2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题15 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理(含解析)新人教A版

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题15 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式．【热点题型】题型一 同角三角函数基本关系式及应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝_______________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【答案】 (1)－1 (2)D 【解析】【提分秘籍】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．【举一反三】若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为( )A.103 B.53 C.23D ．－2 【答案】 A【解析】 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 题型二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°) ＝________．(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________．【答案】 (1)1 (2) 3 【解析】【提分秘籍】利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【举一反三】(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)＝________．(2)化简：tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）＝________．【答案】 (1)0 (2)－1 【解析】题型三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______． (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．【答案】 (1)12 (2)－33【解析】 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.【提分秘籍】巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【举一反三】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________．【答案】 (1)－23 (2)12【高考风向标】【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.1tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析．【解析】解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+( 于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 【解析】单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2014²福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014²重庆卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2³π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.（2013²全国卷）已知α是第三象限角，sin α＝－13，则cot α＝________．【答案】2 2【解析】cos α＝－1－sin 2α＝－2 23，所以cot α＝cos αsin α＝2 2.（2013²四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【答案】 3【解析】解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³（－3）1－3＝ 3. 解法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝3.（2013²新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．【答案】－105【解析】由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12得1＋tan θ1－tan θ＝12 tan θ＝－13 cos θ＝－3sin θ ， 由sin 2θ＋cos 2θ＝1 10sin 2θ＝1，θ 在第二象限， sin θ＝1010，cos θ＝－31010， ∴sin θ＋cos θ＝－105. （2013²重庆卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值． 【解析】（2013²重庆卷）4cos 50°－t an 40°＝( )A. 2B.2＋3 2C. 3 D．2 2－1 【答案】C【解析】【高考押题】1.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝ ( ) A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2【答案】 A 【解析】1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 ( ) A ．－15B ．－35C.15D.35【答案】 B【解析】 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35.3．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于 ( )A ．－32B.32C ．－12D.12【答案】 D【解析】 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝ ( )A.35B ．－35C.45D ．－45【答案】 D【解析】 由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.223B ．－223C.13D ．－13【答案】 D【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.6．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________． 【答案】 12【解析】 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 7．sin 43π²cos 56π²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________．【答案】 －334【解析】8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．【答案】 09．已知sin θ＝45，π2＜θ＜π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ 的值． 【解析】10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．【解析】 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。