河北省张家口市2017届高三4月统一模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2017届高三上学期四调数学(文科)试卷(附答案与解析)
i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在（, 1 ⎫A ． ，⎪B ． 0， ⎪⎭ D ． 0， ⎪⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛⎝ 12 ,0 ⎪4 ⎭C ． 2B ． -8B ．x 2 + a 的图象可能是（河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数 z = -2i + 3 - i）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 A ， B 是全集 I = {1,2,3,4 }的子集， A = {1,2}，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数是（A ．5B ．4C ．3D ．23．抛物线 y = 3x 2的焦点坐标是（）0 ⎝ 4 ⎭⎝ ⎝ 12 ⎭4．设向量 a = (-1,2 ) ， b = (m ,1) ，若向量 a + 2b 与 2a - b 平行，则 m = （））A ． - 71 2 C ． 3 2 D ．525．圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx - 3 有公共点的充分不必要条件是（）A ． k ≤ -2 2或k ≥ -2 2B ． k ≤ -2 2C ． k ≥ 2D ． k ≤ -2 2或k ≥ 26．设等比数列 {a n }的前 n 项和为 Sn，若 a = 3 ，且 a32016+ a2017= 0 ，则 S 等于（101）A ．3B ．303C ．﹣3D ．﹣303 7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的 S 值为（）A ． - 11 8 C ．1 16D ． 1328．函数 f (x ) = x）1 25555:1A ．(1)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4)9．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， P A ⊥ 底面 ABCD ， P A = AB = 4 ， E ， F ， Q 分别是棱 PB ， BC ， PD 的中点，则过 E ， F ， H 的平面截四棱锥 P ﹣ABCD 所得截面面积为（）A ． 2 6B ． 4 6C ． 5 6D ． 2 3 + 4 610．设 F ，F 是椭圆 E 的两个焦点，P 为椭圆 E 上的点，以 PF 为直径的圆经过 F ，若 tan ∠PF F =12 1 2则椭圆 E 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6 5 4 32 5 15，11．四棱锥 P - ABCD 的三视图如图所示，四棱锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E 、 F 分别是棱 AB ， CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表面积为（）A ．12 πB ． 24πC ． 36πD ． 48π12．已知抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点为 F ，定点 A (0,- 2 )，若射线 F A 与抛物线 C 交于点 M ，与抛物线C 的准线交于点 N ，则 MN : FN 的值是（）A ．( 5 - 2)5 B ． 2 : 5 C ．1: 2 5D ． 5 : ( + 5 )）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知直线 l : (m + 1)x + 2 y + 2m - 2 = 0 ， l : 2 x + (m - 2 ) y + 2 = 0 ，若直线 l ∥l ，则 m = ________．121214．在 △ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 A = 3C ，c = 6 ，(2a - c )cosB - b cosC = 0 ，则 △ABC 的面积是________．y ≥ 0 15．若不等式组 ⎨表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的取值范围是________． 1] ），且 S = 2n 2 + n ， n ∈ N * ，数列 {b }满足 a = 4log b n + 3 ， n ∈ N * ．18．设 f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．(1)求 f (x ) 在 ⎢0, ⎥ 上的最大值和最小值； = 1(a > b > 0)的短轴长为 2，离心率为 ，直线 l 过点 (-1,0 ) 交椭圆 E 于 A 、 B ⎧ x ≥ 1 ⎪ ⎪⎪2 x + y ≤ 6 ⎪⎩ x + y ≤ a16．已知函数 f (x ) = e x + ae x， (a ∈ R ) 在区间 [0，上单调递增，则实数 a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的 n 项和为 S nn n n 2(1)求 a ， b ；nn (2)求数列 {a b nn}的前 n 项和 T n．⎛ π ⎫ ⎝2 ⎭⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦(2)把 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移2π 3个单位，得到函数 y = y = f (x )的图像，求 y = f (x ) 的单调减区间．19．如图所示的几何体 Q PABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，∠DAB = 60︒ ，AD ⊥ DC ，AB ⊥ BC ，QD ⊥ 平面 ABCD ， P A ∥QD ， P A = 1 ， AD = AB = QD = 2 ．(1)求证：平面 PAB ⊥ 平面 QBC ； (2)求该组合体 QPABCD 的体积．20．已知椭圆 E : x 2 y 2 6 +a 2b 2 3两点， O 为坐标原点．(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 △OAB 面积的最大值．21．已知函数 f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ， a ∈ R ，且 a ≠ 0 ．极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ - ⎪ ．(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，设点 P 0， ⎪⎪ ，求 P A + PB ．⎫(1)若函数 f (x ) 在区间[1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g (x ) = (3a +1)x - (a 2 + a )x 2 ，当 x > 1 时， f (x ) < g (x ) 恒成立，求 a 的取值范围．[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ ⎪22．已知直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ x = t 2+ 3t 2 （ t 为参数），若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为⎛π ⎝4 ⎭(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程；⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f (x ) = 2 x + 1 - x - 2 ．(1)求不等式 f (x ) > 2 的解集；(2) ∀x ∈ R ，使 f (x ) ≥ t 2 - 11t ，求实数 t 的取值范围．2）⎥⎦ = = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4 2n - 2 ⎤⎦ = (4n - 5) 2n + 5河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷答 案一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．1~5．BBDBB6~10．ABCCD 11~12．AD二、 填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．﹣214．18 3 15．（3，5）16． a ∈ [-1,1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由 S = 2n 2 + n 可得，当 n = 1 时， a = S = 3n11当 n ≥ 2 时， a = S - Snnn -1= 2n 2+ n - 2 (n - 1)2 - (n - 1) = 4n - 1而 n = 1 ， a = 4 - 1 = 3 适合上式，1故 a = 4n - 1 ，n又∵ a = 4log b n + 3 = 4n - 1n2∴ b = 2n -1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a b = (4n - 1) 2n -1n nT = 3 ⨯ 20 + 7 ⨯ 2 +n2T = 3 ⨯ 2 + 7 ⨯ 22 +n+ (4n - 1) 2n -1+ (4n - 5) 2n∴ T n = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4(2 + 22 + + 2n -1)⎤⎦⎡= (4n - 1) 2n - ⎢3 + 4⎢⎣2 (1 - 2n -1 )⎤ ⎥ 1 - 2()18．解：(1) f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．sin 2x - ⎪ = 1 时， f (x ) 取得最大值 4 + 3 ； sin 2x -⎪ = -1 时，函数 f (x ) 取得最小值 4 - 3 ． (2)把 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 4sin x - ⎪ + 3 的π ⎫ 3 ⎭ 个单位，得到 y = 4sin x + ⎪ + 3 的图象． g (x )= 4sin x + ⎪ + 3 ． 由 2k π + π7π ⎤( ) ∴ g (x) 的单调减区间是 ⎢2k π + ,2 k π + ⎥ k ∈ Z ．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝3 ⎭⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭图象．再把得到的图象向左平移 2π⎛ π ⎫3 ⎝ 3 ⎭∴⎛ π ⎫ ⎝ 3 ⎭π 3π π 7π≤ x + ≤ 2k π + ⇒ 2k π + ≤ x ≤ 2k π + ． 2 3 2 6 6⎡π ⎣66 ⎦19．证明：(1)∵ QD ⊥ 平面 ABCD ， P A QD ，∴ P A ⊥ 平面 ABCD ，又∵ BC ⊂ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ， P A ⊂ 平面 PAB ⊥ ， AB ⊂ 平面 PAB ⊥ ， P A∴ BC ⊥ 平面 PAB ，又∵ BC ⊂ 平面 QBC ， 解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥ AD 于 O ，∵ P A ⊥ 平面 ABCD ， BO ⊂ 平面 ABCD ，AB=A，又BO⊥AD，AD⊂AD平面P ADQ，P A⊂平面P ADQ，P A AB=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60，∴ABC是等边三角形，∴BO=3．∴VB-P ADQ1=S3梯形P ADQ1132∵∠ADC=∠ABC=90∴∠CBD=∠CDB=30︒，又BD=AB=2，∴BC=CD=233，6/22BO=⨯⨯(1+2)⨯2⨯3=3．= ⨯ 2 ⨯ ⨯ sin30︒ ．