10 第5讲 分层演练直击高考
第八章第10讲分层演练直击高考
第八章
平面解析几何
1 － － 3k 4 所以 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， k ＋4 k ＋4 所以 p· q＝(2x1，y1)· (2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0， 1 2 3 k·（－ 3k） －1 －4k 2 3 所以 2 ＋ 2 ＋ ＋ ＝ 0， 4 k ＋4 k ＋4 k2＋4 即 k2－2＝0，k＝± 2.
2 12 （ k ＋1） 2 所以|MN|＝ 1＋k |x1－x2|＝ . 4k2＋3
1 过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y＝－k(x－1)，
第八章
平面解析几何
2 A 到 m 的距离为 2 ， k ＋1 所以|PQ|＝2
2 4 －
2 2 ＝4 2 k ＋1
4k2＋3 . 2 k ＋1 1 1＋ 2 . 4k ＋ 3
第八章
平面解析几何
2 4 － m 所以 k2＝ 2 . m －1
因为 k2－m2＋4>0，
2 2 4－ m 2 （ 4 － m ） m 所以 2 －m2＋4>0，即 >0. m －1 m2－ 1
所以 1<m2<4，解得－2<m<－1 或 1<m<2. 综上，当－2<m<－1 或 m＝0 或 1<m<2 时， → → → OA＋λOB＝4OP.
第八章
平面解析几何
[解 ]
c 1 1 (1)由题意可知 e＝ ＝ ， ×2ab＝2 3，a2＝b2＋c2，解 a 2 2
得 a＝2，b＝ 3， x2 y2 所以椭圆方程是 ＋ ＝1. 4 3 (2)由(1)知 B(2，0)，设线段 BD 的方程为 y＝k(x－2)，D(x1， x2 y2 y1)，把 y＝k(x－2)代入椭圆方程 ＋ ＝1，整理得 4 3 (3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
第七章第5讲分层演练直击高考
[解析] 作 CH⊥AB 于 H，连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC，所 以 PH⊥AB，PH 为 PM 的最小值，等于 2 7.
[答案] 2 7
第七章
立体几何
8.如图所示，在四面体 ABCD 中，AB，BC，CD 两 两垂直，且 BC＝CD＝1.直线 BD 与平面 ACD 所成 的角为 30°，则线段 AB 的长度为________．
第七章
立体几何
1．“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B
[解析] 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M
内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂 直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．
第七章
立体几何
6.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为 2， AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点， F 是 BB1 上的动点， AB1， DF 交于点 E， 要使 AB1 ⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为( 1 A． 2 3 C． 2 B．1 D．2 )
第七章
立体几何
又 SD⊥底面 ABCD，BC⊂底面 ABCD， 所以 SD⊥BC， 因为 SD∩DB＝D，所以 BC⊥平面 SDB， 因为 DE⊂平面 SDB，所以 BC⊥DE， 又 SB＝ SD2＋DB2＝ 4＋2＝ 6， 6 当 SE＝2EB 时，EB＝ ， 3 6 EB 3 3 DB 2 3 在△EBD 与△DBS 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， BD 2 3 BS 6 3
C [解析] 因为 AB＝CB， 且 E 是 AC 的中点， 所以 BE⊥AC， 同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE＝E，于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平 面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C．
第8讲 分层演练直击高考
第8讲分层演练直击高考1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是 ( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选C ．易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)． 2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．作出g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x与h (x )＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C ．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：37．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x－5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：59．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .因为g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是连续曲线，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．(数形结合法)因为a >0，所以a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝x的图象(图略)，2x，y＝log12x0，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜log12即f(x0)＜0.3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．a＞b＞c D．c＞a＞b解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y ＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y ＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 答案：11－2π5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，54.。
高考数学练习：第2章 第1讲 函数及其表示分层演练直击高考
1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C ． 2．已知函数f(x)＝x|x|,x ∈R,若f(x 0)＝4,则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x≥0时,f(x)＝x 2,f(x 0)＝4, 即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f(x)＝－x 2,f(x 0)＝4, 即－x 20＝4,无解． 所以x 0＝2,故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f(f(3))＝( )A ．43 B ．23 C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f(3)＝1－log 23＝log 2 23＜0,所以f(f(3))＝f(log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43,故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x 2B ．f(x)＝－2x1＋x 2C ．f(x)＝2x 1＋x2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝(1＋t)2－(1－t)2(1＋t)2＋(1－t)2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C ．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f(a)＝6,则a 等于( ) A ．－74B ．74 C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f(a)＝4a －1＝6,即a ＝74.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0,则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f(1)＝2,所以f(a)＝－f(1)＝－2, 当a ＞0时,f(a)＝2a＝－2,无解； 当a≤0时,f(a)＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3. 综上,a ＝－3,选A ．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C ．8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法,设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),因为g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.9．已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2,3],则y ＝f(2x －1)的定义域为( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3], 所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4,得0≤x≤52,即y ＝f(2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1,则f(f(x))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2,＋∞)B ．(－∞,1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B ．因为当x≥1时,f(x)＝x 3＋x≥2,当x ＜1时,f(x)＝2e x －1＜2,所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1,即2ex －1＜1,解得x ＜1－ln 2,所以f(f(x))＜2的解集为(－∞,1－ln 2),故选B ．12．