Stolz定理的证明和推广
stolz定理证明
stolz定理证明Stolz定理是初等数学中的一个极为有用的定理，主要用来计算极限。
其名字来源于德国数学家Stolz。
本文将介绍Stolz定理的证明过程。
首先，我们需要明确Stolz定理的表述：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个单调递增的正数数列，且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$。
现在，我们开始证明Stolz定理。
假设$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则对于任意给定的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|\frac{a_n}{b_n}-L|<\epsilon$。
又因为$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是单调递增的，所以对于任意正整数$m>n>N$，有$$(a_m-a_n)(b_m-b_n)=(a_m-a_{m-1})(b_m-b_{m-1})+\cdots+(a_{n+1}-a_n)(b_{n+1}-b_n)\geq 0$$我们对上式两边同时除以$(b_m-b_n)$得到$$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\geq \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$由于$\{b_n\}$是单调递增的正数数列，所以$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\to L$，同时$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$，因此当$n\to \infty$时，$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$。
于是我们有$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_n}{b_n}}{\frac{1}{b_{n+1}}-\frac{1}{b_n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}/b_{n+1}-a_n/b_n}{(b_n-b_{n+1})/b_nb_{n+1}}=\frac{L-L}{L}$$因此，我们得到$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=0$。
数分第一章第十二节Stolz定理
第一章 实数和数列极限第十二节 上极限和下极限理论的应用 —Stolz 定理作为上极限和下极限理论的 应用，我们来证明计算某种类型 极限时很有用的Stolz 定理。
一 Stolz 定理 定理1.18（Stolz定理，∞∞型）设数列{}n a ，}{n b 满足条件： （1）}{n b 是严格递增趋于∞+的数列,（2）A b b a a n n n n n =----∞→11lim , (1) 那么 Ab a n nn =∞→lim , (2)（其中A 为有限数，或+∞=A ，或-∞=A 。
）证明 (i)先设A 为有限数, 由(1)知道,对任意0>ε, 存在0n ,当0n n ≥时,有εε+<--<---A b b a a A n n n n 11。
由此得εε+<--<---A b b a a A n n n n 110000， εε+<--<-++A b b a a A n n n n 000011……………εε+<--<---A b b a a A n n n n 11, 因而有(将以上各不等式乘以各自的分母后,相加)εε+<--<---A b b a a A n n n n 1100即εε+<--<---A b b b a b a A nn nn n n 11001 于是得n nn n n n b a b a b b A <+---00)1)((1εn n nn b a b b A 00)1)((1+-+<-ε,由此即得n nn b a A inflim )(∞→≤-ε)(sup lim ε+≤≤∞→A b a nnn , 再让0→ε即得,n nn b a A inflim ∞→≤A b a nnn ≤≤∞→sup lim , 由此即知(2)成立。
（ii ）设+∞=A ，由（1）知， 存在0n ,当0n n ≥时,有 011>->---n n n n b b a a ， 因而}{n a 也是严格递增的， 又由1100--->-n n nn b b a a ，知道有+∞=∞→nn alim ；现在把（1）写成0lim 11=----∞→n n n n n a a b b ， 由刚证明的（i ）知道0lim =∞→nn n a b ，因而+∞=∞→nn n b a lim 。
stolzen定理
stolzen定理引言：stolzen定理是由著名数学家约翰·斯托尔岑于19世纪末提出的重要定理。
这个定理在当时引起了巨大的轰动，并在数学领域产生了深远的影响。
本文将介绍stolzen定理的定义、相关性质以及它在数学研究和实际应用中的重要性。