= ． ⎩ + y = 2mm 2 + 3 m 2 + 323= -3 - ⎪ + ， 1 1 6 1 -2a 2 x + ax + 1 - (2ax + 1)(ax - 1)①当 a = 0 时， f '(x ) = > 0 ，∴ SBCD 1 2 32 3∵ QD ⊥ 平面 ABCD ，∴ V Q -BCD 1 = S 3 BCD 1 3 2 3QD = ⨯ ⨯ 2 =3 3 9 ．∴该组合体的体积V = V Q -BCD+ V 11 39⎧ c 6 ⎪ =20．解：(1)由题意得 b = 1 ，由 ⎨ a 3 得 a = 3 ， c = 2 ， b = 1 ，⎪a 2 = 1 + c 2x 2∴椭圆 E 的方程为 + y 2 = 1 ；3(2)依题意设直线 l 的方程为 x = my - 1 ， 联立椭圆方程，得 (m 2 + 3)y 2 - 2my - 2 = 0 ，设 A (x , y )， B (x , y1122)，则 y1 ， y y =-2 1 2 2，S△AOB 1= ⨯1⨯ y - y =1 2 3m 2 + 6(m 2+ 3)，设 m 2 + 3 = t (t ≥ 3)，则△SAOB⎛ 1 1 ⎫23 ⎝ t 2 ⎭ 41 1∵ t ≥ 3 ，∴ 0 < ≤ t 3，∴当 = ，即 t = 3 时， OAB 面积取得最大值为 ，此时 m = 0 ．t 3 321．解：(1)∵ f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ，其定义域为（0，+∞），∴ f '(x ) = - 2a 2 x + a = =x x x1 x∴ f (x ) 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．．a．此时f(x)的单调递减区间为 ，∞⎪．⎛1⎫⎪≤1此时f(x)的单调递减区间为⎝2a,+∞⎪．2a≤1解之，得a≤-1⎩1⎤[综上所述，实数a的取值范围是 -∞,-⎥1,+∞)．()x-1<0h′x）=②当a>0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>1+⎝a⎭⎧1依题意，得⎨a⎪⎩a>0解之，得a≥1．③当a<0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>-1 2a⎛1⎫⎭．⎧1⎪-依题意，得⎨⎪a<02．⎛⎝2⎦(2)∵g(x)=(3a+1)x-a2+a x2，∴f(x)-g(x)=ln x-(2a+1)x+ax2<0，即ln x-x<2ax-ax2，在[1,+∞)恒成立，设h(x)=ln x-x，则h'(x)=1（1x﹣1＜0恒成立，∴h(x)在(1,+∞)为减函数，∴h(x)<h(1)=-1，∴ax2-2ax-1<0，在(1,+∞)上恒成立，设ϕ(x)=ax2-2ax-1当a=0时，-1<0，符合题意，当a>0时，显然不满足题意，当a<0，由于对称轴x=1，则ϕ(1)<0，即a-2a-1<0，解得-1<a<0，综上所述，a的取值范围为(-1,0]．由曲线 C 的极坐标方程得到： ρ 2 = 2ρcos θ - ⎪ ，利用 ρ 2 = x 2 + y 2 ，得到曲线 C 的直角坐标方程为x - + y - 2 ⎪⎭ 2 ⎪⎭(2)点 P 0， ⎪⎪ 在直线 l 上且在圆 C 内部，所以 P A + PB = AB ， ⎪⎪ 到直线 l 的距离 d = 6 ．所以 AB = 10 ，即 P A + PB = 10 所以圆心 - x - 3, x < - 2 23．解：(1) f (x ) = ⎨3x - 1,- ≤ x < 2 2{ }= - ，若 ∀x ∈ R ， f (x ) ≥ t 2 -22．解 (1)直线的斜率为 3 ，直线 l 倾斜角为π3⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎛ 2 ⎫2 ⎛ 2 ⎫2= 1⎝⎝⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭直线 l 的直角坐标方程为 y = 2 2+ 3x⎛ 2 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 2 2⎧1 ⎪ ⎪⎪1⎪⎪ x + 3, x ≥ 2 ⎪ ⎩当 x <- 1 2， - x - 3 > 2 ， x < -5 ，∴ x < -5当 - 1 2≤ x < 2 ， 3x - 1 > 2 ， x > 1 ，∴1 < x < 2当 x ≥ 2 ， x + 3 > 2 ， x > -1 ，∴ x ≥ 2综上所述 x x > 1或x < -5 ．(2)由(1)得 f (x ) min5 2 11 2t 恒成立，则只需 f (x ) min 5 11 1= - ≥ t 2 - t ⇒ 2t 2 - 11t + 5 ≤ 0 ⇒ ≤ t ≤ 5 ，2 2 2综上所述 1 2≤ t ≤ 5 ．河北省衡水中学2017届高三上学期四调数学（文科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则若向量=（﹣1+2m，4），2与2=（﹣2﹣m，3），平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得 m=﹣ ；故选：B ．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线 kx ﹣y ﹣3=0 的距离 d=，即，∴k 2+1≥9，即 k 2≥8，∴k或 k ，∴圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的充分不必要条件是 k，故选：B ．6．【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 S 101．【解答】解：∵等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=3，且 a 2016+a 2017=0，∴，解得 a 1=3，q=﹣1，∴a 101==3×（﹣1）100=3．故选：A ．7．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos ，n=1 不满足输出的条件，则 n=2，S=cos•cos ；当 n=2，S=cos•cos 时，不满足输出的条件，则 n=3，S=cos •cos•cos；当 n=3，S=cos•cos•cos 时，满足输出的条件，故 S=cos•cos•cos=sin= = =sinsinsin•cos•cos•cos•cos÷sin•cos•cos÷sin÷sin÷sin=故选：B8．【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故(4)正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故(3)正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±当f′（x）＞0，即x∈（﹣，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣，）时，函数单调递增，），（，+∞）时，函数单调递减，故(2)正确函数f（x）=的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H 的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，P A=AB=4，∴EF=HG= PC=2EH=FG= BD=2且 EF ∥HG ∥PC ，且 EH ∥FG ∥BD ，故四边形 EFGH 为矩形，面积是 4 ，△EIH 中，EI=HI=故△EIH 的面积为，故 EH 上的高 IJ=，，即平面 EFGHI 的面积为 5，故选：C ．10.【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF 1|、|PF 2|用 a ，c 表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以 PF 1 为直径的圆经过 F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，又 tan ∠PF 1F 2= ，∴，则由|PF 1|+|PF 2|=2a ，得|PF 1|=，，在 △Rt PF 2F 1 中，得 ，即 ，解得：或（舍）．∴椭圆 E 的离心率为．故选：D．11．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG，即正方体面对角线长也是2，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴△Rt OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．△Rt MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线 C ：y 2=4x 的焦点为 F （1，0），点 A 坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为 l ：x=1，直线 AF 的斜率为 k=2，过 M 作 MP ⊥l 于 P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵△Rt MPN 中，tan ∠NMP=k=2，∴得|MN|=，可得|PN|=2|PM|，|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+ ），故选：D ．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于 m 的方程，解出即可．【解答】解：直线 l 1：（m+1）x+2y+2m ﹣2=0，l 2：2x+（m ﹣2）y +2=0，m=2 时，l 1：3x+2y+2=0，l 2：x+1=0，不合题意，m≠2 时，若直线 l 1∥l 2，则= ≠ ，即（m+1）（m ﹣2）=4，解得：m=3（舍）或 m=﹣2，故答案为：﹣2．14．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数，利用三角形内角和定理可求 A ，C ，进而利用正弦定理可求a ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a ﹣c ）cosB ﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，∴S△ABC=故答案为：acsinB=．=．15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，）由 f′（x ）＜0 解得 e 2x ＜a ，即 x ＜ lna ，此时函数单调递减，若 f （x ）在区间[0，1]上单调递增，则 lna≤0，解得 0＜a≤1，即 a ∈（0，1]当 a=0 时，f （x ）=|e x + |=e x 在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当 a ＜0 时，y=e x + 在 R 单调递增，令 y=e x +=0，则 x=ln，则 f （x ）=|e x + |在（0，ln]为减函数，在[ln ，+∞）上为增函数则 ln≤0，解得 a≥﹣1综上，实数 a 的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a ∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，可求 a 1=3，当 n≥2 时，由 a n =s n ﹣s n ﹣1 可求通项，进而可求 b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，【解答】解：（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，a 1=s 1=3 当 n≥2 时，a n =s n ﹣s n ﹣1=2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1 而 n=1，a 1=4﹣1=3 适合上式， 故 a n =4n ﹣1，又∵a n =4log 2b n +3=4n ﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和2T n =3×2+7×22+…+（4n ﹣5）•2n ﹣1+（4n ﹣1）•2n∴，=（4n ﹣1）•2n=（4n ﹣1）•2n ﹣[3+4（2n ﹣2）]=（4n ﹣5）•2n +518．【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】(1)利用三角函数的单调性与值域即可得出．(2)利用坐标变换得到 性即可得出．【解答】解：(1)f （x ）=4sin （2x ﹣的图象．可得 ．再利用三角函数的单调）+ ．sin （2x ﹣ ）=1 时，f （x ）取得最大值 4+；sin （2x ﹣ ）=﹣1 时，函数 f （x ）取得最小值 4﹣ ．