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①,f(x)＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f(x),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x),满足． 13．函数f(x),g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：215．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：∀x ∈R,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A ．对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，f(x)＞0，f 2(x)，f(x)≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A ．3．已知函数f(x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18,则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019的值为( )A ．0B ．504.5C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f(1－x)＝(1－x)3－32(1－x)2＋34(1－x)＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38,所以f(x)＋f(1－x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12,所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x≤02|x －2|，0＜x≤4,对任意x∈D ,存在x 1,x 2∈D,使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D ,f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)知,f(x 1),f(x 2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x 1－x 2|max ＝8,|x 1－x 2|min ＝1,所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0,f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。
第十章第1讲分层演练直击高考
级抽取多少名？
第十章 统计、统计案例
[解] (1)因为2 0x00＝0.19，所以 x＝380. (2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽 取的人数为2 40800×500＝12(名)．
第十章 统计、统计案例
12．从 2 007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采 用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2 007 名学生中剔除 7 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则 每名学生入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为2
50 007
D．都相等，且为410 C [解析] 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到
第十章 统计、统计案例
8．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽 样的方法从高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问 卷调查． 已知高二 被抽取的 人数为 13，则 n＝ ________． [解析] 由已知条件，抽样比为71830＝610， 从而600＋37580＋n＝610，解得 n＝720. [答案] 720
的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只
参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中 a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.
为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个 200 人的
样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取( )
高考语文二轮复习讲义+分层训练解密14语用“多点”考查(扩展语句,压缩语段)(讲义)
残花落尽见流莺。
春风一夜吹乡梦，
又逐春风到洛城。
答：_____________________________________
【参考答案】细雨初晴的春日，溪边杨柳的颜色已经由初春时节的鹅黄嫩绿转为一片翠绿，花树枝头的残花在雨中落尽，循着婉转的啼叫，可以看到在树间嬉戏的黄莺。
4．[2015·湖南卷]根据首尾语句，发挥想象，有创意地补写中间一段文字。100字左右。
[典题导学]________________________________________________________________________
[题型1]据词设境
据词设境，就是要求考生根据命题者提供的若干词语，想象在某种语境中可以顺理成章地嵌入这些词语(或这些词语中的某几个词语)。关键在“设”，要“设”得巧，“设”得合乎情理。一段描写，一种心境，一点说明，一番感慨……只要能顺理成章地嵌入指定(或选定)的词，便符合题目要求。
[解题指津]________________________________________________________________________
[即学即练]________________________________________________________________________
2．请根据以下信息，为文物《千里江山图》写一段介绍性文字，要求内容得当，表述准确，语言连贯，不超过100个字。
第4讲 分层演练 直击高考
[学生用书P345(单独成册)]1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( )A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数解析：选B .“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B .2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B.a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0解析：选C .b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C .3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a ＞b ＞cB.b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选A .因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6， 且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，所以a ＞b ＞c .4．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B.至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：选C .假设三个数都小于2，则y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y<6， 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y中至少有一个不小于2.故选C . 5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB.A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 解析：选A .因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析：法一：取a ＝2，b ＝1，得m <n . 法二：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0， 显然成立，故m <n .答案：m <n7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )的函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ， 所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n8．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a 的取值范围是________． 解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f (0)f (1)<0， 所以(a －1)(2a －1)<0，所以12<a <1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，19．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面P AD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)取线段AB 的中点F ，连接EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ，所以四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，AD ∩AP ＝A ，所以平面CFE ∥平面P AD .又EC ⊂平面CEF ，所以EC ∥平面P AD .(2)因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC .因为四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以AC ＝2，BC ＝2.所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC ⊥BC ，因为PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B.恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负解析：选A .由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.2．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B.[1，1＋e] C ．[e ，1＋e] D ．[0，1]解析：选A .