数学归纳法在中学数学教学中的应用研究
Ａ 可 画出对 角 线 的 数 量为 ｋ一２条 ，而且 凸 ｋ边 形 的边 Ａ。Ａ 变为一条对 角线．这样总共增加 ｋ一１条 对角线．故得 出
对角线实际条数 ：
，（ｋ＋１）＝Ｉ厂（ｋ）＋（ｋ＋１）
１
＝ ÷ （ｋ一３）＋（ｋ一１） 二
１
·
＝ ÷ （ｋ பைடு நூலகம்ｋ一２）
二
１
＝ ÷ （ｋ＋１）（ｋ一２） 二
１
： ÷ （ｋ＋１）［（ｋ＋１）一３］． 二
说 明 ，当 ｎ＝矗＋１的时候 ，命题 同样 是成立的． 三 、结 语
总 而 言 之 ，数 学 归 纳 法 是 中 学 数 学 教 学 中 最 为 重 要 的
证 明方法之一 ，同时也是特殊性 论证方 法 ，在 多个 教学 环节
得到 了广泛 应用 ，在 中学数学 教学 期 间怎样 有效 运 用该 方
【关键词 】数学 归纳法 ；中学数学教学 ；应用 ；研 究
实质 上 ，数学教学不仅仅 是抽象性 问题 ，而 且要熟 练掌 握实践操作 方法 ，将教学重点 放置 到教学过程 研究 方面 ，进 一 步 突出学生的主动性与积极性 ．在 中学数学 教学 期间 ，应 该学会让学 生主动 收集 资料 ，并 就 已有 数 据实施 科 学化 统 计 、分类 以及归 纳 ，争取 获得正确 的分 析结论 ．所 以说 ，数 学归纳法是 中学数学教学过程 中至关 重要 的学习方法．
一 、 数学归纳法 的基 本概 述 （一 ）数学归纳法 的概 念 从数 学专业角度来 看 ，我 们可 以 给数 学归 纳法 下 一个 定义 ，以此证 明一个命 题在 相应 的 自然数 范 围之 内成 立 的 证 明方法．此外 ，数 学归纳 法不 仅可 以应 用 于 自然数 ，还能 够对部分 数学定理进行有效证 明 ． （二 ）数学 归纳 法的步骤 数学归纳法应用步骤可 以分为两 步 ：第 一步 ，常数 背景 下证 明命 题成立．实质上 ，常数 背景下 的命题 成立 ，换言 之 ， 是特殊 背景下 的命 题 成立 ，可 以看作 是命 题证 明期 间 最基 础 的步骤 ，实 际应 用过 程 中，我 们将 １设 置 为命 题起 点 ；第 二 步 ，对任 意常数 背景下的命题成 立进行证 明 ，该 环节 的证 明成 功与否与命 题的 正确性 息 息相关．将 其应 用 到数 学教 学 中 ，我们可 以将 ｋ表示一般情况．当 ｎ＝ｋ的时候命题是成 立 的 ，然后推导 ｎ＝ｋ＋１的时候 ，最 终命 题 的成 立 与否．进 一 步证 实结论所具 有 的普遍 性 ，同时该步 也是 命题 证 明最 为 关键 的 步 骤 Ｊ． 二、数学归 纳法在 中学数学教学 中的具体应 用 （一 ）数学 归纳法在恒等式证明 中的应 用 在 采用数学归 纳法进 行恒 等式 证 明 的时候 ，整个 过程 只需 要做到等式 的左边 以及右边两侧的数值相等就行 ． 例如 ，运用数 学归纳法来证 明 ：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ … ＋（３ｎ一２）＝（２ｎ一１） （ｎ∈Ｎ ）． 首先证 明：（１）当 ｎ＝１的时候 ， 左边 ＝１＝（２ ｘｌ一１） ：右边 ，这样等式成立． （２）然后再假设 ｎ：ｋ的时候 ，等式 同样成 立 ，也 就是说 ｋ＋（ｋ＋Ｉ）＋（ｋ＋２）＋···＋（３ｋ一２）：（２ｋ一１） ， 则 当 ｎ＝ｋ＋１的 时候 ，有 （ ＋１）＋（ｋ＋２）＋… ＋（３ｋ一２）＋（３ 一１）＋３ｋ＋（３ ＋１） ＝ ［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋… ＋（３ ＋２）］＋８
数 学 学 习 与 研 究 ２０１８．８
见 的 应 用 ，一 些 与 正 整 数 具 有 密 切 关 系 的 几 何 问 题 是 完 全
可以借 助数学归纳法进行证 明的 ，值 得注 意的是 ，证 明前 必
须 要寻找规律 ，最 终获得公 式 ，最后再 证 明结论．例 如 ，凸 ｎ
１
边 形对角线条数 ，（ｎ）＝ １ ｎ（ｎ一３）（ｎ≥３）．
二
证明 ：（１）当 ｎ＝３的时候 ３）＝０，由于三角形无 对角
线 ，故原命题成立．
（２）做 出假设 ：当 ＝ｋ（ｎ≥３）的时候 命 题 是成 立 的 ，
１
八ｋ）＝÷ （ｋ一３），则当 ｎ＝ｋ＋ｌ的时候 ，凸 ｋ边形变为凸 二
ｋ＋１边形 ，然后 由顶 点 Ａ 与 ｋ一２个顶 点 Ａ ，Ａ，，Ａ ，… ，
法 ，是不断提升教学质量水平 的有效途径．
【参考文献 】 ［１］陈绍东．数 学 归纳法在 中学数 学教 学 中的应用研 究 ［Ｊ］．中国证券 期货 ，２０１２（５）：２６５—２６６． ［２］刘芳．数学归纳法在 中学数 学中的应用与研究 ［Ｊ］． 才 智 ，２０１７（１４）：６６． ［３］李玉军．浅谈数学 归纳法 的文化 之美［Ｊ］．吕梁 学院 学 报 ，２０１３（２）：９１—９３．
＝ （２ｋ一１） ＋８岛
： ４ 。＋４Ｊ］｝＋１
＝ （２ｋ＋１）
＝ ［２（ｋ＋１）一１
也 就是说若 ｎ＝ｋ＋ｌ，则等 式成 立 ，所 以对于任 意一 个
正整数 ｎ，其等式都是可 以成 立的．
（二 ）数学 归纳 法在几何问题证明中的应 用 现阶段 ，数学 归纳 法证 明几何 问题 相 对来 说是 比较 常
●
解 题 技 巧 与 方 法
。
．
嘞
● ．－Ｉ ●
■
数 学慵 滚垂 中学绺 学觳学咿渤庭 撩 窕
◎张 岩 （济宁市第一 中学 ，山东 济宁 ２７２０００）
【摘要 １现 阶段 ，数学 归纳法 属于 中学数 学教 学 期间 的 常用论证方法 ，尽管具备一定局 限性 ，仅 仅适用 于正整 数相 关数学命题 ，然而它 同样是 中学数学教 学 中不 可缺 少 的．所 以说 ，数 学归纳法不 仅是 高考 数 学考 点，而且是 教 学难 点． 那么 ，我们 应该 如何 更好 地理 解数 学 归纳 法 呢？本 文 就数 学归纳法在 中学数 学教 学 中的应用展开详细论述．
