数学(文)卷·2014届湖南省雅礼中学高三月考试卷(四)(2013.12)
14年第四次月考.doc
长沙市六中2014届高三第四次月考数学试题文 科 数 学总分150分 时量120分钟一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的）.1.复数1iz i=+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}21|()1,|6802xA xB x x x ⎧⎫=≤=-+≤⎨⎬⎩⎭,则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 已知某几何体的三视图（单位：dm ）如图所示，则该几何体的体积（dm 3）是（ ）A ．3464π+ B π+1664 C ．π+464 D π+4324.曲线sin x xy e=在0x =处的切线斜率为( ) A 0 B 1 C12D 1- 5．要得到函数cos(2)3y x π=-的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( )A 向左平移12π个单位长度 B 向右平移12π个单位长度 C 向左平移6π个单位长度 D 向右平移6π个单位长度（第3题图）侧视图俯视图 正视图6．已知点(,)P x y 是不等式组02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内一动点，且(1,1)A -,O 为坐标原点,则1t OA OP =∙+的最小值是 （ ）A ．2-B ．3-C ．12-D ．1 7. 在ABC ∆中,角 A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=( ) A6π B 3πC 23πD 56π8. 数列{}n a 中,1(1)(43)n n a n +=--,其前n 项和为n S ,则2211S S -=( )A 85-B 85C 65-D 659．已知函数1)(2--=bx ax x f ，其中] 2 , 0 (∈a ，] 2 , 0 (∈b ，在其取值范围内任取实数a 、b ，则函数)(x f 在区间) , 1 [∞+上为增函数的概率为（ ） A ．21 B ．31 C ．32 D ．43二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）10．设全集U=R ,A={x ∈N |110x ≤≤},B={x ∈R |260x x +-=},则右图中阴影部分表示的集合为11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,4,a 成等比数列， 则5S =12．已知向量(2,4)a =,(1,1)b =,若向量()b a b λ⊥+,则实数λ=12.如右图若某算法框图如图所示，则输出的结果为 ；14．若正数,x y 满足3x y xy +=，则34x y +的最小值为15. 已知函数()|2|f x x x m =--仅有3个零点分别为123,,x x x ,则(1) m 的取值范围是 ; (2)123x x x ++ 的取值范围是 。
湖南省雅礼中学2014届高三第八次月考数学文试题
湖南省雅礼中学2014届高三第八次月考数学文 2014.4.(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1.已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N =A ．{|01}x x <≤B ．{|13}x x ≤<C ．{|04}x x <≤D ．{|0x x <或4}x ≥2.若复数221z i i=++,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为A ．1BCD ．23.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是INPUT “n ＝”； n k ＝1 p ＝1WHILE k<＝np ＝p*kk ＝k ＋1WEND PRINT p ENDA ．120B ．720C ．1440D ．50404.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ,则“1-=a ”是“21l l ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知y x ,的取值如下表:y x 与线性相关,从散点图可以看出且回归方程为0.95y x a =+,则a =A. 3.2 B ．3.0 C. 2.8 D ．2.66.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的 表面积是x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7.已知向量b a ,满足||1,(1,3)a b ==-,且()b a a +⊥,则a 与b 的夹角为A . 60B . 90C . 120D . 1508.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，(其中0022A ππωϕ>>-<<，，),其部分图像如图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为A ．()sin(1)2g x x π=+B ．()sin(1)8g x x π=+C ．()sin(1)2g x x π=+D ．()sin(1)8g x x π=+9.若函数()xxf x ka a-=-(a >0且1a ≠)在(,-∞+∞)上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图象是正视图 俯视图左视图10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元答案 ABB ADA CBC D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.若直线24sin :=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρl 与曲线()为参数t ty t x C ⎩⎨⎧==2:相交于B A ,两点， 则AB = ．12.已知数列121,,,9a a 是等差数列,数列1231,,,,9b b b 是等比数列,则212b a a +的值为_____________.13.已知函数()f x 在()+∞,0内可导,且满足x e e f x x +=)(,则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为_____________________14.过椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的右顶点作圆222b y x =+的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则C 的离心率为__________ 15.对于定义域为[]1,0的函数()f x ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的]1,0[∈x ,总有0)(≥x f②1)1(=f③若0,021≥≥x x ,121≤+x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立 则称函数)(x f 为理想函数.