第二课：数列的求和(2)
数列的求和 复习2
5．并项求和（会用到奇偶讨论）：
例5．(1) 1 3 5 7 (1) n (2n 1)
(2)已知数列an ,
an 2[n (1) ], 求S n
n
例6、某教师购买安居工程集资房72m2，单价为 1000 元 / m2，1 次性国家财政补贴 28800 元，学 校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发 公司对教师实行分期付款，每期1年，等额付款， 签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款 1次等等，共付10次，10年后还清，如果按年利 率 7.5% ，每年复利 1 次计算，那么每年应付多 少元？ （计算结果精确到百元，下列数据供参考：）
四、作业
1 1 1 1 1. 求前n项的和:⑴1 ,3 ,5 ,... (2n 1) n 2 4 8 2 ⑵ 1 1 3 1 5 1 (2n 1) 1 2 4 8 2n
(3)
1 1 1 1 ⑷ , , ,... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... n
n个
(4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1) 抓住通项，具体化Sn
对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2．错位相减法求和 例2．已知数列
1,3a,5a ,, (2n 1)a
2n1ຫໍສະໝຸດ (a 0)求前n项和。
1 2 3 n 练习:求 S n 2 3 n ( a 0) a a a a
1.075 1.921 ,1.075 2.065 ,1.075 2.221
2 10 11
三、小结 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）公比含字母时一定要讨论 q 1或q 1 （2）利用公式求和： 2．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转 化为等差或等比数列，再求和。 3．错位相减法求和： 4．裂项法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负 相消剩下首尾若干项。 5．倒序相加法求和 6．并项求和（会用到奇偶讨论）：
等差数列求和 2
巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
例1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？例2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？例3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
例4、求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
.例5、计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？4、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？5、求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
6、求等差数列2.6，10，14……的第100项。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60 （4）2+6+10+14+18+22（5）5+10+15+20+…+195+200 （6）9+18+27+36+…+261+270 （7）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（8）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)。
等比数列求和(2)
A.-2008 C.2009
B.-2009 D.2010
“并项法” 针对一些特殊的数列，将某 些项合并在一起就具有某种特殊的性质， 因此，在求数列的和时，可将这些项放 在一起先求和，然后再求Sn.
CLZX
三、裂项相消法求和
1;0,且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列. (1)求数列{an}的通项；
1 ( n N * ) ，求数列 bn 的前n项和 (2)令bn 2 a n 1
CLZX
1 “裂项相消法”,此法常用于形如 f (n) g(n)
的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N）
的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项 或几项的差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
CLZX
常见的裂项公式
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) n( n k ) k n n k
1 n 1 n n 1 n
CLZX
四、错位相减法求和
[例 ]
CLZX
1 2 3 n 练 习: 求 和S n n . 2 4 8 2
裂项相消
分组求和
(31 1) (32 2) (33 3) … (3n n)
“分组求和法” 通过把数列的通项分解成 几项，从而出现几个等差数列或等比数列， 再根据公式分别进行求和。
CLZX
[例]已知数列{an}的前n项和Sn=1-3+5-7+…+
(-1)n-1(2n-1)(n∈N*)，则S2008+S2009+S2010=
2、等比数列求和公式：
(q 1) na1 S n a1 (1 q n ) a1 a n q (q 1) 1 q 1 q
数列求和1-2-3【精选】
数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。
高三数学数列求和2 优质课件
∵ n≥2,n 1≥1)
作业: 《全案》
速度训练:
P77
训练
5
1. 设 Sn 1234 (1)n1n ， 则
S4m S2m1 S2m3（ m N* ）的值为（B）
(A)0 (B)3 (C)4 （D）随 m 的变化而变化
2.已知
S
1
1 22
1 32
…+
1 n2
系数是 Cn21 =
n(n 1) 2
.