(2)把 y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） 得到象．的图再把得到的图象向左平移∴由个单位，得到．的图象．．∴g （x ）的单调减区间是．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】(1)推导出 PA ⊥BC ，BC ⊥AB ，从而 BC ⊥平面 PAB ，由此能证明平面 PAB ⊥平面 QBC ．(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，该组合体的体积 V=V B ﹣P ADQ +V Q ﹣BCD ．由此能求出结果．【解答】证明：(1)∵OD ⊥平面 ABCD ，PA ∥QD ，∴PA ⊥平面 ABCD ，又∵BC ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BC ，又 BC ⊥AB ，PA ⊂平面 PAB ，AB ⊂平面 PAB ，PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面 PAB ，又∵BC ⊂平面 QBC ，∴平面 PAB ⊥平面 QBC ．解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，∵PA ⊥平面 ABCD ，BO ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BO ，又BO⊥AD，AD⊂平面P ADQ，PA⊂平面P ADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∴∵QD⊥平面ABCD，．∴该组合体的体积．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；(2)依题意设直线 l 的方程为 x=my ﹣1，联立椭圆方程，得（m 2+3）y 2﹣2my ﹣2=0， 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2= ，y 1y 2=﹣，S △AOB = |y 1﹣y 2|= ，设 m 2+3=t （t≥3），则 S △AOB =，∵t≥3，∴0＜ ≤ ，∴当 = ，即 t=3 时，△OAB 面积取得最大值为，此时 m=0.21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 a 的取值范围，(2)当 x ＞1 时，f （x ）＜g （x ）恒成立，转化为 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，构造函数 h （x ）=lnx ﹣x ，利用导数求出函数最值，得到 ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出 a 的取值范围．【解答】解：(1)∵f （x ）=lnx ﹣a 2x 2+ax ，其定义域为（0，+∞），∴f′（x ）= ﹣2a 2x+a= = ．①当 a=0 时，f′（x ）=＞0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当 a ＞0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≥1．．③当 a ＜0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞﹣此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≤﹣ ．．20 / 22．所以|AB|=综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）．(2)∵g （x ）=（3a+1）x ﹣（a 2+a ）x 2， ∴f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣（2a+1）x+ax 2＜0，即 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，设 h （x ）=lnx ﹣x ，则 h′（x ）= ﹣1＜0 恒成立，∴h （x ）在（1，+∞）为减函数，∴h （x ）＜h(1)=﹣1，∴ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设 φ（x ）=ax 2﹣2ax ﹣1当 a=0 时，﹣1＜0，符合题意，当 a ＞0 时，显然不满足题意，当 a ＜0，由于对称轴 x=1，则 φ(1)＜0，即 a ﹣2a ﹣1＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a 的取值范围为（﹣1，0]．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】(1)直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣ ），利用 ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．(2)将|P A|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解 (1)直线的斜率为 ，直线 l 倾斜角为 …由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣2+（y ﹣ ）2=1…），利用 ρ2=x 2+y 2，得到曲线 C 的直角坐标方程为（x ﹣）(2)点 P （0，）在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线 l 的直角坐标方程为 y=x+ …所以圆心（， ）到直线 l 的距离 d= ，即|P A|+|PB|=…21 / 22[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】(1)根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，(2)由(1)得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，可，求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)恒成立，只须即当当当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．，∴x＜﹣5，∴1＜x＜2(2)由(1)得，若∀x∈R，恒成立，则只需综上所述．，22/22。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。
河北省张家口市届高三4月统一模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2017年普通高中高等学校招生全同一模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合1{1,2,3,4},{|2,}x A B y y x A -===∈，则A B =A ．{}1,2B ．{}1,2,4C ．{}2,4D ．{}2,3,4 2、设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若21z i=-+，则z = A ．1i - B ．1i + C ． 1i -- D ．1i -+ 3、已知等差数列{}n a 的前10项和为165，412a =，则7a = A ．14 B ．18 C ．21 D ．244、在[]0,2π上随机取一个数x ，则事件“cos())133x x ππ++≥”发生的概率为A ．12 B ．13 C ．16 D ．235、设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的 A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也必要条件6、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若6AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．67、执行如图所示的程序框图，若输入三个数234log 6,log 8, 1.2a b c ===， 则输出的结果为A ．3log 6B ．4log 8C ．21.2 D ．2log 3 8、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．43 C ．3 D ．839、若实数,x y 满足不等式组2501050x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(1)z x y =-++的最小值为A ．534 B ．10 C ．365D ．17 10、为了得到函数2sin()cos()66y x x ππ=++的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度11、已知三棱锥111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，且测棱1AA ⊥平面ABC ， 若123,,83AB AC BAC AA π==∠== ，则球的表面积为 A ．36π B ．64π C ．100π D ．104π12、已知A 、B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点，12,F F 为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点0000(,)(0,0)P x y x y <>，满足120PF PF ⋅=，且0145PBF∠=， 则双曲线的离心率为 AD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、向量(2,1),(1,2)a b ==-，则()()a b a b +-=14、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()2017l o g 2017xf x x =+， 则()f x 在R 上的零点的个数为15、在直角ABC ∆中，斜边6BC =，以BC 中点O 为圆心，作半径为2的圆，分别交BC于两点，若,AP m AQ n ==，则22m n +=16、如图所示，AC 与BD交于点,//,26E AB CD AC AB CD ===， 当tan 2A =时，BE DC ⋅=三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差为0,n d S ≠其前n 项的和，且24()n n S S n N +=∈恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若)n b n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥平面,,2,25,,A B C D A C B P A A C A D A⊥====分别为,,PD PB CD 的中点.（1）求证：平面MBE ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥B AME -的体积.19、（本小题满分12分）某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[)[)30,50,50,70[)[)[)[],70,90,90,110,110,130,130,150做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）； （2）在全市进入决赛的学生中，按照成绩[)[]110,130,130,150分层抽取6人组进行决赛前培训，在从6人中选取2人担任组长，求组长中至少一名同学来自于高分组[]130,150的概率.20、（本小题满分12分）已知点(1,0),(1,0)N F -为平面直角坐标系内两定点，点M 是以N 为圆心，4为半径的圆上任意一点，线段MF 的垂直平分线交于MN 于点R. （1）点R 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；（2）抛物线C 的顶点在坐标原点，F 为其焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与曲线E 交于P 、Q 两点，请问：是否存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数()ln (0)f x ax x bx a =+≠在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行， （1）试讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若存在(,a e ∈+∞，对任意的121,[,3]3x x e e ∈都有12()()(ln3)3f x f x m e a e -<++成立，求实数m 的取值范围.（ 2.71828e =）请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为cos (sin x a t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）点(,0)Q a ，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求使2211QAQB+为定值的的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()22212f x x x a a a =-+---.（1）当3a =时，求()10f x ≥-的解集；（2）若()0f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.。
