
y h (k )的函数形式由上述差分方程的特征根确定。
（齐次解的函数形式见P87表3-1）齐次方程y(k) + a n-1y(k-1) + …+ a 0y(k-n) = 0其特征方程为1 + a n-1λ–1 + …+ a 0λ–n = 0，即λn + a n-1λn–1 + …+ a 0= 0其根λi ( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。
λ特征根r 重实根12j a jb eβλρ±±=，一对共轭复根＝r 重共轭复根()h y k 齐次解k C λ121210()r r kr r C k C k C k C λ−−−−++++L [cos()sin()]cos()k k C k D k A k C jD θρββρβθ+−=+j 或其中Ae 12112200[cos()cos()cos()]k r r r r r r A k k A k k A k ρβθβθβθ−−−−−−++++++L 单实根()f k 激励cos()sin()k k ββ或()p y k 特解m k ka 1110m m m m P k P k Pk P −−++++L 1110[]r m m m m k P k P k Pk P −−++++L 所有的特征根均不等于1；有r重等于1的特征根；kPa 1110()r r k r r P k P k Pk P a −−++++L 10()k Pk P a +a 不等于特征根；a 等于特征单根；a 等于r重特征根；cos()sin()P k k ββ+Q cos()k θβθ−j 或A ,其中Ae =P+jQj e β±所有的特征根均不等于2. 特解y p (k)特解的函数形式与激励函数的形式有关。
P87表3-2列出了几种典型得f (k )所对应的特解y p (k )。
例3-1-2：若描述某系统的差分方程为y(k)+ 4y(k –1) + 4y(k –2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)= –1；激励f(k)=2k ，k ≥0。
求方程的全解。
特征方程为λ2 + 4λ+ 4=0可解得特征根λ1=λ2= –2，其齐次解y h (k)=(C 1k +C 2) (–2)k特解为y p (k)=P (2)k , k ≥0代入差分方程得P(2)k +4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ，解得P=1/4所以得特解：y p (k)=2k–2, k ≥0故全解为y(k)= y h +y p = (C 1k +C 2) (–2)k + 2k–2, k ≥0 代入初始条件解得C 1=1 , C 2= –1/4三、零输入响应和零状态响应系统的全响应y (k )可以分解为零输入响应y x (k )和零状态响应y f (k )。
y (k )= y x (k ) + y f (k )零输入响应和零状态响应可以分别用经典法求解。
1010()(1)()()(1)()(1)n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m −−+−++−=+−++−L L 已知单输入-单输出LTI 离散系统的激励为f (k )，其全响应为y (k )，那么，描述该系统激励f (k )与响应y (k )之间的关系的数学模型是n 阶常系数线性差分方程，表示如下：1. 零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用y x (k )表示。
在零输入条件下，(1)式可化为齐次方程：10()(1)()0(2)x n x x y k a y k a y k n −+−++−=L 通常，用y (-1)，y (-2)，…，y (-n)描述系统的初始状态。
(1)(1)(2)(2)(3)()()x x x y y y y y n y n −=−⎫⎪−=−⎪⎬⎪⎪−=−⎭M 一般设定激励是在k =0时刻接入系统的，在k <0时，激励尚未接入，因此（2）的初始状态满足：2. 零状态响应系统的初始状态为零，仅由激励f(k)引起的响应，称为零状态响应，用y f (k )表示。
在零状态条件下，(1)式仍为非齐次方程，其初始条件为零，即零状态响应满足：1010()(1)()()(1)()(1)(2)()0f n f f m m f f f y k a y k a y k n b f k b f k b f k m y y y n −−+−++−=+−++−⎫⎬−=−==−=⎭L L L 利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值y x (j )和y f (j ) ( j = 0, 1, 2 , …，n –1)()()()f fh p y k y k y k =+零状态响应为：例3-1-3：若描述某离散系统的差分方程为y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)已知激励f(k)=2k , k ≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
（1）y x (k)满足方程y x (k) + 3y x (k –1)+ 2y x (k –2)= 0其初始状态y x (–1)= y(–1)= 0, y x (–2) = y(–2) = 1/2首先递推求出初始值y x (0), y x (1),y x (k)= –3y x (k –1) –2y x (k –2)y x (0)= –3y x (–1) –2y x (–2)= –1 , y x (1)= –3y x (0) –2y x (–1)=3方程的特征根为λ1= –1 ，λ2= –2 ，其解为y x (k)=C x1(–1)k +C x2(–2)k将初始值代入并解得C x1=1 , C x2= –2所以y x (k)=(–1)k –2(–2)k , k ≥0y f (k) + 3y f (k –1) + 2y f (k –2) = f(k) 初始状态：y f (–1)= y f (–2) = 0递推求初始值y f (0), y f (1)，y f (k) = –3y f (k –1) –2y f (k –2) + 2k , k ≥0y f (0) = –3y f (–1) –2y f (–2) + 1 = 1y f (1) = –3y f (0) –2y f (–1) + 2 = –1分别求出齐次解和特解，得y f (k) = C f1(–1)k + C f2(–2)k + y p (k)= C f1(–1)k + C f2(–2)k + (1/3)2k 代入初始值求得C f1= –1/3 , C f2=1 所以y f (k)= –(–1)k /3+ (–2)k + (1/3)2k , k ≥0（2）零状态响应y f (k) 满足y(k)= yx (k) + yf(k)=(–1)k–2(–2)k –(–1)k/3+ (–2)k + (1/3)2k = 2/3 (–1)k -(–2)k + (1/3)2k, k≥0（3）全状态响应y(k)四、本节小结差分方程的求解零输入响应、零状态响应。