广东省佛山一中08-09学年高二上学期期末试题(数学文)
广东省佛山一中高二上学期期中 数学文试题.pdf
佛山一中第2012学年度上学期高二期中考试 数学（文科）试题 注意事项： 1．本试题 满分150分，考试时间为120分钟。
2．选择题部分，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。
3.参考公式：锥体体积 ：; 圆柱侧面积：， 球体体积： 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，有一项是符合题目要求的 1.直线x＋y＋m=0的倾斜角是 A. B. C. D. 2.已知两条直线和互相垂直，则等于A. 2B. 1C. 0D. 3.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，，则_ C．若，，则 D．若，，，则 4. 两平行直线：，：的距离为,则m=A. -42 B.18或-34 C.5或21 D.10或-42 5.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A．3x－2y=0 B．x + y－5=0 C．3x－2y=0 或x + y－5=0 D．2x－3y=0 或x + y－5=0 6. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 A. B. C. D. 7. 点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的A.外心B.重心C.内心D.垂心 8.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是 A．与是异面直线 B．平面 C．、为异面直线，且 D．平面 9．如图，在四面体ABCD中，截面是正方形，则在下列命题中， 错误的是 A． B．∥截面 C． D．异面直线与所成的角为 10. 如图，A1A是圆柱的母线，圆柱底面圆的直径为AB=5，C是底面圆周上异于A、B的点，A1A＝BC＝4,则点A到平面A1BC的距离为A.3B.C.2D. 二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分． 11.直线的倾斜角，直线在x轴截距为，且//，则直线的方程是 . 12.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是___________ cm. 13.一个长、宽、高分别为8cm，5cm，5cm的水槽中有水180cm3,现放入一个直径为4cm的木球，如果木球的三分之二在水中，判断水槽中水面是否会流出？ 答：_________. (回答问题时，仅仅填写“会”或“不会”). 14.y=的最小值是__________. 三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分12分） 已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线. （1）求直线的方程； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 16. （本题满分12分） 已知矩形ABCD的中心与原点重合，且对角线BD与x轴重合，AB所在的直线方程为，．求矩形各顶点的坐标． 17（本题满分14分） 如图已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点. (1) 求证：面PCC1⊥面MNQ； (2) 求证：PC1∥面MNQ。
广东省佛山市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
2017—2018学年度第一学期高二期中考试文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的)1. 已知直线的方程为x I r ?.-::，则该直线的斜率为( ).A. 'B. IC. 2D. 2 【答案】B【解析】将直线方程写为 y ■ 3，所以直线的斜率为 I ,选B.2. 圆2 — 二.二:的圆心到直线ax - ■/ 1 匚:的距离为1,则日( ). A. — B.C. - 3D.；34【答案】A【解析】试题分析：圆方程可化为 ,：._!■ -，:y_4- 4圆心 "W 到直线的距离考点：1、圆的方程；2、点到直线的距离3. 已知直线丨：：於+ 丫一丄 ■直线I.飞+日y + M 9,若丨| .，则实数「的值是 ( ).A. 1B. 1C. 2D. ： 【答案】C【解析】当|丨•.时，r 1丨I •二—:;f - r ,选C.4. 已知点A 的坐标为；4 4 ,直线 的方程为x - y 2 = 0，则点A 关于I 的对称点出的坐标为 ( )A. ■: ；.4；B. i 2.6)C. -2.4.D. W 【答案】Bn~4 x (]) 一 ]【解析】设A'tm.n)，由已知有』样* 口 — 一 ，解得巴三?，选B.v'a ：+ 1=l^>a =—4■-， 故选A."号2+ 号-2 = 0 } r\ = 6点睛：本题主要考查了点关于直线对称，属于基础题。
解决此类问题的步骤为：先设出对称 点坐标，根据两条直线垂直以及中点在对称直线上，列出方程组，求出对称点坐标。
5. 下列命题中，表示两条不同的直线，过、£、丫表示三个不同的平面.①若门1 口，门.心，则门、n ； ②若乞¥ , 0 y ,则z R ； ③若存I a ，门 u ，^V 门「，门； ④若z 卡，R 丫，门1 u ,则门1 v .正确的命题是（）A.①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知， 直线m 与平面□内的任意一条直线垂直，由门| a知，存在直线Li 内，使II | [:，所以111 o IT I',故①正确；对于②，平面辽与平面f ■可 能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 a Y n-i 丫，正确。
广东省佛山一中09-10学年高二下学期期末考试--理数
佛山一中高二级2009学年度下学期期末考试数学试题(理)第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数i i )13(-的共轭复数是A .i +-3B ．i --3 C.i +3 D ．i -32．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为 A(1,2,2),B(2,-2,1)，则=||AB A .18 B ．12 C.23 D ．323.对变量x, y 有观测数据（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断：A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<= A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.25. 1234566666C C C C C ++++的值为（ ） Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63Ｄ．646. 利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=aa n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）A.1B.a +1C.21a a ++D.321a a a +++7. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种8．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2AK AF =，则AFK ∆的面积为( )Ａ.4 Ｂ.8 Ｃ.16 Ｄ.32二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．在(x 4＋1x )10的展开式中常数项是 （用数字作答） 10．曲线1,0,2===y x x y 所围成的图形的面积为 ． 11.已知),,(~p n B X 且E （X ）=10，D （X ）=6，则=p .12．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , m a m b ++, nb n a ++按由小到大的顺序排列为 . 13. 如图4，点O 为正方体D C B A ABCD ''''-的中心，点E 为面C BC B ''的中心，点F 为C B ''的中点，则空间四边形OEF D '在该正方体的面上的正投影的所有可能的图形的序号是_______．14.观察下列等式：1535522C C +=-，1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-， 1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论： 对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获得利润y 万元之间有如下的统计数据：x2 3 4 5 y18273235(1)(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ； (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润. 参考公式:-∧-∧-==--∧-=--=∑∑xb y a xn x yx n yx b n i i ni ii ,212116．（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一次抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．17．（本小题满分14分）如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面 相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆 O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点， AE ＝3，圆O 的直径为9．（1）求证：平面 ABCD ⊥平面 ADE ；（2）求二面角D —BC —E 的平面角的正切值．18．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2, |PF 1|=34, |PF 2|=314. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。
广东佛山一中高二上学期期中考试数学文试卷含解析
