14.3.2_因式分解(完全平方公式)课件

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公式法2—公开课课件定稿

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
练一练
1.判断各式是不是完全平方式，若是，说出公
式中a和b，若不是，说明理由。
（1） 4a2+9 （×）（2）a2+2ab+b（×）
（3）m2-mn+n2（×）（4）x2-6x-9（√ ）
（5）x2+4x+4y2（× ）
目标二
学会并较熟练地运用完全平方公式分解因式
针对练习三（微课导学）
（1） 3xm2 6xmn 3xn2
（2）(x+2y) 3 + 2(x + 2y)2 + (x + 2y)
归纳解题步骤
因式分解的步骤：一提 ①对任意多项式分解因式，都必须首先考
虑提取公因式。二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式，考虑应用完全平方公式分解。三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻
底。
四【综合训练】
1.已知4y2+my+9是完全平方公式，则m的值是 _____ 。
2.分解因式：(a2＋4)2－16a2
通过本课时的学习，需要我们掌握：一三三
一个公式三个特征
三个步骤
六【延伸拓展】
1.若 x2 y2 6x 8y 25 0 ,求(x y)2013的值。
14.3 因式分解
14.3.2因式分解——完全平方式
讲课人：魏士杰
学习目标：
1．会判断完全平方式。 2．能直接利用完全平方式因式分解,掌握利用完全平方公式因式分解的步骤。 3. 能够综合全平方公式．
1．分解因式：（1） ab2－a2b；（2） ma2－mb2；

14.3.2公式法-完全平方公式法课件人教版数学八年级上册

5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ B ） A.6 B.±6 C.3 D.±3
6.已知a、b、c是三角形的三边,请你判断a2-b2-c2-2bc的值的正负.
7.说明无论a、b为何值，代数（a+b)²+2(a+b)+5 的值均为正值.
8.若a+b=1,a+c=2,b+c=3,利用因式分解求值： a2+b2+c2+ab+ac+bc.
自学检查
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-ab+b2 × （2）a2-4a+4 =a2 -4a +22 √ （3）x2+4xy+4y2=x2+4xy + (2y)2√ （4）x2-6x-9 =x2-6x-32 ×
2.按照完全平方公式填空：
（1）a2-10a+( 25 )=( a-5 )2
(4)原式=(2x +y-3) 2
总结:①因式分解的一般思路: 一提（提公因式法）二套（套用公式法）
②整体思想，例如：把 2x＋y 看做一个整体。
巩固练习
1.(1)若x2＋2kx＋9是一个完全平方式，则k＝ ___±___3__ (2)若x2＋8x＋k2是一个完全平方式，则k＝ __±___4___．
（（23））1(a2-y2()+r2s)a+yr+21s2==((
ay+1)2
½ - rs)2
4
自 3.把下列各式因式分解 1 x2 12x 36 2 2xy x2 y2
学 (3) 3ax2﹢6axy﹢3ay2
检查

14.3.2公式法第1课时课件

答案:a(x+y)(x－y)
4.（东阳·中考）因式分解：x3-x=___. 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案: x(x+1)(x-1) 5.（盐城·中考）因式分解: x 9 =______.
2
【解析】原式=（x+3）(x-3).
答案:（x+3）(x-3)
6.利用因式分解计算：
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）. 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
3.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+… +(2+1)(2-1) =199+195+191+… +3
=5 050.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便.

14.3.2 公式法课件-人教版数学八年级上册

a，b可以是单项式，也可以是多项式
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则
据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法
的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
特别解读
知2－讲
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆
用的形式.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项
的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号
利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或
字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将每个
因式去括号，合并同类项化成最简形式.
特别解读
知1－讲
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆
用的形式.
解：∵ 9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一个完
全平方式， ∴ ka＝±2×3a·4＝±24a. ∴ k＝±24.
有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式
知2－练
2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝ _－__1_或__7__．
例 3 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数之和与两数之

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)

－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

《完全平方公式》优品课件人教版初中数学

两个数的积的两倍，我们把 a +2ab+b 2、在下面的横线上填上适当的数或字母使其变为完全平方式。
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解． 2
2
（3）直到每一个因式都不能再分解为止
和 a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式． 2问、题因四式分这解两时个，多首项2先式考有虑什是么否共有同公的因特式点2，？如果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
解：2a 8ab 8b 32 2、因式分解时，首先考2虑是否有公因式，如2果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
2、看是否有两数平方和
2、因式分解时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
2a 4ab 4b 16 提公因数方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？问题六我们将完全平方公式前后倒过来看，你会发现什么？
问题四这两个多项式有什么共同的特点？
（1）4b +4b+1 1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．
（1）、 x2 4x 4
（2）、y2 6xy 9x2
(3) 、4x2 8xy 4 y2
(4)、2a b2 182a b 81
5、 9 a2 3 ab 1 b2
25 10
16
方法：1、填平方项就是把中间项除以另一个平方项底数的2倍，再平方就是要填的平方项 2、中间项就是两个平方项底数积的2倍

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

a
b
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法因式分解.
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
2a(x y)2
先纳总结巩固提升小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解步骤方法
先提公因式→一提再用公式→二用继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式，展开合并再观察。
探究新知理解新知经典例题归纳总结巩固提升小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3

14.3.2公式法课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x

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16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 3 +32 4x·
a b a2 + 2 · · + b2
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 3+32 4x·
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
2 2
1 5 x x 是 4 6 a 2 2ab 4b 2 否
2
2.填写下表
多项式
是否是完全平方式
a 、b各表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32
(2 y) 2 2 (2 y) 1 12
二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
1 a 2 b 2 2ab 是
2 2 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
第一关：知识回顾
问题3：分解因式（）
(1)4a 9a
2
4
(2)(x 1) (x 1)
2
2 2
2
2
4a 9a
2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a)
因式分解时，先考虑提取公因式，再考虑其它方法。
(x 1)2 (x 1)2(x x 1)(x 1 1 x 1)
1.因式分解要彻底，直到不能分解为止。 2.在分解过程中还要有整体和换元思想。
第二关：探究新知
问题1：整式乘法中的完全平方公式是怎样的？
( a b ) a 2ab b
2
2
2
( a b ) a 2ab b
2
2
2 右边是整式的积
因式分解中的完全平方公式：
a 2ab b (a b) (a b)(a b) 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)(a b)
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
书P ：119 习题14.3
第3题。
不是是
a表示：2x+y (2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32 b表示：3
(2 x Leabharlann y 3) 23、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
2xy 1 x _______ y 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 4xy 4 y 2 3 x ______
2 2
1 2 ab 4 a _______ b 4 4 2 2 5 x 2 x y ______ y4
2
三、新知识或新方法运用
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 3, 4x· 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
表示为 (a b) 或 (a b) 2 形式
2
x2 6x 9
是是不是不是
( x 3) 2 (2 y 1) 2
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4
4 y 2 12 xy 9 x 2
(2 x y) 2 6(2 x y) 9
14.3
14.3.2
因式分解
完全平方公式
人教新课标
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
答案: (a b)( a b)
a b
2
2
问题2：因式分解中的平法差公式是怎样的? 答案： a
2
b (a b)( a b)
2
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
a 2ab b
2
2
或
a 2ab b
2
2
的多项式
,叫做完全平方式。平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式用完全平方公式分解因式的关键是：判断一个多项式是不是一个完全平方式。
= -[x2-2· 2y+(2y)2] x·
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 2 6+6 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么 (1) a2－4a+4;
(2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;