∴
1
an
2
n(n 1)
=
2 n
2 n 1
∴
lim(
n
1
a1
1
a2
=2
1 ) lim(2 2 )
an
n
n 1
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例 3 分析: 第⑴小问直接翻译即可. 第⑵小问弄清 f (n) 的意义,然后检验 即可. 第⑶小问关键是求出 P1Pn 2 ? , 然后分析和的结果
xn
nxn nxn1 1 x
1
1 n xn nxn1 1 x
1 1 n xn nxn1
∴当 x 1时, Sn
1 x2
当 x 1时， Sn 1 2 3 4
;
n n1 n
2
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例 1.求和:
⑵113
1 35
…+
(2n
常需要求数列的和,而这些求和往往采 用特殊方法.
例 1 求和:
⑴1 2x 3x2 4x3 nxn1.
⑵
1 1 3
1 35
…+
(2n
专题一 数列求和(2)裂项相消法+错位相减法
专题一（2）裂项相消法求数列前n 项和学习目标 1裂项相消法求和的步骤和注意事项 2使学生能用裂项相消法来解决分式数列的求和探究（一）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．例1、说明：（1）裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和． 适合于分式型数列的求和。
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．（3）一般地若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，1a n ·a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2)．（4）此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．变式练习:项和的前)2(1，，531，421，311求数列n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯.变式与拓展：1、项和的前)13)(23(1，，,741，411求数列n n n +-⋅⋅⋅⨯⨯例2、设{a n }是等差数列，且a n ≠0.求证1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：设{a n }的公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2·1a 2－a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3·1a 3－a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1·1a n ＋1－a n＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ·a 1＋nd －a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.常见的拆项公式有：例3、已知数列｛a n ｝：11，211+，3211++，…1123n+++，…，求它的前n 项和。
数列的求和(第2课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
(2)若 = − 3 ，求数列{
解(2)：∵设 =
∴
1
+1
1
4
=
1
，∴
3
1
2×2(+1)
1
2
=
1
2
= − 3 = −
1
4(+1)
1
3
1 1
4
= ( −
1
∴ = [(1 − ) + ( − ) + ⋯ + ( −
1
3 3
(20 × 1.05) × (1 − 1.05 )
3 2 27
=
− (7.5 + 6 + 1.5) = 420 × 1.05 − − − 420.
1 − 1.05
2
4
4
当 = 5时，5 ≈ 63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例析
例12.某牧场今年初生的存栏数为1200，预计以后每年存栏数
的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每
年年初的计划存栏数依次为，1 ，2 ，3 ， ⋯.
(3)求10 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 的值(精确到1).
(3)由(2)可知，数列{ − 1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，
则：(1 − 1250) + (2 − 1250) + (3 − 1250) + ⋯ + (10 − 1250)
(2)：将+1 − = ( − )化成+1 = − + .
第一部分 第二章 2.5 第二课时 数列求和
(4 分) (6 分)
(8 分) (9 分)
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1 1 1 1 1 1 ∴Tn＝S ＋S ＋…＋S ＝2[(1－2)＋(2－3)＋… 1 2 n 1 1 ＋(n－ )] n＋1 1 2n ＝2(1－ )＝ . n＋1 n＋1 (10分)
(12分)
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[一点通]
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分
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两式相减，得 1 2n＋1 1 3 1 1 ＋ ＋…＋ n－ n＋1 ， 2 2 2Sn＝2＋222 23 2n＋5 所以 Sn＝5－ 2n .
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[例3]
(12分)(2012· 贺兰模拟)在等比数列{an}中，
an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， 又a3与a5的等比中项为2，
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3．错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由
这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求
该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公
比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转
化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错
位相减法．
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解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的
目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否
能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)
的两项，即这两项的结论应一致．
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1 1 1 1 5．数列 2 ， ， ， …的前n项和等 1 ＋2 22＋4 32＋6 42＋8 于________．
2.5 第 二 章 数 列 等 比 数 列 的 前 第二 课时 把握热点考向