（Ⅰ）若函数)(x f 为理想函数,则=)0(f ________；（Ⅱ）下列结论正确的是_________________.(写出所有正确结论的序号) ①函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；②若函数)(x f 是理想函数,假定存在]1,0[0∈x ,使得]1,0[)(0∈x f ,且00)]([x x f f =,则00)(x x f =.答案11.23 12.103 13.012=--y x 14. 23 15.（Ⅰ）0（Ⅱ）①②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间 是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100. (Ⅰ)求图中x 的值及平均成绩；(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人, 求2人成绩都不低于90分的概率.解:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =. 3分 平均成绩为()748518.07554.0651.095554506.0=⨯+⨯+⨯+++⨯. 6分 (Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人. 从成绩不低于80分的12学生中随机选取2人共有66种取法，从成绩不低于90分的3名学生中随机选取2人共有3种取法，故所求的概率为.221663= 12分17. (本小题满分12分)如图,设D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,且AD AB =,记βα=∠=∠ABC CAD ,. (Ⅰ)证明：02cos sin =+βα； (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.解(Ⅰ)因为(),22222πββπππα-=--=∠-=BAD 所以.02cos sin ,2cos )22sin(sin =+-=-=βαβπβα即 6分(Ⅱ)()αβββπαsin 3sin ,sin 3sin sin ==-=∆所以中，由正弦定理得在DCAC DC ADC . 由(1)有()1sin 23sin 1sin 22cos sin 22-=-=-=ββββα，所以,即3,20.33sin 23sin ,03sin sin 322πβπβββββ=<<-===--因此又或解得 12分18.(本小题满分12分)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中，E AD AA ,21==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥ ；(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由.(Ⅰ)连D A 1,1111111111,,AD A B DA D A A B AD D A AD AA ⊥⊥⊥=所以平面又，所以因为所以D B A AD 111平面⊥,又因为11B A ∥DE ,所以，因此平面D B A E B 111⊂11B E AD ⊥. 6分 (Ⅱ)取棱1AA 的中点P ,则有//DP 平面1B AE ，其中AP 的长为1.证明如下: 取PF B AA PF F AB 的中位线，所以为则的中点111,∆∥，又且111121B A PF B A = ED ∥PF B A ED B A ，所以且111121=∥，且ED PF ED =所以DP ∥EF 又 DP AEB EF AEB DP ，所以平面平面11,⊂⊄∥平面1B AE . 12分19.(本小题满分13分)已知不在x 轴上的动点P 与点()0,2F 的距离是它到直线l ：21=x 的距离的2倍. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交E 于C B ,两点，试判断以线段BC 为直径的圆是否过定点?并说明理由.解：(1)设P (x ,y )12||2x =-化简得x 2－23y =1(y ≠0). 4分(2)由题意可设过点F 的直线的方程为2+=ky x ,代入1322=-y x 得 ()09121322=++-ky y k由题意知3k 2-1≠0且△＞0,设()()2211,,,y x C y x B ，则⎩⎨⎧1391312221221-=--=+k y y k k y y 8分设()0,1-A ,因为()()()()()()()()()09133613199313311,1,1222221212212121212211=+---+=++++=+++=+++=++=⋅k k k k y y k y y k y y ky ky y y x x y x y x AC AB AC AB ⊥∴,故以线段BC 为直径的圆过定点()0,1-A . 13分20.(本小题满分13分)对于任意的*n N ∈（n 不超过数列的项数），若数列{}n a 满足：n n a a a a a a ⋅⋅=+++ 2121，则称该数列为K 数列. （Ⅰ）若数列{}n a 是首项12a =的K 数列，求3a 的值； （Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列. (1)试求1n a +与n a 的递推关系； (2)当时且1031<<≥a n ,试比较na a a 11121+++ 与316的大小.解（Ⅰ）有题意可得.222,2222121==+=+a a a a a a a ，所以即 又,42233321321a a a a a a a a =++=++，即所以343=a . 3分 （Ⅱ）(1)因为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列，所以()11111≥===∑n a a n i i n i i ① 111111+=+==∑n i i n i i a a ②两式相减得()11111111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++n a a a n i i n n ③ 则()20111111≥≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n a a a n i in n ④两式相除得()2111111111≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n a a a a a nn n n n ,整理得()2121≥+-=+n a a a n n n 又1221211,1111a a a a a a -=⋅=+所以. 综上所述，1+n a 与递推关n a 系为⎩⎨⎧≥+-=-=+2,11,121n a a n a a n nn n . 8分 (2)()41613161314343,143214311010124223121≥≥>=+-⎪⎭⎫⎝⎛≥<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<-=<<<+n a a a a a a a a n n ，又所以，从而，所以因为又当1111121---=≥+n n n a a a n 时，,所以 当时，3≥n.31611111111111111111111111121132121≥-=--=---+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+++++++n n n n n n a a a a a a a a a a a a a13分21.