数学哲学的内容和意义
数的哲学和思想
数的哲学和思想数学作为一门学科，既具有严谨的逻辑性，也涉及到了许多哲学和思想上的问题。
数的哲学和思想是指通过研究数学中的概念、原理和方法，探讨数学哲学和思想问题的一门学科。
本文将从数的本质、数学存在主义以及数学的社会影响等方面展开讨论，试图揭示数的哲学和思想的重要性和意义。
一、数的本质数的本质一直是哲学和思想家们关注的核心问题之一。
古希腊哲学家毕达哥拉斯认为，数是宇宙的基础，它具有普遍性和不变性。
康德则认为，数是直观与概念的统一，在我们对世界进行认识和描述时，离不开数的概念。
在现代逻辑学中，数被看作是抽象对象的象征，它代表了逻辑思维的基础。
二、数学存在主义数学存在主义是数学哲学中的一个重要派别，它强调数学对象的独立存在。
哥德尔认为，数学定理的存在证明了数学的客观性和真实性。
数学存在主义主张，数学是一种独立于人类思维的客观存在，它的发现和证明只是揭示了数学世界的真相而已。
数学存在主义对数学哲学的发展和人类对数学认识的深化产生了重要影响。
三、数学的社会影响数学作为一门纯粹的学科，也深刻地影响着人类社会的进步和发展。
在科学技术领域，数学的应用无处不在。
从物理学到工程学，从经济学到计算机科学，各个学科都需要数学的理论和方法来支撑和推动其发展。
同时，在经济金融领域，数学模型和算法被广泛应用于风险评估、投资决策等方面，为经济发展提供了重要工具和方法。
此外，数学的思维方式和观念也对人类社会产生了深刻的影响。
数学鼓励人们思考问题的逻辑性和严谨性，培养了人们的分析思维和解决问题的能力。
数学的思维方法和严谨的推理也渗透到其他学科和人类的日常生活中，影响着人们的观念和行为方式。
总结通过数的哲学和思想的讨论，我们可以看到数学与哲学、思想之间的紧密联系和互相影响。
数的本质问题从古至今一直是哲学家们思索的难题，而数学存在主义则形成了数学哲学中的一个重要派别。
数学的社会影响则体现在科学技术和人类思维方式上。
深入探讨数的哲学和思想不仅可以拓展我们对数学的认识，也有助于促进数学和哲学、思想领域的交叉融合，进一步推动人类社会的发展和进步。
数学中的哲学思想
数学中的哲学思想数学，作为一门精确、严谨的学科，常常给人一种冰冷、理性的印象。
然而，在探索数学的过程中，我们会发现其中蕴含着许多哲学思想。
数学中的哲学思想既深刻又有启发性，对我们理解数学本质以及人类思维方式都有着重要的意义。
本文将介绍数学中的哲学思想，并讨论它们对于我们的认知和思考方式的影响。
一、数学的抽象与具体数学对于现实世界的描述往往不那么直接，而是通过抽象的方式展示。
这种抽象并不是放弃真实世界的特征，而是通过简化和概括去掉无关紧要的细节，从而更好地理解问题的本质。
这类似于哲学中的“本质”和“现象”之间的关系。
数学通过抽象，帮助我们理解事物背后更深层次的规律与原理。
另一方面，数学也强调具体性。
例如，具体的数学问题可以通过具体的实例来解释和验证，这与哲学中通过具体的案例来讨论一般性原则的方法相似。
数学中的具体性帮助我们更好地理解抽象的概念，并将其应用于真实世界中的具体问题。
二、数学的逻辑与证明逻辑是数学的基石。
数学推理严密，从一个简单的命题出发，通过逻辑推演，最终得到清晰、明确的结论。
这种逻辑推理的方式与哲学中的演绎推理有着异曲同工之妙。
数学通过严密的证明过程，保证了结论的可靠性和正确性。
数学的证明过程也体现了哲学思想中对于真理的追求。
类似于哲学家的追问和探索，数学家通过推理和证明，试图揭示存在于数学世界中的真理。
数学中的证明过程，不仅仅是为了验证一个结论的正确性，更是一种追求真理的哲学行为。
三、数学的美与形式数学中的美常常令人惊叹。
