高等数学第一章第一节

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高数高等数学1.1映射与函数

1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1

高等数学上册1.1 映射与函数

第一节映射与函数
一、映射
二、函数
第一章函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.

X
定义域
D =X
第一节映射与函数

()

()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
注映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.

Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.

《高等数学》第一节：映射与函数

[1,1] [ 0, ]
[

, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x

2

2
0

2
x
| arctanx |
定义域 (,)

2

2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数狄利克雷函数、取整函数、分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos

,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数双曲函数反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高等数学
研究对象研究内容研究工具
上册极限
一元函数微分学与积分学函数微分方程空间解析几何与向量代数多元函数微分学与积分学下册无穷级数
高等数学
应用
用哪个？条件？
不合条件，改造！

高等数学第一章公式

高等数学公式与定理（第六版上册）第一章函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。

定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。

定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系）如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。

高等数学第一章：函数与极限

第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。

（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。

)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。

奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(，如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。

4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。

四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。

高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt

f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高等数学 PPT 课件
第一章
教材 : 同济高等数学第五版
欢迎您加入本课堂，希望您刻苦学习，努力争取最优异的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a

x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4

9
以上五类函数称为基本初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .

高等数学-01第一章第1节函数

48
七、复合函数初等函数
1.复合函数设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分；（2）多元函数微积分；
（3）无穷级数；
（4）向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像；集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数

《高等数学》第一章第一节

函数的两要素构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域函数的定义域通常按以下两种情形来确定: (1)对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. (2)对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.
(AB)CA(BC);
(3)分配律 (AB)C(AC)(BC),
(AB)C(AC)(BC);
(4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. •(AB)CACBC的证明
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集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合, 则有 (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
称为函数yf(x), xD的图形.
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25
函数举例例5 函数 y2. 这是一个常值函数, 其定义域为D(-, ), 其值域为Rf {2}.
x x0 例 6 例 6. 函数 y | x | . - x x < 0 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(-, +), 其值域为Rf [0, + ).
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.
首页上页返回下页结束 5
集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC),
§1.1 映射与函数
一、集合二、映射
三、函数
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恒成立 . 则称 f ( x )为周期函数 , l 称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
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1 例3 设 D ( x ) 0
xQ xQ ,
求 D (
7 5
), D ( 1 7
2 ). 并讨论 D ( D ( x )) 的性质 .
y
y2
E
A B
y1
O
x1
C D x2 x3 x4
x5 x
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五、基本初等函数
1、幂函数
y x

( 是常数 )
y x
y
( 1 ,1 )
y
y x
2
1
x
o
y 1 x
1
x
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2、指数函数 y a
1
x
(a 0, a 1)
ye
x
y( ) a
2.区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R ,且 a b.
{ x a x b}
称为开区间, 记作 ( a , b )
o
a
b
x
{ x a x b}
称为闭区间, 记作 [ a , b ]
a
o
b
x
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{ x a x b} { x a x b}
o
直接函数 P (a , b )
y f (x)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
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2、复合函数
设 y u, u 1 x 2,
y
1 x
2
定义:
设函数 y f (u) 的定义域 D f , 而函数
f
u ( x)的值域为 Z , 若 D
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例2
1 设 f (x) 2 0 x 1 1 x 2 , 求函数 f ( x 3 )的定义域 .
解
1 f (x) 2
0 x 1 1 x 2 0 x 3 1 1 x 3 2
1 f ( x 3) 2 1 2
称为半开区间, 记作 [ a , b )
称为半开区间, 记作 ( a , b ] 有限区间
( , b ) { x x b }
[ a , ) { x a x }
无限区间
o a
x
o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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3.邻域: 设 a 与是两个实数
U E 2 t

U
E
2 2E
( ,E) 2
( ,0 )

t;
o
2
t
当 t ( , ] 时 , 2 E 0 U 0 ( t ), 2

单三角脉冲信号的电压
即U
2E
(t )
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当 t ( , ) 时 , U 0 .
f ( x ) f ( x )
, 对于 x D , 有称 f ( x )为奇函数 ;
y
y f (x)
f (x)
-x o
f ( x )
x
x
奇函数
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4．函数的周期性:
设函数 f ( x )的定义域为数 l , 使得对于任一 D , 如果存在一个不为零的 x D , ( x l ) D .且 f ( x l ) f ( x )
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二、函数的概念
例圆内接正多边形的周长
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
S n 2 nr sin
n
O
n
n 3 ,4 ,5 ,
r
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定义
D 设x 和y 是两个变量, 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x D,
变量 y 按照一定法则总有
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一、变量及其变化范围的常用表示法
1.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法：
通常用字母a, b, c等表示常量,
用字母x, y, t等表示变量.
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f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
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3．函数的奇偶性:
设 D 关于原点对称
f ( x ) f ( x )
, 对于 x D , 有称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f (x)
f ( x )
f (x)
-x
o 偶函数
x
x
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设 D 关于原点对称
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f ( x)
因变量数集D叫做这个函数的定义域自变量
x 0 处的函数值 .
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值全体组成的数集
W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域
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.
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3 x 2 2 x 1
故 D f : [ 3 , 1]
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复合函数与反函数
1、反函数
y
y0
y
函数 y f ( x )
y0
反函数
x ( y)
W
o
x0
W
x
x0
o
x
D
D
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y
反函数 y ( x )
Q (b, a )
第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节
变量与函数数列的极限函数的极限无穷大量与无穷小量极限的运算法则极限存在准则与两个重要极限无穷小量的比较函数的连续性
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第一节变量与函数
一、变量及其变化范围的常用表示法二、函数的概念三、函数的几种特性四、函数应用举例五、基本初等函数六、初等函数七、双曲函数与反双曲函数
数集 { x
, 且 0.
x a } 称为点 a 的邻域 ,
, 叫做这邻域的半径
点 a 叫做这邻域的中心
.
U ( a ) { x a x a }.

a
点 a 的去心的

a
a
0
x
邻域 , 记作 U ( a ).
U ( a ) { x 0 x a }.
例如 , 2 x 1, f (x) 2 x 1,
y x
2
x 0 x 0
1
y 2x 1
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例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 t ( t 0 ) 的函数关系式. 解当 t [0, ] 时 ,
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余割函数
y csc x
y csc x
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5、反三角函数
D (1 2 ) 0,
解 D ( ) 1,
5
D ( D ( x )) 1 ,
y
1
单值函数, 有界函数,
偶函数, 不是单调函数,
o
周期函数(无最小正周期)
x
目录上一页下一图.试找出图象中y与x的关系，并设想图象是什么现象的反映? 解: 若直线过点(xo,yo),且斜率为k，则其点斜式方程为 y－y0=k(x－x0)
y
o -1
x sgn x x
x
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(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
1 y D(x) 0 当 x 是有理数时当 x 是无理数时
Z , 则称
函数 y f [ ( x )] 为 x 的复合函数 .
x 自变量 ,
u 中间变量
,
y 因变量 ,
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注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsin
2 u , u 2 x ; y arcsin( 2 x )
o
I
x
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设函数
f ( x )的定义域为
D , 区间 I D ,
如果对于区间
I 上任意两点
x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2时 ,
恒有 ( 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少的 ;