一、stolzen定理的定义：stolzen定理是一个关于函数极限的定理。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对于任意[a,b]上的x_1和x_2(其中x_1<x_2)，有f(x_1)=f(x_2)，那么对于任意[a,b]上的c和d(其中c<d)，必存在ξ∈(c,d)，使得f'(ξ)=0。
简单来说，如果一个函数在某个区间内连续且对函数值相同的两个点取极限，那么在该区间内必然存在一个点，该点的导数等于零。
二、stolzen定理的证明：stolzen定理的证明较为复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧和定理。
这里只给出一个简单的证明思路。
首先，我们可以通过Rolle定理来证明stolzen定理。
Rolle定理是一个关于洛必达法则的推广定理，它要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在a和b处取极值。
通过Rolle定理，我们可以得到在(a,b)上存在一个点ξ使得f'(ξ)=0。
其次，我们可以运用数学分析中的零点定理来证明stolzen定理。
零点定理指出：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则必在(a,b)内至少存在一个ξ使得f(ξ)=0。
通过零点定理，我们可以推导出存在点ξ满足f'(ξ)=0。
综上所述，stolzen定理可以通过Rolle定理和零点定理进行证明。
三、stolzen定理的相关性质：1. stolzen定理可以用来证明一些关于函数导数的性质，例如函数的极值、驻点等。
2. stolzen定理可以应用于微分方程的研究，可以帮助研究者寻找方程的特解。
3. stolzen定理在实际应用中具有广泛的意义，例如金融领域的复利计算、物理学领域的运动学问题等。
Stolz定理的推广及应用
编号：201231110123本科毕业论文题目：Stolz定理的推广及应用院系：数学科学系姓名：潘佳佳学号：0831110123专业：数学与应用数学年级：2008级指导教师：沈林职称：讲师完成日期：2012年5月摘要Stolz定理是处理数列中不定式极限的有效方法,被称为数列中的L'Hospital法则.并且Stolz定理可以推广到函数的不定式极限,由此推广,可使Stolz定理和L'Hospital 法则更加紧密的联系在一起.文章主要研究了Stolz定理的推广及其应用.首先,给出了Stolz定理,并且得到了推广的Stolz定理及其理论证明和一些常用结论;其次,运用推广定理证明了Stolz定理和L'Hospital法则,并通过一些具体的例子展现了推广定理在求解某些特殊形式的不定式极限时的优越性.关键词:Stolz定理;不定式;极限;L'Hospital法则AbstractThe problem of indetermined limit can be well solved by the Stolz theorem which is often called the series of the L 'Hospital criteria. The Stolz theorem can be also extended to the limit of function so that the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria can be closely related. The generalized forms of Stolz theorem and its applications are mainly studied. Firstly, the Stolz theorem, it's popularized forms and methods which can be used to proof popularized Stolz theorems are given; Then, the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria are proved by the popularized Stolz theorems. Some examples are taken to illustrate the use of the popularized Stolz theorem.Key words: Stolz theorem; indeterminate; limit; L'Hospital criteria摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 Stolz定理及其推广 (2)2.1 Stolz定理 (2)2.2 推广的Stolz定理 (5)3 推广的Stolz定理的应用 (12)3.1 证明Stolz定理 (12)3.2 证明L'Hospital法则 (12)3.3 应用举例 (13)结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)极限是研究函数、导数、积分、级数的基本工具,是数学分析的灵魂.极限问题是学习和教学中的困难问题之一,其中心问题有两个:一是证明极限的存在性,二是求极限的值.这两个问题有密切的关系,若求出了极限的值,自然极限的存在性也被证明了.反之,证明了极限的存在性,常常也就为计算极限铺平了道路.虽然求极限的方法有很多种,但是对某一形式的极限,有的方法用起来比较繁琐,有的方法用起来则比较简便,因此,灵活地选择求解方法对于简便而快速的求解极限问题十分重要.