一条简洁而美妙的数学定理，如同美丽的艺术品，引发着人们对于数学的情感共鸣。
这种美与形式的追求，与哲学中对于美与形式的探讨息息相通。
哲学家亚里士多德曾经提到，“美是一种秩序”。
数学中的公式和定理所展示的秩序和对称性，给人一种美的享受。
数学在努力找寻真理的同时，也在追求一种内在的美感。
这种追求美的精神，激励着数学家不断地创造和探索。
四、数学的无穷与无限无穷是数学中一个重要的概念，也是一种哲学思想在数学中的体现。
数学哲学知识点总结大全
数学哲学知识点总结大全数学哲学是数学及其哲学基础的研究领域，涉及到数学的本质、数学的起源、数学的演化、数学真理的性质以及数学与现实世界的关系等问题。
下面是一份数学哲学知识点的总结，帮助大家更好地了解数学哲学。
1. 数学的本质数学的本质一直是哲学家们讨论的重要问题。
古希腊哲学家柏拉图认为数学是理想世界的真理影子，是普遍存在的概念与数量的结合。
而亚里士多德则将数学划分为算术、几何和音乐三个部分，将数学作为哲学的基础。
现代哲学家也对数学的本质进行了深入探讨，提出了数学的形式主义、逻辑主义、直觉主义等观点。
2. 数学的起源数学的起源可以追溯到古代文明，最早的数学问题来自于测量土地、计算财产等实际问题。
古代巴比伦人和埃及人都有较为发达的数学知识，包括计算、几何、代数等方面。
希腊人则将数学推向了理论之上，进行了许多数学的哲学探讨。
随着大航海时代的到来，数学得到了更大的发展，特别是导数和积分的发明，为后来的微积分学的发展奠定了基础。
3. 数学的演化数学的演化是数学哲学中的一大问题。
数学是不断发展变化的学科，数学的理论也不断更新。
随着现代数学的发展，数学的分支也越来越多，如代数、几何、分析、拓扑等。
同时，数学的应用也得到了广泛的拓展，运用于物理、生物、经济等其他学科中。
数学的演化也在不断推动着数学哲学的研究。
4. 数学真理的性质数学真理的性质一直是数学哲学中的一个重要问题。
数学真理是指数学陈述的真实性质，数学真理的性质包括客观性、普遍性、必然性等。
古希腊哲学家柏拉图认为数学真理是绝对的，与哲学中的观念相同。
但现代哲学家对数学真理的性质提出了不同的看法，如形式主义认为数学真理是符号系统的产物，直觉主义则认为数学真理是基于直觉的。
5. 数学与现实世界的关系数学与现实世界的关系一直是数学哲学中的一个重要问题。
数学是自然界的描述语言，是描述客观世界的重要工具。
数学与现实世界的关系包括数学的应用、数学模型的建立等方面。
数学的应用涉及到物理学、经济学、生物学等其他学科，数学模型的建立则为解决现实问题提供了重要的方法。
数学中的数学哲学
数学中的数学哲学数学作为一门精确的科学，其实质是研究数量、结构、变化以及空间的一种学科。
它不仅仅是一种工具，也是一种哲学思维方式。
数学中蕴含着许多哲学观念和思考方式，这些思考方式在现实生活和其他学科中都具有广泛的应用。
本文将从数学中的数学哲学的角度出发，探讨数学的本质、思维方式以及其在其他领域中的应用。
一、数学的本质数学被认为是一种纯粹的理性思维活动。
它不依赖于感官经验，而是通过逻辑推理和抽象概念来探索和揭示事物的本质。
数学家们通过构建数学模型、定义概念和推导定理等方法，来研究数学问题。
数学的本质可以被概括为四个方面：1.公理化思维：数学研究建立在一定的公理系统之上。
公理是数学推理的基础，它们是被认为是真实的且无需证明的命题。
数学家通过对公理系统的研究和应用，从而推导出数学中的定理和法则。
2.推理与证明：数学的推理过程是一种严密的逻辑推理，它要求从已知的真实命题出发，通过一定的规则和定理进行推导。
证明则是数学思维中的重要环节，通过严密的逻辑推理和推导，将问题的解答合理地论证和证明。
3.抽象与概念：数学是对事物的抽象和概念化的一种表达方式。
