老龄化来袭模型-经济与人口结构

数学建模训练承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1. 马维新2. 钟也磐3. 成博指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2012年 08 月 19日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：数学建模训练编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口结构摘要本文主要是对我国人口结构、退休政策、生育制度做了一定分析，合理预测我国人口发展以及对经济发展的影响。

问题一，我们确定了六个影响经济发展的因素和六个因素下的十二个指标，利用灰色关联度模型，找出十二个指标和人口结构与经济发展的关联程度，并根据关联程度的大小对十二个指标和人口结构中的城镇化率、性别比例、老龄化程度、受教育程度做了排序：产业结构>科技水平>劳动力因素>物质资本>人力资本>制度因素、受教育程度>老龄化程度 城镇化率>性别比问题二，我们分别用logistic模型和灰色预测GM（1,1）模型对人口结构进行了预测，利用熵权法对两个预测结果进行加权，得到最终预测结果。

其中总人口数单位为十亿，性别比为男比女（男为1），城镇化率老人比例和受教育程度单位为%。

问题三，我们通过查找的数据，分析了放宽一胎化生育政策后自然增长率的变化，建立了自然增长率变化的函数，在第二问的基础上，对人口结构的预测结果进行了修正。

问题四，我们从就业和养老金两个方面，分析了延长退休年龄对经济发展发展的影响。

根据利用计量模型和养老金的计算公式求解出的结果，我们认为延长退休年龄对解决养老金的资金缺口有很大的帮助。

问题五，我们根据以上问题的结论并查找了相关资料，对我国人口结构和经济的可持续发展提出了一些建议。

关键字：人口结构、灰色关联分析、灰色预测模型、logistic人口阻滞增长模型、计量模型、一、问题重述题目背景改革开放以来，我国经济高速发展，在2010年成为全球第二大经济体，并且在处理重大事件方面和高技术研发方面都显示了我国的强大实力。

在世界各地都有中国制造的同时，我们国内也暴露出一些问题：老龄化、养老金资金缺口、公民道德素质不高、征兵标准有所降低等等。

我国也正在积极解决：将中国科学院研究生院更名为中国科学院大学、考虑放宽一胎生育和延长退休年龄等等。

近年来的国内负面消息和舆论热点层出不穷，其中有些是实实在在发生了，而有一些只是人们的猜测，甚至谣言。

但不可否认的是，现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，他们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧。

问题（1）、定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。

（2）、就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

（3）、如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。

（4）、定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。

（5）、基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

二、模型假设、所得有关数据与实际相近，比较准确；、人口的迁移不影响和出国人数不影响人口结构的变化；、我国的产业结构不会有大的变化；、自然灾害对我国的人口结构不会有影响；、乡村人口自然增长率比城镇人口自然增长率高。

三、符号说明i a ：影响经济发展的第i 个因素（i =1,2,3,4）； ijn a ：第n 年第i 个因素下的第j 个指标；in h ：第n 年人口结构的第i 个组成部分； n g ：第n 年的GDP ； n r ：第n 年的自然增长率；s ：月基本养老金； 1s ：基础养老金；2s ：个人账户养老金；b ：劳动者的就业年龄；c ：现行法定退休年龄； m ：延迟退休年数；i γ：i 岁人口的平均劳动参与率；i L ：i 岁劳动者总量；j ：第j 产业部门（j =1,2,3，…，n ）。

四、模型的建立与求解、模型的建立：对于问题一，我们将它分为两个小问题，一是对影响经济发展因素的定量分析，二是就人口结构对经济发展的影响做出了分析。

在此，我们把GDP 作为体现经济发展的指标，首先要确定影响经济发展的因素并给出能反映每个因素的指标。

综合各经济学派对经济增长影响因素的概述，同时考虑现实经济中数据的可获得性，我们从产业结构，物质资本，劳动力因素，科技水平，人力资本，制度因素6个方面选取影响经济增长的12个指标如下表:我们采用灰色关联分析的方法找出各个指标与GDP 即经济发展的关联度，并进行排序，以此来判定各个因素对经济发展影响的大小。

原始数据有单位且各数据单位不一致，没有可比性，因此进行标准化处理，数据标准化的公式如下：min max min ()/()ijnijn ijn ijn ijn a a a a a '=--min max min ()/()nn n n n g g g g g '=-- 针对12指标和GDP 的13个数据序列，计算12个指标和GDP 之间的关联程度，即两个相比较的序列在第n 年的相对差值。

