高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测(十)函数的图象及其应用 理

课时达标检测（十） 函数的图象及其应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的图象1．(2018·陕西汉中教学质量检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x sin x 的图象大致是( )解析：选D 令f (x )＝0可得x ＝±1，或x ＝k π(k ≠0，k ∈Z)，又f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x sin(－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x sin x ＝f (x )，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x sin x 是偶函数，且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D.2．(2018·甘肃南裕固族自治县一中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.3．(2018·安徽蚌埠二中等四校联考)如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x4x ＋1C ．y ＝xln xD ．y ＝(x 2－2x )e x解析：选D A 中，y ＝2x－x 2－1，当x 趋于－∞时，函数y ＝2x 的值趋于0，y ＝x 2＋1的值趋于＋∞，所以函数y ＝2x －x 2－1的值小于0，故A 中的函数不满足．B 中，y ＝sin x 是周期函数，所以函数y ＝2xsin x4x ＋1的图象是以x 轴为中心的波浪线，故B 中的函数不满足．C中，函数y ＝xln x 的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C 中的函数不满足．D 中，y ＝x 2－2x ，当x <0或x >2时，y >0，当0<x <2时，y <0，且y ＝e x >0恒成立，所以y ＝(x 2－2x )e x的图象在x 趋于＋∞时，y 趋于＋∞，故D 中的函数满足．4．(2018·昆明模拟)如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选A 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时， O 1P ―→＝O 2P ―→－O 2O 1―→，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，因为|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→，OO 1―→的夹角为α，因为|OP ―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.对点练(二) 函数图象的应用问题1．(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞， e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．( e ，＋∞)解析：选B 原命题等价于在x <0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x －12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x －12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a >0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a >0，解得0<a <e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )<0，x 趋于a ，m (x )>0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．2．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1(x ≠1)，当a ＝2时，f (x )＝2，函数f (x )的图象不关于点(1,1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，即a ＝1.答案：13．(2018·绵阳诊断)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：64．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )．所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1＋x )，即f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为2的函数．由当x ∈[0,1]时，y ＝f (x )＝2x －x 2，得x 2－2x ＋y 2＝0(y ≥0)，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，画出函数f (x )的大致图象如图所示．若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点A ，则|k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝33；若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点B ，则|3k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝1515.因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，所以根据图象易知1515<k <33.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1515，33 5．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－－1＝－13，∴－13<k <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，06.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1}[大题综合练——迁移贯通]1．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈0，1]，1－1x ，x ∈1，＋∞，故f (x )在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4＝x －22－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝2x，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0].。