(本小题满分13分)已知函数()x a x x f ln 1)(2+-=有两个极值点,,21x x 且.21x x <(Ⅰ)求实数a 的取值范围，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)证明:42ln 21)(2->x f . 解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为()()()0,22,,02='+-='+∞x f xax x x f 且有两个不同的根，且，即的判别式故21084022,,221<>-=∆=+-a a a x x x x.00.22112211121>>-+=--=a x a x a x ，故又，因此a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛210，. 4分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当.因此()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()22212121122,2,1x x x x a ax x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ，其中. 9分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h所以42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在.即42ln 21)(2->x f . 13分。
雅礼中学高三月考文科数学试卷
雅礼中学高三第二次月考试卷数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共.12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知命题2:,0p x R x ∀∈>,则 A 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为假命题 B 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为真命题 C.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为假命题 D.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为真命题2.已知i 是虚数单位，则41+1i i ⎛⎫⎪-⎝⎭等于A.iB.i -C. 1D.1-3.“上医医国”出自《国语.晋语八》,比喻高贤能治理好国家.现把这四个字 分别写在四张卡片上,其中“上”字已经排好,某幼童把剩余的三张卡片进行排列,则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A.13 B.16 C.14 D.1124.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,一2),则它 的离心率为5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D 为BC 中点，则()()AB BC AB DB +•-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为A.32-B.32C.34-D.346.已知0x 是11()2xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，()()1020,,,0,x x x x ∈-∞∈则A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x >>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x <>7.巳知等比数列{}n a 中,各項都是正数,且132122a a a 、、成等差数列,則91078a a a a +=+A.3+22B.12-C.1+2D.322- 8.函数2sin 2x y x =的部分图象可能是9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,則该 球的表面积为A.814πB.16πC.9πD.274π10.若函数()sin(2)3)()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点06π（，）对称，则()f x 的单调递增区间为A.5+,,36k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B.5+,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.7+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦ D.5+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.设函数()22()(),,,()x f x x t e t t R x R f x b =-+-∀∈∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为 2 B.12C.1D.e12.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2PM MF ，则直线OM 的斜率的最大值为23C.1D.2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷
2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，集合，，那么集合等于A. B.C. D.2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是A. B.C. D.3. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.4. 已知复数，则“”是“为纯虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 已知向量，，若，则A. B. C. D.6. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. B. C. D.7. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第组的频率和频数分别为A. ，B. ，C. ，D. ，8. 如图所示，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），其面积是A. B. C. D.9. 某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左、右均有空位，那么不同的坐法种数为A. B. C. D.10. 