不定式极限是极限问题当中的重要内容,处理函数极限中的不定式时,作用显赫的当属L'Hospital法则,而Stolz定理是处理数列极限中不定式的重要工具,常常被称为数列中的L'Hospital法则,对于离散形式的不定式极限问题的求解具有极大的优越性,并且Stolz定理能够推广到函数极限的情况,从而进一步扩大了其应用的范围.由于Stolz定理的重要性及其应用的广泛性,大量的科研工作者对Stolz定理产生了浓厚的的兴趣.比如,文献[1]研究了Stolz定理及其推广定理的证明;文献[2]介绍了如何利用Stolz定理求解一些特殊的极限问题;文献[3]给出了Stolz定理的推广形式在不同极限问题上的应用.但是在一般的教材当中Stolz定理并没有给出,从而使许多经典极限的求解问题变得相当的困难.本文主要介绍推广的Stolz定理及其应用,并从推广定理出发推导出了几个常用的结论,通过一些具体的例子说明Stolz定理及其推广的有关结论在求特殊形式的极限时的优越性,以期对极限理论的学习和研究有所帮助.2 Stolz 定理及其推广为了更好的研究Stolz 定理的推广定理,下面先给出Stolz 定理及其有关结论. 2.1 Stolz 定理Stolz 定理是求数列极限中∞∞型不定式和0型不定式的有效方法,可以说是数列中的L'Hospital 法则,下面给出该定理及其证明.定理2.1[4] ∞∞型的Stolz 定理设数列{}n x 严格递增且+∞=∞→n n x lim ，若l x x y y n n n n n =----∞→11l i m，则有l x ynn n =∞→lim （其中l 为有限数,∞-∞+或）.定理2.2 0型的Stolz 定理设数列{}n x 严格递减且0lim =∞→n n x ,当∞→n 时,0→n y ,若l x x y y n n n n n =----∞→11lim,则l x y n nn =∞→lim（其中l 为有限数,∞-∞+或）. 附注1）定理2.1中并没有要求+∞=∞→n n y lim ,{}n y 可以是任意一个数列,从而使该定理的应用范围更加广泛.2）Stolz 定理中的l 可以是有限实数或∞-∞+或,但不能是∞,即若∞=----∞→11limn n n n n x x y y ,不一定有∞=∞→nnn x y lim. 例如 若n x n y n n n =-=,)1(,虽然∞=--=--∞→--∞→1)12()1(lim lim 11n x x y y n n n n n n n , 但∞≠-=∞→∞→n n n nn x y )1(lim lim. 3）Stolz 定理的逆定理不成立.例如 设n )1(-=n a ,令n n a a a x ++=21,n y n =,则当n 为偶数时0=nny x ;当n 为奇数时ny x n n 1-=, 所以,2,1,0lim==∞→n y x nnn , 然而极限n n n n n n n n n a y y x x )1(lim lim lim11-==--∞→∞→--∞→不存在.下面给出Stolz 定理的几个推论.推论2.1 若将定理2.1中的条件“{}n x 严格递增趋向于∞+”换为“{}n x 严格递减趋向于∞-”,则定理的结论依然成立.证明 若{}n x 严格递减且-∞=∞→n n x lim ,则{}n x -严格递增且+∞=-∞→)(lim n n x ,按照定理2.1,则有nn n n n n x yx y --=∞→∞→lim lim）（11)(lim--∞→-----=n n n n n x x y y11lim--∞→--=n n n n n x x y y .从而可得定理2.1对于这种情况也是成立的.推论2.2[5] 设{}n y 是实数列,若l y y n n n =--∞→)(lim 1（l 为有限数、∞-∞+或）,则l ny nn =∞→lim. 推论2.3[6] 设实数列{}n y ,如果)( 02∞→→--n y y n n ,则0lim1=+-∞→ny y n n n .推论2.4 设数列{}n y 收敛于l （有限或无限）,算术平均数列ny y y x nn +++= 21,则l x n n =∞→lim .证明 令n a y y y b n n n =++=,21 ,由定理2.1知, ）（1,lim lim limlim 1111=-=-==--==--∞→--∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n a a y b b l y a a bb a b x , 所以l x n n =∞→lim .推论2.5 已知{}{}n n x y 和是两个实数列,若nnn x y ∞→lim为有限、∞+或∞-,当∞→n 时, n x x x <<21且+∞→n x ,又0>n x ,则nn n n n n x yx x x y y y ∞→∞→=++++lim lim2121 .证明 取n n n n x x x b y y y a ++=++=2121,,则11,---=-=n n n n n n b b x a a y ,所以,由定理2.1有112121limlim lim--∞→∞→∞→--==++++n n n n n nn n nn n b b a a b a x x x y y ynnn x y ∞→=lim. 在数列中,有许多不定式极限,若用传统的“N -ε”语言来证明,显得很繁琐,而应用Stolz 定理来证明却很简单.下面将通过例子来说明Stolz 定理在处理数列中不定式极限时的优越性.