易知f (x )＝e x ＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b . 反证法：若f (b )>b ，则f (f (b ))>f (b )>b ，与题意不符，若f (b )<b ，则f (f (b ))<f (b )<b ，与题意也不符，故f (b )＝b ，即f (x )＝x 在[0，1]上有解． 所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x ＋1)－2x ，当x ∈[0，1]时，e x ＋1≥2，2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上是增函数，所以g (0)≤g (x )≤g (1)⇒1≤g (x )≤e ，即1≤a ≤e ，故选A .3．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )，设p ，q ∈R ，若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( )A ．(4，0)B.(2，0) C ．(0，2) D ．(0，－4)解析：选B .由(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2， 所以(1，2)⊕(p ，q )＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32， 故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 法二：(直接法)依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32， 故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎫－3，32 5．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16. 解：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3， 即1a n ＋1－1a n ＝3， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列， 其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)证明：由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2 ＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2.因为13n ＋2>0，所以T n <16. 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，所以b ＝－1－ac .又a >0，c >0，所以b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a， 即－b 2a <1a. 又a >0，所以b >－2，所以－2<b <－1.。
第一章第3讲分层演练直击高考
第一章 集合与常用逻辑用语
17．已知集合 A＝x12<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x ∈R}，若 x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A，则实数 m 的取值范围是________． [解析] 因为 A＝x12<2x<8，x∈R＝{x|－1<x<3}，x∈B 成立 的一个充分不必要条件是 x∈A， 所以 A B，所以 m＋1>3，即 m>2. [答案] m＞2
的充分不必要条件，所以 k>2，即实数 k 的取值范围是
(2，＋∞)，故选 B.
第一章 集合与常用逻辑用语
13．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图 象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题 中，真命题的个数是________． [解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命 题为“若函数 y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数 y＝f(x)是 幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命 题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题 只有 1 个． [答案] 1
第一章 集合与常用逻辑用语
1．下列命题中的真命题为( ) A．若1x＝1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1 C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x<y，则 x2<y2 A [解析] 取 x＝－1，排除 B；取 x＝y＝－1，排除 C；取 x ＝－2，y＝－1，排除 D.
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语
10．(2017·太原模拟)已知命题 p：cos α≠12，命题 q：α≠π3 ， 则命题 p 是命题 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A .将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C .原式＝⎣⎡⎦⎤4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－(13) b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C . 3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B .A 中，因为函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B 中，因为y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4．(2018·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B .由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x＋1)＝0，所以a ＝1，所以f (x )>3即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，所以2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，所以2x ＋1<3·2x －3，无解．所以x 的取值范围为(0，1)． 6．(2018·衢州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C .当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a<8，即⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：438．(2018·杭州中学高三月考)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．解析：因为e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e 3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e －3y ＋(－3y )3＋(－3y )＋1＝0，所以x ＝－3y ，即x ＋3y ＝0，所以e x ＋3y ＝e 0＝1. 答案：19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎨⎧ 0<a <1，2－3a <0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，3410．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1，2)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.12．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.1．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2解析：选D .作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D . 2．(2018·衢州市高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选B .作出函数y ＝f (x )图象如图所示：再作出－y ＝f (－x )，即y ＝x 2－4x ，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C ，发现y ＝(12)x 与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B .3．(2018·绍兴一中高三期中)已知实数a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，函数g (x )＝a x ＋1a x ，则g (－3)，g (2)，g (4)的大小关系为________．解析：因为函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，令u ＝|x |，则y ＝log a u ，由u ＝|x |在(－∞，0)上是减函数，及复合函数同增异减的原则，可得外函数y ＝log a u 为增函数，即a >1.又因为函数g (x )＝a x ＋1ax 为偶函数，且函数在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， 又|2|<|－3|<|4|， 所以g (2)<g (－3)<g (4)． 答案：g (2)<g (－3)<g (4) 4．(2018·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73，235．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1 ＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.6．(2018·宁波效实中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x∈⎝⎛⎭⎫13，3， 设t ＝⎝⎛⎭⎫13x∈⎝⎛⎭⎫13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎨⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．因为m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又因为h (a )的定义域为[n ，m ]， 值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾，所以满足题意的m ，n 不存在．。