2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若直线x=1的倾斜角为α，则α=（）A．不存在B．90°C．45°D．0°2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β4．某路公共汽车每5分钟发一次车，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车事件不超过3分钟的概率是（）A．B．C．D．5．若直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直，则a值为（）A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．5或﹣16．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G的距离为（）A．B．C．4 D．27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°8．某产品在某零售摊位的零售价y（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料由表可得回归方程=﹣4x，据次模型预测零售价为20元时，每天销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个9．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．14πC．16πD．18π10．如图，边长为2的正方形ABCD的四边中点E、F、G、H分别与D、A、B、C四点相连，其交点分别为O、P、Q、R，那么四边形OPQR的面积为（）A．B．C．D．11．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．212．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．36πcm2B．25πcm2C．16πcm2D．9πcm2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分13．甲、乙、丙、丁四名选手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决14．母线长为6在圆锥侧面展开的圆心角为120°，那么圆锥体积为．15．已知P（x，y）为直线y=x上的动点，，则m的最小值为．16．一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（Ⅰ）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．（Ⅱ）关于x，y表示的直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，求坐标原点O到直线l的最大距离．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）直线B1C1到平面A1BC的距离．19．（12分）某中学有高二年级学生，分成水平相当的A、B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用从高二年级学生中抽取部分学生进行测试，其中抽取A类学生40人，B类学生60人，经过测试，得到75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（图一）（茎叶分别是十位和个位的数字），以及学生成绩频率分布表（表一）和直方图（图二）图二：100名测试学生成绩频率分布直方图（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；（Ⅱ）该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市交流活动，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．21．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．22．（12分）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；（Ⅱ）设正方形中心G（x0，y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2016秋•禅城区校级期中）若直线x=1的倾斜角为α，则α=（）A．不存在B．90°C．45°D．0°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】直接写出直线的倾斜角即可．【解答】解：直线x=1的倾斜角为为α，则α=90°，故选：B．【点评】本题考查直线的表示形式，倾斜角的求法，是基础题．2．（2015•张掖一模）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．3．（2014•石家庄一模）设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线面垂直与线线垂直的几何特征，可判断A；根据面面垂直及面面平行的几何特征，可判断B；根据线面平行的几何特征，及面面位置关系的定义，可判断C；根据面面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；故选：D【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．4．（2016秋•禅城区校级期中）某路公共汽车每5分钟发一次车，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车事件不超过3分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据题意确定出基本事件对应的“几何度量”N（A）为3，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N为5，求出所求概率即可【解答】解：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后两分钟内到达候车时间会超过3分钟∴乘客候车时间不超过3分钟的概率为P=．故选B．【点评】此题考查了几何概型，解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．5．（2016秋•禅城区校级期中）若直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直，则a值为（）A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．5或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】分类讨论；方程思想；直线与圆．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：a=﹣5时，两条直线的方程分别化为：﹣9x﹣6=0，﹣9y+1=0，此时两条直线相互垂直，∴a=﹣5满足条件．a=4时，两条直线的方程分别化为：9x+9y﹣6=0，9x+1=0，此时两条直线不垂直，舍去．a≠﹣5，4时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得a=1．综上可得：直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直时，a=﹣5或1．故选：C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2016秋•禅城区校级期中）已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O 到重心G的距离为（）A．B．C．4 D．2【考点】三角形五心．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】△ABC三边的长分别为5、12、13，△ABC是直角三角形，外心O斜边的中点，斜边上的中线长为，即可得出△ABC的外心O到重心G的距离．【解答】解：△ABC三边的长分别为5、12、13，∴△ABC是直角三角形，外心O斜边的中点，斜边上的中线长为∴△ABC的外心O到重心G的距离为=，故选B．【点评】本题考查三角形的外心、重心，考查学生的计算能力，比较基础．7．（2013•潼南县校级模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．8．（2016秋•禅城区校级期中）某产品在某零售摊位的零售价y（单位：元）与每天的销售由表可得回归方程=﹣4x，据次模型预测零售价为20元时，每天销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；待定系数法；概率与统计．【分析】计算样本中心点（，），代入回归方程求出的值，再计算x=20时的值．【解答】解：由表可得=×（16+17+18+19）=17.5，=×（50+34+41+31）=39．将（，）代入回归方程=﹣4x，得39=﹣4×17.5，解得=109；∴回归方程为=﹣4x+109，当x=20时，=﹣4×20+109=29．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．9．（2015秋•韶关期末）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．14πC．16πD．18π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】设圆柱的底面半径为R，求出三棱柱的底面边长为，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求解侧面积．【解答】解：设圆柱的底面半径为R，底面是正三角形．边长为a，，三棱柱的底面边长为，三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，可得得R=2，S圆柱侧=2πR•2R=16π．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．10．（2016秋•禅城区校级期中）如图，边长为2的正方形ABCD的四边中点E、F、G、H 分别与D、A、B、C四点相连，其交点分别为O、P、Q、R，那么四边形OPQR的面积为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【专题】综合题；转化思想；转化法．【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得阴影部分的边长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：正方形的边长为2，则CD=2，DH=1，由勾股定理得，CH=，由题意得△CQG∽△CDH，∴CQ：QG=CD：DH=2：1，得CQ=2QG=∴RQ=∴阴影部分小正方形的面积（）2=．故选：D．【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．11．（2009•东莞市二模）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．12．（2016秋•禅城区校级期中）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．36πcm2B．25πcm2C．16πcm2D．9πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】首先由三视图还原几何体，得到其外接球半径，根据求的表面积公式求值．【解答】解：三视图表示的几何体为三棱锥D﹣ABC，且四个面为直角三角形；其中AD⊥平面ABC，底面ABC为等腰直角三角形，其斜边长为4，BC⊥平面ABD，取CD中点O，因为△ACD和△BCD为公用斜边CD的直角三角形，那么OA=CD=OC=OD=OB，故三棱锥D﹣ABC的外接球心为O在Rt△DAC中，CD==5，R2=（）2=则三棱锥外接球的表面积为4πR2=25πcm2；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体外接球表面积；关键是正确还原几何体，求出外接球的半径．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分13．（2016秋•禅城区校级期中）甲、乙、丙、丁四名选手在选拔赛中所得的平均环数及其s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是乙．2【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据平均数与方差的统计意义，即可得出乙是最佳人选．