一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿着长方体的表面到达顶点的最短距离为，则长方体体积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，切于点，割线经过圆心，弦于点，已知的半径为，，则．12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为．13. 已知集合，，则集合．14. 已知平面区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为．15. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为．16. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．（）曲线的“上夹线”方程为；（）曲线的“上夹线”的方程为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知中，角，，所对的边分别是，，，且；（1）求；（2）若，求面积的最大值．18. 某地去年月份曾发生流感，据统计，月日该地区流感病毒的新感染者有人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加人；但从月日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少人．（1）分别求出该地区在月日和月日这两天的流感病毒的新感染者人数；（2）该地区月份（共天）该病毒新感染者共有多少人?19. 如图，已知面，，；（1）在线段上找一点，使面．（2）求由面与面所成角的二面角的正切值．20. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得分，否则得分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知函数．（1）当时，证明：；（2）当且时，不等式恒成立，求实数的值．答案第一部分1. A 【解析】，，故．2. D3. D 【解析】整理抛物线方程得，所以，因为抛物线方程开口向下，所以准线方程是．4. A 【解析】当时，复数，是一个纯虚数，当复数是一个纯虚数时，且，，故不能推出，故“”是“为纯虚数”的充分非必要条件．5. D6. D 【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环循环前第一圈是第二圈是第三圈是第四圈是第五圈是第六圈否此时．7. A 【解析】因为小长方形的高的比等于面积之比，所以从左到右各组的频率之比为，因为各组频率之和为，所以第二组的频率为．因为样本容量为，所以第二组的频数为．8. C 【解析】联立得解得或设曲线与直线围成的面积为，则．9. C 【解析】将个座位从到编号，则符合题意的为，，，，共类情况，每一类有种坐法，则共有种坐法．10. C【解析】由题意，设正方体的三条棱长分别为：，，，不妨设：最短距离为，所以，所以，设，则，所以在处取最大值，所以体积的最大值为．第二部分11.【解析】因为切圆于点，圆的半径为，，所以，所以，又，所以，所以由等面积可得．所以．12.【解析】表示椭圆（且）；表示抛物线．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．13.【解析】集合，所以；集合，，，当且仅当时取等号，所以，所以．14.【解析】构成试验的全部区域为为图中的三角形，，，，面积为．基本事件点落在区域为图中的，面积为，代入几何概率的计算公式可得．15.【解析】①当时，即时，；②当时，即时，，所以，当时，，此时：，当时，，此时：，综上不等式的解集为：．16. ，【解析】（）因为，要使直线与曲线相切且至少有两个切点且对任意都有，则需要，故曲线的“上夹线”方程为．（）推测的“上夹线”的方程为，①先检验直线与相切，且至少有两个切点．设，则，令，得，当时，，故过曲线上的点的切线方程为，化简得：，即直线与曲线相切且有无数个切点．不妨设，因为，所以，所以直线是曲线的“上夹线”．第三部分17. （1）因为，所以，因为，所以．（2）因为，且，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，面积取最大值，最大值为．18. （1）由题意知，该地区月份前天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以月日的新感染者人数为（人），所以月日的新感染者人数为（人）．（2）月份前天流感病毒的新感染者人数和为：（人），月份后天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以后天新感染者人数和为（人），所以该地区月份流感病毒的新感染者共有人．19. （1）为的中点，设中点为，则，且，所以，，所以为平行四边形，所以，又，，所以，又，与交于点，所以面，所以面；（2）延长，，交于，连接，因为，，所以，所以，又所以，又与交于点，所以面，所以为二面角的平面角；在中，，；所以．20. （1）记" 次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件．由题意，得答：次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由题意的可能有取值为．我们设“甲投中”为事件，“乙投中”为事件，则：所以的分布列为：的数学期望：．21. （1），，，所以；所以椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆方程，得，因为，所以，所以，所以，所以（定值）．（3）设存在满足条件，则，，，则由得，从而得，所以存在满足条件．22. （1）令，所以，时，，所以在上是增函数，故，即：．从而，时，得证．（2）不等式可化为：，令，则，，①时，有，令，则，故在上是减函数，即，所以在上是减函数，从而，，所以时，对于，有，②时，有，令，则，故在上是增函数，即：．所以在上是减函数．从而，．所以当时，对于，有．综合①②，当时，在且时，有．。
届湖南雅礼中学高三年级第四次月考(文)
2010届湖南雅礼中学高三年级第四次月考数学试题（文科）时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、排列组合、二项式定理、概率与统计、直线与圆）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1(z i i =-是虚数单位），则22z z+（ ）A ．1+iB ．-1+iC ．i -1D ．-1—i2．设2()3xf x x =-，则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是 （ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[—2，—1]D ．[—1，0]3．“1a =”是“直线1y ax =+和直线(2)1y a x =--垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγB ．若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβC ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥D ．若n m l n m l //,//,,,则γαγγββα===5．若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．23C ．—2D ．23-6．等差数列{}n a 中，它的前n 项的和为2010200720091,220072009,2008,a S S a S n 则并=--==（ ） A ．2000B ．2010C ．2009D ．20087．正方形ABCD 中，将三角形ACD 沿它的对角线AC 折成一个直二面角，则异面直线EC 和AB 所成角的大小是 （ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°8．若函数1)2(1)(2+--=x x f ，则对任意的32,2121<<<x x x x 满足，有 （ ）A ．2211)()(x x f x x f > B ．2211)()(x x f x x f <C ．)()(2211x f x x f x >D ．)()(2211x f x x f x <二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