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟七数学文试题
核 心 八 模2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（七） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设非空集合,P Q 满足P Q P = ，则 A.,x Q x P ∀∈∈ B. ,x Q x P ∀∉∉ C.00,x Q x P ∃∉∈ D. 00,x P x Q ∃∈∉2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：2123:2;:2,:p z p z i p z ==的共轭复数为41;:i p z +的虚部为-1，其中的真命题为A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 43,p p3.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720,800名学生，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查.先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001,002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为A. 001,041，…，800B. 031，-71，…，791C.027,067，…，787D.055,095，…，7954.已知一组数据()()()()001,2,3,5,6,8,,,x y 的线性回归方程为ˆ2yx =+，则00x y -的值为A. 3-B. 5-C. 2-D.1-5.已知长方体1111ABCD A BC D -中，12,AB BC BB ==在长方体的外接球内随机抽取一点M ，则落在长方体外的概率为A.4π B. 44ππ- C. 12π D.212ππ-6.已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为 A. -5 B. -4 C. -3 D. 27.设,a b为非零向量，2a b = ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344,,,,x y x y x y x y +++ 所有可能取值中的最小值为24a ，则,a b的夹角为A.23π B. 3π C. 6πD.0 8.已知等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为 A.120 B. 110C. 10D.20 9.执行如图所示的程序框图，则输出的值是A.5B. 4C. 3D.210.已知函数()2232f x x ax a =+-，其中(]()0,3,0a f x ∈≤，对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和a 两数间插入2017个数，使之与1，a 构成等比数列，设插入的这2017个数的乘积为T,则T= A.20172B. 20173C. 201723D.20172211.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，定点()0,2A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M,与抛物线C 的准线交于点N,则:MN FN 的值是A.)21:(1+12.已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是A. (,-∞B. (,-∞C. (0,D.()+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足40300x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为 .14.已知双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线的方程为3y x =，则双曲线的离心率为 .15.已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视形，则三棱锥的四个面中面积最大值为 .16.已知ABC ∆的面积为S,三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若2224S a b c +=+，则sin cos 4C B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值时，C = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式 （2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.18.（本题满分12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC ====（1）证明：//BC 平面PDA ； （2）证明：BC PD ⊥;（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本题满分12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福感指数的问卷调查，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于7，说明孩子的幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子的幸福感强）.（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，1,2A ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，AF 交y 轴于点M ，且M 为AF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A,平行于OA 的直线l 交于P ，交椭圆C 于不同的两点D,E,问是否存在常数λ，使得2PA PD PE λ=⋅，若存在，求出λ的值若不存在，请说明理由.（已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=）21.（本题满分12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax xx x a R =--+∈（1）若2ln ax x >，求证：()2ln 1f x ax x ≥-+；（2）若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
【河北省张家口】2017学年4月高考模拟文科数学年试题
河北省张家口市2017年4月高考模拟文科数学试卷答 案1~5．BDCBB6~10．AAACC11~12．CD13．014．315．2616．12-17．解：（1）24()n n S S n +=∈N 恒成立,∴214S S =,∴1124a d a +=,∴124d a ==,∴1(1)42,()n a a n d n n +=+-=-∈N（2）∵n b ==∴数列{}n b 的前n项和n T =18．证明：（1）设F 为AC 的中点,连结BF 和EF ,∵AB BC =,∴BF AC ⊥,∵E 为CD 的中点,∴EF AD ∥,又∵AC AD ⊥,∴EF AC ⊥,∴B F E 、、三点共线,∴BE AC ⊥,又∵PA ABCD ⊥平面,且BE ABCD ⊂平面,∴PA BE ⊥,∴BE PAC ⊥平面,又PC ABCD ⊂平面,∴BE PC ⊥．（2）∵PA ABCD ⊥平面,且M 为PD 的中点,∴点M 到平面ABCD 的距离为122PA =, 由（1）知112122AF AC EF AD ====，, ∵BF AF ⊥,且AB =∴4BF =,∴5BE BF EF =+=,∴三棱锥B AME -的体积：111103223B AME M ABE V V BE AF PA --==⨯⨯⨯⨯=． 19．解：（1）由题意和频率分布直方图,得：0.01440.01280.011500520.00560.00400200a ++++=+⨯, 解得0.0020a =,∴这500名学生中进入决赛的人数为：()0.00400.00205002060+⨯⨯=,进入决赛学生的平均分为： 400.005620600.012820800.0144201000.0112201200.0040201400.00202080.48⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=80.5≈,∴这500名学生中有60人进入决赛,进入决赛学生的平均分为80.5分．（2）由题意知抽取的6人中,成绩在的概率93155P == 20.解：（1）由题意,||||RM RF =,∴||||||||||4||RF RN RM RN MN NF +=+==＞,∴R 的轨迹是以,N F 为焦点的椭圆,2,1,a c b ==∴曲线E 的方程为22143x y +=； （2）抛物线C 的顶点在坐标原点,F 为其焦点,抛物线的方程为24y x =,假设存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点,则1||||2AF FB =． 直线l 斜率显然垂直,设方程为(1)(0)y k x k =-≠, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线代入抛物线方程,整理可得2440ky y k --=, ∴124y y k+=①124y y =-,② ∵1||||2AF FB =,∴212y y =-③,∴由①②③解得k =±k =,直线l 的方程为1)y x =-,解得1(,2A B ．直线与椭圆方程联立解得210(,),A(,5577P -,∵2B Q v y ≠,∴Q 不是FB 的中点,即,,A F Q 不是线段PB 的四等分点,同理可得k =-,,,A F Q 不是线段PB 的四等分点,∴不存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点．21．解：（1）∵()ln f x a x b a '=++,∴(1)0f a b '=+=,故b a =-,∴()ln (0)f x ax x ax a =-≠,且()ln f x a x '=,当0a ＞时,(0,1)x ∈时,()0,(1,)f x x '∈+∞＜时,()0f x '＞,∴()f x 在(0,1)递减,在(1,)+∞递增；0a ＜时, (0,1)x ∈时, ()0,(1,)f x x '∈+∞＞时, ()0f x '＜,∴()f x 在(0,1)递增,在(1,)+∞递减；（2）∵(e,)a ∈+∞,∴()f x 在(0,1)递减,在(1,)+∞递增, 又111(e)eln 0,(1),(3e)3eln30333f a f a f a ==-=＜＞, ∴1[e,3e]3x ∈时,max min ()(3e)3eln3,()(1)f x f a f x f a ====-, ∴若对任意121,[e,3e]3x x ∈都有12|()()|(eln3)3e f x f x m a -++＜成立, 只需(eln3)3e (3e)(1)3eln3m a f f a a ++-=+＞, 即3e 2eln31m a+-＞, 令3e ()2eln31,((e,))g a a a=+-∈+∞, 易知()g(e)2eln32g a =-＞, ∵存在(e,)a ∈+∞,使得3e 2eln31m a+-＞成立, ∴2eln32m -＞,故实数m 的范围是(2eln32,)-+∞．