§3.1 LTI离散系统的响应

F (常 数 )
k
m
P( 常 数 )
Pm k m Pm 1 k m 1
k r ( Pm k m Pm 1 k m 1
P1 k P0 ( 特 征 根 均 不 为 1）
P1 k P0 )( 有 r 重 为 1的 特 征 根 ）
a
k
（ P1 k P0 ) a k ( a 等 于 特 征 单 根 ） （ Pr k r Pr 1 k r 1 P0 ) a k ( a 等 于 r 重 特 征 根 ）
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2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。 其一般形式为: y(k) + an–1y(k –1) +· · ·+ a0y(k–n) = bmf(k)+· · ·+ b0f(k–m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
0 3 y 1 2 y 2 1
5 所以 y 2 4
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第三步：由初始状态确定C1，C2
以 y 1 , y 2 代 入 方 程
1 1 1 y 1 C 2 C 1 1 2 zi 2 y 2 C 2 2 C 1 2 5 zi 1 2 4
解得：
C1 3 C 2 2
y zi k 3 2 2 1
k
k
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零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求 系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1)（不求亦可） yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
第一步：根据特征根写出齐次解
y k 3 y k 1 2 y k 2 0
3 2 0
2
1 2 ,
k k
2 1
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y zi k C 1 2 C 2 1
第二步：求初始状态
题中 y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态 为0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。
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二、差分方程的经典解
y(k) + an –1y(k –1) +· · · + a0y(k –n) = bmf(k)+· · · + b0f(k –m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解： 齐次方程 : y(k) + an –1y(k –1) + · · ·+ a0y(k –n) = 0 特征方程: 1 + an –1λ– 1 + · · ·+ a0λ– n = 0 ， 即 λ n + an –1λn– 1 + · · ·+ a0 = 0 其根λi( i = 1，2，· · · ，n)称为差分方程的特征根。
f ( k ) f ( k ) f ( k 1 ) k k ( k 1)
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定义差分
（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用 后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k–1)] = f(k) – f(k–1) = f(k)–f(k–1) –[f(k–1) –f(k–2)]= f(k) –2 f(k–1) +f(k–2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k–1) +· · · + bmf(k–m)
d f(t ) f ( t ) f ( t t ) f ( t ) f ( t ) f ( t t ) lim lim lim t 0 t 0 t 0 dt t t t
离散信号的变化率有两种表示形式：
f ( k ) f ( k 1 ) f ( k ) k ( k 1) k
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分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
k k
1 2 , 2 3
k 1
解出
y 1 2 C 1 3C 2 1
C1 5 , C 2 3
y k 5 2 3 3
k
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k
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差分方程齐次解重根例2
求差分方程 y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0 的解。 解：特征方程 6 12 8 0
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k 1
y 1 3 y 0 2 y 1 2 ε 1 2 ε 0
0
k0
y 0 3 y 1 2 y 2 2 ε 0 2 ε 1
0 1
0 0 2 y 1 2 1 1 1 所 以 y 1 2
C n
特征根λ为r重实根时
C 1 k C 0 ) k
(3) 一对共轭复根
1 ,2 = a jb e j
k yh k k C co s k D sin k 或 A co s k
例1
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三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yzi(k) + yzs(k)
(1) 零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
(2) 零状态响应：初始状态为0，即
y zs 1 y zs 2
求解方法 卷积法
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0
经典法：齐次解+特解
例1 例2
零输入响应举例
例2
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差分方程齐次解单根例1
求解二阶差分方程 y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。 解：特征方程 5 6 0
2
2 3 0
特征根
齐次解
y k C1 2 C 2 3 k 0 y 0 C1 C 2 2
3 2
2
k
3
0
三重特征根
1 ,2 ,3 2
2
齐次解 y k ( C 2 k C 1 k C 0 ) 2 由初始条件定C1， C2 ， C3
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2.特解yp(k):
特解形式与激励的形式类似
激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k)
例
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解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+ Czi2(–2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
（2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
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根据特征根，齐次解的几种情况
1 无 重 根 n 个 单 实 根
k 1 1
λ1 λ 2
k 2
λn
k n
n阶 方 程
yh k C C 2
(2) 有重根
y h k ( C r 1 k r 1 C r 2 k r 2
第三章 离散系统的时域分析
§3.1 LTI离散系统的响应
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 差分与差分方程 差分方程的经典解 零输入响应和零状态响应
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一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则: · · · ，f(k+2)，f(k+1)，· · · ，f(k-1)，f(k-2) ，· · · 等 称为f(k)的移位序列。 仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算