二倍角的正弦、余弦和正切公式(导学案)
(完整版)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。
2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。
3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。
在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。
二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。
2022版高中数学必修四导学案313二倍角的正弦余弦正切公
2022版高中数学必修四导学案313二倍角的正弦余弦正
切公
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；
2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；
3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.
【新知自学】知识回顾：
co(αβ-)=
co(αβ+)=
in(αβ+)=
in()αβ-=
tan()αβ+=
tan()αβ-=新知梳理
由上述公式能否得到in2,co2,tan2ααα的公式呢？
in2α=
co2α=
tan2α=
注意：2,22kkπ
π
απαπ≠+≠+()kz∈思考感悟对点练习：
（1）已知αco=－33
,且0tan<α，则α2in的值等于（）A．322B．13
C．－32
2D．－13
（2）若∈=ππ
in，则α2tan的值为（）
A、119120
B、119120
C、120229
D、120229
（3）已知53
)2in(=-απ
,则=α2co
【合作探究】典例精析：
例1、已知5in2,,
1342π
π
αα=<<
求in4,co4,tan4ααα的值．
变式练习：
1、已知),2(,61)4in()4in(
ππππ∈=-+某某某，求某4in的值.例2、在△ABC中，5
4co=A，BAB的值求)22tan(,2tan+=。
二倍角的三角函数 导学案
§3 二倍角的三角函数 导学案编制人：赵琳卓【学习目标】1、知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。
2、过程与方法通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法。
3、情感、态度、价值观通过学习，使同学对三角函数之间的关系有更深的认识，增强学生逻辑推理和综合分析能力。
【重点、难点】教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.【使用说明与学法指导】1、 根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、 用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】温故知新——两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ； βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ ； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-探究1、在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，请尝试尽可能多的求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值。
探究2、公式推导：α2sin =α2cos =α2tan =探究3、公式变形：小组交流合作，尽可能全面挖掘公式的变形形式探究4、 二倍角公式中，“倍”字如何理解？ （1）4sin （2）α6cos （3）αα2tan 12tan 22- （4）2)2cos 2(sin αα+【合作探究】探究1、熟练掌握公式 例1、求值（1）sin15°cos15° （2）。
75cos 2（3）已知2tan =α，求α2tan探究2、解决实际问题例2、在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值。
高中数学必修四：3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(教、学案)
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-tan 2α=-（四）课堂练习：详见学案（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：15034.P T T -§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课前预习学案一、预习目标复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学设计 数学人教A版必修第一册
两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教学过程一引入回忆上节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=tanα±tanβ。
1∓tanαtanβ二新知探究问题如何借助S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式？（通过复习和引导，让学生自己动手完成推导过程。
）1.角2α与α的关系：2α=α+α，2.二倍角的正弦公式令S(α+β)公式中括号里的βα=，sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα。
思考1：除了通过S(α+β)推导出sin2α的公式外，能不能借助S(α−β)推导出sin2α的公式？令S(α−β)公式中括号里的β=−α，借助诱导公式得到sin(α−(−α))=sinαcos(−α)−sin(−α)cosα=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα即sin2α=2sinαcosα.3.二倍角的余弦公式令C(α+β)中括号里的βα=，cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α，或令C(α−β)中括号里的β=−α，通过诱导公式得到cos(α−(−α))=cosαcos(−α)+sinαsin(−α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α。
思考2: 能不能根据同角三角函数的平方和关系表示出cos2α的其他形式呢？由平方和关系可知cos2α=1−sin2α，再代入回原来的式子，可得cos2α=1−sin2α−sin2α=1−2sin2α.或将sin2α=1−cos2α代入可得出cos2α=cos2α−(1−cos2α)=2cos2α−1。
二倍角公式导学案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（导学案）
一、重点与难点：
1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。
2、 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、和角公式的综合应用。
二、教学过程：
1、探究公式的形成：(请把化归的过程填入下面的式中)
sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= 简记：2()T α
2、公式的运用：
☆ 梯度一 (倍角的相对性)
sin 22sin cos ααα= 22cos 2cos sin ααα=-
cos 4α= 2cos 2sin - sin 2α
= sin cos
sin α= cos α=
☆ 梯度二：(熟练公式结构并会用公式的逆用)
（1）2sin15°cos15°= (公式的逆用)
（2）22cos sin 8
8π
π-= (公式的逆用) （3）22cos 112π
-= (公式的逆用)
（4） 0
202tan 22.51tan 22.5
=- (公式的逆用) 三、课后提升
1，已知 12cos 13α= ，)2
,0(πα∈，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值 ?