【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中乙的方差最小，说明乙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明乙成绩即高又稳定，∴乙是最佳人选．故答案为：乙．【点评】本题考查了平均数和方差的实际应用问题，是基础题目．14．（2016秋•禅城区校级期中）母线长为6在圆锥侧面展开的圆心角为120°，那么圆锥体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】综合题；方程思想；演绎法；立体几何．【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解r，得出h，即可求出圆锥体积．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=6×，∴r=2，∴h==4，∴圆锥体积为=．故答案为：．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（2013秋•镜湖区校级期末）已知P（x，y）为直线y=x上的动点，，则m的最小值为4．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据题意，m的最小值即为直线y=x上一点到两点距离之和的最小值．首先根据点关于直线对称的性质求出点（1，2）关于直线y=x的对称点，利用两点的距离公式即可求出m的最小值．【解答】解：表示点到点（1，2）和点（﹣2，1）的距离之和点（1，2）关于直线y=x的对称点为（2，1）．∴点（2，1）与点（﹣2，1）之间的距离即为m的最小值∴故m的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查点关于直线对称的性质以及两点间的距离公式．16．（2010秋•金台区期末）一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为2cm．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先表示出方盒的容积，再用基本不等式求最值．【解答】解：由题意，方盒的高xcm，长、宽都是（12﹣2x）cm∴V=（12﹣2x）2×x=4（6﹣x）2×x∵2x+（6﹣x）+（6﹣x）≥∴（6﹣x）2×x≤32（当且仅当6﹣x=2x，即x=2时取等号）∴x=2cm时，方盒的容积最大故答案为：2cm【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•禅城区校级期中）（Ⅰ）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．（Ⅱ）关于x，y表示的直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，求坐标原点O到直线l的最大距离．【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】（I）设要求的直线方程为x﹣3y+m=0，联立，可得交点P，把交点P的坐标代入方程x﹣3y+m=0，解得m，进而得出．（II）直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，化为：m（x﹣2）+（y﹣2）=0，令，可得直线恒过定点A（2，2），因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|．【解答】解：（I）设要求的直线方程为x﹣3y+m=0，联立，解得，可得交点，把交点代入方程x﹣3y+m=0，可得+m=0，解得m=﹣．所求直线的方程为：x﹣3y﹣=0，化简得5x﹣15y﹣18=0．（II）直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，化为：m（x﹣2）+（y﹣2）=0，令，解得x=y=2，∴直线恒过定点A（2，2），因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|==2．【点评】本题考查了两条相互垂直的直线斜率之间的关系、直线经过定点问题、点到直线的距离公式、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•上海模拟）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）直线B1C1到平面A1BC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；（2）可证B1C1∥平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得．【解答】解：（1）由题意可得BC∥B1C1，∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴△A1BC为直角三角形，∴tan∠A1CB===，∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan；（2）∵BC∥B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h，由等体积法可得=，即×h=×BC代入数据可得××1××h=××2×1×1，解得h=∴直线B1C1到平面A1BC的距离为【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）某中学有高二年级学生，分成水平相当的A、B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用从高二年级学生中抽取部分学生进行测试，其中抽取A类学生40人，B类学生60人，经过测试，得到75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（图一）（茎叶分别是十位和个位的数字），以及学生成绩频率分布表（表一）和直方图（图二）图二：100名测试学生成绩频率分布直方图（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；（Ⅱ）该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市交流活动，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）结合茎叶图以及直方图补充即可；（Ⅱ）通过读频率分布直方图可轻易获取所要解答．（Ⅱ）记79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是{1，2，3}，79分的学生为{a}．从中抽取2人，有：12，13，1a，23，2a，3a共6种抽法；抽出的2人均在8（0分）以上有：12，13，23共3种抽法；则抽到2人均在8（0分）以上的概率为=．【点评】本题主要考查频率分布直方图问题，考查概率问题，属简单题目．20．（12分）（2016•海淀区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．（1分）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．（2分）又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．（3分）所以BC⊥平面PAB．…．（4分）因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．（6分）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．（7分）又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．（9分）所以MN∥平面ABCD．…．（10分）解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．（11分）而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．（12分）所以AM的长就是点A到MN的距离，…．（13分）而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．（14分）【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2016•安徽一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；（II）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A﹣BDEF和四棱锥C﹣BDEF计算体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又平面EFBD⊥平面ABCD，平面EFBD∩平面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面EFBD．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F作FM⊥BD于M，∵四边形EFBD为等腰梯形，∴MB=（BD﹣EF）=．∴FM==．设AC∩BD=O，则AO=．∴V C ﹣BDEF =V A ﹣BDEF =S 梯形BDEF •AO==．∴多面体ABCDEF 的体积V=2V A ﹣BDEF =2．【点评】本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题． 22．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）正方形ABCD 一条边AB 所在方程为x +3y ﹣5=0，另一边CD 所在直线方程为x +3y +7=0， （Ⅰ）求正方形中心G 所在的直线方程； （Ⅱ）设正方形中心G （x 0，y 0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x 0的取值范围． 【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；方程思想；待定系数法；直线与圆． 【分析】（Ⅰ）设中心所在直线为x +3y +c=0，结合正方形的性质和平行线间的距离公式求得c 的值；（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长．设正方形BC ，AD 所方程为3x ﹣y +m=0，联立点G 所在直线x 0+3y 0+1=0，得到．结合限制性条件正方形仅有两个顶点在第一象限，得到﹣15＜m ＜，易求x 0的取值范围为．【解答】解：（Ⅰ）由于正方形中心G 所在直线平行于直线x +3y ﹣5=0， 设中心所在直线为x +3y +c=0， 由平行线间的距离公式得=．解得c=1．则正方形中心G 所在的直线方程为x +3y +1=0； （Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长为d==．设正方形BC ，AD 所在直线方程为3x ﹣y +m=0， 由于中心G （x 0，y 0）到BC 的距离等于=，那么=，解得m=±6﹣3x0+y0①，又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=﹣②，把②代入①得m=±6﹣③，联立方程，解得．由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得﹣15＜m＜⑤，把③代入⑤得到﹣15＜±6﹣＜，解得＜x0＜．故x0的取值范围为．【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，待定系数法求直线方程以及正方形的性质，考查运算能力，属于中档题．。