例2.1 假设函数列 ,3,2),sin(sin sin ,sin sin 11===-n x x x x n n ,若0sin >x ,证明1sin 3lim=∞→x nn n . 证明 取定x ,显然当+∞→x 时,{}x n sin 单调递减趋于零.由Stolz 定理有x xxnx n n n n n n n n 22122sin 1sin 11limsin 1limsin lim -==+∞→∞→∞→xx n n n 22sin 1)(sin sin 11lim-=∞→)sin (t x n =令2201sin 11limt t t -=→展开）处作在（将Taylor t t 0sin = 3=, 所以13sin lim sin 3lim2==∞→∞→xn x nn n n n .在Stolz 定理的基础上,可以将其进行推广,其应用的范围也会进一步扩大.下面主要讨论推广的Stolz 定理及其一些常用结论. 2.2 推广的Stolz 定理Stolz 定理可以推广到函数极限的情形.定理2.3 （∞∞型）若0>T 为常数,且1）)()(时当∞→+∞→x x g ,且f ,g 在[)+∞,a 上内闭有界; 2）)()(x g T x g >+,任意a x ≥; 3）l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim,其中l 为有限数或∞+或∞-. 证明 （1）l 为有限数要证明l x g x f x =+∞→)()(lim,即要证明任意0>ε,存在0>δ,当δ>x 时,有ε<-l x g x f )()(. （2-1）按已知条件)( )(时当∞→+∞→n x g 及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,知任意0>ε,存在0>A ,当A x >时,有2)()()()(0,)g(ε<--+-+>l x g T x g x f T x f x ,（2-2） 我们若能证明对任意0>ε,存在0>N ,当N n >时,对任意[]T A A x +∈,,恒有 ε<-++l nT x g nT x f )()(，（2-3） 则（2-1）式获证.事实上,对于任意的NT A y +>,总存在[]T A A x N n +∈>,及,使得nT x y +=.从而由（2-3）式知,对任意的NT A y +>有ε<-l y g y f )()(, 这表明（2-1）式成立.我们只需从（2-2）式推证（2-3）式即可. 记l T n x g nT x g T n x nT x f a n --+-+-+-+≡))1(()())1(()(,（2-4） 则[])( ) )1(()())1(()(l a T n x g nT x g T n x f nT x f n +-+-++-+=+ [])( ))2(())1(())2((1l a T n x g T n x g T n x f n +-+--++-+=- +))]()1(()([l a T n x g nT x g n +-+-+ =[])()()2()(2l a T x g T x g T x f ++-+++= [])()2()3(3l a T x g T x g ++-++ ))]()1(()([l a T n x g nT x g n +-+-+++ [])()2()(2T x g T x g a T x f +-+++=[][])()())1(()(T x g nT x g l T n x g nT x g a n +-++-+-+++ , 从而有)()lg()()()(nT x g T x T x f l nT x g nT x f ++-+≤-++ {} ))1(()( )()2( )(12T n x g nT x g a T x g T x g a nT x g n -+-++++-+++,由（2-2）式,知),,2,1(2n k a k =<ε,上式右端)()()(2)()lg()(nT x g T x g nT x g nT x g T x T x f ++-++++-+≤ε 2)()lg()(ε+++-+≤nT x g T x T x f ,而)lg()(T x T x f +-+在[]T A A +,上有界,即存在0>M 使得M T x T x f ≤+-+)lg()(, 则上式右端2)(ε++≤nT x g M ,但)()(时当∞→+∞→n x g ,故存在0>N ,当N n >时,有2)(ε<+nT x g M ,所以εεε=+<-++22)()(l nT x g nT x f .（2）+∞=l 的情况 因为+∞=-+-++∞=+∞→+∞→)()()()(lim,)(lim x g T x g x f T x f x g x x ,故对任意0>M ,存在a A >,当时A x >M x g T x g x f T x f x g 2)()()()(,0)(>-+-+>,从而对任意N n ∈,有M T n x g nT x g T n x f nT x f 2))1(()())1(()(>-+-+-+-+,由此有[]))1(()(2))1(()(T n x g nT x g M T n x f nT x f -+-++-+>+ []))1(()(2))2((T n x g nT x g M T n x f -+-++-+>[]))2(())1((2T n x g T n x g M -+--++>[] +-++>)()(2)(x g T x g M x f[]))1(()(2T n x g nT x g M -+-++[])()(2)(x g nT x g M x f -++=,则)()(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++. 