高等数学(上册)第一章
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高等数学(上册)第一章函数、连续与极限课件
9
2.区间
第一章 函数、连续与极限
数集 x a x b 及x a x b 称为半开区间，分别记作 a,b 和 a,b (见图1-9
和图1-10）.
[a,b)
(a,b]
a
图1-9
b
x
a
图1-10
b
x
以上这些区间都称为有限区间，数 b a 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些 区间是长度为有限的线段.
与 B 的并集（简称并），记作 A B ，即 A B {x | x A 或 x B}；
A AB B
A AB B
图1-2
图1-3
5
1. 集合及其运算
第一章 函数、连续与极限
由包含于 A 但不包含于 B 的元素构成的集合（见图 1-4），称为 A 与
B 的差集（简称差），记作 A \ B ，即 A \ B {x | x A 且 x B} ；
2
课前导读
集合
具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别 对象称为集合的元素. 习惯上，用大写英文字母 A, B,C, 表示集合，
用小写字母 a,b, c, 表示集合的元素. a A 表示 a 是集 A 的元素 （读作 a 属于 A ）， a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属 于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的
集合称为空集，记为 .
3
一、 集合的概念
第一章 函数、连续与极限
我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 . 由整数的全体
构成的集合称为整数集，记为 . 用 Q 表示全体有理数构成的有理数集，R
表示全体实数构成的实数集. 显然有 Z Q R .
高等数学 (上册) -01-PPT课件
3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|
当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
《高等数学》 第一章(上)
25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节 函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函 数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应 法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通 常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同， 对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节 函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号， 也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它 分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成 本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函 数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ． 其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章函数与极限(一) 函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f (x) 在x0连续x lim x f (x) f (x0)x x0第一类：左右极限均存在。
间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
(二) 极限1、定义1) 数列极限lim x n a 0, N , n N, x n an2) 函数极限lim f (x) A 0, 0, x, 当0 x x0 时， f (x) A x x0左极限： f(x 0 ) lim f (x)右极限： f (x 0 ) lim f (x)x x 0x x 0lim f (x) A 存在f (x 0 ) f (x 0 )x x 02 、 极限存在准则 1 ) 夹逼准则： 1) y n x n z n ( n n 0 )2)lim y n lim z n ann2 ) 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3 、 无穷小(大)量1) 定义：若lim则称为无穷小量；若 lim则称为无穷大量2 ) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 Th1 ~ o( );Th2 ~ , ~ ,lim 存在，则 lim lim (无穷小代换)5) 无穷小代换：( x 0)lim x n a1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：sinxlim x01b) l x im 0(1 x)xlim (1 1)xe xx4 、 求极限的方法 a1a) x ~sinx~ tanx~ arcsinx ~ arctanx第二章 导数与微分 一) 导数函数 f (x)在 x 0点可导 f (x 0) f (x 0)几何意义： f (x 0)为曲线 y f (x)在点 x 0, f (x 0) 处的切线的斜率。
高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
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3.确定复合函数
例
已知f
(x)
11
( (
x), x),
x x
x1 x1
g(x)
43
(x) (x)
, ,
x x
x2 x2
求f [g(x)], g[ f (x)].
解： f
[
g
(x)]
12[[gg((xx))]]
, ,
g(x) g(x)
x1 x1
1）当 x x2且3(x) x1时，f [g(x)] 1[3(x)]
x1 x1
f f
(x2 ) (x2 )
f f
( x1 ) ( x1 )
f (x)单调递减 f (x)严格单调递减
第一节 函数
奇偶函数的性质 F(x) f (x) f (x)是偶函数 F(x) f (x) f (x)是奇函数
F (x) f (x) f (x) f (x) f (x)
引言
•什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 以变化观点研究问题.
•高数主要内容：
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
第一章 函数、极限与连续
函数— 研究对象 分析基础 极限— 研究方法
连续— 研究桥梁
第一章 函数、极限与连续
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续与间断 连续函数的运算与性质
第一节 函数
函数的预备知识
邻域 U (a, ) {x x a }
U (a, ) {x x a 且x a}
()
a a a
区间 a, b a, b a, b a, b
第一节 函数
函数的定义
x D,唯一的y E,使y f x,则称y f x为函数
注：D为定义域,E为值域 如何求函数的定义域
f (x) g(x) 0 g(x)
f (x) f (x) 0
ln f (x) f (x) 0
第一节 函数
函数的特性 有界性 x D, f (x) k
周期性 x D, f (x T ) f (x)
E.双曲函数
shx ex ex 2
chx ex ex 2
thx shx chx
第一节 函数
F. 初等函数
a. 基本初等函数：
y x y ax (a 0且a 1) 与y log ax (a 0且a 1)
三角函数与反三角函数
b. 初等函数（指可用一个式子表示） 注：分段函数与初等函数的关系
x
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
第一节 函数
D.复合函数
y f (u) u (x) y f [ (x)]
e.g1.y arcsin u u x2 2 能否复合？
2. y earctan arcsin x是由 y eu , u arctan v 与v arcsin x复合而成
. —
笛数 卡学 儿中 的的 变转 恩数折 格点 斯是
如何学习高等数学
• 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
•学数学最好的方式是做数学.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
2）当 x x2且3(x) x1时，f [g(x)] 2[3(x)]
3）当 x x2且4(x) x1时，f [g(x)] 1[4(x)]
4）当 x x2且4(x) x1时，f [g(x)] 2[4(x)]
第一节 函数
4.由复合函数确定原函数 例 已知f (cos x) 2 sin2 x,求f (x).
2
2
注:任何一个函数都可以表示成一个奇函数 与一个偶函数的和
第一节 函数
常见的特殊函数 A.符号函数
1，x 0
1
y
sgn
x
0，x
0
0
1，x 0
-1
e.g
1，x 0 x xsgn x 1，x 0
第一节 函数
B.取整函数
y [x]
奇偶性 f (x) f (x) f (x)为偶函数
f (x) f (x) f (x)为奇函数
单调性
x2 x2
x1 x1
f f
(x2 ) (x2 )
f f
( x1 ) ( x1 )
f(x)单调递增 f (x)严格单调递增
x2 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
注：[x]表示不超过x的最大整数
e.g 0, 0 x 1
y 1, 1 x 0
y
2 1o 1 2 3 4 x
第一节 函数
C.反函数（f是单调的）
函数
的图形
关于
对称.如
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
y Q(b, a)
o
yx y f (x)
ln[sec x tan x] ln (sec x tan x)(sec x tan x)
sec x tan x ln 1 ln(sec x tan x) f (x)
sec x tan x
练习：试判断 ln 1 x 的奇偶性
1 x
第一节 函数
e.g.
x
x2
x, x,
x0 x0
第一节 函数
重要的题型
1. 求定义域 2. 确定函数的奇偶性 3. 求复合函数 4. 由复合函数求原函数
第一节 函数
2.确定函数的奇偶性
例 判断函数 f (x) ln(sec x tan x)的奇偶性.
f (x) ln[sec( x) tan( x)]
解 令 cos x t, 则 f (t) 2 1 t2