广东省佛山市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省佛山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知实数，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2020高二上·林芝期末) 在等差数列中，，（、），则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）整数列满足 ,则（）A .B .C .D .5. （2分）双曲线（）的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于（）A . 2B .C .D .6. （2分）抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .7. （2分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值是（）A . -3B .C .D . 118. （2分） (2016高三上·遵义期中) 已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A . ①②B . ②④C . ②③D . ③④9. （2分） (2020高二下·北京期中) 函数的导数是（）A .B .C .D .10. （2分）已知－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，则2a＋3b的范围是（）A . (－，)B . (－，)C . (－，)D . (－，)11. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知函数，则从到的平均变化率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·兰州模拟) 设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ，在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A . [2，+∞）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，2]∪[2，+∞）D . [﹣2，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·奉贤模拟) 在△ 中，角、、的对边分别为、、，面积为，若，则角B的值为________（用反正切表示）14. （1分） (2019高一上·上海月考) 命题“若，则或”是________命题（填写“真”或“假”）15. （1分） (2018高一下·苏州期末) 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为________尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）16. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 如果椭圆 =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2019·武汉模拟) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．18. （10分） (2016高三上·朝阳期中) 已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{ }的前n项和为Tn ，求证：Tn＜1．19. （10分）(2018·吉林模拟) 在中，角所对边分别是，满足（1）求角；（2）若，求面积的最大值.20. （5分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：函数是R上的减函数，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．21. （10分）(2017·息县模拟) 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（2，1）在直线l的上方，若∠APB=90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．22. （10分）(2020·定远模拟) 设函数 .（1）若为偶函数，求的值；（2）当时，若函数的图象有且仅有两条平行于轴的切线，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省佛山市第一高级中学高二数学理上学期期末试题含解析
广东省佛山市第一高级中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把5名师范大学生安排到一、二、三3个不同的班级实习，要求每班至少有一名且甲必须安排在一班，则所有不同的安排种数有A.24B.36C.48D.50参考答案：D2. 已知命题,命题,则下列判断正确的是( )A. p是假命题B. q是真命题C.是真命题D.是真命题参考答案：C3. 一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1、、3，且四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略4. 如图，F1F2为椭圆C：=1的左、右焦点，点P为椭圆C上一点，延长PF1、，PF2分别交椭圆C于A，B．若=2， =，则λ=（）A．1 B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出椭圆两个焦点的坐标，设出PA所在直线方程，和椭圆方程联立，求出P的坐标，再由=，把B的坐标用含有λ的代数式表示，代入椭圆方程求得λ的值．【解答】解：由=1，得a2=4，b2=3，∴c2=1．则F1（﹣1，0），F2（1，0），设PA所在直线方程为x=ty﹣1，联立，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0．解得：，由题意知：y P=﹣2y A，即，解得：t=．不妨取t=，则y P=，则．∴p（，），由=，得，∴B（，），代入，得，解得：．故选：C．5. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则点的坐标是（）A． B． C． D．参考答案：C6. 若不等式解集为R，则实数m的取值范围为( )．A. B. C. D.或参考答案：B7. 椭圆的一个焦点为(0,1),则m的值为( )A.1B.C.-2或1D.以上均不对参考答案：C10、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3D．6∶5∶4参考答案：D 9. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A．B．8C．10 D．12参考答案：C10. 下列四个命题：①使用抽签法，每个个体被抽中的机会相等；②将十进制数化为二进制数为；③利用秦九韶算法求多项式在的值时；④已知一个线性回归方程是，则变量之间具有正相关关系．其中真命题的个数是（）A．1 B.2 C．3D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________（填“正”或“负”）线性相关关系．参考答案：13正12. 已知均为实数，设数集，且A、B都是集合的子集.如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是▲.参考答案：略13. 已知直线的倾斜角为300，直线，则直线的斜率是_____。
广东省佛山一中高二上学期期中考试数学文试卷
2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若直线x=1的倾斜角为α，则α=（）A．不存在B．90°C．45°D．0°2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β4．某路公共汽车每5分钟发一次车，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车事件不超过3分钟的概率是（）A．B．C．D．5．若直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直，则a值为（）A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．5或﹣16．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G的距离为（）A．B．C．4 D．27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°8．某产品在某零售摊位的零售价y（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示，x 16 17 18 19y 50 34 41 31由表可得回归方程=﹣4x，据次模型预测零售价为20元时，每天销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个9．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．14πC．16πD．18π10．如图，边长为2的正方形ABCD的四边中点E、F、G、H分别与D、A、B、C四点相连，其交点分别为O、P、Q、R，那么四边形OPQR的面积为（）A．B．C．D．11．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．212．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．36πcm2B．25πcm2C．16πcm2D．9πcm2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分13．甲、乙、丙、丁四名选手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是．甲乙丙丁7 8 8 6s2 6.3 6.3 7 8.714．母线长为6在圆锥侧面展开的圆心角为120°，那么圆锥体积为．15．已知P（x，y）为直线y=x上的动点，，则m的最小值为．16．一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（Ⅰ）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．（Ⅱ）关于x，y表示的直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，求坐标原点O到直线l的最大距离．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）直线B1C1到平面A1BC的距离．19．（12分）某中学有高二年级学生，分成水平相当的A、B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用从高二年级学生中抽取部分学生进行测试，其中抽取A类学生40人，B类学生60人，经过测试，得到75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（图一）（茎叶分别是十位和个位的数字），以及学生成绩频率分布表（表一）和直方图（图二）表一：100名测试学生成绩频率分布表；图二：100名测试学生成绩频率分布直方图组号分组频数频率1 hslx3y3h55，60） 5 0.052 hslx3y3h60，65）20 0.293 hslx3y3h65，70）4 hslx3y3h70，75）35 0.355 hslx3y3h75，80）6 hslx3y3h80，85）合计100 1.00（Ⅰ）在答题卡上先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；（Ⅱ）该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市交流活动，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．