注意到[]T A A x Mg x f +-,)(2)(在上有界,而且+∞→+)(nT x g ,所以存在0>N , 当时N n ≥,M nT x g x Mg x f ->+-)()(2)(.于是M M M nT x g nT x f =->++2)()(.对任意NT A y +>,当存在N n >及[]T A A x +∈,时,有nT x y +=,故有M nT x g nT x f y g y f >++=)()()()( 即+∞=+∞→)()(limx g x f x . （3）-∞=l 时,可考虑)(x f -,即可化为（2-2）的情况.定理2.4 （0型）设0>T 为常数,且1）0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ;2）a x x g T x g ≥∀<+<),()(0; 3）l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim,其中l 为有限数或∞+或∞-. 证明 不妨设l 为有限数.由3）及极限定义容易推知,对任意给定的0>ε,必有正数a A >,使对一切[]T A A x +∈,及一切自然数P 都有[])()()(PT x g x g l +--ε)()(PT x f x f +-<[])()()(PT x g x g l +-+<ε, （2-5） 对于任意固定的A x >,我们在（2-5）式中令+∞→P ,由于 0)(lim )(lim =+=++∞→+∞→PT x f PT x g P P ,故得)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-,于是)(,)()(A x l x g x f l >+<<-εε 即ε<-l x g x f )()(, 所以l x g x f x =+∞→)()(lim. ∞-+∞=或l 的情况类似.附注 同Stolz 定理一样,此定理条件中强调极限)(T)()()(limx g x g x f T x f x -+-++∞→为有限数或∞-∞+或,但不能是∞.这是由于若换为[]∞=-++∞→)()1(lim x f x f x 时,未必有∞=+∞→xx f x )(lim. 例如 设)2,1,0( 2212 ,0122 ,2)( =⎩⎨⎧+<≤++<≤=n n x n n x n n x f ,定义在[)∞+，0上,)(x f 满足定理的条件,且[]∞=-++∞→)()1(lim x f x f x ,但∞≠+∞→xx f x )(lim.事实上,x x f x )(lim +∞→不存在,因为0)(lim =+∞→x x f x ,而1)(lim =+∞→xx f x .下面将定理2.3、定理2.4再推广一步,从而可以得到更一般的结论. 差分也有一些与微分相类似的性质,记),,2,1()),(()(),()()(),()(110=∧∧=∧-+=∧=∧-n x f x f x f h x f x f x f x f n n则不难证明))(()1()(0h i n x f C x f in ni i n-+-=∧∑=. 定理2.5 设函数)(x f 、)(x g ,[)+∞∈,a x 满足1）存在某个0>h ,使得)(x f i ∧、)(x g i ∧在任意有限区间上有界;并且+∞=∧+∞→)(lim x g n x )0)(lim )(lim (=∧=∧+∞→+∞→x g x f i x i x ,)11,0(-=n i ;2）)2,1(),0)((,0)(n i x g x g i i =<∧>∧;3）l x g x f nn x =∧∧+∞→)()(lim , 则l x g x f x =+∞→)()(lim. 证明 因)(x f i ∧、)(x g i ∧,)11,0(-=n i 分别满足定理2.3、定理2.4的条件,反 复应用定理中的结论可得l x g x f x g x f x g x f n n x x x =∧∧==∧∧=+∞→+∞→+∞→)()(lim )()(lim )()(lim .特别,当1=n 时,即是定理2.3或定理2.4,无疑这是Stolz 定理的又一推广. 应用定理2.5可以得到下面的推论.推论2.6 如果)(x f 在[)+∞,a 内任一有限区间上有界,并且存在某0>h ,使得[])()(lim x f h x f x -++∞→存在,则hx f h x f x x f x x )()(lim )(lim-+=+∞→+∞→. 推论2.7 如果0)(lim =+∞→x f x ,且[]l h x f x f h x x x =+-++∞→)()()(lim ,则hlx xf x =+∞→)(lim . 推论2.8 如果0)(>x f ,1)(lim =+∞→x f x ,且l h x f x f hh x x x =+++∞→)())()((lim ,则l x f x x =+∞→)(lim .对于数列,也可以讨论与定理2.5类似的问题.推论2.9 对于数列{}n x ,{}n y ,如果存在某正整数m ,使得n m n x x >+,+∞=∞→n n x lim(或n m n x x <+,0lim =∞→n n x ,0lim =∞→n n y ),l x x y y nm n nm n n =--++∞→lim,则l x x yy x y nm n n m n n n n n =--=++∞→∞→lim lim. 