毕业论文：数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．n时表示一个命题，正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立，那么当1n k时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0N（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a（我们用符号'a 表示a的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从．a b可以推出a b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ．由''素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ．设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从'a也属于M；则集合M包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起n n，…，则始元素，如果记'01，'12，'23，…，'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中，所以M N .从而必存在自然数0m M ，且01m M .因为若不然，就有（1）0M (0不大于任一自然数）； （2）若m M ，则1m M .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何aA ，都有0m a ；而且0m A .事实上，若0m A ，则有01m a ，对任意a A ，于是01m M ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n 为真；（2）假设0()()T n nn 为真，则可以推出(1)T n 也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n ，从而001m n 且0(1)T m 为真.由（2），取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
关于数学归纳法在中学数学理的应用
数学归纳法的定义： 在数学问题中，每一类问题都有一种与门的 方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数 问题的一种工具．归纳法是从个别的论断归结出 一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖 亍各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳 法和丌完全归纳法两种，完全归纳法只局限亍有 限个元素，而丌完全归纳法得出的结论丌一定具 有可靠性，数学归纳法属亍完全归纳法．
二，数学归纳法的基本思想与特征：
从特殊到一般； 递推思想； 数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两 种基本形式——丌完全归纳和完全归纳。 归纳法的基本模式： 证明一个不正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值 时结论正确； (2) 假设当n＝k ( ，k≥ ) 时结论正确, 证明当n＝ k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所 有正整数n都正确．
四，数学归纳法在中学数学应用题型：
证明有关自然数的等式 证明有关自然数的丌等式 证明丌等式 在几何中的应用 在排列、组合中的应用 在数列中的应用 有关整除的问题
五，数学归纳法的局限：
只能解决不自然数nБайду номын сангаас关的问题 n的任意性给假设带来一定的难度 中学竞赛题中很少应用到数学归纳法。
在起点上下功夫。 正确选取起点和过渡： 例6 任意n条直线均能重合成一条直线． 这个命题是荒谬的，当n＝2时就丌能成立．但如果 我们忽视了这一点，而采用如下的“证明”，那 么就有可能陷亍荒谬而难亍解脱： 当n＝1时，命题显然成立．假设当n＝k时，命题 已经成立．那么当n＝k＋1时，可以先让其中k条 直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一 条重合为一条直线，即知命题也可成立．所以任 意n条直线均能重合成一条直线．
数学归纳法在初等数学中的应用
龙源期刊网 数学归纳法在初等数学中的应用作者：刘玮来源：《考试周刊》2013年第29期摘要：在数学教学中，在培养学生演绎推理能力的同时要重视合情推理能力的培养，与之对应的是归纳、猜想的思想和数学归纳的方法.运用数学归纳法证明，能起到化繁为简的作用，有助于培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力.关键词：数学归纳法中学数学教学合情推理演绎推理数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法.运用数学归纳法处理问题，能起到化繁为简的作用，有助于培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力.在实际教学中，教师对数学归纳法的讲授和应用多停留在数列、恒等式和不等式相关问题上.其实数学归纳法在中学数学中的应用远不止于此，它还可用来解答或证明整除性、三角函数和几何等方面的问题.1.数学归纳法在整除性问题上的应用3.