21．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．22．（12分）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；（Ⅱ）设正方形中心G（x0，y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2016秋•禅城区校级期中）若直线x=1的倾斜角为α，则α=（）A．不存在B．90°C．45°D．0°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】直接写出直线的倾斜角即可．【解答】解：直线x=1的倾斜角为为α，则α=90°，故选：B．【点评】本题考查直线的表示形式，倾斜角的求法，是基础题．2．（2015•张掖一模）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．3．（2014•石家庄一模）设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线面垂直与线线垂直的几何特征，可判断A；根据面面垂直及面面平行的几何特征，可判断B；根据线面平行的几何特征，及面面位置关系的定义，可判断C；根据面面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；故选：D【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．4．（2016秋•禅城区校级期中）某路公共汽车每5分钟发一次车，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车事件不超过3分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据题意确定出基本事件对应的“几何度量”N（A）为3，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N为5，求出所求概率即可【解答】解：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后两分钟内到达候车时间会超过3分钟∴乘客候车时间不超过3分钟的概率为P=．故选B．【点评】此题考查了几何概型，解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N （A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．5．（2016秋•禅城区校级期中）若直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直，则a值为（）A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．5或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】分类讨论；方程思想；直线与圆．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：a=﹣5时，两条直线的方程分别化为：﹣9x﹣6=0，﹣9y+1=0，此时两条直线相互垂直，∴a=﹣5满足条件．a=4时，两条直线的方程分别化为：9x+9y﹣6=0，9x+1=0，此时两条直线不垂直，舍去．a≠﹣5，4时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得a=1．综上可得：直线（2a+1）x+（a+5）y﹣6=0与直线（a+5）x+（a﹣4）y+1=0互相垂直时，a=﹣5或1．故选：C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2016秋•禅城区校级期中）已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G的距离为（）A．B．C．4 D．2【考点】三角形五心．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】△ABC三边的长分别为5、12、13，△ABC是直角三角形，外心O斜边的中点，斜边上的中线长为，即可得出△ABC的外心O到重心G的距离．【解答】解：△ABC三边的长分别为5、12、13，∴△ABC是直角三角形，外心O斜边的中点，斜边上的中线长为∴△ABC的外心O到重心G的距离为=，故选B．【点评】本题考查三角形的外心、重心，考查学生的计算能力，比较基础．7．（2013•潼南县校级模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．8．（2016秋•禅城区校级期中）某产品在某零售摊位的零售价y（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示，x 16 17 18 19y 50 34 41 31由表可得回归方程=﹣4x，据次模型预测零售价为20元时，每天销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；待定系数法；概率与统计．【分析】计算样本中心点（，），代入回归方程求出的值，再计算x=20时的值．【解答】解：由表可得=×（16+17+18+19）=17.5，=×（50+34+41+31）=39．将（，）代入回归方程=﹣4x，得39=﹣4×17.5，解得=109；∴回归方程为=﹣4x+109，当x=20时，=﹣4×20+109=29．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．9．（2015秋•韶关期末）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．14πC．16πD．18π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】设圆柱的底面半径为R，求出三棱柱的底面边长为，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求解侧面积．【解答】解：设圆柱的底面半径为R，底面是正三角形．边长为a，，三棱柱的底面边长为，三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，可得得R=2，S圆柱侧=2πR•2R=16π．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．10．（2016秋•禅城区校级期中）如图，边长为2的正方形ABCD的四边中点E、F、G、H分别与D、A、B、C四点相连，其交点分别为O、P、Q、R，那么四边形OPQR的面积为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【专题】综合题；转化思想；转化法．【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得阴影部分的边长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：正方形的边长为2，则CD=2，DH=1，由勾股定理得，CH=，由题意得△CQG∽△CDH，∴CQ：QG=CD：DH=2：1，得CQ=2QG=∴RQ=∴阴影部分小正方形的面积（）2=．故选：D．【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．11．（2009•东莞市二模）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．12．（2016秋•禅城区校级期中）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．36πcm2B．25πcm2C．16πcm2D．9πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】首先由三视图还原几何体，得到其外接球半径，根据求的表面积公式求值．【解答】解：三视图表示的几何体为三棱锥D﹣ABC，且四个面为直角三角形；其中AD⊥平面ABC，底面ABC为等腰直角三角形，其斜边长为4，BC⊥平面ABD，取CD中点O，因为△ACD和△BCD为公用斜边CD的直角三角形，那么OA=CD=OC=OD=OB，故三棱锥D﹣ABC的外接球心为O 在Rt△DAC中，CD==5，R2=（）2=则三棱锥外接球的表面积为4πR2=25πcm2；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体外接球表面积；关键是正确还原几何体，求出外接球的半径．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分13．（2016秋•禅城区校级期中）甲、乙、丙、丁四名选手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是乙．甲乙丙丁7 8 8 6s2 6.3 6.3 7 8.7【考点】极差、方差与标准差．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据平均数与方差的统计意义，即可得出乙是最佳人选．【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中乙的方差最小，说明乙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明乙成绩即高又稳定，∴乙是最佳人选．故答案为：乙．【点评】本题考查了平均数和方差的实际应用问题，是基础题目．14．（2016秋•禅城区校级期中）母线长为6在圆锥侧面展开的圆心角为120°，那么圆锥体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】综合题；方程思想；演绎法；立体几何．【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解r，得出h，即可求出圆锥体积．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=6×，∴r=2，∴h==4，∴圆锥体积为=．故答案为：．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（2013秋•镜湖区校级期末）已知P（x，y）为直线y=x上的动点，，则m的最小值为4．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据题意，m的最小值即为直线y=x上一点到两点距离之和的最小值．首先根据点关于直线对称的性质求出点（1，2）关于直线y=x的对称点，利用两点的距离公式即可求出m的最小值．【解答】解：表示点到点（1，2）和点（﹣2，1）的距离之和点（1，2）关于直线y=x的对称点为（2，1）．∴点（2，1）与点（﹣2，1）之间的距离即为m的最小值∴故m的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查点关于直线对称的性质以及两点间的距离公式．16．（2010秋•金台区期末）一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为2cm．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先表示出方盒的容积，再用基本不等式求最值．