论微积分的哲学原理
浅谈数学中的哲学问题
33海外文摘OVERSEAS DIGEST 海外文摘2020年第15期总第814期No.15,2020Total of 8140引言数学在高校的学习生涯中占有重要地位，其内在的哲学思想凝结了人类智慧的结晶，不同观点间具对立又统一关系，为人类实际问题解决提供了正确的方向。
从某个角度而言，数学与哲学的关系源远流长，十分密切，从哲学的角度探讨数学中的辩证思维，在数学教学中自觉地渗透哲学思想，有助于提高教学的效果，有益于培养学生的哲学素养。
1哲学与数学相互对立与统一对于高等数学的定义，我们通常将其看做是初等数学的提升。
高等数学的对象，和它所采用的解题方法，较初等数学更为复杂。
有部分中学为了提升学生的逻辑思维能力，将较为高深的哲学思想，融入到中学数学当中，并将其作为中学和大学的过渡阶段。
这就要求我们以发展的眼光看问题，初等数学向高等数学的转换，也是学生自身素养螺旋式上升的过程。
微积分是高等数学的重要内容，要想学好这一部分，重在理解——对于概念的理解、定理的理解，都决定了对高数的理解深度和广度。
对于微积分的学习方法，可以从极限衍生出来的几个定理开始，要求达到合上书自己能推导的程度，然后认真研习证明题和计算题。
等到全部掌握极限理论之后，再去学后面的知识就非常简单了。
如莱布尼次对微积分基本定量证明时，同时也表明微分与积分之间互为拟运算，具矛盾概念性质，即呈对立状，又较为统一。
大区间不可求的量，可分割成多个小房间，对量的微元求出，再对微元的累积和求出，即积分，对量的宏观值获取，充分对同一问题中微分与积分的思想综合作用予以了体现。
微积分基本定理对微积分所研究内容的定点予以了构成，在微分与积分属开展高等数学课程重要矛盾点的观点下，对其进行求取，并非看作小问题来解决，而是需用相对统一的方案，来自微分中的定量，经分析，在积分中也可有相应定量推导出，反之相同。
二者表现为虽相互对应，同时又统一的关系，属相同事物呈现出的两个方面[1]。
《数学史》微积分的创立
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而 他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面 上的不可分量原理建立了等价于下列积分
a
0
n 1 a x n dx n 1
费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以 推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立 体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允 许，我将在另外的场合来论述.”
开普勒
• 1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作 中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引 力定律奠定了基础．
• 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自 己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地． 灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的 一个焦点；
3
(二)卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647) 在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发 展了系统的不可分量方法． 卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行 线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元 素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．
f (a e) ~ f (a),
ae
消去公共项后，用 e 除两边，再令 e 消失，即
f (a e) f (a) 0 e e 0
由此方程求得的
a 就是
f ( x) 的极值点．
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 以符号 e (他写作 E )代替了增量△ x ． 记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是 他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给 了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论 。
微积分
玛利亚·阿涅西
基础[编辑]
在微积分中，“基础”意味将一个科目从公理和定义中严格地推导出来。早期微积分所使用的无穷小被认为是不严谨的，遭到了一系列作者的严厉批评，特别是米歇尔·罗尔和乔治·贝克莱主教。贝克莱因在他1734年出版的《论分析》中将无穷小描述为“偏激的妖怪数量”而著名。最近的分析认为莱布尼茨版微积分更加严密，经得住贝克莱的经验主义的攻击。[9] 为微积分的严密论证奠基成为数学家们在牛顿、莱布尼茨之后几世纪的重要工作，直至今日仍是研究的热点领域。
现代[编辑]
发展现代微积分理论的一个动力是为了解决“切线问题”，另一个是“面积问题”。
文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯·麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。在欧洲，基础性的论证来自博纳文图拉·卡瓦列里，他认为体积和面积应该用求无穷小横截面的总量来计算。他的想法类似于阿基米德的《方法论》，但是卡瓦列里的手稿丢失了，直到20世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可，因为他的方法的误差巨大，而且在当时无穷小也不受重视。
其中L就是极限的值。例如当 x_n = {1 \over 2n} 时，它的极限为L=0。就是说n越大（越往前延伸），这个值越趋近于0。