数学家通过将现实问题抽象为数学模型和符号，来进行问题的研究和解决。
抽象能力是数学家的核心素质，也是数学哲学的重要组成部分。
4.普遍性与必然性：数学的定律和法则具有普遍性和必然性，它们在任何时空条件下都成立。
数学的普遍性使得数学的应用具有广泛性，不仅仅局限于数学自身，而且可以应用于其他学科领域。
二、数学思维方式数学思维方式是指数学家在解决问题和推进数学发展过程中所采用的思考方式和方法。
数学思维方式具有独特性和普遍性，它不仅适用于数学本身，也可以应用于其他学科中。
数学思维方式主要表现在以下几个方面：1.逻辑思维：数学思维强调逻辑推理和思维的严密性。
数学家能够从已知条件出发，通过一系列的逻辑推理和演绎，得出准确、有效的结论。
逻辑思维是数学思维中最为基础和核心的部分。
2.抽象思维：数学是一种具有高度抽象性的学科。
数学哲学原理
数学哲学原理数学哲学什么是数学哲学？•数学哲学是研究数学概念、原理和方法的哲学领域。
•它探究数学的本质、逻辑和语言，以及数学与现实世界之间的关系。
数学的起源•数学作为一门学科具有悠久的历史，最早可以追溯到古代的埃及、巴比伦等文明。
•古代数学家通过观察自然界和解决实际问题，逐渐发展了数学概念和方法。
数学的对象和方法•数学的对象可以是数、集合、函数、结构等。
•数学的方法包括推理、证明、计算等。
数学的逻辑基础•数学建立在严格的逻辑基础上，其中包括公理、定义和定理等概念。
•公理是不可证明的基本前提，定义是给出概念的准确描述，定理是基于公理和定义推导出来的结论。
数学的语言和符号•数学使用特定的语言和符号来描述和表达概念和关系。
•数学符号可以简洁地表示复杂的数学概念，提高了数学表达的效率和准确性。
数学与现实世界的关系•数学与现实世界存在着紧密的联系。
•数学的概念和方法在自然科学、工程技术以及经济金融等领域中具有广泛的应用。
数学的哲学问题•数学哲学探讨数学的本质、对象和方法是否存在独立于人类思维的客观实在。
•数学的发展是否受到人类语言和文化的影响？数学的真理是否相对和主观的？数学哲学的流派和观点•数学哲学的主要流派包括形式主义、直观主义、逻辑主义等。
•形式主义认为数学是一套形式系统，在逻辑上是自洽的；直观主义强调数学直觉和直觉证明的重要性；逻辑主义认为数学可以建立在逻辑基础上。
数学哲学的研究领域•数学哲学研究的领域包括数学基础、数学逻辑、数学语义等。
•数学基础研究数学的公理和定义，数学逻辑研究数学的推理和证明，数学语义研究数学的意义和解释。
数学哲学的意义和价值•数学哲学的研究有助于深化对数学的理解和认识。
•数学哲学还提供了关于数学真理和数学思维的哲学思考，对数学教育和研究具有重要的指导意义。
介绍数学的三大哲学基础流派：逻辑主义、形式主义、直觉主义的书有哪些？
数学是一门哲学性极强的学科，它的发展不仅仅是基于实际问题的解决，更是基于数学本身的哲学思考。
而数学的哲学基础流派有三种，分别是逻辑主义、形式主义、直觉主义。
下面我们就来详细介绍一下这三种流派的书籍。
逻辑主义是数学哲学的一种基本流派，它的核心思想是数学是逻辑的一部分。
逻辑主义的代表人物是哥德尔、弗雷格、罗素等人。
其中罗素的《数学原理》是逻辑主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过逻辑基础来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这本书的重点在于证明数学的基础是逻辑的，而且逻辑的基础是自洽的。
这个证明是通过建立逻辑的公理系统来实现的，这个系统被称为罗素-怀特海公理系统。