请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上．22．解：（1）∵2cos 4cos 0ρρθθ--=,∴222cos 4cos 0ρρθρθ--=, ∴22240x y x x +--=,即24y x =．（2）把为cos ()sin x a t t y t θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，为倾斜角代入24y x =得： 22sin 4cos 40t t a θθ--=, ∴1212224cos 4,sin sin a t t t t θθθ+==-, ∴22222121212222222222121212()2111116cos 8sin ||||16t t t t t t a QA QB t t t t t t a θθ++-++=+===, ∴当2a =时,2211||||QA QB +为定值14．23．解：（1）当3a =时, 2()|22|15f x x x =-+-,由2220x x -+＞恒成立,则2()213f x x x =--,由()10f x -≥,可得223x x --≥00,解得3x ≥或1x -≤,即()10f x -≥的解集为{|31}x x x -≥或≤；（2）()0f x ≥对x ∈R 恒成立,即为22|21|20x x a a a -+---≥对x ∈R 恒成立,即有22|(1)2|20x a a a -+---≥对x ∈R 恒成立．当20a -≤即2a ≤时,只需22a a +≤0,即20a -≤≤；当20a -＞,即2a ＜时,只需222a a a +-≤,即22a a ++≤0,由判别式1420=-∆⨯＜,可得不等式无实数解．河北省张家口市2017年4月高考模拟文科数学试卷解析1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合B,再根据交集的定义即可求出．【解答】解：合A={1,2,3,4},B={y|y=2x﹣1,x∈A}={1,2,4,8},则A∩B={1,2,4},故选：B．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=,∴．故选：D．3．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7,再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7,∴S10=10•=5(a4+a7)=5(12+a7)=165,解得a7=21,故选：C．4．【考点】CF：几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出的等价条件,利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由得2sin(x+)≥1,即cosx≥,∵0≤x≤2π,∴x的取值范围是0≤x≤或≤x≤2π,则“”发生的概率P==,故选：B．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若“x≠1或y≠1”,则“xy≠1,其逆否命题为：若xy=1,则x=1且y=1．即可判断出关系．【解答】解：若“x≠1或y≠1”,则“xy≠1,其逆否命题为：若xy=1,则x=1且y=1．由x=1且y=1⇒xy=1,反之不成立,例如取x=2,y=．∴xy=1是x=1且y=1的必要不充分条件．∴“x≠1或y≠1”是“xy≠1”的必要不充分条件．故选：B．6．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p的值,再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x,∴p=2,设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点,其横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|﹣p)=2,故选A．7．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行,可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数,利用指数函数与对数函数的单调性与1．5相比较即可得出．【解答】解：模拟程序的运行,可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数,∵a=log36=1+log32＞1+log3=1．5,b=log48====1．5．c=1．22=1．44,∴可得：c＜b＜A．故选：A．8．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC,其中SO⊥底面ABC,O是AC中点,且OA=OC=OB=1,SO=2,OB⊥AC,由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC,其中SO⊥底面ABC,O是AC中点,且OA=OC=OB=1,SO=2,OB⊥AC,∴该几何体的体积为：V S﹣ABC===．故选：A．9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用x2+y2的几何意义：动点P(x,y)到(1,﹣1)距离的平方,即可求最小值．【解答】解：设z=(x﹣1)2+(y+1)2,则z的几何意义为动点P(x,y)到(1,﹣1)距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点P到A点的距离最小,即A点到直线x+2y﹣5=0的距离最小．由点到直线的距离公式得d==,所以z=(x﹣1)2+(y+1)2的最小值为d2=．故选：C10.【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【分析】利用二倍角的正弦公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论．【解答】解：函数=sin(2x+)=sin2(x+),故把函数y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,可得函数的图象,故选：C．11．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出BC,可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱柱的外接球的半径,即可求出三棱柱的外接球表面积．【解答】解：∵AB=AC=3,∠BAC=120°,∴BC=3,∴三角形ABC的外接圆直径2r==6,∴r=3,∵AA1⊥平面ABC,AA1=8,∴该三棱柱的外接球的半径R=5,∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π．12．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2,|PO|=|F1F2|=c,求出双曲线的一条渐近线方程,可得x0,y0的方程,解方程可得P 的坐标,解直角三角形PAB,可得b=2a,求出a,c的关系,运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：F1,F2为其左右焦点,满足=0,可得PF1⊥PF2,|PO|=|F1F2|=c,由双曲线的渐近线方程y=﹣x,即有x02+y02=c2,bx0+ay0=0,解得P(﹣a,b),则PA⊥AB,又∠PBF1=45°,则|PA|=|AB|,即有b=2a,可得c==a,则e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上．13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出,的值,而,从而求出该数量积的值．【解答】解：；∴=5﹣5=0.故答案为：0.14．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】x＞0时,求f′(x),并容易判断出f′(x)＞0,所以f(x)在(0,+∞)上是单调函数．然后判断有没有x1,x2使得f(x1)f(x2)＜0：分别取x=2017﹣2017,1,便可判断f＜0,f（1）＞0,从而得到f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数的对称性便得到f(x)在(﹣∞,0)上有一个零点,而因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,这样便得到在R上f(x)零点【解答】解：x＞0时,f′(x)=2017x ln2017+＞0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,取x=2017﹣2017,则f=﹣2017＜0,又f（1）=2017＞0；∴f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(﹣∞,0)也有一个零点；又f(0)=0；∴函数f(x)在R上有3个零点．故答案为：3．15．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】利用余弦定理,求出|AP|2、|AQ|2,结合∠AOP+∠AOQ=180°,即可求|AP|2+|AQ|2的值．【解答】解：由题意,OA=OB=3,OP=OQ=2,△AOP中,根据余弦定理AP2=OA2+OP2﹣2OA•OPcos∠AOP同理△AOQ中,AQ2=OA2+OQ2﹣2OA•OQcos∠AOQ因为∠AOP+∠AOQ=180°,所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2=2×32+2×22=26．故答案为：26．16．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根究余弦定理和夹角公式求出cos∠ABE,再根据向量的数量积计算即可．【解答】解：由已知条件可知AE=2EC=2,sinA=,cosA=,在△ABE中,BE2=AE2+AB2﹣2AE•AB×cosA=32,∴cos∠ABE==,∴•=﹣4×3×=﹣12,故答案为：﹣1217．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式可得S2=4S1,继而求出公差d,再写出通项公式即可,（2）化简b n=﹣,累加求和即可18．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设F为AC的中点,连结BF和EF,推导出EF⊥AC,EF⊥AC,BE⊥AC,PA⊥BE,从而BE⊥平面PAC,由此能证明BE⊥PC．（2）三棱锥B﹣AME的体积：V B﹣AME=V M﹣ABE,由此能求出结果．19．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由题意和频率分布直方图列出方程,求出a,由此能求出这500名学生中进入决赛的人数,及进入决赛学生的平均分．（2）由题意知抽取的6人中,成绩在的概率．20．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）利用椭圆的定义,求曲线E的方程；（2）假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|．求出直线方程,再进行验证,即可得出结论．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f(x)的最大值和最小值,问题转化为m＞2eln3+1﹣,令g(a)=2eln3+1﹣,(a ∈(e,+∞)),根据函数的单调性求出m的范围即可．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）极坐标方程两边同乘ρ,根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程,利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．23．【考点】5B：分段函数的应用；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出a=3时,f(x)的解析式,去掉绝对值,运用二次不等式的解法,即可得到所求解集；（2）由题意可得|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立,即有|(x﹣1)2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a﹣2≤0和a﹣2＞0,可得a的不等式,解不等式求交集,即可得到所求a的范围．。
2017年高考文科数学试题及答案-全国卷1(word版.)