【解答】解：由题意，方盒的高xcm，长、宽都是（12﹣2x）cm∴V=（12﹣2x）2×x=4（6﹣x）2×x∵2x+（6﹣x）+（6﹣x）≥∴（6﹣x）2×x≤32（当且仅当6﹣x=2x，即x=2时取等号）∴x=2cm时，方盒的容积最大故答案为：2cm【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•禅城区校级期中）（Ⅰ）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．（Ⅱ）关于x，y表示的直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，求坐标原点O到直线l的最大距离．【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】（I）设要求的直线方程为x﹣3y+m=0，联立，可得交点P，把交点P的坐标代入方程x﹣3y+m=0，解得m，进而得出．（II）直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，化为：m（x﹣2）+（y﹣2）=0，令，可得直线恒过定点A（2，2），因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|．【解答】解：（I）设要求的直线方程为x﹣3y+m=0，联立，解得，可得交点，把交点代入方程x﹣3y+m=0，可得+m=0，解得m=﹣．所求直线的方程为：x﹣3y﹣=0，化简得5x﹣15y﹣18=0．（II）直线l的方程为mx+y﹣2（m+1）=0，化为：m（x﹣2）+（y﹣2）=0，令，解得x=y=2，∴直线恒过定点A（2，2），因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|==2．【点评】本题考查了两条相互垂直的直线斜率之间的关系、直线经过定点问题、点到直线的距离公式、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•上海模拟）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）直线B1C1到平面A1BC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；（2）可证B1C1∥平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得．【解答】解：（1）由题意可得BC∥B1C1，∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴△A1BC为直角三角形，∴tan∠A1CB===，∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan；（2）∵BC∥B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h，由等体积法可得=，即×h=×BC代入数据可得××1××h=××2×1×1，解得h=∴直线B1C1到平面A1BC的距离为【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）某中学有高二年级学生，分成水平相当的A、B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用从高二年级学生中抽取部分学生进行测试，其中抽取A类学生40人，B类学生60人，经过测试，得到75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图（图一）（茎叶分别是十位和个位的数字），以及学生成绩频率分布表（表一）和直方图（图二）表一：100名测试学生成绩频率分布表；图二：100名测试学生成绩频率分布直方图组号分组频数频率1 hslx3y3h55，60） 5 0.052 hslx3y3h60，65）20 0.293 hslx3y3h65，70）4 hslx3y3h70，75）35 0.355 hslx3y3h75，80）6 hslx3y3h80，85）合计100 1.00（Ⅰ）在答题卡上先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；（Ⅱ）该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市交流活动，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）结合茎叶图以及直方图补充即可；（Ⅱ）通过读频率分布直方图可轻易获取所要解答．【解答】解：（Ⅰ）表一：组分组频数频率号3 hslx3y3h65，70）25 0.255 hslx3y3h75，80）10 0.106 5 0.05合计100 1.00图二：（Ⅱ）记79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是{1，2，3}，79分的学生为{a}．从中抽取2人，有：12，13，1a，23，2a，3a共6种抽法；抽出的2人均在8（0分）以上有：12，13，23共3种抽法；则抽到2人均在8（0分）以上的概率为=．【点评】本题主要考查频率分布直方图问题，考查概率问题，属简单题目．20．（12分）（2016•海淀区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．（1分）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．（2分）又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．（3分）所以BC⊥平面PAB．…．（4分）因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．（6分）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．（7分）又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．（9分）所以MN∥平面ABCD．…．（10分）解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．（11分）而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．（12分）所以AM的长就是点A到MN的距离，…．（13分）而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．（14分）【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2016•安徽一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I ）由正方形的性质得AC ⊥BD ，由面面垂直的性质即可得到AC ⊥平面EFBD ；（II ）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A ﹣BDEF 和四棱锥C ﹣BDEF 计算体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ．又平面EFBD ⊥平面ABCD ，平面EFBD ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面EFBD ．（Ⅱ）∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F 作FM ⊥BD 于M ，∵四边形EFBD 为等腰梯形，∴MB=（BD ﹣EF ）=． ∴FM==．设AC ∩BD=O ，则AO=．∴V C ﹣BDEF =V A ﹣BDEF =S 梯形BDEF •AO==． ∴多面体ABCDEF 的体积V=2V A ﹣BDEF =2．【点评】本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．22．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；（Ⅱ）设正方形中心G（x0，y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设中心所在直线为x+3y+c=0，结合正方形的性质和平行线间的距离公式求得c的值；（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长．设正方形BC，AD所方程为3x﹣y+m=0，联立点G所在直线x0+3y0+1=0，得到．结合限制性条件正方形仅有两个顶点在第一象限，得到﹣15＜m＜，易求x0的取值范围为．【解答】解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y﹣5=0，设中心所在直线为x+3y+c=0，由平行线间的距离公式得=．解得c=1．则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长为d==．设正方形BC，AD所在直线方程为3x﹣y+m=0，由于中心G（x0，y0）到BC的距离等于=，那么=，解得m=±6﹣3x0+y0①，又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=﹣②，把②代入①得m=±6﹣③，联立方程，解得．由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得﹣15＜m＜⑤，把③代入⑤得到﹣15＜±6﹣＜，解得＜x0＜．故x0的取值范围为．【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，待定系数法求直线方程以及正方形的性质，考查运算能力，属于中档题．。
广东省佛山一中高二数学上学期期中试题 理(含解析)
2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A．B．C．D．2．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=03．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )A．B．125C．50π D．125π5．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A．75° B．60° C．45° D．30°7．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )A．a2B．a2C．2a2D．2a28．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等10．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( )A．1 B．C．2 D．211．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．412．设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为( ) A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=__________．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=__________．14．已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：15．如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=__________．16．已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为__________．