这也是Stolz 定理的一种推广形式.3 推广的Stolz 定理的应用3.1 证明Stolz 定理 证明 l x x y y nn nn n =--++∞→11lim,当l 为有限数时（其余情况类似）,作[]1,,)(+∈=n n x x x g n , []1,,)(+∈=n n x y x f n .取1=T ,则显然有 1）)()1(x g x g >+;2）+∞=+∞→)(lim x g x ,且)(x g 、)(x f 在[)+∞,a 的任意闭子区间有界;3）l x x y y x g x g x f x f nn n n n x =--=-+-+++∞→+∞→11lim )()1()()1(lim,于是由定理2.3可得l x g x g x f x f x g x f x x =-+-+=+∞→+∞→)()1()()1(lim )()(lim, 从而l x g x f x y x n n n ==+∞→∞→)()(lim lim. 3.2 证明L'Hospital 法则定理3.1 （∞∞型L'Hospital 法则）若[)+∞==+∞∈≠+∞→+∞→)(lim )(lim ,,,0)('x f x g a x x g x x ,l x g x f x =+∞→)(')('lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim .证明 只需验证)(x f 及)(x g 在[)+∞,a 上满足推广定理2.3的条件即可.取1=T ,由于[)+∞∈≠,,0)('a x x g ,由达布定理[7],知)('x g 在[)+∞,a 内不变号,又因为+∞=+∞→)(lim x g x ,从而[)∞+∈>，a x x g ,0)('.下面验证条件 1）由Lagrange 定理[8]知,对任意[)+∞∈,a x ,存在)1,0(∈θ,使得),(')()1(θ+=-+x g x g x g [)+∞∈,a x ,因为0)('>+θx g ,所以0)()1(>-+x g x g即)()1(x g x g >+.2）由于)(x f 可导,故)(x f 在[)+∞,a 的任意闭子区间上有界,+∞=+∞→)(lim x g x ,这由已知条件直接给出;3）由柯西中值定理[9],任意[)+∞∈,a x ,存在)1,0(∈θ,使)(')(')()1()()1(θθ++=-+-+x g x f x g x g x f x f , 令+∞→x ,由法则假设知l x g x f x =+++∞→)()('limθθ,于是l x g x g x f x f x =-+-++∞→)()1()()1(lim.由1）、2）、3）可知满足定理2.3的一切条件,故有l x g x f x g x g x f x f x g x f x x x =++=-+-+=+∞→+∞→+∞→)()('lim )()1()()1(lim )()(limθθ. 定理3.2 （00型L'Hospital 法则）设[)0)(lim ,,,0)('=+∞∈≠+∞→x g a x x g x ,0)(lim =+∞→x f x ,且l x g x f x =+∞→)(')('lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim .证明 方法同∞∞型L'Hospital 法则的证明. 3.3 应用举例有时利用推广的Stolz 定理可以使有些问题的证明变得十分容易,如下例例3.1 假设f 在[)+∞,a 上有定义且内闭有界,)(∞-∞+或为有限数，l ,如果 l x x f x f n x =-++∞→)()1(lim,则1)(lim 1+=++∞→n lx x f n x . 证明 由推广的Stolz 定理可得12)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim1111+++++-+=-+-+=-+∞→+++∞→++∞→ n n x n n x n x x n n x n x f x f x x x f x f x x f ).,( 1112)1()1()()1(lim 时也成立为-∞∞++=+++++-+=+∞→l n lx x n n n x x f x f nnx例3.2 若f 在[)+∞,a 内有定义且内闭有界[][)[]),,,,(上有界在即任意b a f a b a +∞⊂ 则有 1）[])()1(lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→; 2）[]当右边极限存在时成立,)0)(()()1(lim)(lim 1>≥+=+∞→+∞→c x f x f x f x f x xx . 证明 1）令[)+∞∈∀=,,)(a x x x g 有,1)1(+=+x x g 且)()1(x g x g >+.因为+∞==+∞→+∞→x x g x x lim )(lim ,g f ,在[)+∞,a 上有定义内闭有界且 [])()1(lim )1()()1(limx f x f xx x f x f x x -+=-+-++∞→+∞→, 所以由推广的Stolz 定理可得[])()1(lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→. 2）令x x g =)(,[]))(()(ln )(c x f x f x F ≥=.