数学归纳法在平面几何中的应用例3：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n■-n+2个部分.分析：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块.本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题得到了解决.证明：①当n=1时，平面内1个圆把平面分成2个部分.4.在函数迭代中的应用数学归纳法在中学数学中用途甚广，可是实际上学生对数学归纳法并不能做到熟练运用，通常仅限于数列和函数方面的应用.由此导致学生在真正运用数学归纳法处理问题时常出现两个比较重大的错误：一是弄不清第二步到第三步的具体变化，二是在证明时根本没有运用到第二步的假设.因此，教师要对数学归纳法在中学数学中各个方面的应用进行深入探讨，把握规律，方能做到在教学中胸有成竹，成功地引导学生掌握归纳猜想的思想和相应的数学归纳法.。
归纳法在数学中的应用
小议“数学归纳法”在中学数学中的应用数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷，总会花费人们大量的时间与精力，去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念，自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为，归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论，具有明显的推理过程，但这些推理只是简单的列举，没有涉及归纳结果，因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的[1]，因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的《算术》一书中，明确地提出了“递归推理”这个思想方法.我国著名的数学家华罗庚曾说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益.”宏观来看，数学归纳法看似单一，可看作一个公式来证明命题，实则不然，它要求学生掌握必备的知识与技能，同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳II法解决一些与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，最终熟练掌握“归纳——猜想——证明[2]”这一思维方法，这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法，有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段。
2.1(2)数学归纳法及其应用举例
第二章 极 限
一 数学归纳法
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
2.1数学归纳法及其应用举例
（2）
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1 时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
归纳假设，除l外的其他k条直线的交点个数为 f(k) k(k1)
∵任何两条直线不平行，
2
∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点)；
又∵已知任何三条直线不过同一点， ∴上面的k个交点两两不相同，且与平面内的其它 k ( k 1)
2 个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是
k(k1)k(k1)[k (1)1]
北京大峪中学高三数学组
课堂练习
p67
数学归纳法及其应用举例
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
浅析数学归纳法原理及应用举例_3
浅析数学归纳法原理及应用举例陕西省延安市第一中学 王雪娟 （邮编：727400）【摘 要】数学归纳法是中学数学中一种重要的证明方法，在不少问题的证明中，它有着其他证明方法所不能替代的作用。
本文一方面浅谈数学归纳法原理；另一方面浅析在理解原理的前提下如何进行灵活应用。
【关键词】数学归纳法 递推 归纳假设 证明归纳法是指由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，它分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定正确。
完全归纳法是通过研究事物的所有特殊情况得出结论的推理方法，其结论一定正确，但对于无穷多个实例的情况，我们不可能做到一一验证。
而数学归纳法它不仅克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，又克服了完全归纳法的繁杂不可行，充分体现了利用“有限”的手段解决“无限”的问题，将无穷的归纳过程转化为有限的特殊演绎过程。
在具体的教学实践中，学生往往只知其然不知其所以然，只是机械套用两个步骤，而对其真正内涵并不理解。
本文就结合教学实践浅谈数学归纳法的来源、理论根据及具体应用。
一、 数学归纳法的来源最初人们对于正整数只是处理有限个的问题，但正整数集是一个无限集，人们不可能写出所有的正整数，无法对其作无限次的操作，因此人们只有通过某种方法沟通有限与无限，来研究涉及无限集的问题，那就是数学归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolycos 的Arithmeticorum libriduo （1575年），Maurolycos 利用递推关系巧妙地证明了“前n 个奇数的和是2n ”但他仅仅是用例子加以说明并未对方法作出清晰地表述。