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．21．如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC 折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．22．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥B C交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选 D．【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．3．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．4．长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )A．B．125C．50π D．125π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴V球=π×R3=．故选A．【点评】本题考查球的体积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．5．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选C．【点评】本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题．其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】棱锥的结构特征；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】数形结合．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选 C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．7．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )A．a2B．a2C．2a2D．2a2【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y 轴上，由此可以求得原平面图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．8．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】通过举反例推断A、C、D是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B 错误．故选B．【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．10．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( )A．1 B．C．2 D．2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由BD⊥平面ACC1，知BD⊥CE；由点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，知三棱锥B﹣CEF的体积为定值；线段EF在底面上的正投影是线段GH，故△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，由此能导出△BGH 的面积是定值；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条．【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，∴BD⊥CE，故①正确；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，∵线段EF的长是定值，∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征．12．设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为( ) A．B．C．D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先由条件求得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d的值，则d减去半径，即为所求．【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d==3，圆的半径r=，故|PQ|的最小值为d﹣r=2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d，即可得出弦长|AB|．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=．故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，属于基础题．15．如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】先判断△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，可得AD=2AE，在直角△ADC 中，∠A=60°，可得AC=2AD，从而AC=4AE，故可得结论．【解答】解：连接OD，CD∵DE是圆的切线，∴OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵AB=AC，∴BD=OD；又∵OD=OB，∴OB=OD=BD，∴△BDO是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE，在直角△ADC中，∠A=60°，∴AC=2AD，∴AC=4AE∴=故答案为：【点评】本题考查圆的切线，考查比例线段，属于基础题．16．已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为5x+y﹣9=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点的坐标，代入直线方程即可．【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，∴反射光线的斜率为：k==﹣5，∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案为：5x+y﹣9=0．【点评】本题考查了求直线的方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥CD；（2）若PC=2AC，证明△PAC∽△CBA，即可求．【解答】（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，∴∠PAC=∠ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∠PAC=∠BCD∴∠ABC=∠BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC∴∠BAC=∠ACP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△PAC∽△CBA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可写出圆C的标准方程；（Ⅱ）利用点斜式设出过点P（2，﹣1）作圆C的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与P点的距离满足勾股定理，求出切线长．【解答】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）圆C的半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圆的性质可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的应用，勾股定理是求解切线长的有效方法，也可以求出一个切点坐标利用两点间距离公式求解，考查计算能力．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DC1⊂面B1BCC1，∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：∵O是正方形ACC1A1对角线的交点∴O为A1C中点∵D是BC的中点∴OD∥A1B，且OD⊂平面ADC1，A1B⊊平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，∴四边形AA1D1D是平行四边形∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1⊄平面ADB1，AD⊂平面ADB1，∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1∩A1B=A1，∴平面ADC1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PA D⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC；（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊂侧面PAD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．∵BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．21．如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC 折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，证明∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，即可求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，即可求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD，∵S△ACD=×2×2=2，∴三棱锥B﹣ACD的体积为：=，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：；（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，∵AD=DC，E为AC中点，∴DE⊥AC，∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DE⊥平面ACB，∴DE⊥AB，又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，∴AB⊥平面DHE，∴DH⊥AB，∴∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角．∵DE=，HE=1，∴tan∠DHE=；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，∵DE⊥平面ACB，DE=OE=，∴DE⊥OE，DO=2．又∵AO=BO=CO=2，∴D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，∴D﹣ABC的外接球的表面积为16π．