这本书对于逻辑主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
形式主义是数学哲学的另一种基本流派，它的核心思想是数学是符号的游戏。
形式主义的代表人物是希尔伯特、冯诺依曼等人。
希尔伯特的《数学基础》是形式主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过数学符号系统来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立数学符号系统来实现的，这个系统被称为希尔伯特符号系统。
这本书对于形式主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
直觉主义是数学哲学的第三种基本流派，它的核心思想是数学是人类直觉的产物。
直觉主义的代表人物是布劳威尔、比舍尔等人。
布劳威尔的《数学的直觉基础》是直觉主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过直觉来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立直觉的基础来实现的，这个基础被称为布劳威尔直觉基础。
这本书对于直觉主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
总结一下，逻辑主义、形式主义、直觉主义是数学哲学的三大基本流派，它们分别以逻辑、符号、直觉为基础来建立数学的基础。
逻辑主义的代表作是罗素的《数学原理》，形式主义的代表作是希尔伯特的《数学基础》，直觉主义的代表作是布劳威尔的《数学的直觉基础》。
这些书籍对于数学哲学的研究都有着重要的贡献，对于我们理解数学的本质也有着深远的影响。
第二讲自然科学中的哲学问题——以数学哲学和物理学哲学为例
（体论问题和语义学问 题，当代数学哲学界出现了两种不 同的、相互对立的解释策略，这就 是著名的数学实在论和数学反实在 论，它们构成了当代数学哲学的两 大阵营。
第一、从本体论的角度来看
“本体论实在论”（也称“柏拉图主义”）认为， 数学对象存在，并且客观地存在着，独立于数学 家的心智、语言、约定、构造和数学家共同体， 它们是抽象的、不可观察的、在在时空中的、永 恒的、不可改变的、因果内在的。 “本体论的反实在论”认为，数学对象根本不存 在，数学没有对象；或者即使数学对象存在，它 们的存在也依赖于数学家。前一种观点是强的本 体论反实在论，“唯名论”是典型代表 ;后一处观 点是弱的本体论反实在论，其典型代表是直觉主 义。
（四）定域性与非定域性
定域性假设是指在测量时，曾经相互作用过 的两个粒子，当它们分离后，对一个粒子的 测量，将不影响另一个粒子的状态。 非定域性是指，在空间中彼此分离的两个系 统之间存在着相互纠缠。
谢谢
第二、直觉主义的策略
主张只有构造的才是存在的，否定数学中的 实无穷，只承认潜无穷。它可以归结为：① 一个关于无限结构——比如由0和1组成的无 限序列——的陈述如果得到证明，便可视为 真，如被反驳，则为假，但在所有其他场合， 则非真非假。②由于这结构并不被认为是明 确定义的，因此一个关于它的陈述，仅当它 对于一个大得多的结构类被证明了，才能被 证明。
第二、从语义学的角度来看
数学真值实在论者认为，数学陈述具有 真值，这些真值具有独立于数学家的心 智、语言、约定以及数学家共同体的客 观性。 数学真值反实在论者认为，数学陈述的 真值依赖于数学家。
（四）实验数学革命
所谓实验数学，简言之就是以计算机为 工具，通过大量的个例归纳、搜寻和检 验来获取数学结论的一种新的数学分支。 它不再像传统演绎数学那样通过逐步的 逻辑演绎的办法来研究数学。计算机已 经酝酿出了进行数学研究的一种全新手 段——计算机实验。