微积分是在做一些较小数的计算时发展形成的。历史上，一开始是用无穷小量来做。无穷小量可以被看作是一个数，但是从某种意义上来说，它“无穷小”。一个无穷小数\mathrm{d}x能够比0都大，但是小于数列1，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，??任一个数，以及小于任何正实数。任何整数倍数的无穷小还是无穷小，换句话说，无穷小不满足阿基米德性质。从这一点来看，微积分是一组处理无穷小的方法，这种方法失宠于19世纪，因为无穷小的概念不够精确。但是，这个概念在20世纪由于非标准分析以及光滑无穷小分析的引进被重新提及，非标准分析为无穷小的操作提供了坚实的基础。在19世纪，无穷小被极限取代，极限描述的是与函数在某一点附近的值有关的值。它们描述了函数在某处附近的行为，类似无穷小，但是使用了普通的实数系统。在这种理论下，微积分是一组处理极限的方法。无穷小被很小的数代替，函数无穷小附近的行为是通过取距离越来越小时的极限来找到的。极限是提供微积分严格的基础最简单的方式，基于这个原因，它们是标准的做法。
高等数学中的哲学
数学哲学的应用
高等数学中的哲学思想不仅在学术领域有重要意义，还对实际生活和工程领域有着广泛的 应用。例如，在物理学、计算机科学、经济学等领域，高等数学中的哲学思想都发挥着重 究
未来研究应更加注重跨学科的合作，尤其是数学与哲学的交叉研究。通过深入挖掘高等数学中的哲学思想，可以推动 这两个学科的共同发展。
高等数学与哲学的关系
高等数学与哲学有着密切的联系，两 者在某些方面是相通的。高等数学中 的概念和思想可以启发哲学思考，而 哲学思考也可以帮助我们更好地理解 高等数学中的知识。
高等数学中的一些概念，如无限、连 续、可微等，都可以引发哲学上的思 考。例如，无限的概念可以引发对无 穷小和无穷大的思考，这涉及到对时 间和空间的思考；连续的概念可以引 发对连续性和离散性的思考，这涉及 到对现实世界的思考；可微的概念可 以引发对平滑和粗糙的思考，这涉及 到对自然界的思考。
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数学应用中的哲学思考
数学在物理中的应用与哲学思考
总结词
物理学的数学化进程中，哲学思考在理论构建和解释中起到 关键作用。
详细描述
物理学的发展过程中，数学作为工具和语言，为理论构建提 供了基础。然而，数学在描述物理现象时，其公理、定理和 证明等都涉及到哲学思考，如对现实世界的本质、空间与时 间的定义、因果关系等问题的探讨。
哲学原理
哲学原理是对世界和人类存在的根本 性思考和总结，是构建哲学体系的基 础。它们是对世界和人类存在本质的 探究和解释，具有普遍性和必然性。
数学证明与哲学论证
数学证明
数学证明是数学推理和证明的重要手段，通过一系列逻辑推理和演绎，证明某 个数学命题的正确性。数学证明要求严密、精确、无懈可击。
哲学论证
本质和传播等问题的探讨。
论微积分的哲学思想
论微积分的哲学思想摘要院微积分是分析解决问题的一种方法。
微积分体现了数学从静止走向运动和变化的哲学思想。
“微分”、“积分”相对独立，又相互作用，共同营造了这个丰富多彩、运动统一的世界。
微积分哲学观既是世界观也是方法论，它使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确，使我们既可以居高临下，从整体角度分析问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题。
Abstract: Calculus is one way to solve and analyze the problem. Calculus shows the philosophy ofmathematics from standstill tomovement and change. "Differential" and "Integral" are relatively independent, interact each other, and create the colorful, moved andunified world. Calculus philosophy is both a worldview and methodology, and it makes the relationship between the part and the whole,micro and macro, process and status, instant and stage more clear, so that we can both look down, analyze the problem from the overallperspective, and also consider the problem from differential angle.关键词院微积分；哲学思想；研究探讨Key words: Calculus；philosophy；research and exploration中图分类号院O172 文献标识码院A 文章编号院1006-4311（2014）10-0327-020引言数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，它可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算的推理形式体系。
第7讲微积分发展史
第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。
极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。
生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。
1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。
这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。
16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。
通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。
（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。
（3）求最大、最小值问题。
（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。
在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。