【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．22．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据折叠前后的边角关系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE为正方形，从而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根据线面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根据面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）根据已知条件知道三直线EA，EC，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，设EH=x，从而表示出HG=2﹣x，三棱锥B﹣GHE的高为AB=2，从而可表示出三棱锥B﹣GHE的体积V=，从而看出x=1时V最大，这时G为AD中点．从而可求G点坐标，求出向量坐标，可设平面BCD的法向量为={x，y，z}，根据即可求出，设直线BG与平面BCD所成角为θ，而根据sinθ=求出sinθ．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于点E；∴四边形ABCE是边长为2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC⊂平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC⊂平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；设是面BCD的法向量；则令y=1，得；设BG与面BCD所成角为θ；则=；∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】考查对折叠前后图形的观察能力，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，棱锥的体积公式，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角的概念，直线和平面所成角与直线和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．。
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天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 222y223x
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2008学年度上学期期末考试高二数学(文)试题 一、选择题(每小题5分，共50分，把每小题的答案对应选项填涂在答题卡上) 1．已知数列{an}是等比数列，若a1·a5 = 9，则a3= ( ) A．±3 B．-3 C．3 D．3 2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验。I．随机抽样法；II．分层抽样法． 上述两问题和两方法配对正确的是 A．①配I，②配II B．①配II，②配I C．①配Ⅰ，②配1 D．①配11，②配II 3．己知 - = l的渐近线方程是 ( )
A．y = ± x B．y = ± x C．y=± x D．y =± x 4．下列有关命题的说法错误的是 ( ) A．命题：若x2-3x+2=0则x =1的逆否命题为：若x ≠ l，则x2-3x+2≠0 B．x = 1是x2-3x+2=0的充分不必要条件 C．若P∧g为假命题，则p,q均为假命题 D．对于命题p：要x∈R，使得x2+ x +1< 0，则-P：x∈R，均有x2+x+l≥0 5．已知圆x2+y2 =1 则y-x的最大值 ( ) A．1 B．2 C．2 D．3 6．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委 为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一 个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4 7．F1，F2是椭圆 + =1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2= 90°，则⊿AF1F2的面积为 ( ) A．7 B． C． D． 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 21
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2,12,2
8．“m = ”是“直线(m+2)x+3my+1= 0与直线(m-2)x+ (m+2)y-3= 0相互垂直”的 ( )。 A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 ( )
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 10．若点A的坐标为(3，2)，F是抛物线y2=2x的焦点．点M在抛物线上移动时，使 ∣MF∣+∣MA∣取得最小值的M的坐标为 ( ) A．(0,0) B． C． D． 二、填空题 (每小题5分，共20分。把每小题的答案写在答卷相应的位置上) 11．向右图所示正方形内随机地投掷飞镖， 求飞镖落在阴影部分的概率
12．已知椭圆C的焦点与双曲线x2- =1的焦点相同， 且离心率为 ，则椭圆C的标准方程为： 。 13．如图所示，这是计算 + + +K+ 的值的一 个程序框图，其中判断框内可填入的条件是： 。 14．函数f(x) = lg (x2-2ax+l+a)在区间(-∞，1]上单调递 减，则实数a的取值范围是 。 三．解答题 (共80分，写出详细的解答过程) 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 15．(本小题满分12分)已知集合A=5,3,1,0,2,4，在 平面直角坐标系中，点M(x，y)的坐标x∈A，y∈A，求： (1) 点M正好在第二象限的概率 x+y-8＜0 (2) 点M(x，y)正好落在区域 x＞0 上的概率 y＞0 16．(本小题满分12分)已知a>O旦a≠1，命题P：函数y=loga（x+1)在(0，+∞)内单调递减： 命题Q：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x正半轴交于不同的两点如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假， 求a的取值范围。 17．(本小题满分14分) 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E1 F分别为DD1DB中点， (1) 求证：EF∥平面ABC1D1
(2) 求证EF⊥B1C (3) 求三棱锥的体积VB1-EFC
18．(本小题满分14分) 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0), AB边所在直线的方程为x-3y-6 = 0，点T(-1，1)在 AD边所在直线上。 (Ⅰ) 求AD边所在直线的方程； (Ⅱ) 求矩形ABCD外接圆的方程； (Ⅲ) 若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的方程 19．(本小题满分14分)已知{an}是等差数列，前n项和是Sn，且a2+ a7=9 S6=7a3 (1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 令bn = an·2an，求数列{bn}的前n项和Tn 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 nC1
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(3) 令Cn = an·an+2，求数列 的前n项和Gn
20．(本小题满分14分)
已知倾斜角为45°的直线l过点A(1，-2)和点B，点B在第一象限，且∣AB∣=23 (1) 求点B的坐标；
(2) 是否存在实数a 使椭圆 +y2 = 1(a＞0)与直线l相交于E，F两点，且线段EF的中点 坐标为(1,1)，若存在求出a值，若不存在，说明理由；
（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称︱PQ︱的最小值为P与线段 AB的距离，已知P在x轴上运动，写出点P（t,o）到线段AB的距离h关于t的函数关系 式。 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 36661
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0＜a＜21 ……………………………………………6分 a＜1 0＜a＜21
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2008学年度第一学期期终考试高二级数学科(文)答卷 一、ABBCBABDD 二、填空题 (本题其4个小题，每题5分，共20分 11． 12． =1 13．n20 14．[1，2)
三、解答题 (共80分，写出详细的解答过程，做在相应题号上，否则不给分) 15．(本小题满分12分) 解：P真：函数y = loga（x+1) 在 (0，+∞)单调递减，即0＜a＜1…………………3分 Q真： (2a-3)2-4＞0 2a-3<0
P真Q假： Q真P假
16．(本小题满分12分) 解：xA，yA即等同有放回地在A中取2个数，所有事件数为36，等可能出现，是古 典模型 1．A表示“点M正好在第二象限”，有6种情况∴P（A）= = ……………………6分
2．B表示“点M正好在区域”，有6种情况∴9分P（B）= = ……………………9分 ∴P（A）= = P（B）= = ………………………………………………12分 17．(本小题满分14分)
0＜a＜1 a＜21 21＜a＜1……………………………………………8分
a︱21≤a＜1 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
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E为DD1的中点 F为DB的中点 (1) EF面ABClB1 EF∥ABC1Dl ………………………………………………4分
BD面ABClB1
（2)在正方体中，F为BD的中点∴CF⊥面DBBlDl ∵EF面DBBlDl
EF⊥CF ………………………………………………………………………………………6
分
在Rt△BlBF中，FB1=6，Rt△EDF中，FE=3 Rt△BlBF，EBl=3
∵EF2+FB12 = 9 = EB12 ∴EF⊥FB1…………………………………………………………8分
∴EF⊥平面CFBl ∴EF⊥B1C……………………………………………………………………………………9分 (3)VB1-EFC=VE-BlFC= S△B1FC·h………………………………………………………………10分 ∵EF⊥平面CFBl ∴h=EF=3………………………………………………………11分 S△B1FC= FC·FB1= 26=3………………………………………………………13分 ∴-VB1-EFC=…3·3=1……………………………………………………………………14分 18．(本小题满分14分)
解：(1)KAD =－ABK1=-3 T(-1,l)∈lAD ∴lAD 3x+y+2=0……………………………………………4分 (2)
F为DB的中点 3x+y+2=0 x-3y-6=0 x=0
y=-2