数学哲学观
数学哲学观
数学哲学观是关于数学本质和数学知识的哲学理解。
首先，数学知识被认为是一种先天综合判断。
这意味着数学知识不是从经验中得出的，而是基于先天的概念和判断。
同时，数学知识是普遍的、严格的，并试图推导出任意跨学科公理系统。
其次，数学哲学观认为哲学也可以通过数学方法进行定义和推导。
哲学被定义为个体域与非量化自然语言谓词域的笛卡尔积，并试图基于简易归纳法推导出任意跨学科公理系统，且在语法上满足半散文-半杂文范式。
此外，对于数学判断，可以将其分为分析判断和综合判断。
分析判断是指谓词概念包含在主词概念中的判断，而综合判断是指谓词概念完全外在于主词概念的判断。
同时，既属于先天判断又属于综合判断的判断被称为先天综合判断。
综上所述，数学哲学观提供了对数学本质和知识的深入理解，并强调了数学和哲学的相互关系以及它们在推导跨学科公理系统中的重要性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
數學哲學的內容和意義鄭毓信什麼是數學哲學?什麼又是數學哲學研究的基本意義?這顯然是數學哲學研究的二個基本問題,並事實上關係到了數學哲學的研究方向或途徑。
本文將分別圍繞數學哲學的歷史發展和數學哲學的現實意義對此作出簡要的分析。
一.什麼是數學哲學?“什麼是數學哲學?”這無疑是數學哲學研究最為基本的一個問題。
儘管數學哲學這一學科在世界上建立已久,而且,即使在中國,這也不再是一個陌生的名詞;然而,就數學哲學研究的現實情況進行分析,可以看出,有不少不能令人滿意的地方其根源仍應追溯到對於上述基本問題的模糊或錯誤認識。
具體地說,我們在此可以首先考慮以下的問題:一些專業的數學工作者、甚至是著名的數學家,他們平時的一些哲學言論、或者是對於自己數學工作較為自覺的哲學反思,能否就說是數學哲學?應當肯定,這些言論、特別是著名數學家對於自己工作自覺的哲學反思,無論對於數學哲學或是新的數學研究都具有十分重要的意義;然而,作為上述問題的明確回答,我們則又應當說,這種言論或分析不應被等同於數學哲學,或者說,它們不應被看成數學哲學的主要內容,因為,即如任何一門科學的理論,數學哲學也具有自己特殊的研究問題,從而,數學哲學的基本內容就具有相對的穩定性,即是圍繞這些基本問題展開的,而不能被等同於個人隨意的哲學暇想或反思。
例如,從歷史的角度看,數學對象的實在性問題(本體論問題)和數學的真理性問題(認識論問題)可以被看成數學哲學研究的兩個基本問題;而除去一般哲學的影響外,這在很大程度上又是由數學本身的特殊性所決定的:由於數學的抽象性,因此,數學對象就並非經驗世界中的客觀存在,然而,在數學中我們所從事的又顯然是一種客觀的研究,從而,我們就必須對數學對象的實在性問題作出明確的解答;另外,由於數學是演繹地展開的,因此,如果我們能對數學公理的真理性作出合理的說明,數學似乎就可以被看成先驗論的“最堅固堡壘”,但是,我們又應怎樣去解釋數學在現實世界中的成功應用呢—當然,我們在此不能僅限於斷言這是一個“不可思議的謎”,而必須從根本上對數學的真理12數學傳播十八卷一期民83年3月性、特別是數學的認識論問題作出深入的分析。
也就是圍繞上述的基本問題,從古希臘的時代起,在數學哲學的範圍內就形成了“柏拉圖主義”和“唯名論”、以及“先驗論”和“經驗論”等對立的觀點,這種對立並一直延伸到了今天。
其次,作為對於“什麼是數學哲學?”的具體分析,我們又應強調指出,與其它科學的理論一樣,數學哲學也有一個歷史發展過程,從而,其基本內容就不應被看成絕對不變的。