2017年高考文科数学试题及答案-全国卷1(word版.)D（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90∠=,且四棱锥P-ABCD的体积为APD8，求该四棱锥的侧面积.319．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78ii x x i =--=-∑，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)ix i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)iix y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．20．（12分）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.21．（12分）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
河北省张家口市4月高考模拟文科数学试卷有答案
河北省张家口市2017年4月高考模拟文科数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合1{1,2,3,4},{|2,}x A B y y x A -===∈,则A B =( )A ．{1,2}B ．{1,2,4}C ．{2,4}D ．{2,3,4}2．设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若21iz =-+,则z =( ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为165,412a =,则7a =( )A ．14B ．18C ．21D ．244．在上随机取一个数x ,则事件“ππcos())133x x +++≥”发生的概率为( )A ．12 B ．13C ．16D ．235．设,x y ∈R ,则“11x y ≠≠或”是“1xy ≠”的( )A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件6．已知抛物线2:y 4C x =的焦点为F ,过点F 的直线与抛物线交于A B 、两点,若||6AB =,则线段AB 的中点M 的横坐标为( )A ．2B ．4C ．5D ．67．执行如图所示的程序框图,若输入三个数234log 6,log 8, 1.2a b c ===,则输出的结果为( )A ．3log 6B ．4log 8C ．21.2D ．2log 38．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．3D ．839．若实数,x y 满足不等式组2501050x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤,则22(1)(1)z x y =-++的最小值为( )A ．534B ．10C ．365D ．1710.为了得到函数ππ2sin()cos()66y x x =++的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π12个单位长度 B ．向右平行移动π12个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度11．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上,且侧棱1AA ABC ⊥平面,若3,AB AC ==,12π,83BAC AA ∠==,则球的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．100π1 D ．104π12．已知,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=＞＞的左右顶点,12,F F 为其左右焦点,双曲线的渐近线上一点0000(,)(0,0)P x y x y ＜＞,满足120PF PF =,且°145PBF ∠=,则双曲线的离心率为( )ABCD二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上．13．向量(2,1),(1,2)a b ==-,则()()a b a b +-=__________．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()2017log 2017xf x x =+,则()f x 在R 上的零点的个数为__________．15．在直角ABC △中,斜边6BC =,以BC 中点O 为圆心,作半径为2的圆,分别交BC 于两点,若||,||AP m AQ n ==,则22m n +=__________．16．如图所示,AC 与BD 交于E 点E,AB CD ∥,26AC AB CD ===,当tan 2A =时,BE DC =__________．三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．等差数列{}n a 中,12a =,公差为0d ≠,n S 其前n 项的和,且24()n n S S n +=∈N 恒成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()n b n +=∈N ,求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在四棱锥P ABCD -中,,,24,,PA ABCD AC BD PA AC AD AB BC M N ⊥⊥=====平面分别为,,PD PB CD 的中点．（1）求证：MBE PAC ⊥平面平面； （2）求三棱锥B AME -的体积．19．某市高二年级学生进行数学竞赛,竞赛分为初赛和决赛,规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛,110分以下的学生则被淘汰,现随机抽取500名学生的初赛成绩按做成频率副本直方图,如图所示：(假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的) （1）求这500名学生中进入决赛的人数,及进入决赛学生的平均分(结果保留一位小数)；（2）在全市进入决赛的学生中,按照成绩分层抽取6人组进行决赛前培训,在从6人中选取2人担任组长,求组长中至少一名同学来自于高分组的概率．20.已知点(1,0),(1,0)N F -为平面直角坐标系内两定点,点M 是以N 为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF 的垂直平分线交于MN 于点R ．（1）点R 的轨迹为曲线E ,求曲线E 的方程；（2）抛物线C 的顶点在坐标原点,F 为其焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,与曲线E 交于,P Q 两点,请问：是否存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由．21．已知函数()ln (0)f x ax x bx a =+≠在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行, （1）试讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若存在(e,)a ∈+∞,对任意的121,[e,3e]3x x ∈都有12|()()|(eln3)3e f x f x m a -++＜成立,求实数m 的取值范围．( 2.71828)e =请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上．22．已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为cos ()sin x a t t y t θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，为倾斜角,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）点(,0)Q a ,若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,求使2211||||QA QB +为定值的值． 23．已知函数22()|21|2f x x x a a a =-+---． （1）当3a =时,求()10f x -≥的解集；（2）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立,求a 的取值范围．河北省张家口市2017年4月高考模拟文科数学试卷答 案1~5．BDCBB 6~10．AAACC 11~12．CD 13．0 14．3 15．26 16．12-17．解：（1）24()n n S S n +=∈N 恒成立,∴214S S =, ∴1124a d a +=, ∴124d a ==,∴1(1)42,()n a a n d n n +=+-=-∈N（2）∵n b ==∴数列{}n b 的前n项和n T = 18．证明：（1）设F 为AC 的中点,连结BF 和EF , ∵AB BC =,∴BF AC ⊥, ∵E 为CD 的中点,∴EF AD ∥,又∵AC AD ⊥,∴EF AC ⊥,∴B F E 、、三点共线,∴BE AC ⊥, 又∵PA ABCD ⊥平面,且BE ABCD ⊂平面, ∴PA BE ⊥,∴BE PAC ⊥平面, 又PC ABCD ⊂平面,∴BE PC ⊥．（2）∵PA ABCD ⊥平面,且M 为PD 的中点,∴点M 到平面ABCD 的距离为122PA =,由（1）知112122AF AC EF AD ====，,∵BF AF ⊥,且AB =∴4BF ==,∴5BE BF EF =+=, ∴三棱锥B AME -的体积：111103223B AME M ABE V V BE AF PA --==⨯⨯⨯⨯=．19．解：（1）由题意和频率分布直方图,得：0.01440.01280.011500520.00560.00400200a ++++=+⨯, 解得0.0020a =,∴这500名学生中进入决赛的人数为：()0.00400.00205002060+⨯⨯=, 进入决赛学生的平均分为：400.005620600.012820800.0144201000.0112201200.0040201400.00202080.48⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=80.5≈,∴这500名学生中有60人进入决赛,进入决赛学生的平均分为80.5分． （2）由题意知抽取的6人中,成绩在的概率93155P == 20.解：（1）由题意,||||RM RF =,∴||||||||||4||RF RN RM RN MN NF +=+==＞,∴R 的轨迹是以,N F 为焦点的椭圆,2,1,a c b ===∴曲线E 的方程为22143x y +=；（2）抛物线C 的顶点在坐标原点,F 为其焦点,抛物线的方程为24y x =,假设存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点,则1||||2AF FB =． 