湖南省长沙市雅礼中学2014届高三第四次月考试题 数学(理) Word版含答案
雅礼中学2014届高三月考试卷（四）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =-的集合B 个数是（ ） .2A .3B .4C .8D2.1a =是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ ） .A 充分不必要条件 B.必要不充分条件.C 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=，则a b c +⋅=（）（ ） .4A .3B .2C .0D4.已知函数：22(),()2,()log x f x x g x h x x ===，当(4,)a ∈+∞时，下列选项正确的是 ( ).A ()()()f a g a h a >> .B ()()()g a f a h a >> .C ()()()g a h a f a >> .D ()()()f a h a g a >>5. 已知平面α外不共线的三点C B A ,,到αα的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必与α相交C.平面ABC 必不垂直于αD.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内6．已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点B A ,，则AB 等于（ ）A 3B 4C 23D 247.平面上动点),(y x A 满足135=+y x ，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（ ）A 10<+AC AB B 10≤+AC AB C 10>+AC ABD 10≥+AC AB8. 在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若1512mS S nn ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为（ ）A 5B 4C 3D 2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
湖南省长沙市雅礼中学2014届高三第三次月考试题(11月) 数学(文) Word版含答案
高三月考试卷(文科数学)(3)(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．e x y =B ．3y x =-C ．sin 2y x =D ．x y ln -=2.下列命题中，假命题为( ) A ．∀x ∈R,012>++x x B ．存在四边相等的四边形不．是正方形 C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－13.执行下面的框图,若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44.如图,的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面 积中最大的是A ．1B C ．2D ．5.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A.9万件B.11万件C.12万件D.13万件 6.下面关于复数21z i=-+的四个结论，正确的是 ①2=z ②i z 22= ③i z +1的共轭复数为 ④1-的虚部为z A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④7.若直线1:+=kx y l 被圆032:22=--+x y x C 截得的弦最短，则直线l 的方程是 A.0=x B.1=y C.01=-+y x D.01=+-y x8.已知非负实数b a ,满足1≤+b a ,则关于x 的一元二次方程022=++b ax x 有实根的概 率是A.31 B.21 C.61 D.32 9.已知ABC ∆是边长为2的正三角形,B 为线段EF 的中点,且3=EF ,则AF AC AE AB ⋅+⋅的取值范围是A.[]3,0B. []6,3C. []9,6D. []9,3BDCBACDAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10.为了研究性别不同的高中学生是否爱好某项运动,运用22⨯列联表进行独立性检验,经计算8.72=K ,则所得到的统计学结论是:有______的把握认为“爱好该项运动与性别 有关”. 附:11.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为34sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，则1C 与2C 交点在直角坐标系中的坐标为___________.12.在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 .13.已知双曲线22214x y m m -=+的右焦点到其渐进线的距离为22,则此双曲线的离心率为__________.14.设集合(){}(){}≠+-≤=-≥=B A a x y y x B x y y x A ,|,,1|,￠. （Ⅰ）实数a 的取值范围是 ； （Ⅱ）当3=a 时，若()x y A B ∈，，则y x +2的最大值是 ．15已知集合{}n a a a A ,,,21 =,其中)(),2,1(A l n n i R a i >≤≤∈表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}16,8,4,2=A ,则________)(=A l ； （Ⅱ）当108=n 时，)(A l 的最小值为____________.10.99﹪11.()5,25 14.（Ⅰ）[)+∞,1（Ⅱ）5 15.（Ⅰ）6（Ⅱ）213.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 已知函数()0,016sin )(>>+⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωA x A x f 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）设5112,2,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈απαf ，求αcos 的值．