例如,就早期的數學哲學研究而言,主要是作為一般哲學研究的一個部分得到了發展;然而,從十九世紀中期開始,數學哲學則進入了一個以數學基礎研究為中心的新的不同時期,而其基本問題就在於:如何為數學奠定一個可靠的基礎,並借助於可靠的方法去開展(重建)出全部或大部分的數學,從而徹底地解決數學的可靠性問題。
對於基礎問題的重視在本質上也是由數學本身的特性所決定的。
事實上,在數學中歷來存在有兩種不同方向的研究:一是由已有的數學去發展、構造出新的、更為複雜的結論和理論;另一則是研究已有的數學可以以何種更為一般的概念和原理作為基礎而得到建立。
顯然,公理化方法在數學中的普遍採用即是與後一方向上的研究直接相聯繫的。
另外,以下的一些實際發展則又構成了數學基礎研究的特殊的“歷史背景”:分析(微積分理論)的嚴格化,非歐幾何的建立,悖論的發現。
由於各自觀點的不同,在基礎研究中形成了邏輯主義、直覺主義和形式主義等不同的學派。
這些學派的一個共同特點是“哲學分析與數學工作”的密切結合:依據各自的哲學主張,他們分別提出了自己的基礎研究規劃,並希望通過這些規劃的實施(這主要是一種數學工作)來證明自己的哲學觀點的正確性。
這樣,就數學哲學的研究而言,在1890至1940年之間就出現了一個“百花齊放”、欣欣向榮的“黃金時代”。
(關於數學基礎研究可參見夏基松、鄭毓信:《西方數學哲學》,人民出版社,1986年。
)然而,數學哲學以基礎研究為中心的時代現在也已過去了。
這不僅是因為邏輯主義等學派的基礎研究規劃都未能取得成功,而且也是因為這種“失敗”及隨之而出現的發展的停頓引起了關於應當如何去從事數學哲學研究的新的思考:“數學哲學往何處去?”對於數學哲學的現代發展可參見本期另文“數學哲學現代發展概述”。
綜上可見,數學哲學具有自己特殊的研究問題,從而就不應被等同於各種片斷的見解;另外,又正是通過研究問題的解決和轉移,數學哲學獲得了自己的歷史發展,從而我們也就不應對此持絕對的、僵化的觀點。
二.數學哲學研究的基本意義作為一般哲學、特別是科學哲學的一個重要組成部分,數學哲學顯然有著一定的理論意義,或者說,具有作為獨立學科存在的必要性;然而,筆者在此所關心的主要是數學哲學的實際意義。
這即是指:除去專門的研究家外,誰最需要數學哲學?數學哲學的內容和意義3顯然,作為可能的解答,我們可以分別列舉出哲學家、數學家和數學教師。
的確,從歷史的角度看,數學哲學可以被認為對於一般哲學、特別是認識論研究有著特殊的重要性。
事實上,在很長時期內,數學被認為是唯一的真理,從而就為相應的哲學思考提供了必要的立足點。
這就正如M.克萊因所指出的:“在各種哲學系統紛紛瓦解、神學上的信念受人懷疑以及倫理道德變化無常的情況下,數學是唯一被大家公認的真理體系。
數學知識是確定無疑的,它給人們在沼澤地上提供了一個穩妥的立足點。
”(《古今數學思想》,上海科學技術出版社,1979年,第一冊,第251頁。
)例如,正是以數學為典範,笛卡兒發展起了自己的理性主義方法論;另外,也就是基於關於“純數學何以可能?”的分析,康德提出了自己的先驗主義的認識論。
一般地說,正如前面所已提及的,數學往往被認為是先驗論的最堅固堡壘,從而,數學的真理性問題也就成了經驗主義所必須認真對待的一個難題。
即如休謨關於兩類命題的區分;這一立場並一直延續到了現代的邏輯實證主義。
但是,在邏輯實證主義以後,數學與哲學的這種密切聯繫開始變得疏遠起來。
特別是,現代的哲學大師們對於數學已經不那麼熟悉了。
對於造成這種現象的原因可以從各個角度去進行分析:即如現代數學已經變得過分專門化、從而對於非專門家來說是過於深奧了;或是因為另有更重要的問題吸引了哲學家的注意;等等。
但是,無論最終的原因是什麼,這已表明了這樣一個事實,即數學在現代的哲學研究中已不再占有特別重要的地位。
