圆的相关定理
有关初中圆的定理
1.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．ﻫ圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理) ﻫﻫ切线长定理ﻫﻫ垂径定理圆周角定理ﻫ弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ﻫ4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ﻫ5．把整个圆周等分成3６0份,每一份弧是1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.ﻫ6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转1８０°后能够与原来图形重合,这一性质不难理解.圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合. ﻫ7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧8.(1)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧ﻫ（2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧(３）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧ﻫﻫ９.圆的两条平行弦所夹的弧相等ﻫ10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(２)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. ﻫﻫ（3）半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．ﻫ(４)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ﻫ11.（1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．ﻫ(２)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ﻫﻫ(３)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(4）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.ﻫ(5)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.ﻫ(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.ﻫ1２.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．ﻫﻫ垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．ﻫ1３.平分弦（不是直径）的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.１４.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等，所对的弦的弦心距也相等.16．同一个弧有无数个相对的圆周角.1７．弧的比等于弧所对的圆心角的比．ﻫ１8．圆的内接四边形的对角互补或相等．19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.２0.直径是圆中最长的弦．21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧。
圆的性质定理
圆的性质定理一．定理：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。
注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。
）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的积相等。
8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线二．性质：1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。
2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。
（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆）3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。
（遇到切点连半径）补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的十大定理
圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。
这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。
二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。
这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。
三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。
五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。
这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。
六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。
这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。
七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。
八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。
这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。
九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。
这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。
十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。
与圆有关的定理
与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。
4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。
5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）。
7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分为n(n≥3)：。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆的三大定律
圆的三大定律圆，作为几何学中的基本图形之一，拥有许多独特的性质和定律。
在几何学中，研究圆形的性质和定律对于我们理解空间关系以及解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍圆的三大定律：切线定理、切线与半径的关系、弧长和弧度。
切线定理是圆的一个重要定理，描述了切线和半径之间的关系。
根据切线定理，通过圆上任意一点，只存在唯一一条和半径垂直的切线。
这意味着切线与半径之间的夹角是90度。
这个关系对于解决许多与切线有关的几何问题非常有用。
切线与半径的关系是圆的另一个重要定律。
根据切线与半径的关系，切线和半径在切点处相互垂直。
换言之，如果你有一个圆，并且从圆的中心引出一条半径和一条切线，那么这两条线在切点处的夹角将是90度。
这个定律在解决许多和切线有关的问题中起到了关键作用。
弧长和弧度是圆的第三个重要定律。
弧长是指圆上一段弧的长度，弧度是弧长与半径之间的比值。
具体来说，弧度等于圆心角所对的弧长除以半径的长度。
弧度的概念在解决许多与圆相关的问题时非常有用，例如计算圆的弧长、角度等。
除了这些重要定律，圆还有许多其他有趣的性质和定理，如圆周角的性质、正切线的定义等。
通过深入学习圆的性质和定律，我们可以更好地理解它们在实际生活中的应用。
在工程、建筑、地理测量等领域，圆的定律被广泛应用。
例如，在建筑设计中，设计师需要根据切线定理和切线与半径的关系来确定建筑物与地面的角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
在地理测量中，通过测量圆的弧度和角度来计算地球上两个地点之间的距离。
这些实际应用证明了圆的定律的重要性和实用性。
总结起来，圆的三大定律——切线定理、切线与半径的关系、弧长和弧度——是几何学中关于圆的重要定理。
它们不仅帮助我们理解圆的性质和特点，还在解决实际问题时发挥着重要作用。
深入研究和应用圆的定律对于我们的几何学学习和实际生活具有重要意义。
【注：文章主要围绕圆的三大定律展开，语句通顺流畅，符合整洁美观的排版要求。
】。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
圆的定理
1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．3．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）4．切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角）5．垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧）圆周角定理弦切角定理（定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角））3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.。
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圆幂定理
定义
圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分
直径所成的两条线段的例中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
切割线定理
定义
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则
PT^2=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
割线定理
定义
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线
与圆交点的距离的积相等。
从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD。
如下图所示。
(LT是切线）
证明
如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）
证明：连结OA、OB
∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
∴OA⊥AP、OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中：
∠OAP=∠OBP
OP=OP
OA=OB=r
∴△OPA≌△OPB（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
弦切角定理
弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]
几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）
推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN = 弧PQ
∴∠1=∠2
证明：作AD⊥EC
∵∠ADC=90°
∴∠ACD+∠CAD=90°
∵ED与⊙O切于点C
∴OC⊥ED
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°
∴∠OCA=∠CAD
∵OC=OA=r
∴∠OCA=∠OAC
∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD
又∵∠ACD=90°-∠CAD
∴∠ACDC=1/2∠COA
∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数
弦切角概念
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．
相关公式
弧长计算公式：L=n兀R／180
扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标。