数学建模实验指导书

《数学建模》实验指导书实验一：matlab 编程基础学时：2学时实验目的：熟悉matlab 编程 实验内容：1. f(x)的定义如下：2226,04()56,010,231,x x x x f x x x x x x x x ⎧+-<≠-⎪=-+≤<≠≠⎨⎪--⎩且且其它写一个函数文件f(x)实现该函数，要求参数x 可以是向量。

2. 有一个45⨯矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置.3. 编程求201!n n =∑4. 有一函数 ,写一程序,输入自变量的值,输出函数值.5. 写一个函数rs=f(s)，对传进去的字符串变量s ，删除其中的小写字母，然后将原来的大写字母变为小写字母，得到rs 返回。

例如s=”aBcdE,Fg?”，则rs=”be,f?”。

提示：可利用find 函数和空矩阵。

2(,)sin2f x y x xy y =++实验二：用Lingo求解线性规划问题学时：2学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法。

实验内容：1. 钢管下料问题问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求的长度进行切割，称为下料。

假定进货时得到的原料钢管长度都是19m。

1）现有一客户需要50根长4m、20根长6m和15根长8m的钢管。

应如何下料最节省？2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本。

所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。

此外。

该客户除需要1）中的3种钢管外，还要10根长5m的钢管。

应如何下料最节省？问题分析对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。

所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。

例如，我们可以将19m的钢管切割成3根长4m的钢管，余料为7m；或者将长19m的钢管切割成长4m、6m和8m的钢管各1根，余料为1m。

显然，可行的切割模式是很多的。

其次，应当明确哪些切割模式是合理的。

合理的切割模式通常还假设余料不应大于或等于客户需要钢管的最小尺寸。

例如，将长19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的，但余料为7m，可进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为3m），或者将7m的余料切割成6m钢管（余料为1m）。

经过简单的计算可知，问题1）的合理切割模式一共有7种，如表1所示：表3 钢管下料问题1）的合理切割模式根原料钢管最为节省。

而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。

请对这两个目标分别讨论实现。

2. 职员时序安排模型一项工作一周7天都需要有人（比如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要求每个职员一周连续工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。

实验三：用Lingo 求解大规模线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lingo 求解大规模线性规划问题的方法。

实验内容：求解全国大学生数学建模竞赛05年B 题问题2：DVD 的分配。

会员每次租赁3张DVD ，现在给出网站手上的100种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？现有DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。

所有数据将可从/mcm05/problems2005c.asp 下载。

提示：可建立如下0-1规划模型：1000100,,111000,1100,1,max *,1,2,,100:3,1,2,,100001,,1,2,,i j i ji j i j j i i j j i j z c x x N j st x j x i j n =====⎧<==⎪⎪⎪<==⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 或 其中cij 是偏爱指数，其中0改成-1，其他数字如果是c ，则用11-c 代替。

可参考如下运输问题代码：model :!6发点8收点运输问题; sets :warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数;min =@sum (links: cost*volume); !需求约束;@for (vendors(J):@sum (warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束;@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=60 55 51 43 41 52;demand=35 37 22 32 41 32 43 38;cost=6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddataend实验四：matlab 函数拟合学时：2学时实验目的：掌握用matlab 进行函数拟合的方法。

实验内容：根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic 模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

表1 美国人口统计数据提示：指数增长模型：rte x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭可参考拟合函数：a=lsqcurvefit('example_curvefit_fun',a0,x,y);实验五：用matlab 求解微分方程（组）学时：2学时实验目的：掌握用matlab 求微分方程和微分方程组的数值解的方法。

实验内容：求解书上P138，P139页的微分方程和微分方程组，画出书中图3、4、5、6、7、8。

提示：要求解微分方程（组）dy/dt=f(t,y)，可如下调用：[T,Y]=ode45(f,[t0,tn],y0)1. 函数在求解区间[t0,tn]内，自动设立采样点向量T ，并求出解函数y 在采样点T 处的样本值Y 。

2. f 是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量t ，第二个参数是因变量y 。

3. y0=y(t0)给定方程的初值。

例：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x ，y(1)=2在[1，3]区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。

先建立一个该函数的m 文件fxy1.m ： function f=f(x,y)f=-2.*y./x+4*x %注意使用点运算符 再输入命令：[X,Y]=ode45('fxy1',[1,3],2);X' %显示自变量的一组采样点Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 (X.^2+1./X.^2)' %显示求解函数与采样点对应的一组解析解例: 求解常微分方程组初值问题在区间[0,2]中的解。

21222(0)55(0)6dy y y dxdy xy x y dx⎧==⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩１２ ， ， 建立一个函数文件 fxy2.m ：function f=f(x,y) f(1)=y(2);f(2)=-x.*y(2)+x.^2-5; f=f';在MA TLAB 命令窗口，输入命令： [X,Y]=ode45('fxy2',[0,2],[5,6])实验六：matlab 数值计算学时：4学时实验目的：掌握用matlab 进行插值、拟合、方程求解等数值计算的方法。

实验内容：1. 某气象观测站测得某日6:00-18:00之间每隔2小时的温度如下：试用三次样条插值求出该日6:30,8:30,10:30,12:30,14:30,16:30的温度。

2. 已知lg(x)在[1，101]区间11个整数采样点x=1:10:101的函数值lg(x)，试求lg(x)的5次拟合多项式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在[1，101]区间的函数曲线。

3. 求以下非线性方程组的解：1212122x x x x e x x e --⎧-=⎨-+=⎩ 4. 求以下有约束最值：22min (,)120f x y x y x y x y =+⎧+≤⎨-≥⎩提示：● 一维插值：Y1=interp1(X,Y ,X1,'method')1. 函数根据X 、Y 的值，计算函数在X1处的值。

X 、Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。

method 是插值方法，允许的取值有'linear'(线性插值)、'nearest'(最近插值)、'spline'(三次样条插值)、'cubic'（三次多项式插值），缺省值是'linear'。

● 多项式拟合：[P,S]=polyfit(X,Y ,m)1. 函数根据采样点X 和采样点函数值Y ，产生一个m 次多项式P 及其在采样点的误差向量S 。

2. 其中X 、Y 是两个等长的向量，P 是一个长度为m+1的向量。

● 单变量非线性方程求解：[x,fval]=fzero(f,x0,tol) ● [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)1. fun 是一个函数文件function f = fun(x)。

x0是初始值。

2. A,Aeq 是一个矩阵；b,beq 是一个列向量。

Ax<=b 是不等式约束。

3. lb 和ub 是和x 一样大小的列向量，规定每个分量的上下界。

4. nonlcon 是函数文件，有特定格式function [c,ceq] = mycon(x)，描述非线性约束c(x)和ceq(x)。

5. 没有整数约束，0-1约束，敏感性分析。

实验七：求解图论问题学时：2学时实验目的：把最短路径、最大流、最小生成树、旅行商、关键路径等图论问题转化为数学规划模型，并用Lingo 进行求解。

实验内容：把以下图从v0到v6最短路径问题转化为数学规划模型，并用Lingo 进行求解。

提示：最短路径问题的数学规划模型为：1111min 1,1:1,0,1,01nnij iji j nnij ji j j ij z c x i st x x i n i nx ======⎧⎪-=-=⎨⎪≠⎩=∑∑∑∑ 或学时：2学时实验目的：用matlab计算基本统计量，常见概率分布的函数，参数估计，假设检验。