因为[][][][]{})(ln )1(ln lim )1()(ln )1(ln lim )()1()()1(limx f x f x x x f x f x g x g x F x F x x x -+=-+-+=-+-++∞←+∞→+∞→ )()1(limln )()1(lnlim x f x f x f x f x x +=+=+∞←+∞→而[][])()1(limln )(ln lim )(ln lim )()(lim 1x f x f x f x x f x g x F x x x x x +===+∞→+∞→+∞→+∞→, 所以由推广的Stolz 定理得[])()1(lim)(lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→.结束语Stolz 定理是求数列极限的一种方法,是L'Hospital 法则的离散形式,通过对Stolz 定理的推广形式的引入,给出了L'Hospital 法则的证明,从而架起了Stolz 定理与L'Hospital 法则联系的桥梁,借此可以更好地研究Stolz 定理和L'Hospital 法则的精髓.通过对Stolz 推广形式的研究,加深了对∞∞型和0型极限的认识,从而使一些复杂的问题迎刃而解.但由于知识的储备还不充足,所以在某些问题当中还存在着不足,不过以后会继续研究,不断提高自己的科研能力.参考文献[1]王少英,刘文菡.Stolz定理的证明和推广[J].新乡学院学报,2009,26(4):11-12.[2] 张丽娅.Stolz定理的巧用[J].天水师范学院学报,2008,28(2):4-5.[3] 黄涛,申方.Stolz定理的相关问题及应用探讨[J].天中学刊,2008,23(5):12-15.[4] 张云艳.Stolz公式的推广及其应用[J].洛阳师范学院学报,2004,12(5):21-23.[5] 郭田芬,杨庆玺.Stolz定理的推广及应用[J].焦作师范高等专科学校学报,2008,24(1):66-67.[6] 王红丽.Stolz定理的应用和推广[J].唐山师范学院学报,2007,41(2):89-92.[7] T.M菲赫金哥尔茨.微积分教程[M].叶彦谦,译.北京:人民教育出版社,1964.[8] 华东师大数学系.数学分析（上）[M].北京:高等教育出版社,1999:119-133.[9] 欧阳光中,姚允龙.数学分析:上册[M].上海:复旦大学出版社,1991.[10]刘绛玉.几个Stolz定理的推广定理[J].石家庄职业技术学院学报,2009,21(6):77-78.[11]李俊杰.Stolz定理的推广[J].数学通报,1981,24(3):22-26.[12]贾立鹏,董立华,张景晓.Stolz定理及其推广[J].德州学院学报,2002,18(4):10-12.[13]G.克来鲍尔.数学分析[M].庄亚栋,译.上海:上海科学出版社,1981.致谢毕业论文在此就告一段落,大学四年也就要结束了.在此我要感谢我的导师——沈林老师,他给予了我大力的支持、耐心的帮助和悉心的教导.他认真的审阅了我的论文,并对我的论文作了严格的修改.他那深厚的学术造诣、开阔的视野、活跃的思维都给我留下深刻的印象,使我受益匪浅.在此向我敬爱的导师表示最真诚的感谢和深深的敬意！同时我还要感谢在校期间对我教育培养的所有老师,谢谢他们细心指导我的学习.我要向诸位老师深深的鞠上一躬.还有那些和我共同努力的兄弟姐妹,我们相互帮助一起走过大学的风风雨雨、朝朝暮暮.谢谢你们陪我度过美好的大学生活.最后我还要感谢我的父母,多年来他们坚定的支持是我学习的永恒动力！在以后的工作中我会以各位老师为榜样,用老师教给我的知识奉献社会.以最好的成绩向老师和领导汇报.18。
stolz定理上极限
stolz定理上极限【原创版】目录1.Stolz 定理的概述2.Stolz 定理的证明3.Stolz 定理的应用4.Stolz 定理的局限性正文1.Stolz 定理的概述Stolz 定理，又称为 Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家 Otto Stolz 和意大利数学家 Ernesto Cesàro 分别于 1889 年和 1890 年独立发现的。
它是一种求极限的方法，主要用于解决数列的极限问题。
Stolz 定理在数学分析中有着广泛的应用，尤其在实分析、复分析以及概率论等领域具有重要意义。
2.Stolz 定理的证明Stolz 定理的证明过程相对简单。
假设我们有两个数列{a_n}和{b_n}，它们都趋于 0，且存在极限 L 和 M，即 lim(n→∞) a_n = L，lim(n→∞) b_n = M。
若存在一个常数 r，使得 lim(n→∞) |r*a_n + b_n| = 0，则有 lim(n→∞) |r*a_n + b_n|/|a_n| = 0。
此时，我们可以得出结论：lim(n→∞) (a_n + r*b_n)/a_n = 1。
3.Stolz 定理的应用Stolz 定理在求极限问题中具有广泛的应用，例如求解以下问题：lim(n→∞) (1 + 1/n)^n我们可以令 a_n = (1 + 1/n)^n，b_n = 1/n，那么有 lim(n→∞) a_n= e，lim(n→∞) b_n = 0。
取 r = 1，我们可以发现 lim(n→∞) |r*a_n + b_n| = 0，因此可以使用 Stolz 定理求解该极限：lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = lim(n→∞) [(1 + 1/n)^n + 1/n] / (1 + 1/n)^n = e4.Stolz 定理的局限性虽然 Stolz 定理在求解极限问题中具有很大的优势，但它也存在局限性。