牛顿—莱布尼茨与微积分
贵州师范大学研究生作业（论文）专用封面作业（论文）题目：牛顿—莱布尼兹与微积分课程名称：《自然辩证法概论专题讲座》任课教师姓名：龙健研究生姓名：熊胜兰学号：4200910600254年级：2009级研专业：课程与教学论学院（部、所）：数计学院任课教师评分：年月日牛顿—莱布尼茨与微积分（数计学院课程与教学论熊胜兰4200910600254）【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。
16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分。
【关键词】牛顿莱布尼茨微积分0．引言微积分的出现是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事，时至今日，它不仅成了学习高等数学各分支必不可少的基础，而且也是学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术的工具。
提起微积分，人们自然会想到英国的牛顿（1642~1727）和德国的莱布尼茨（1646~1716），这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法，发现了微积分的内在联系，建立了著名的牛顿—莱布尼茨公式。
在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想。
古希腊物理学、数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。
但在当时，微积分并没有受到人们的广泛关注。
直到公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。
从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：①由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系，求速度和距离。
②确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向，以及研究光线通过透镜的通道而提出求曲线的切线问题。
高等数学中微积分教学方法的探究
高等数学中微积分教学方法的探究作者：孙文婧来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第01期摘要：在高等院校微积分的教学实践中，由于多种原因，存在着老师讲授与学生学习难以密切配合、互相适应的现象。
本文通过深入了解与剖析微积分教学实践中存在的问题，提出了问题产生的深层原因，以及推进微积分教学改革，提高教师课堂讲授与学生学习效率的一些建议。
关键词：高等数学；微积分；教学方法；探究中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）01—0053—02高等数学是高等院校开设的一门重要的基础理论课程，它不仅是一门研究和思考数量关系、几何图形的学问，而且很大程度上和哲学一样，是用一种特殊的语言去探索宇宙奥秘，掌握宇宙规律。
在高等院校设立的高等数学课程中，微积分既是基础，也是核心。
微积分教学除了要向学生展示其在形式上的严谨缜密的逻辑演绎过程，更是通过对数学思想与方法的梳理与提炼，让学生能够透过微积分形式主义的美丽与神奇来领略其中的思想内涵和精神实质。
它不仅是一种计算工具和计算方法，而且是一种科学的思维方式和思想理念，是构成现代科学发展知识的理论基础。
一、大学与中学微积分教学的比较优势与创新焦点大学微积分的教学方法技巧更为灵活多样，更注重定理公式的证明，无论在要求上、内容上还是方法上，都与中学时期初等数学里简单涉及到的微积分教学有很大区别。
中学数学往往教材内容少，直观具体，定义定理证明关系简单；而大学微积分的内容繁多，涵盖面广，理论性、系统性、逻辑性强，更为抽象与深刻。
然而，知识讲授与习题解答的课时安排却恰好相反：中学数学课时安排多，每节课一般理论性内容少，教师贯彻精讲多练的教学方法，以例题讲解与课堂练习为主，使得大多数学生能够当堂掌握知识，具备初步解答习题的能力；而大学数学往往课时少，每节课的教学任务重，知识点多，逻辑性强，所以课程进度快，课堂练习与习题解答的机会少，给老师讲授与学生学习都带来很大的压力。
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论微积分的哲学原理
亮笔
“哲学不应当从自身开始。
而应当从它的反面，从非哲学开始”①。
自然科学是哲学的基础。
数学、物理学、化学、生物学、天文学等等，蕴含着极其丰富哲学思想。
微积分是研究变数的科学。
从本质上看是辩证法在数学上的运用。
因此，微积分中的哲学思想比起初等数学更丰富、更明显。
如果将其全部抽象出来，可以构成一部完整的自然哲学。
本文试从微积分与现实世界的关系及其辩证内容略作粗浅探讨。
关于微积分的本原问题
微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。
唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。
唯心主义认为纯数学产生于纯思维。
它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。
杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表②。
牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。
他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。
各自独立地创立了微积分。
这个功劳是应该肯定的。
但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。
其运算出发点是先验的。
所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”③。
唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。
恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”④微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。