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. 6分(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝511，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝53， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3,∴1033466cos cos ,546cos -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππααπα所以. 12分中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒 后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量,单 位是毫克/100毫升),当8020≤≤Q 时,为“酒后驾车”；当80>Q 时,为“醉酒驾车”. 某市公安局交通管理部门于2013年11月的某天晚上8点至11点在该市区解放路某处设点 进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽 血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中140≥Q 的人数计入140120<≤Q 人数之 内).(Ⅰ)求此次拦查中“醉酒驾车”的人数；（Ⅱ）从违法驾车的60人中按“酒后驾车”和“醉酒驾车”利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取2人,求2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率.高 考 资 源 网 解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为15人. 6分 （Ⅱ）由分层抽样方法可知抽取的8人中“酒后驾车”的有6人，记为)6,,2,1( =i A i , “醉酒驾车”的有2人，记为)2,1(=j B j . 9分 所以从8人中任取2人共有()() 3121,A A A A 等281234567=++++++种，2人中其 中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”共有()()() 122111,,,B A B A B A 等1226=⨯种， 因此所求的概率为732826=⨯=P 12分已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (Ⅰ)求异面直线CC 1和AB 的距离；(Ⅱ)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值．解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5. 5分(2)由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角． 8分又CD ⊥1AB ，AB 1⊥A 1C ，所以AB 1⊥平面D A AB DC A 111, 从而,从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此AA 1AD＝A 1B 1AA 1，得AA 21＝AD ·A 1B 1＝8.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝23，B 1D ＝A 1D ＝23， 所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝A 1D 2＋DB 21－A 1B 212·A 1D ·DB 1＝13. 12分19.(本小题满分13分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且有,4,3,2,3,211==+=-n n S S a S n n(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n a 是单调递增数列，求a 的取值范围.解(Ⅰ)当2≥n 时，由已知213n n S S n -+= … ① 于是213(1)n n S S n ++=+ …② 由②－①得163n n a a n ++=+ …… ③ 于是2169n n a a n +++=+ …… ④ 由④－③得26n n a a +-= …… ⑤上式表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列. 4分 又由①有2112S S +=，所以2122a a =-,由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-． 所以226(1)k a a k =+-()()*∈-+-=Nk k a 16212，,1a a =2136(1)k a a k +=+-()()*∈-++=N k k a 1623. 8分(Ⅱ)数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<． 所以a 的取值范围是.41549<<a 13分20.(本小题满分13分)已知R a ∈，函数()a x x x f -=)(.(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值. 解(Ⅰ)函数的定义域为),0[+∞.xa x x xa x x f 232)(-=+-='①当0≤a 时,)0(0)(≠>'x x f ，所以.),0[)(上为增函数在+∞x f②当0>a 时，当0)(,3;0)(,30>'><'<≤x f ax x f a x 时当时. 故上为增函数在上为减函数在),3[,)3,0[)(+∞aa x f . 6分(Ⅱ)(1)当0≤a 时，由(Ⅰ)知 a f f x f -==1)1(,,]2,1[)(min 所以上为增函数在；(2) 当0>a 时， ①当6≥a 时，32a≤， 由(Ⅰ)知 ()a f f x f -==22)2(,,]2,1[)(min 所以上为减函数在；②当63<<a 时，231<<a， 由(Ⅰ)知 ,,]2,3(,)3,1[)(所以上为增函数在上为减函数在aa x f 32)3(min a a a f f -== ③当30≤<a 时，13≤a， 由(Ⅰ)知 a f f x f -==1)1(,,]2,1[)(min 所以上为增函数在； 综上所述，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=时当时当时当6,2263,323,1mina a a a a a a f 13分21.(本小题满分13分)已知曲线1C 上任意一点M 到直线4:=x l 的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. (Ⅰ)求1C ,2C 的方程；(Ⅱ)过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,其中1l 与1C 相交于点B A ,,2l 与2C 相交于点D C ,,求四边形ACBD 面积的取值范围.