直线l 斜率显然垂直,设方程为(1)(0)y k x k =-≠,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线代入抛物线方程,整理可得2440ky y k --=,∴124y y k+=①124y y =-,②∵1||||2AF FB =,∴212y y =-③,∴由①②③解得k =±k =,直线l 的方程为1)y x =-,解得1(,2A B ．直线与椭圆方程联立解得210(,),A(,5577P -, ∵2B Q v y ≠,∴Q 不是FB 的中点,即,,A F Q 不是线段PB 的四等分点,同理可得k =-,,,A F Q 不是线段PB 的四等分点, ∴不存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点． 21．解：（1）∵()ln f x a x b a '=++, ∴(1)0f a b '=+=,故b a =-,∴()ln (0)f x ax x ax a =-≠,且()ln f x a x '=,当0a ＞时,(0,1)x ∈时,()0,(1,)f x x '∈+∞＜时,()0f x '＞, ∴()f x 在(0,1)递减,在(1,)+∞递增；0a ＜时, (0,1)x ∈时, ()0,(1,)f x x '∈+∞＞时, ()0f x '＜,∴()f x 在(0,1)递增,在(1,)+∞递减； （2）∵(e,)a ∈+∞,∴()f x 在(0,1)递减,在(1,)+∞递增,又111(e)eln 0,(1),(3e)3eln30333f a f a f a ==-=＜＞,∴1[e,3e]3x ∈时,max min ()(3e)3eln3,()(1)f x f a f x f a ====-,∴若对任意121,[e,3e]3x x ∈都有12|()()|(eln3)3e f x f x m a -++＜成立,只需(eln3)3e (3e)(1)3eln3m a f f a a ++-=+＞,即3e 2eln31m a+-＞,令3e()2eln31,((e,))g a a a=+-∈+∞, 易知()g(e)2eln32g a =-＞,∵存在(e,)a ∈+∞,使得3e2eln31m a+-＞成立, ∴2eln32m -＞,故实数m 的范围是(2eln32,)-+∞．请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上．22．解：（1）∵2cos 4cos 0ρρθθ--=,∴222cos 4cos 0ρρθρθ--=,∴22240x y x x +--=,即24y x =．（2）把为cos ()sin x a t t y t θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，为倾斜角代入24y x =得： 22sin 4cos 40t t a θθ--=,∴1212224cos 4,sin sin at t t t θθθ+==-, ∴22222121212222222222121212()2111116cos 8sin ||||16t t t t t t a QA QB t t t t t t a θθ++-++=+===, ∴当2a =时,2211||||QA QB +为定值14． 23．解：（1）当3a =时, 2()|22|15f x x x =-+-,由2220x x -+＞恒成立,则2()213f x x x =--,由()10f x -≥,可得223x x --≥00, 解得3x ≥或1x -≤,即()10f x -≥的解集为{|31}x x x -≥或≤； （2）()0f x ≥对x ∈R 恒成立,即为22|21|20x x a a a -+---≥对x ∈R 恒成立,即有22|(1)2|20x a a a -+---≥对x ∈R 恒成立．当20a -≤即2a ≤时,只需22a a +≤0,即20a -≤≤；当20a -＞,即2a ＜时,只需222a a a +-≤,即22a a ++≤0, 由判别式1420=-∆⨯＜,可得不等式无实数解．河北省张家口市2017年4月高考模拟文科数学试卷解析1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合B,再根据交集的定义即可求出．【解答】解：合A={1,2,3,4},B={y|y=2x﹣1,x∈A}={1,2,4,8},则A∩B={1,2,4},故选：B．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=,∴．故选：D．3．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7,再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7,∴S10=10•=5(a4+a7)=5(12+a7)=165,解得a7=21,故选：C．4．【考点】CF：几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出的等价条件,利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由得2sin(x+)≥1,即cosx≥,∵0≤x≤2π,∴x的取值范围是0≤x≤或≤x≤2π,则“”发生的概率P==,故选：B．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若“x≠1或y≠1”,则“xy≠1,其逆否命题为：若xy=1,则x=1且y=1．即可判断出关系．【解答】解：若“x≠1或y≠1”,则“xy≠1,其逆否命题为：若xy=1,则x=1且y=1．由x=1且y=1⇒xy=1,反之不成立,例如取x=2,y=．∴xy=1是x=1且y=1的必要不充分条件．∴“x≠1或y≠1”是“xy≠1”的必要不充分条件．故选：B．6．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p的值,再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x,∴p=2,设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点,其横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|﹣p)=2,故选A．7．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行,可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数,利用指数函数与对数函数的单调性与1．5相比较即可得出．【解答】解：模拟程序的运行,可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数,∵a=log36=1+log32＞1+log3=1．5,b=log48====1．5．c=1．22=1．44,∴可得：c＜b＜A．故选：A．8．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC,其中SO⊥底面ABC,O是AC中点,且OA=OC=OB=1,SO=2,OB⊥AC,由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC,其中SO⊥底面ABC,O是AC中点,且OA=OC=OB=1,SO=2,OB⊥AC,∴该几何体的体积为：V S﹣ABC===．故选：A．9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用x2+y2的几何意义：动点P(x,y)到(1,﹣1)距离的平方,即可求最小值．【解答】解：设z=(x﹣1)2+(y+1)2,则z的几何意义为动点P(x,y)到(1,﹣1)距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点P到A点的距离最小,即A点到直线x+2y﹣5=0的距离最小．由点到直线的距离公式得d==,所以z=(x﹣1)2+(y+1)2的最小值为d2=．故选：C10.【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【分析】利用二倍角的正弦公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论．【解答】解：函数=sin(2x+)=sin2(x+),故把函数y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,可得函数的图象,故选：C．11．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出BC,可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱柱的外接球的半径,即可求出三棱柱的外接球表面积．【解答】解：∵AB=AC=3,∠BAC=120°,∴BC=3,∴三角形ABC的外接圆直径2r==6,∴r=3,∵AA1⊥平面ABC,AA1=8,∴该三棱柱的外接球的半径R=5,∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π．12．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2,|PO|=|F1F2|=c,求出双曲线的一条渐近线方程,可得x0,y0的方程,解方程可得P 的坐标,解直角三角形PAB,可得b=2a,求出a,c的关系,运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：F1,F2为其左右焦点,满足=0,可得PF1⊥PF2,|PO|=|F1F2|=c,由双曲线的渐近线方程y=﹣x,即有x02+y02=c2,bx0+ay0=0,解得P(﹣a,b),则PA⊥AB,又∠PBF1=45°,则|PA|=|AB|,即有b=2a,可得c==a,则e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上．13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出,的值,而,从而求出该数量积的值．【解答】解：；∴=5﹣5=0.故答案为：0.14．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】x＞0时,求f′(x),并容易判断出f′(x)＞0,所以f(x)在(0,+∞)上是单调函数．然后判断有没有x1,x2使得f(x1)f(x2)＜0：分别取x=2017﹣2017,1,便可判断f＜0,f（1）＞0,从而得到f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数的对称性便得到f(x)在(﹣∞,0)上有一个零点,而因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,这样便得到在R上f(x)零点【解答】解：x＞0时,f′(x)=2017x ln2017+＞0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,取x=2017﹣2017,则f=﹣2017＜0,又f（1）=2017＞0；∴f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(﹣∞,0)也有一个零点；又f(0)=0；∴函数f(x)在R上有3个零点．故答案为：3．15．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】利用余弦定理,求出|AP|2、|AQ|2,结合∠AOP+∠AOQ=180°,即可求|AP|2+|AQ|2的值．