具体公式如下：()()()()()()()()maxmax minmin maxmax ijnnijnnijijijijnnijnnija n j n a n j n t a n j n a n j ρξρ''''-+-=''''-+-得到关联系数后,将各关联系数按样本数n 求出平均值可得关联度值，具体公式如下：1011()ij ij n n n γξ==∑模型求解：求得最终影响经济发展的各个指标的关联度值为： 接着将各个因素下指标的关联度取平均值分别为： ，，，，,关于人口结构对经济发展的影响，采取同样的方法，对于人口结构的组成我们用老龄化人口所占比例，性别比，城镇化率和受教育程度来表示，采取同样的方法，四个指标的关联度值为：由以上结果可以对各个指标对经济发展的影响进行排序得：受教育程度>老龄化程度≈城镇化率>性别比由以上数据可以看出各个因素对经济发展影响的大小,如产业结构,科技水平和受教育程度对经济发展影响显著,而性别比和制度因素则影响较弱.、问题二：模型建立：对于问题二，我们分别采用灰色预测模型和logistic 人口阻滞增长模型对人口总 数进行预测，然后用熵权法对预测结果进行客观的组合，是预测结果更符合实际。

对于老年人口比例和城镇化率，由于老年人口比例和城镇化率与资源环境的限制关系不大，所以我们直接用灰色模型预测老年人口比例，而关于男女性别比，我们对30年内的性别比进行观察发现，它的变化趋势类似于周期函数，于是我们用三角函数进行拟合，拟合程度较高，决策系数达到我们用此来预测其未来30年的值。

灰色预测模型：1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。

2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。

将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。

利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测Logistc 人口阻滞增长模型：考虑自然资源和环境对人口的影响，并以m N 记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。

把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。

如果人口的净增长率随着)(t N 的增加而减小，且当m N t N →)(时，净增长率趋于零。

因此人口方程可写成)())(1()(t N N t N r dt t dN m-= 其中r 为常数，此模型就叫logistic 模型。

熵权法：熵权法是一种决定指标的方法，我们知道，综合指标取决于单个指标数的确定，一般情况下的权重是根据经验来确定的，但是这种确定权重的方法缺少科学根据，也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息，且权重的确立因人而异，所以其应用受到了限制，而熵权法就能够避免这些问题，使权重的确立具有科学的根据，具有说服力。

熵权法的步骤确立如下：① 计算第j 项指标下第i 个方案的指标比重1ijij miji y p y==∑② 计算指标j 的熵值 1ln mj ij ij i e k p p ==-∑ （1ln k m=）③ 计算第j 项指标的差异系数 1j j g e =- ④ 定义权重1jij mji g w g==∑则 ij w 就为熵权法确定的权重。

2、误差指标的选举为了能全面的各个预测方法以及组合预测的预测效果，必须制定一套切实可行的误差指标。

按照预测效果的评价惯例，本文选取如下指标作为参考： （1）、平方和误差21()ni i t SSE y y ==-∑（2）、平均绝对值误差11ni i t MAE y y n ==-∑（3）、均方误差MSE =（4）、平均绝对值百分比误差1()1n i i t iy y MAPE n y =-=∑（5）、均方百分比误差MSPE =3、组合模型权重的确定设以选定m 种个体预测方法，n 个误差指标，m 种个体预测方法对应n 个误差指标构成了评价指标值矩阵；()ij R r m n =⨯第j 个指标下第i 种个体方法的指标比重值ij P 为 1/mij ij ij t P r r ==∑第j 个指标的熵值为：1ln mj ij ij t E P P ==-∑记ln j j e E = 第i 个指标的权重为：1(1)/(1)mj j j t e e θ==--∑记矩阵R 中每列最优值为j r *，对该矩阵所有元素做标准化处理，可得：//ij j ij j ij r r j d r r j **⎧⎪=⎨⎪⎩指标的指标值越大越好指标的指标值越小越好这样，各个体预测方法的熵权评价值i λ，可以表示为： 1(0,1,2,,)mi j ij t d i m λθ===∑模型求解：灰色预测模型得到的结果为：logistic模型得到的结果为：因为灰色预测模型进行长期预测时误差较大，而且从图像上看灰色预测模型预测的人口曲线接近一条直线，即人口一直保持较高的增长率，这是不符合实际，也是不合理的。