2、已知 5
tan 12α= ，3(,)2π
απ∈，求 tan 2α 的值。
四、课后思考：
（1） 二倍角公式中角的取值范围是任意的吗？
（2） C S αα22中角α没有限制条件，
T α2 中，α有限制条件 公式中(2k παπ≠+且)()42k k Z π
π
α≠+∈。
二倍角的正弦余弦和正切公式教案
二倍角的正弦、余弦和正切公式
顺序课时
1
教
学
目
标
知识与能力
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用
过程与方法
学生探索
情感态度与价值观
教学重点
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式讨式教学、双案教学
知识流程
教师活动
学生活动
一、复习：两角和的正弦、余弦、正切公式
；
；
我们由此能否得到 的公式呢？
二、公式推导：
；
；
思考：把上述关于 的式子能否变成只含有 或 的式子呢？
；
．
．
注意：
三、例题讲解：
例1：已知 求 的值．
学生思考并回答
知识流程
教师活动
学生活动
例2：已知 求 的值．
例3：在 中， ，求 的值。
例4：已知 为第二象限角， ， 为第一象限角， 。
求 的值。
高中数学必修四《二倍角的正弦余弦和正切公式》导学案
- 1 - §3.1.3 《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导学案学习目标：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程， 掌握其应用.学习重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及灵活运用.学习难点：灵活应用二倍角公式.学习过程一、复习回顾1、 写出两角和的正弦、余弦和正切公式：2、在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令β=α可得什么结论 ？二、合作探究1、二倍角的正弦、余弦、正切公式：=α2sin=α2cos=α2tan 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈2、思考：对cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？3、（公式巩固性练习）求下列各式的值：跟踪练习：课本135页 5=，。
，。
、3022cos 3022sin 1=-18cos 222π、- 2 - 三.例题讲解例1 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：例２ 已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：例3 证明：四、当堂达标1.计算=2.若53)2(sin =+θπ，则θ2cos = 3.已知55sin =α，则=-αα22cos sin 4.若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值.五、小结反思 熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差2012sin 22.5-。
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2014 级 选修 必修（必修）4-3 导学案 编制时间 2013 年 3 月 25 日 使用班级：高一（ 1-16 ）班 主备人：张亚琴 复备人：杨金凤 李念祖 审核人签字：李祥澍 李念祖
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第1章第6节 二倍角的正弦、余弦和正切公式(第2课时)
小组 学生姓名 教师评价 【使用说明与学法指导】
1.请同学们认真阅读课本132-134页，划出重要知识，规范完成预习案并记熟基础知识。
2.结合课本独立规范完成探究案，疑难问题用红色笔做好标记，准备课上质疑讨论。
3.小组长控制预习过程，确保本组成员能够顺利的完成预习，及时上交。
【学习目标】
1.知识与技能：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明
2.过程与方法：通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力。
3.情感态度与价值观：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
【学习重点】学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明
【学习难点】如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 【导学引领，自主学习】
一．回顾两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，
()=±βαcos ()=±βαsin ()=±βαtan
二倍角公式:
sin 2a = ；)(2αS
cos2a = = = ；)(2αC tan 2a = ；)(2αT
【预习自侧】 1、sin 2αcos 2
α
=
2、1-2sin 2
22.5︒= 3、8
sin 8
cos
2
2
π
π
- =
4、0
20
5.67tan 15.67tan 2-=
5、12
cos
24
cos
48
cos
48
sin 8π
π
π
π
【我的疑问】对预习自学的内容，你有什么疑问？ 【小组互动，探究问题】 在△ABC 中,cosA=5
4
,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 导
学
案
装
订
线
NO.2 MIDDLE SCHOOL JINCHANG 金昌市第二中学导学案
第 3 页 共 4 页 第 4页 共4页
【精讲点拨，解难释疑】
1.求函数1cos sin 2cos 22
-+=x x x y 的最值
2.求函数x x x y cos sin cos 2
+=的最值
已知函数R x x x x y ∈++=
,1cos sin 2
3cos 212.当函数y 取得最大值2，求自变量 x 的集合（奥班）
【达标训练，补偿矫正】 1、化简： ①2
)cos (sin αα+ ②θ4
cos -θ4
sin ③ x x x 2cos cos sin ④θ
θtan 11
tan 11+--。
、的值求已知)2tan(,3
1
tan ,71tan 2βαβα+==
3 求
︒
-︒10cos 310sin 1的值
4、已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22，求函数的最大值，最小值（奥班）
【课后作业】
1.课本138页16 、17、18.配套练习：
【巩固总结，反思领悟】
【知识体系建构】。