生产实践对微积分的创立起着决定的作用。
从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。
到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。
随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。
它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。
微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。
这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。
二是求曲线的切线。
三是求函数的极大值、极小值。
四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题。
上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。
其中的量都在不断变化着。
因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。
生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。
于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。
所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。
有了变数，运动进入了数学。
有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”⑤
微积分不仅是适应生产和科学发展需要的产物。
而且，它的概念、运算法则、定理、推论等在客观世界中都各有其现实的原型。
微分与积分的现象在自然界中普遍存在。
自然界的蒸发与凝结过程，就是微分与积分及其相互转化的辩证过程恩格斯是这样描述自然界中的微分与积分现象及其矛盾的相互转化：
“如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx。
这样一层分子又
一层分子继续蒸发，事实上就是一个连续不断的微分。
如果热的水蒸汽在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子一层又一层地积累起来。
，直到容器满了为止。
那么这里就真正进行了一种积分。
这种积分和数学的积分不同地方只在于：一种是由人的头脑有意识地完成的。
另一种是由自然界无意识地完成的。
”⑥
不仅如此。
自然界中的微分、积分过程还表现在机械运动与热运动的相互转化；分子的分解与化合；物质的构造等多个方面。
当机械运动转化为热，即转变为分子运动的时候，宏观的机械运动被微分了。
反过来，当水蒸汽的分子在蒸汽机的汽缸中积累起来，把活塞举高一定的距离，这时热运动又变成了宏观的机械运动，它是一个积分的过程。
在化学反应中表示物体分子组合的一切化学方程式，就形式来说是微分方程式。
这些方程式实际上是表示这些分子的原子量而积分起来了。
以上说的是一次微分的情况。
高次微分是否也有其现实原型呢？结论是肯定的。
我们从微商的力学意义中知道：瞬时速度U（t）是路程函数S（t）的一阶微商，即U（t）=S’（t）;加速度a（t）又是速度函数U(t)的微商，也是路程函数S(t)微商的微商，称之为二次微商，即a(t)=S"(t)。
根据自然辩证法和现代物理学的观点。
自然界是由无数个层次组成的系统。
按其质量的相对的大小可作如下排列：。
总星系——恒星系——太阳系——地球上的物体——分子和原子——基本粒子。
如果我们把前一个层次当作一个原函数看待，那么后一个层次便是微分所得到的“导数”或称“微商”。
这样连续地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx²；三次微分dx³。
直到n次微分dxｎ。
由此看出高次微分处处有自己的原型。
它与物质世界的各个层次建立了一一对应关系。
物质是无限可分的。
微分过程也是无限的。
物质不灭，微分不止。
这就是微积分同物质世界的对应关系。
微分或积分的过程正是反映了物质的不同层次之间物质形态的相互转化和运动形态的相互转化。
我们肯定微积分的客观基础，并不否认纯思维对纯数学的能动作用。
微积分来源于客观世界。
但这种反映不是消极被动的。
人的意识具有主观能动性和相对独立性。
微积分作为一种科学理论，它属于意识范畴，同其他科学一样，当它从客观世界中抽象出来后，就和现实世界相脱离，作为某种独立的东西，而与现实世界相对立，并在自己的领域中开始独立的矛盾运动。
它通常可以不受来自外部的明显影响，而凭借经验的摸索，借助逻辑的方法，巧妙地开发出数学“王国”中丰富的宝藏。
微分三角形就是思维能动性的自由创造。
，是一种幻想的量。
所以列宁说：“在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分”⑦。
唯心主义者抓住这一点大做文章，鼓吹微积分是数学家的“天才”头脑的产物。
他们不懂得思维与存在的辩证关系，不懂得思维的独立性依然要以现实客观为基础。
科学的幻想不是胡思乱想，需要凭借经验的摸索。
前面谈到的微分三角形，它是在处理差分三角形经验的启示下，通过思维的加工制作，才创造出一种处于纯粹状态的微分三角形。
所以，微积分的高度抽象，不但没有掩盖它起源于现实的本质，反而更深刻地反映着现实。
它使人们逐步揭示了事物量的关系的本质联系。
反映各种不同类型的具体对象中量的共同规律，从而使微积分广泛地运用到各种不同的具体对象中去。
比如：
F(x)-F(x0)
F′(x)== lim -------------
ｘ→ｘ0 ｘ-ｘｏ
这一抽象的形式可以刻划物体运动瞬时速度，也可以刻划切线的斜率、物质的比热、电流的强度。
又如双曲线偏微分方程，在弹性力学中描写震动，在流体力学中描写流体动态，在声
学中表现为声压方程，在电学中表现为电报方程。
双曲线偏微方程，反映着这些不同对象在数量上的共同属性。
正如列宁说的：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似'中。
”⑧因此，微积分的高度抽象性不是离现实世界愈来愈远，而是对现实世界认识愈深，揭示了多样性物质世界的统一性。
物质不是无限可分的吧。
到夸克为止，也仅仅是“感觉”到，而不是“观察”到。
小到10^-36数量级，已经是无法观察了。