其次,數學哲學能否說對於實際的數學研究工作有著重要的指導意義?應當肯定:數學家的研究工作必定處在一定哲學觀念、特別是數學哲學觀念的指導或影響之下;但是,現在的問題卻在於,一個成熟的數學工作者往往已經形成了固定的觀念—儘管這可能只是一些素樸的觀念,但由於這些是與其研究活動密切相關、並就是在這種實踐活動逐漸地(並且常常是不知不覺地)形成的,因此,他們通常就感受不到有必要對此進行系統學習和反思、以期達到由不自覺向自覺狀態的轉化和必要的更新。
事實上,除個人的特殊與趣外,大部分數學家在自己的工作生涯中主要地都是集中於專業研究,而根本無暇從事系統的哲學思考,從而也就談不上對於數學哲學的迫切需要。
另外,從整體上說,作為數學的哲學分析,數學哲學相對於數學本身而言在發展上必然表現出一定的滯後性,從而,對一個處在自己學科前沿的數學家來說,數學哲學也就往往會顯得過於陳舊落後。
(當然,筆者在此並不是要完全否定數學哲學對於實際數學活動的促進作用,而只是認為這種作用往往是以一種較為間接的形式體現出來的。
對此可見以下的討論。
)那麼,數學哲學是否對於任何人來說都是不必要的呢?不!筆者認為,對於廣大的數學教師來說,我們就應作出肯定的答覆。
具體地說,與數學家的研究活動一樣,各種層次上的數學教師的教學工作也都處於其哲學觀念、特別是數學哲學觀念的指導或影響之下;然而,這種教學活動則又不僅反映了教師本身的觀念,而且也直接影響到了新的4數學傳播十八卷一期民83年3月年輕一代的數學觀念的形成—正是在後一意義上,我們即應明確肯定數學哲學對於數學教師特殊的重要性。
為了清楚地說明問題,在此可以借助道德教育的例子來進行分析。
如眾所知,正常人的行動都是在一定的道德規範指導下進行的。
然而,儘管道德教育對任何人來說都有一定的意義,但又只是對於年輕人來說才是特別重要的,因為,他們尚未形成固定的道德規範,而這一旦形成,則又將對其整個人生產生十分重要的影響;與此相反,成年人則往往不能感到對自己的道德規範進行自覺反省的必要性,另外,這也是一個無可否認的事實,即要改變一個人所已形成的道德規範是十分困難的。
進而,上述的比喻同時也表明了這樣一點:正如教師的日常言行往往對於學生道德觀念的形成有著十分重要的影響(這就是通常所說的“身教重於言教”),學生往往也就是在教師的影響下逐步地形成了自己的數學觀念。
例如,正如G.波利亞所指出的:“有一條絕對無誤的教學法—假如教師厭煩他的課題,那麼,整個班級也將毫無例外地厭煩它。
”(《數學的發現》,內蒙古人民社,1982年,第二冊,第174頁。
)由此,從教育的角度看,我們就應充分肯定數學哲學對於數學教育的重要性;進而,考慮到素樸的哲學觀念往往是片面或膚淺的;我們則又應當說,首要的任務就是應幫助廣大的數學教師通過數學哲學的學習建立起正確的數學觀。
值得指出的是,就數學教育的現代發展來說,我們已經看到數學哲學、特別是數學哲學現代發展的重要影響。
例如,數學觀的現代演變,即由靜態的數學觀向動態的數學觀的過渡,就是現代數學教育中突出強調“問題解決”的重要原因之一。
一般地說,這就正如同美國著名數學教育家倫伯格(T.Romberg)所指出的:“兩千多年來,數學一直被認為是與人類的活動和價值觀念無關的無可懷疑的真理的集合。
這一觀念現在遭到了越來越多的數學哲學家的挑戰,他們認為數學是可錯的、變化的,並和其它知識一樣都是人類創造性的產物。
···這種動態的數學觀具有重要的教育涵義。
”(可參見另文“數學哲學、數學教育與數學教育哲學”,載《哲學與文化》[台灣],1992年,第十期。
)在筆者看來,以數學教育為“中介”,數學哲學最終也將對數學的未來發展產生重要和深遠的影響,從而,這也就更為清楚和全面地表明了數學哲學的意義。
—本文作者任教於南京大學哲學系—。