解(Ⅰ)设),(y x M ，则由题意有()41222-=+-x y x ,化简得:13422=+y x .故1C 的方程为13422=+y x ，易知2C 的方程为x y 42=. 4分(Ⅱ)由题意可设2l 的方程为1+=ky x ,代入x y 42=得0442=--ky y , 设()()2211,,,y x D y x C ,则k y y 421=+,所以)1(44)(1122121+=++=+++=+=k y y k x x DF CF CD . 7分因为21l l ⊥,故可设1l 的方程为)1(--=x k y ,代入13422=+y x 得()01248342222=-+-+k x k x k ,设()()4433,,,y x B y x A ,则3482243+=+k k x x , 所以()()()()34112214421421224343++=+-=-+-=+=k k x x x x BF AF AB . 10分 故四边形ACBD 的面积为()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=-=++=⋅=212321411423142434124212222s s t t t t k k CD AB S (314,112≥-=≥+=t s k t 其中)设[)单调递增，在，故则∞+>-=-='≥+=3)(0111)(),3(1)(222s f s s s s f s s s s f ，因此 82313232123=⎪⎭⎫⎝⎛++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s s S ,当且仅当3=s 即0=k 等号成立. 故四边形ACBD 面积的取值范围为[)+∞,8. 13分。
湖南省雅礼中学高三数学第四次月考 理
湖南省雅礼中学高三数学第四次月考 理 【会员独享】（考试范围：集合与逻辑，函数与导数，三角，平面向量，数列，立体 几何，解析几何，计数原理，算法初步，推理与证明，不等式，概率统计，系列4）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。
1．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 2．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若实数,x y 满足2222111,2x y x y+=+则有（ ）A．最大值3+ B．最小值3+C ．最大值6D ．最小值64．已知函数()f x 满足2132()()f x f x x-=，则()f x 的最小值是 （ ）A ．2B ．3C．D ．45．已知偶函数()f x 在区间（0，+∞）单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的范围是（ ）A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)236．函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．27．如表定义函数()f x ：对于数列112010{},4,(),2,3,4,,n n n a a a f a n a -===则的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．某班有一个7人小组，现任选其中4人相互调整座位，其余3人座位不变，则不同的调整方案种数有 （ ） A ．35 B ．70 C ．105 D ．315二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则21lg1000()2-⊗= 。
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雅礼中学2014届高三数学月考（四）（文科）高三数学备课组（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共21题，时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi+-的值是 （ B ）.2A .2B i - .4C - .2D i 2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =- 的集合B 个数是 （ C ）.2A .3B .4C .8D3.1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的 （ A ）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件.C 充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若向量,,a b c满足a //b ，且0b c ⋅= ，则a b c +⋅= （）（ D ） .4A .3B .2C .0D5．函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f += （ D ）1.2A .2B .2C .1D 6. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是 （ D ） ① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直； ④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；.A ①② .B ②③ .C ②④ .D ③④7.函数 2()4xf x x e =- 零点的个数 （ D ）.A 不存在 .B 有一个 .C 有两个 .D 有三个8.设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k 的取值范围为（ C ）.(,2)A -∞ 13.(,]8B -∞ 7.(,)4C -∞ 13.[28D ，） 9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(2014)y f x =-的图象关于点(2014,0)对称．若实数,x y 满足不等式22(6)(824)0f x x f y y -+-+<，则22x y +的取值范围是 （ C ）.A (0,16) .B (0,36) .C (16,36) .D (0,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
10. 在极坐标系中，曲线2sin 4cos ρθθ=的焦点的极坐标 . (1,0)11. 如图1所示的流程图，输出的结果为 . 012. 若正三棱柱的三视图如图2所示，该三棱柱的体积是.13. 已知抛物线24(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为 .1图214.已知A ，O 是原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则的最大值为；（Ⅱ）的取值范围为 ．（用定义求00,30150θθ≤≤。