【解答】解：由题意,OA=OB=3,OP=OQ=2,△AOP中,根据余弦定理AP2=OA2+OP2﹣2OA•OPcos∠AOP同理△AOQ中,AQ2=OA2+OQ2﹣2OA•OQcos∠AOQ因为∠AOP+∠AOQ=180°,所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2=2×32+2×22=26．故答案为：26．16．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根究余弦定理和夹角公式求出cos∠ABE,再根据向量的数量积计算即可．【解答】解：由已知条件可知AE=2EC=2,sinA=,cosA=,在△ABE中,BE2=AE2+AB2﹣2AE•AB×cosA=32,∴cos∠ABE==,∴•=﹣4×3×=﹣12,故答案为：﹣1217．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式可得S2=4S1,继而求出公差d,再写出通项公式即可,（2）化简b n=﹣,累加求和即可18．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L Y：平面与平面垂直的判定．（1）设F为AC的中点,连结BF和EF,推导出EF⊥AC,EF⊥AC,BE⊥AC,PA⊥BE,从而BE⊥平面PAC,【分析】由此能证明BE⊥PC．（2）三棱锥B﹣AME的体积：V B﹣AME=V M﹣ABE,由此能求出结果．19．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由题意和频率分布直方图列出方程,求出a,由此能求出这500名学生中进入决赛的人数,及进入决赛学生的平均分．（2）由题意知抽取的6人中,成绩在的概率．20．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）利用椭圆的定义,求曲线E的方程；（2）假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|．求出直线方程,再进行验证,即可得出结论．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f(x)的最大值和最小值,问题转化为m＞2eln3+1﹣,令g(a)=2eln3+1﹣,(a ∈(e,+∞)),根据函数的单调性求出m的范围即可．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）极坐标方程两边同乘ρ,根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程,利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．23．【考点】5B：分段函数的应用；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出a=3时,f(x)的解析式,去掉绝对值,运用二次不等式的解法,即可得到所求解集；（2）由题意可得|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立,即有|(x﹣1)2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a﹣2≤0和a﹣2＞0,可得a的不等式,解不等式求交集,即可得到所求a的范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年普通高中高等学校招生全同一模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合1{1,2,3,4},{|2,}x A B y y x A -===∈，则A B =
A ．{}1,2
B ．{}1,2,4
C ．{}2,4
D ．{}2,3,4
2、设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若21z i
=-+，则z = A ．1i - B ．1i + C ． 1i -- D ．1i -+
3、已知等差数列{}n a 的前10项和为165，412a =，则7a =
A ．14
B ．18
C ．21
D ．24
4、在[]0,2π上随机取一个数x ，则事件“cos())133x x ππ+
++≥”发生的概率为 A ．12 B ．13 C ．16 D ．23
5、设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的
A ．充分不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也必要条件
6、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若6AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7、执行如图所示的程序框图，若输入三个数234log 6,log 8, 1.2a b c ===，
则输出的结果为
A ．3log 6
B ．4log 8
C ．21.2
D ．2log 3
8、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．23
B ．43
C ．3
D ．83
9、若实数,x y 满足不等式组2501050x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则22(1)(1)z x y =-++的最小值为
A ．
534 B ．10 C ．365
D ．17 10、为了得到函数2sin()cos()66
y x x ππ=++的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动12π个单位长度 B ．向右平行移动12
π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度 11、已知三棱锥111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，且测棱1AA ⊥平面ABC ， 若123,,83
AB AC BAC AA π==∠== ，则球的表面积为 A ．36π B ．64π C ．100π D ．104π
12、已知A 、B 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右顶点，12,F F 为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点0000(,)(0,0)P x y x y <>，满足120PF PF ⋅= ，且0145PBF
∠=， 则双曲线的离心率为
A
D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、向量(2,1),(1,2)a b ==- ，则()()a b a b +-=
14、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()2017log2017x
f x x =+， 则()f x 在R 上的零点的个数为
15、在直角ABC ∆中，斜边6BC =，以BC 中点O 为圆心，作半径为2的圆，分别交BC 于两点，若,AP m AQ n ==，则22
m n +=
16、如图所示，AC 与BD
交于点,//,26E AB CD AC AB CD ===，
当tan 2A =时，BE DC ⋅=
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，12a =，公差为0,n d S ≠其前n 项的和，且24()n n S S n N +=∈恒成立.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2
）若)n b n N +=
∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18、（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥
平面,,24,,ABCD AC BD PA AC AD AB BC M N ⊥=====分别为,,PD PB CD 的中点.
（1）求证：平面MBE ⊥平面PAC ；
（2）求三棱锥B AME -的体积.
19、（本小题满分12分）
某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[)[)30,50,50,70
[)[)[)[],70,90,90,110,110,130,130,150做成频率副本直方图，如图所示：
（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）
（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）；
（2）在全市进入决赛的学生中，按照成绩[)[]110,130,130,150分层抽取6人组进行决赛前培训，在从6人中选取2人担任组长，求组长中至少一名同学来自于高分组[]130,150的概率.
20、（本小题满分12分）
已知点(1,0),(1,0)N F -为平面直角坐标系内两定点，点M 是以N 为圆心，4为半径的圆上任意一点，线段MF 的垂直平分线交于MN 于点R.
（1）点R 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；
（2）抛物线C 的顶点在坐标原点，F 为其焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与曲线E 交于P 、Q 两点，请问：是否存在直线l 使,,A F Q 是线段PB 的四等分点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数()ln (0)f x ax x bx a =+≠在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，
（1）试讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；
（2）若存在(,)a e ∈+∞，对任意的121,[,3]3
x x e e ∈都有12()()(ln3)3f x f x m e a e -<++成立，求实数m 的取值范围.（ 2.71828e = ）
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为cos (sin x a t t y t θθ=+⎧⎨=⎩
为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程；
（2）点(,0)Q a ，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求使221
1QA QB +为定值的的值.
23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲
已知函数()22212f x x x a a a =-+---.
（1）当3a =时，求()10f x ≥-的解集；
（2）若()0f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.。