最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在《论算数三角形》（1645年）中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”等命题，他最先清楚而明确的指出数学归纳法的两个步骤，即第一引理：该命题对于第一个底成立，这是显然的；第二引理：如果该问题对任一底成立，它必定对其下一个底也成立。
数学归纳法在中学数学中的应用
但是 ， 如果 有这 样 一个 保证 ： 当第 一次 摸 出红 玻璃 球 时 ，
２ ． １ 不 一定从 １ 开始 ，也 就是数 学归纳 法里 的两句话 可 以改 ≥ｋ ｏ ） 时这 个命 题 正
当， ｌ 。 时这个 命题 正确 ； 假设 当 ， ｌ 下 一次摸 出的也 一定是红玻 璃球 。那么 ， 就不必 非礼 去一个一 成 ： 确 ， 那 么当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ时这个 命题也 正确 。 个 地摸 了 ， 只要 第一次 摸 出来的确 是红玻 璃球 ， 就可 以不 在检
誊
旋｜ 莉 耙｜
． 。 嘉 绰 捌
数 学归纳 法在 中学数 学 中的应 用
山西 省 寿 阳 县第 一 中学 校（ ０ ４ ５ ４ ０ ０ ）冀 萍
［ 摘 要］ 数 学归纳 法是根 据归纳原理 应用 演绎推理 的 一种特 殊 的数 学推理 方法 ， 它在 许 多数学 问题 的证 明 中起 着 重要作用 。本 文主 要阐 本源 命 题
ｉ １ －
例： 证 明 差 数列 的 通项 公 式 ａ ｎ ＝ ａ ， ＋ （ —Ｊ ） ｄ （ ）（ 口 是 而 下一 步就是 要在 第 ｋ 号命题 成立 的前提 下 ， 证 明第 斛ｌ 首项 ， ｄ是 公差 ） 上 ，１ ， 证 明分析 ： 当ｎ ＝ ｌ 时， ａ ｌ ＝ ａ ｌ ， （ ） 式成 立 假设 当 ｎ ＝ ｋ时 ， （ ） 式 成立 ，
[教研] “数学归纳法”中的三个问题
“数学归纳法”中的三个问题绍兴市稽山中学孔莉群骆永明参加“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。
在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。
在听课和讨论的过程中，想的最多的是以下三个问题：1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。
甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。
这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真⇒ P(2)真⇒ P(3)真⇒…⇒ P(k)真⇒ P(k+1)真⇒…因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
数学归纳法原理的拓展和应用
数学归纳法原理的拓展和应用数学归纳法是一种重要的数学方法，它被广泛应用于证明各种数学命题。
这种方法可以用来证明无穷序列的性质，只需要检查这个序列的前n项是否满足某种性质，就可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
数学归纳法的原理是，如果一个序列的前n项都满足某种性质，那么我们可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
这个原理可以通过一个简单的例子来说明：考虑一个序列{an}，如果a1=1，a2=2，a3=3，那么我们可以推断出这个序列的每一项都是正整数。
因为当n=3时，序列的项都是正整数，那么我们可以推断出当n为任意正整数时，序列的项都是正整数。
数学归纳法可以用来证明各种数学命题，下面列举几个常见的应用：证明无穷序列的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明调和级数的和是有限的。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，1/1=1是一个有限的数。
然后，我们假设当n=k时，1/1+1/2+...+1/k是一个有限的数。
那么当n=k+1时，1/1+1/2+...+1/k+1/(k+1)也是一个有限的数。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，调和级数的和都是有限的。
证明等差数列的求和公式：例如，我们可以用数学归纳法证明等差数列的求和公式：S_n=na_1+(n(n-1))/2d。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，S_1=a_1是一个成立的等式。
然后，我们假设当n=k时，S_k=ka_1+(k(k-1))/2d是一个成立的等式。
那么当n=k+1时，S_(k+1)=S_k+(a_1+...+a_k)+a_(k+1)=[ka_1+(k(k-1))/2d]+(a_1+. ..+a_k)+a_(k+1)=(k+1)a_1+[(k+1)k]/2d，也是一个成立的等式。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，等差数列的求和公式都是成立的。
证明几何级数的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明几何级数的和是有限的。