首先，它只能用于求解正数数列的极限；其次，在使用 Stolz 定理时，需要满足数列趋于 0 的条件，且存在一个常数 r，使得 lim(n→∞) |r*a_n + b_n| = 0。
stolz定理上极限
stolz定理上极限摘要：1.介绍Stolz 定理2.Stolz 定理的应用3.Stolz 定理的证明正文：1.介绍Stolz 定理Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 在20 世纪初独立发现的。
它是一种求极限的方法，特别适用于求解形式为“1/n”的有理函数序列的极限。
Stolz 定理将原函数的极限问题转化为求解另一个与原函数相关的函数的极限问题，从而简化了求解过程。
2.Stolz 定理的应用Stolz 定理在求极限问题中具有广泛的应用。
例如，当遇到形如“1/n”、“1/n^2”或者“1/n^k”的有理函数序列时，我们可以考虑使用Stolz 定理来求解其极限。
通过Stolz 定理，我们可以将这类极限问题转化为求解一个容易求解的极限问题，从而简化求解过程。
3.Stolz 定理的证明为了更好地理解Stolz 定理，我们接下来介绍其证明过程。
假设我们有一个数列{a_n}，其极限为L，即lim(n→∞) a_n = L。
同时，我们还有一个与{a_n}相关的函数{b_n}，满足：(1) 当n 趋近于无穷时，b_n 趋近于0；(2) 对于任意的ε>0，存在N，当n>N 时，有|a_n-b_n|<ε。
我们需要证明：若函数f(x) 满足f(x) = 0 的根的集合为A，且A 中的元素是有限的，那么lim(n→∞) f(a_n) = 0。
证明过程如下：由题设条件，我们可以知道，对于任意的ε>0，存在N，当n>N 时，有|a_n-b_n|<ε。
因此，我们可以得到：|f(a_n) - f(b_n)| = |f(a_n) - f(b_n) + f(b_n) - f(a_n)| ≤ |f(a_n) - f(b_n)| + |f(b_n) - f(a_n)| < 2ε由于A 中的元素是有限的，我们可以找到一个M，使得A 中所有的根都在(-M, M) 之间。
Stolz定理推广定理的推广
即 !S 在任何 子区间有界 D由 于 I<JK 任 取 : 所 以对任 意自然数 成 立 D同 理 可 证 % ’ & #; 在任意子区间有界 DI<JK D !S % ’ & #$ 由定理条件 % E’
& C#9 +0 +0 !/ % & ’ !/ $ % &# *’+ ! / $ % & ’ # $ # # ( @ A B (F / / +0 / +0 !# ; % & ’ &C # 9 ! # ; % &# *’+ ! # ; % & ’
+ 4 ,
+ 1 ,
<<
01 01 () + $& 1 2,6 ( ) + $& + ;0 4 , 2,& 5 & &
+ > ,
上式相加得
01 01 () + $& ; 2,6 ( ) + $ ,& ; 5 & & 01 01 由上面证明知 ( ) 在? 上有界 A设 5B 为下 确界 8 这样 ( ) + , + &; 6 $ 98 9&2@ $ 2, & & -
@ A B
从而 !
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+0 满足引理 0条件 : 由引理 0 % ’ :! / % ’ ; & & # $
T期
杨姗姗等 U 定理推广定理的推广 V W X ! Y
关于stolz定理的一个证明
关于stolz定理的一个证明Stolz定理是一个数学理论，它可以用来证明函数在收敛时会有无穷多的零点。
Stolz定理被认为是微积分的基础，它的数学公式是：\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0Stolz定理证明方法简洁明了，但明白证明道理的基本步骤并非那么容易。
如果简单的阅读相关的数学文章而不去了解其中的基本概念，那么学习Stolz定理的过程会相当费时费力，甚至可能无法理解。
下面介绍Stolz定理的证明过程，帮助读者更加清楚地理解Stolz定理。
首先，推导Stolz定理需要假设函数f(x)在(a,∞)上是连续的，这意味着，不存在任何的实数c使得该区间上f(x)在c处取得极值。
证明用到的另一种假设是f(x)满足在区间[a,b]上的连续(即f在[a,b]上关于b可导)。
从上述假设中可知，当a<b时，即在[a,b]上有f(x)的导数存在。
因此，当x取得一系列取值，使f(x)在[a,b]上可导，其中x取值范围为[a,b]时，使f(x)关于x可导，令f'(x)表示关于x的导数。
手上有这样一系列取值，令y1=f(x)，其中x取值范围为[a,b]时，将函数分成n等分，令其中的等分点为y1,y2,…,ym，特别的，在m＝1的情况下，y1＝f(a)。
又因为f(x)关于x可导，令f’(xi)=(y(i+1)-y1)/(xi–x1),即i＝1,2,…,(m-1)，此时，当i＝1时，xi＝a。
假设f’(x)在[a,b]是连续的，又f(x)在[a,b]的连续性使得f’(x)是连续的，则可以把[a,b]划分为m段，其中1＝xi,2＝x2,…,m ＝xm，使得f’(xi)=f’(x(i+1))，即在第i段上使f’(xi)=f’(x(i+1))。
当上述任务完成以后，就可以发现每段分割的a,b之间都有一个f’(x)的零点存在，而在(a,b)上，零点个数无穷多，而在m取得足够大时，将函数f（x）等分为m段时，每一段之间皆可发现一个f’(x)的零点，从而达到存在无穷多的f’(x)的零点。