[]3,3-）15. 在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， （Ⅰ）数列{}n a 的通项n a = ；43n a n =- （Ⅱ）若1512m S S n n ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为 ．5三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b ccos 1B B -=，且1b =． （Ⅰ）若5A=12π，求边c ； （Ⅱ）若2a c =，求ABC ∆的面积．16解：cos 1B B -=，所以1sin()62B π-= 50,666B B ππππ<<∴-<-< ，故66B ππ-=，解得3B π=. ……(4分) 由512A π=，且A B C π++=，得4C π=. 由sin sin c b C B =，即1sin sin 43c ππ=，解得C =. ……(7分) （2）因为2222cos ,2,3b ac ac B a c B π=+-==， 所以22221442b c c c =+-⨯，解得b =. ……(10分)由此得222a b c =+，故ABC ∆为直角三角形,2A c π==.其面积126s bc ==. ……(12分)17.（本小题满分12分）2013年4月14日，CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s ，t 的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？ 参考数据：参考公式： 22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++17解：（Ⅰ）15, 5.s t == ……(2分) 假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：2260(2515155)7.5 6.635,30304020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…(6分)（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为2565,30⨯=“混凝土耐久性不达标”的为1． “混凝土耐久性达标”的记为12345,,,,,A A A A A “混凝土耐久性不达标”的记为B ． 从这6个样本中任取2个，共有15可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件A 为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（1,A B ），（2,A B ），（3,A B ），（4,A B ），（5,A B ）共5种可能， 所以52()1()1153P A P A =-=-=. 则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是23. ……(12分)18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且001,2,120,90PA AD AB PAB PBC ===∠=∠=，（Ⅰ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由；（Ⅱ）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 18解：（Ⅰ）平面PAD ⊥平面PAB ∵090PBC ∠= ∴BC PB ⊥∵四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形 ∴BC AB ⊥∵PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，且PB ∩AB B = ∴BC ⊥平面PAB …(4分) ∵AD ∥BC ∴AD ⊥平面PAB ∵AD ⊂平面PAD平面PAD ⊥平面PAB ……(6分)（Ⅱ）如图，过点P 作BA 延长线的垂线PH ，垂足为H ，连接CH ．由（Ⅰ）可知AD ⊥平面PAB ∵AD ⊂平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD∵PH ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD =AB ∴PH ⊥平面ABCD∴CH 为PC 在平面ABCD 内的射影．∴PCH ∠为PC 与底面ABCD 所成的角． ……(9分)00120,60PAB PAH ∠=∴∠= ，1PA = ，∴在直角三角形PAH 中，001sin 60cos6022PH PA AH PA =⨯==⨯= 在直角三角形HBC 中，152,122BH AH AB BC AD =+=+===故CH ==在直角三角形PHC 中，PC ==sin 8PH PCH PC ∴∠==故直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值8……(12分)19. （本小题满分13分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为(1)n -千元时多卖出*()2n bn N ∈件． （Ⅰ）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；（Ⅱ）当10,4000a b ==时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？ 19．解：（Ⅰ）设0S 表示广告费为0元时的销售量，由题意知12n n n b S S --=，1212n n n b S S ----=，…，2122b S S -=，1012bS S -=， 将上述各式相加得：1211()12(2)1222212n n n n b b b S b b b +-=++++=⋅=⋅-- 为所求．（Ⅱ）当10,4000a b ==时，设获利为n T 元， 由题意知 11010004000(2)10002n n nT S n n =-=--； 欲使n T 最大，则 11555n n n n T T n n T T n +-≥≥⎧⎧⇒⇒=⎨⎨≥≤⎩⎩，此时57875S =。
即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．20．（本小题满分13分）已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e =（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设曲线E '表示曲线E 的y 轴左边部分，若直线1y kx =-与曲线E '相交于,A B 两点，求k 的取值范围；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果AB =，且曲线E '上存在点C ，使OA OB mOC += ，求m 的值．20．解：（Ⅰ）由e =E是以12(F F为焦点的双曲线，且1c a ==，故双曲线E 的方程是221x y -=． ……(3分) （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组：22221(1)220(0)1(0)y kx k x kx x x y x =-⎧⇒-+-=<⎨-=<⎩，从而有：2212212210(2)802101201k k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+>⎪⎪-⇒<<-⎨+=<-⎪⎪-⋅=>⎪-⎩为所求。